Нелинейная задача о нестационарном обтекании решетки профилей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том IV 197 3

№ 6

УДК: 533.6.0132:629.7.025.73

НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА О НЕСТАЦИОНАРНОМ ОБТЕКАНИИ РЕШЕТКИ ПРОФИЛЕЙ

В. П. Рябченко

Разработан численный метод решения нелинейной задачи нестационарного обтекания решетки профилей, совершающих произвольные движения из состояния покоя в потенциальном потоке идеальной несжимаемой жидкости. Проведено сравнение с результатами расчетов по линейной теории в случае синхронных гармонических колебаний профилей без сдвига фазы и в противофазе. Установлено, что линейная теория дает надежные результаты в реальном диапазоне изменения параметров решетки.

В последнее время появился ряд работ [ 1] — [5], в которых рассмотрены задачи о неустановивщемся движении тел в потенциальном потоке идеальной несжимаемой жидкости в нелинейной постановке. Нелинейность задач возникает из-за того, что граничное условие на вихревом следе за телом должно выполняться на линии, которая заранее неизвестна и определяется в процессе решения. Кроме того, граничное условие непротекания (в отличие от рассматриваемого в линейной теории), выполняется на поверхности движущегося тела. Общим для всех методов, применяемых для решения этих задач, является использование шаговой процедуры. На каждом шаге по времени задача получается линейной. В работах |3] и [4] исследованы задачи о движении тонкого тела, а в [1], [2], |5] — неустановившиеся движения одного и двух тел конечной толщины. •

В работе разработан метод решения нелинейной задачи для случая решетки профилей конечной толщины, совершающих произвольные движения из состояния покоя в потенциальном потоке идеальной несжимаемой жидкости. Метод включает в себя шаговую процедуру по времени и обобщение на случай нелинейно# постановки задачи численного метода, предложенного в работе [6] для решения линейной задачи обтекания вибрирующей решетки произвольных профилей. В качестве примеров рассмотрены синхронные гармонические колебания профилей без сдвига фазы и в противофазе. Обсуждены нелинейные эффекты, связанные с конечностью

амплитуды колебаний и сложной формой вихревых следов за профилями решетки.

1. Рассмотрим в плоскости комплексного переменного г—х-\-1у нестационарное безотрывное обтекание решетки произвольных профилей потоком идеальной несжимаемой жидкости со скоростью

]/х вдали перед решеткой. Пусть профили решетки совершают произвольное движение из состояния покоя. Введем декартову систему координат с началом в передней кромке одного из профилей Ь0 при £ = 0. Ось у направим вдоль фронта решетки, а ось х — вниз по потоку. Профилям выше и ниже Ьа присвоим номера т = + \, ±2,... (фиг. 1). Предположим, что в каждый момент времени контуры Ьт (т = 0,

+ 1,...) гладкие в смысле Ляпунова всюду, за исключением задних кромок Вт, которые являются точками возврата. Вихревые следы, возникающие за профилями решетки при £>0, схематизируем линиями разрыва касательных скоростей №т. Движение жидкости вне контуров Ьт и '№т предполагаем потенциальным. '

При сделанных предположениях потенциал скорости абсолютного движения жидкости <р (х, у, () удовлетворяет уравнению Лапласа

(77)? = ° С1-1)

03 -

вне контура С= ^ (1т + Шт) и граничным условиям непротека-

/71=—00

ния жидкости через контуры профилей

(уу) <р == ут„ (х, _у)б£т;

(1.2)

непрерывности давления при переходе через линию вихревого следа ,

1 ' -ч° л {х,т \Рт; (1.3)

= 0

затухания возмущенных скоростей на бесконечности перед решеткой

Нш (1.4)

конечности скорости жидкости в задних кромках профилей (постулат Кутта — Жуковского)

I Vе? \вт < °о. (1.5)

—>

Здесь V — вектор внешней нормали к контуру £т; I/тч — нормаль-

ная составляющая скорости движения т-то профиля решетки,

V #=^гае1. ,

В силу условия (1.3) завихренность, сбрасываемая в след, сносится потоком жидкости и, следовательно, ее положение в поле течения определяется решением следующей задачи Коши:

te_ = va(z, t), г(ъ 0) = *„(?). (1-6)

Здесь г==г(7, ^ — комплексная координата, рассматриваемая как функция завихреннести ? и времени t; va(z, г) —комплексная скорость движения жидкости в точке z. Функция z = z(*(, t) определяет геометрию вихревого следа за профилем решетки в момент времени t, а величина f фиксирует вихрь в следе. Следовательно, решение задачи (1.6) при некотором фиксированном значении величины дает траекторию движения выделенного вихря.

2. Будем искать решёние задачи (1.1) —(1.6) в виде

г

<Р (х, у, t) = Re J va (C)rfC + const, (2.1)

0

где va(ty — vax— ivay — комплексно-сопряженная скорость жидкости в точке С =!; + г*1> которая в силу уравнения (1.1) является аналитической функцией в области вне контура С.

Так как число лопаток в колесе турбины конечно, то можно предположить периодичность течения в направлении оси у с периодом Nh\

va(z) = va(z + iNh). (2.2)

Здесь Л — шаг решетки; N — число профилей в основном периоде

решетки. Тогда, используя условие (1.4), по формуле Коши имеем:

_ я-1 _

®в(2. *)=-г2 I *)Жг» *)Л +

+

где

2 , -т=0 ILm

Jt(«i, 0*1*. C(3i, t)t\d*\ + VI*-», (2.3)

P I

m t

^) = -Жг[си-Ж-(2:-!:^+1]> (2-4)

0 — геометрический угол атаки, образуемый направлением входной скорости \/1 с осью х\ т (о,, €)— V, — У7 — величина разрыва касательных скоростей в точке <зх вихревого следа; V? и У7— предельные значения скорости жидкости при подходе к линии следа №т соответственно снизу и сверху.

Пусть движение профилей решетки определяется уравнением

С» = ^(в, 0 (т = 0, N-1). (2.5)

Тогда комплексно-сопряженную скорость жидкости на /га-м профиле решетки можно представить в виде

(«. 0 = (о, *) е-ы*{°'0 + 0 . (2.6)

Здесь 5, а — дуговые координаты контура Ьт, отсчитываемые в положительном направлении от задней кромки; vm(<s, <) — отно-

ю

сительная скорость жидкости на т.-м профиле решетки; ат(а, Ь) — угол между осью л: и направлением касательной к контуру £т в точке о в момент времени С — \ — Щ.

Из условия (1.3) следует, ЧТО функции Тт(51» 0 определяются из соотношений

7т (®1’ (=и (^1 = /—| *>) ’ (2'7)

где ит(<Зи £) —модуль скорости жидкости в точке о4 вихревого следа. Выражение (2.7) эквивалентно теореме Томсона.

Из формул (2.6), (2.7) и формул Сохоцкого следует, что на 1-м профиле решетки выполняется соотношение

N-1

Vl(S, 2 1^т(3. О 0^° =

т-0 I

N-1

2 V, е-‘> - + Ц Г -1т-£ /?*, (5, а, 0 <*о -

т = °1^т

— / *тг(«. 0^Гат(^,)

(2.8)

Здесь

- ^т1 — * (%1> ^т)>

Гш (0 = Гт + Гт,

Гя= |(о, <) г1т = Ие |Я; (/, /га = 0, 1, ..., 1). (2.9)

ш /я

Условие Кутта — Жуковского (1.5) в задних кромках профилей можно сформулировать в следующей форме: скачок скорости

жидкости в задней кромке профиля ($ = о = 0) в каждый момент-времени равен интенсивности сходящего с нее вихря

I»» <0, *)] = У. <0. О = - ■ (2.10)

Таким образом, задача (1.1) —(1.6) сведена к системе уравнений (2.8), (2.10) и (1.6) для определения относительной скорости жидкости на профилях решетки и геометрии вихревых следов за ними.

Для вычисления аэродинамических сил и момента относительно начала координат воспользуемся формулами, полученными Л. И. Седовым [7]. В рассматриваемом случае произвольного движения профилей решетки их можно преобразовать к виду

Х + Гг(5, ^„(3, *)*--£- Г У\бг (2.11)

I ь

т т

И

М = -^^ЧГг2ошЮ + -ТЖ И5’ *)«„(*. Ъ*8-

С

— Р §vas(vaxx + vayy)ds+ ^у\(хйх+уйу). (2.12)

^т

Момент Ж, относительно передней кромки профиля (() = хг (?) 4--\-iyiit) определяется по формуле

Мх = М — х,(Ь)У +у1{Ь)Х, (2.13)

а безразмерные коэффициенты сил и момента — из равенств

. Сх + 1Су--=-Х{-+1¥ , См = —г-^----------• (2.14)

-2-Р ТрУ|4«

Здесь р — плотность жидкости, 20т(0 — комплексная координата задней кромки от-го профиля решетки, юаз — касательная составляющая скорости жидкости на контуре Ьт, ^ - длина хорды профиля решетки, 1т, VI = Ъах + vly, Г2 (5, О =Х2 (5, Ь) +у2 (я, О, г0 (*) = г (О, О-

3. Для решения системы уравнений (2.8), (2.10) и (1.6) применим метод конечных шагов по времени так, что на каждом шаге

выполняются теорема Томсона (2.7) и условие Кутта — Жуковского (2.10) в задних кромках профилей, а правые части системы интегральных уравнений (2.8) известны.

В начальный момент движения профиля решетки (£ = 0) следы отсутствуют и, следовательно, нет соответствующих членов в правых частях уравнений (2.8). Уравнение (2.10) преобразуется к виду [^а]|вт = 0, что соответствует условию непрерывности скорости жидкости в точках Вт(т = 0, 1, . . . , /V—1) при стационарном обтекании решетки. В следующий момент времени t1 = М решается система уравнений (2.8) и (2.10) с учетом малого участка следа, заменяемого одним вихрем, положение которого определяется решением задачи (1.6), для которой правые части юа[г,'Ь) и начальные данные вычислены на первом шаге. В произвольный момент времени t — tn (я>-1) в потоке имеется ЫУ^п вихрей, положение которых определяется решением задачи при / =

Построим алгоритм решения задачи при t = tn. Заменим интегралы вдоль линий №т конечными суммами, считая приближенно, что

^ат (£л) = Г/пл — л—1 + ДГ/лл, (3.1)

а в формуле (2.10) перейдем к конечным разностям, используя интерполяцию по трем последним точкам функции Гт(():

^лЛ+О. ^л) + (~~ 0, Гт„ {1—Д^/(Д?„ Ып-1) Д4-1 +

+ Ып/Мп-1}/кз-\-тт> я-1(1 + Д^/Д^л-О/До —

— гя. В_*Д**/Д0(Д*Л + дг„_1) Д?„_1 - ДГ^/Ав. (3.2)

Здесь Atn — tn—tn-■^, Да — путь, пройденный вихрем следа от задней кромки профиля за время Д£л [Да = (/ш(0, /П)Д£П],

Гт„ = гт(^), дг^=-^%^-Д*в.

Умножив уравнения (2.8) на (/ = 0, 1, . . . ,Л/— 1) и взяв

действительную часть, получим

. ЛГ-1 . .

'и1 (5- и— 2 .[ 'ит (°> К)Кт1(8, а, 1п) = Г; (5, У, (3.3)

Я1=0

т

{[/?*,& а)-/?тг(«. Стя)1^}, (3.4)

' _ ЛГ-1

21^-»- -^-+ X (Г,. - ДГ^)/?»,^*»)-

т=0

Ие е1

л-1

«-г _ --|»

2 (гт*" г-. *-1 + дг-*) *«/ («, £„,*) + [ %- /?т1 Л . (3.5)

&=1 ^ 01

Здесь Ст* — комплексная координата £-го вихря в следе за т-м профилем решетки. Все функции в формулах (3.4) и (3.5) вычислены при I = Ьп.

Так как координаты вихрей Сшй(0 известны, то система интегральных уравнений (3.3) линейна и совместно с условиями Кутта — Жуковского (3.2) позволяет однозначно определить относительную скорость жидкости на профилях решетки в момент времени Ь—Ьп. Однако непосредственное использование системы (3.2), (3.3) для расчетов на ЭЦВМ затруднено из-за особенностей функции Кш в острых задних кромках профилей. Для устранения этих особенностей сделаем следующие преобразования. Используя уравнения (3.3), представим предельные значения скоростей 'уД+О, ?„) в виде

N-1

*1 (± 0, *„) = X 1 Ут (а, *„) кт1 (+ 0, а, *„) ао + ^ (+ О, *„)■ (3.6>

т-0 £

т

Подставим соотношения (3.6) в формулу (3.2), умножим обе части полученного выражения на 1/2 и вычтем из уравнений (3.3). В результате получим систему интегральных уравнений, ядра которых не имеют особенностей,

14—1

т

+ К„Л- 0, », ^)+-^-(1-ДЙ)/(Д<я + Д^-і)Д^-і4-Д/„/Д/*-і)

СІЗ--

= ^(«) - + ^(-0)1+ (1 + ДУД^-О -

— Г/, л-2 Д^п/Д?л-1 (Д^л + Д?я-1) — ДГ/л], (3-7)

где +0 и —0 — предельные значения дуговой координаты я при подходе к точке Вт (т = 0, 1, . . .,Л/—1) соответственно снизу и сверху; 8тг — символ Кронекера.

Нетрудно видеть, что решение системы интегральных уравнений (3.7) совпадает с решением системы уравнений (3.2) и (3.3). Гидродинамический смысл проведенного устранения особенностей функций Кт1 состоит в том, что решение системы уравнений (3.3) ищется в классе функций, обеспечивающих непрерывность давления всюду в потоке, в том числе и в острых задних кромках профилей решетки.

Далее определяем геометрию вихревых следов за профилями решетки В момент времени £=/„+1 на основе решения системы интегральных уравнений (3.7). Для этого задачу (1.6) решаем численно и координаты вихрей в следах за профилями определяем но формуле:

= (*»>•*»)**" +

+ 4- К**» *«) - **-!)] Д£/Д*-1 + 0 (д£), (3.8)

где функция ка(Ст*, £) определяется формулой (2.3).

Определив теперь коэффициенты аэродинамических сил и момента по формулам (2.11) и (2.12), расчеты на п-м шаге заканчиваем. Повторяя эту процедуру, можно рассчитать нестационарную нагрузку при произвольном движении профилей решетки в любой момент времени. Описанный выше алгоритм был реализован на ЭЦВМ. Система интегральных уравнений (3.7) решалась методом, предложенным в работе [6]. Сходимость предложенного алгоритма устанавливалась численно путем сравнения результатов расчета с заданным шагом по времени М и с шагом, равным его половине. В рассмотренных примерах результаты практически совпадали.

4. В качестве примеров приведем некоторые результаты расчетов обтекания решеток, составленных из профилей с максимальной толщиной, равной 0,16. Профили решетки могут совершать поступательные колебания в направлении, перпендикулярном

хорде, по закону С (5, ?) = Со(«) — Ле‘ав сое о>£ и крутильные колебания относительно передней кромки по закону С (х, 0 = С0 (з)е-‘Асоза,(. Здесь Со = С0(5) — уравнение контура профиля в среднем положении; А — амплитуда, <о — круговая частота колебаний; ди —угол между направлением поступательных колебаний и осью х.

1 1 1 1 1 1 У

/ / ' Г

На фиг. 2 изображена геометрия вихревых следов за профилями решетки, совершающими поступательные колебания в про-тивофазе, в момент времени ^ = £1/1/6 = 4,0. Сравнение с результатами работ [1] — [5] показывает качественное совпадение формы вихревых следов за профилями решетки с формой следа за оди-

ночным профилем, полученной как расчетным путем, так и экспериментально.

На фиг. 3 приведены зависимости безразмерных коэффициентов аэродинамической силы су и момента см относительно передней кромки от безразмерного времени t1 для случая поступательных синфазных колебаний профилей решетки. Пунктиром нанесены амплитуды этих коэффициентов, рассчитанные автором по линейной теории решеток произвольных профилей в нестационарном

потоке. В данном случае результаты расчетов гидродинамических реакций на профиле решетки по линейной и нелинейной теории практически совпадают.

На фиг.'4 представлены зависимости коэффициентов силы сУо и су, на профилях решетки при поступательных колебаниях в про-тивофазе. Характер поведения кривых при ^ <С 1 объясняется влиянием переходных процессов.

В рассмотренных примерах расчеты были проведены для решетки симметричных профилей, установленной без выноса, при следующих значениях параметров: Ь\Н — 1, ш&/1/1 = 2, А/Ь = 0,1, » = 0, 8„ = */2.

На фиг. 5 показана зависимость безразмерной циркуляции Г1 = Г/1/16 от времени при синфазных крутильных колебаниях профилей решетки, установленной с выносом р = 30°. Максимальный прогиб средней линии профиля решетки выбирался 0,1 Ь, угол атаки & — 0,925 рад. Расчеты проводились для двух значений амплитуды А/Ь = 0,05; 0,1 при Ь\И = 1 и — Сравнение с ли-

нейной теорией (пунктирные линии) показывает хорошее совпадение результатов при Л-<0,1& и для случая решеток, составленных из сильно искривленных профилей.

На фиг. 2—5 представлены наиболее характерные зависимости из серии проведенных расчетов. Анализ расчетных материалов позволяет сделать вывод о том, что линейная теория дает надежные результаты в реальном диапазоне изменения параметров решетки для амплитуд колебаний Л-<0,1&. Решение задачи в нелинейной постановке позволяет более детально изучить поле течения за колеблющимися профилями решетки, что может быть полезно при исследовании других задач. ,

1. Qiesing J. P. Nonlinear two-dimensional unsteady potential flow with lift. J. Aircraft, v. 5, No 2, 1968.

2. G i e s i n g J. P. Nonlinear interaction of two lifting bodies in

arbitrary unsteady motion. ASME Sympos. on unsteady flow. 1968.

3. Djojodlhardjo R. H., Widnail S. E. A numerical method for the calculation of nonlinear unsteady lifting potential flow problems. AIAA J., v.. 7, No 10, 1969.

4. Горелов Д. H., Куляев P. Jl. Нелинейная задача о не-

стационарном обтекании тонкого профиля несжимаемой жидкостью. „Изв. АН СССР, МЖГ\ № 6, 1971. •

5. Головкин В. А. Нелинейная задача о неустановившемся

обтекании произвольного профиля со свободно деформирующимся вихревым следом. .Ученые записки ЦАГИ“, т. III, № 3, 1972.

6. Рябченко В. П., Сарен В. Э. К расчету аэродинамических характеристик решеток профилей произвольной формы. „Изв. АН СССР,' МЖГ“, № 2, 1972.

7. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., .Наука", 1966.

Рукопись поступила 12jXJI 1972