CC BY
30
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Т О м IX 197 8
№ 4
УДК 621.438:533.695.5.08
ОБТЕКАНИЕ ИЗОЛИРОВАННОГО ПРОФИЛЯ И РЕШЕТКИ ПРОФИЛЕЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ
Б. И. Курманов, Г. Л. Подвидз
Рассмотрено стационарное, двумерное, безотрывное течение невязкой сжимаемой жидкости около изолированного профиля и решетки профилей. Течение рассчитывается методом интегральных уравнений итерациями по плотности. Приведены примеры расчета течения в решетке симметричных профилей. Полученные результаты сравниваются с экспериментальными.
В расчетах двумерного обтекания крыловых профилей и решеток профилей потоком невязкой несжимаемой жидкости широко используются методы интегральных уравнений (см., например, [1—5]). Интегральные уравнения следуют из представления аналитической функции в области течения формулой Коши или применения формулы Римана — Грина.
Расчеты дозвуковых течений газа проводятся либо численно, либо приближенно путем сведения течения к течению несжимаемой жидкости в линейном приближении Прандтля—Глауэрта или для модели газа Чаплыгина [6].
В настоящей статье выведены интегральные уравнения для модуля скорости, используемые для расчета двумерного течения газа около изолированного профиля и решетки профилей. Решение проводится итерациями по плотности. Показывается возможность применения интегрального уравнения для течения газа в решетке профилей с большим относительного шагом для расчетов обтекания изолированного профиля.
1. Двумерное безвихревое течение невязкого нетеплопроводного газа описывается уравнениями движения, неразрывности, интегралом уравнения движения вдоль линии тока, состояния и условием адиабатичности процесса:
dvy dvx ~дх ~~ If ” 0 ’ dvx dvv dlnp d In о /1ч
и-+-5Г “ --К------------v’— = q> 0)
V2 p p
iH 2~ = const, p=-£j, -pr = const,
где V = + v2y — скорость течения; р — плотность; р — давление;
i=~zr\RT—энтальпия; R — газовая постоянная; х — показатель адиабаты; q(x, у) — интенсивность источников в плоскости течения •*, У-
Система уравнений (1) является эллиптической при М<1 и гиперболической при М>1.
2. В задаче обтекания изолированного профиля требуется выполнение следующих граничных условий:
— контур профиля при безотрывном обтекании является граничной .линией тока (на ней нормальная проекция вектора скорости <yn = 0);
— на бесконечности перед профилем заданы параметры набегающего потока:
Vi, <=4, Р\, Т1;
— поток на бесконечно большом расстоянии от профиля остается невозмущенным:
Уоо = const = i/2; (2)
— на задней кромке профиля используется дополнительное условие, эквивалентное условию Жуковского — Чаплыгина, например, в виде равенства скоростей в некоторых заданных точках Е и Р:
. (3)
В комплексной плоскости z*=x + iy(z = x—iy) определена комплексно сопряженная скорость течения V = vx — ivy. Уравнения движения и неразрывности могут быть записаны в следующем виде:
dV 1 ,
-^ = — q{z,z).
Из формулы Римана—Грина для функции V (z, z), обладающей в области D с границей L непрерывной производной dV/dz, следует ее интегральное представление как обобщенной аналитической функции:
L D
Распространяя контур интегрирования L на профиль и на контур, уходящий в бесконечность, используя теорему Лиувилля и учитывая граничное условие (2), получим комплексно сопряженную скорость течения в произвольной точке z^D«;.
(5)
где Ь0 — контур профиля, обходимый в направлении против часовой стрелки, До — плоскость течения х, у с выброшенным профилем, С = & + щ — переменная интегрирования.
В выражении (6) выделим мнимую часть и устремим точку z из области Dos на гладкий контур профиля L0. Из условия, что на контуре профиля Z.0Im (®°(s)) = const и V (С) dX, = \/(s) ds, получим линейное интегральное уравнение типа Фредгольма первого рода относительно скорости на профиле V(s), ядро которого имеет логарифмическую особенность. После устранения особенности получим интегральное уравнение для единичного профиля
л (5), _)ф) — координаты контура профиля; 5 —дуга контура; о —переменная интегрирования на контуре /,0; ?,"») — переменные интегрирования в области Д*,.
Первый интеграл в левой части уравнения (7) берется по контуру Ь0 за исключением малой окрестности точки 5 = о; второй интеграл особенности не имеет.
Плотность газа
Интеграл по площади /“(л:, у) в уравнении (7) учитывает сжимаемость газа. Для несжимаемой жидкости р = const и 1\(х,у) — 0.
Так как возмущения, вносимые профилем в поток, убывают обратно пропорционально расстоянию от профиля, то в практических расчетах интеграл 1\{х, у) может вычисляться по конечной области течения D* около профиля (в пренебрежении интегралом по оставшейся области Д»— D*).
Разделив действительную и мнимую части в уравнении (5), получим выражения для вычисления проекций скорости vr(x, у), vy(x> У) в области DTO, необходимых для расчета интеграла 1\{х,у).
Ф®(г)= ^г+ J V(QO0r(z — l)d{. + 2ijj-^<f>0T(z-qdtdTi + const, (6)
где ядро интегралов имеет вид
фг (Z - С) = ~ In (z — С) = 4 + i$ ,
Ч>? С* — У — *l)= arctg |,
fT (х — У—,п) = - -%г1п К* ~1)3 + (У — ч)*]-
V(s) j* К0 (s, о) da + j* [ V (о) — V (s)] К0 (s, о) da + const =
= y(?)vlx-x(s) vly + fi(x, у),
(7>
где обозначено
K° (s, о) =— ty°(x — у — V]),
где
3. Задача об обтекании решетки профилей ставится в бесконечной полосе АВСИ, включающей один профиль (фиг. 1). Ширина полосы равна шагу решетки Ь, входное АВ и выходное сЬ сечения приближенно задаются на конечном расстоянии от решетки.
Граничные условия отличаются от сформулированных выше тем, что на бесконечности перед решеткой заданы параметры набегающего потока чи р\, Т\ (расход газа через решетку докрити-ческий) и на границах Л£) и ВС выполняются условия периодичности течения.
50 Ч,
И'
30
20
54 С
10
с
Е г?
‘Га 1 — Л 0 У^ОСг
,
3,(3 V
Фиг. I
Аналогично, используя представление (4), в котором контур интегрирования Ь распространяется на бесконечное число профилей решетки и учитывается периодичность течения, получим выражение для комплексно сопряженной скорости течения [8]:
V (г) = У» + |V (С) с£ у (г — С) й С+
ц
+ 4 ( |'^с1ё-^(г-С)^</71, (8)
* дС *
А>
где Л0 — область течения для одного основного периода решетки АВСИ с исключенным профилем Ь0 (см. фиг. 1).
Константа и скорость У2 за решеткой (при у = оо) находятся из соотношений
Ф(г)= йга2 + |\7 (С) Фг (2 —С)сК +
А,
+ 2г||-^-фг(2: + С) <*т| + «нЫ. (И)
Ядро интегралов
Фг(2 —С) = ——С) = ?Г+ *'рг
2 те г £
представляет собой потенциал течения в точке г = х + 1у от решетки вихрей единичной интенсивности, расположенных в точках £ + я = 0, +1, . . . . Действительная и мнимая части ядра имеют вид
1 № ~ (у — 7])
?г(х — 5, .у - ■»)) = —-агс^---------------,
2% к
<М* - 6, У - =— 1п у [сЬ -у- 0> - г,) — СОБ -у- (X - |)| .
Отделяя в выражении (11) мнимую часть аналогично (6), получим интегральное уравнение относительно скорости на профиле решетки:
У(5) | АТ(5, о)аГо+ |[У(а)— 1/(5)]/С(*, °)& + СОПЬ\ =
Ц 10
= У {*) ^ (2 + у /,) + Л (X, з;). (12)
При выводе этого уравнения использованы соотношения (9), (10) и введены обозначения:
К («, о) ■=— <1>г (х — Е, .у — ч) + -уу, /3 = и ^ (?, ц) Л <*Ч.
А,
А(*».У) — ч)Тг(х —?,
А.
После отделения действительной и мнимой частей в уравнении (8) получаются два выражения для вычисления проекций скорости ъх(х, у), ъу(х, у) в области 1>0. Разделяя в уравнении (10) действительную и мнимую части, получим проекции скорости за решеткой:
= — уг> = + (13)
где циркуляция скорости по контуру профиля Г = J ]/(з)й<з.
*0
По уравнению (12) с условием (3) проводились расчеты безотрывного обтекания различных решеток турбомашин при ненулевом угле атаки [8].
Очевидно, что при бесконечном увеличении шага I решетки профилей с конечной хордой / (£// —* со) область течения Ц, переходит в £>«,, интеграл 1х(х, у) — в /“(*, у), ядра фг {х — £, у — -ц) и К (5, а) переходят соответственно в ядра — ?, у — У\) и К0 ($, о).
Уравнение (7) с точностью до константы, пропорциональной циркуляции вокруг профиля, является предельным для уравнения (12),
а его решение для скорости течения на профиле 1/(5] У°(5); ско-
рость потока на бесконечности за решеткой, как следует из соотношений (13),
стремится к скорости невозмущенного потока (2) на бесконечном удалении от изолированного профиля.
4. Уравнения (3) и (12) сводятся к системе линейных алгебраических уравнений и решаются итерациями по плотности. В первом приближении рассчитывается течение несжимаемой жидкости. В последующих итерациях при вычислении интегралов 1Х (х, у) в расчетных точках на контуре Ь0 используется поле скоростей и плотности газа, найденное в предыдущем приближении.
Метод интегрального уравнения применим для дозвукового обтекания профилей. Практика расчетов показала сходимость итераций и для трансзвукового обтекания (когда М, < 1 и звуковая линия не замыкается на сторонах соседних профилей) в связи с тем, что задача в целом остается эллиптической с локальными областями смешанного течения.
В качестве примера ниже рассмотрено обтекание без угла атаки решетки симметричных профилей. Контур профиля разбивался на 108 расчетных точек, расположенных симметрично относительно хорды профиля. Первая и последняя расчетные точки Е и Р, в которых выполняется условие (3), расположены на расстоянии 0,08/ от острой задней кромки. Внешняя фиксированная сетка в области Д0 состояла из «Хге1= 12X45 узлов, показатель адиабаты х = 1,4, газовая постоянная /? = 287 Дж/'кг-град. Граничные сечения АВ и СД расположены на расстоянии 2/3 / от профиля. Относительная
л
толщина профиля Стах//= 0,09. Особенностью профиля является резкое изменение кривизны в Области носка, максимальная кривизна контура находится на участке точек 48 — 52.
0}05
Исследовалось влияние относительного шага £ = t|l на распределение скорости по кон-туру профиля при X, = 0,635. На фиг. 2 приведены расчетные зависимости X от $ — где «е — половина длины контура профиля. В варианте 1 принято ^ = 0,5. Величина Х($) на передней кромке быстро нарастает, достигая максимального значения X — 1,04 в точке 49, далее следует интенсивный диффу-зорный участок небольшой протяженности и постепенный выход на примерно постоянный уровень скорости X 0,8.
При увеличении t до значений 1 и 2 (варианты 2 и 3) мак-
симум скорости и ее значение в задней части профиля значительно уменьшаются. При дальнейшем увеличении Ь до 3 (вариант 4) скорость практически не изменяется, что показывает близость распределения Ц$) по профилю решетки к распределению Х°($) по изолированному профилю. На линиях АО и ВС максимальное отличие скорости X от >4 составляет 0,005.
При £ = 3 проводилось дополнительное удаление входного АВ и выходного СГ) сечений на расстояние более 2/31 от профиля, при этом распределение Х($) по профилю практически не изменилось. Это позволяет пренебрегать влиянием интеграла 1\(х, у) по оставшейся части бесконечной области на решение интегрального уравнения (7).
При 7 = 3 и Х1 = 0,635 производилось сгущение внешней сетки от л X я, = 12X45 до п X «1 = 20X45. При этом распределение Х($) по контуру профиля практически не изменилось, погрешность в скорости на контуре профиля составила ДХ(5)шах — 0,005.
Минимальная величина (^//)шт, при которой распределение Х(з) по профилю в решетке близко к Х° (5) изолированного профиля, зависит от числа М1; угла атаки набегающего потока и формы профиля. Для рассмотренного случая (///)шт~3.
Результаты расчета течения в решетке при сопоставлены
с экспериментальными данными для обтекания изолированного профиля, полученными в работе [9] для Мх = 0,6; 0,7; 0,8 при нулевом угле атаки (см. варианты, представленные на фиг. 3). При полностью дозвуковом обтекании и обтекании с небольшой сверхзвуковой зоной на передней кромке [М(х) <Г 1,25], когда интенсивность скачков невелика, соответствие расчетов и эксперимента удовлетворительное.
Таким образом, расчет обтекания решетки профилей методом интегральных уравнений можно применять для изучения обтекания изолированного профиля.
Авторы выражают благодарность Г. Ю. Степанову за полезные советы' и поддержку при обсуждении данной работы.
1. Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М., Физматгиз, 1962.
2. Степанов Г. Ю. Гидродинамическая теория решеток. В кн. .Механика в СССР за 50 лет*, т. 2. Механика жидкости и газа. М., „Наука“, 1970.
3. Жуковский М. И. Аэродинамический расчет потока в осевых турбомашинах. Л., .Машиностроение*, 1967.
4. В и к т о р о в Г. В. Гидродинамическая теория решеток. М., „Высшая школа*, 1969.
5. Павл овец Г. А. Методы расчета обтекания сечений крыла идеальным несжимаемым потоком. Труды ЦАГИ, вып. 1344, 1971.
6. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М., .Наука", 1965.
7. Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., .Наука", 1973.
8. КурмановБ. И., ПодвидзГ. Л., Степанов Г. Ю. Расчет двумерного течения газа в решетках турбомашин методом интегральных уравнений. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1977, № 4.
9. Некрасова М. Н., Бертынь В. Р. Особенности обтекания симметричных профилей с пиковым распределением давления при больших дозвуковых скоростях потока. Труды ЦАГИ, вып. 1402, 1972.
Рукопись поступила 91VI 1977
