О нестационарном обтекании произвольного профиля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.968

© Т.Г. Дармаев, Ж.Г. Дамбаев

О НЕСТАЦИОНАРНОМ ОБТЕКАНИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ

Методом интегральных уравнений задача о нестационарном обтекании произвольного профиля, колеблющегося в потоке идеальной несжимаемой жидкости, приведена к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода относительно величины стационарной скорости и амплитудного значения нестационарной части относительной скорости.

Ключевые слова: нестационарное обтекание произвольного профиля, идеальная несжимаемая жидкость, метод интегральных уравнений.

О Т. G. Darmaev, Zh. G. Dambaev ON UNSTEADY FLOW OF ARBITRARY PROFILE

By the use of the method of integral equations, a problem on unsteady flow of arbitrary profile, fluctuating in a stream of ideal incompressible liquid is resulted in Fredholm's integral equations of the second type concerning the value of stationary speed and amplitude value of unsteady part of relative speed.

Keywords: unsteady flow of arbitrary profile, ideal incompressible liquid, method of integral equations.

Введение

В 1922 г. Прандтль [1] сформулировал плоскую задачу о неустановившемся движении профиля при переменной циркуляции, указав, что в этом случае позади профиля должен образовываться вихревой след, форма которого, так же как и плотность распределения его вихрей, неизвестна. Точное решение этой задачи Прандтль охарактеризовал как задачу «трансцендентной» трудности.

Первое приближенное решение задачи было дано в 1924 г. Бирнбаумом [2], который рассмотрел бесконечно тонкую слабоизогнутую пластинку, движущуюся с постоянной скоростью вдоль оси ОХ и совершающую гармонические колебания в направлении оси OY и вращательные гармонические колебания около начала координат. Считая, что амплитуда колебаний весьма мала, Бирнбаум предположил, что вихревой след является прямолинейным и совпадающим с осью ОХ и что вихри этого следа в абсолютной системе координат неподвижны.

Весьма интересной оказалась работа Вагнера [3], вышедшая в 1925 г., в которой он рассматривал случай прямолинейного неустановившегося движения пластинки, наметив в конце работы некоторые соображения относительно случая ее вращения. Он исследовал обтекание прямолинейной пластинки поступательным потоком и потоком,

вызываемым вихревым следом. Общие выражения для сил и моментов Вагнер устанавливает на основе теоремы импульсов и теоремы моментов.

В 1926 г. Чаплыгин [4] установил общие формулы для сил и моментов, которые действуют на плоское тело, движущееся в идеальной несжимаемой жидкости произвольным образом. Несколько позднее аналогичные формулы были получены в 1928 г. Карафоли [5] и в 1926 г. Глауртом [6]. Эти работы представляли собой значительное достижение в области нестационарной теории крыла. Если Чаплыгин установил общие формулы для силы и момента, но ограничился при рассмотрении примеров лишь случаем постоянной циркуляции, то Вагнер и Глауэрт для слабоизогнутой пластинки установили вид силы и момента для случая переменной циркуляции во времени и вычислили их для случаев равноускоренного прямолинейного движения и малых колебаний около состояния прямолинейного движения.

В 1935 г. также появилась работа М.В.Келдыша и М.В.Лаврентьева [7], посвященная теории колеблющейся пластинки с переменной циркуляцией. Авторы шли иным путем, чем Глауэрт, и получили для добавочной силы, нормальной к пластинке, то же самое выражение, что и Глауэрт, а для подсасывающей силы - несколько иное выражение, учитывающее более точно влияние вихревого следа. В 1935 г. появилась работа Л.И. Седова [8], в которой автор устанавливает выражения для силы и момента, действующих на нестационарно движущийся профиль, и выражает их через интегралы, содержащие производные от комплексного потенциала возмущенного движения. В 1936 г. [9] и более подробно в 1939 г. [10] Л.И. Седов рассмотрел случай неустановившегося движения бесконечно тонкого малоизогнутого крыла, которое в первом приближении может быть заменено прямолинейным отрезком, который является линией разрыва касательных скоростей и давлений. Вихревой след с плотностью

вихрей у = - будет представлять собой как бы продолжение этого

dt

отрезка. Используя аппарат интеграла Коши Л.И. Седов получает формулу для силы Y и момента М, а также интегральное уравнение Вагнера-Глауэрта.

Дальнейшее развитие теория нестационарных движений получила в работе H.H. Полякова в 1960 г. [11]. Автор попытался изложить теорию нестационарных движений крыла бесконечного размаха по возможности в общей и простой форме, используя представление потенциала Ф абсолютного возмущенного движения жидкости в форме, аналогичной форме Кирхгоффа. Исследовано влияние сил, связанных с наличием вихревого следа, который предполагается расположенным вдоль «нулевой» линии тока стационарного потока.

В книге Д.Н. Горелова [12] в компактной ясной форме с приведением последних достижений изложена линейная теория крыла в нестационарном потоке несжимаемой жидкости и газа, в которой вихревой след предполагается заданным. Рассмотрена также нелинейная задача о

нестационарном обтекании бесконечно тонкого криволинейного профиля, решенная автором совместно с Р. Л. Куляевым методом дискретных вихрей

В связи с развитием применения быстродействующих ЭВМ появились работы [13-15], в которых разрабатывается методы решения ряда задач нелинейной теория крыла в нестационарном потенциальном потоке несжимаемой жидкости. Нелинейность этих задач обусловлена влиянием вихревой пелены за крылом, форма которой не задается заранее, а определяется в процессе решения. Общим для всех методов является линеаризация задачи в малой окрестности каждого момента времени и моделирование пелены за крылом системой свободных вихрей. Это позволяет строить решение шаг за шагом по времени, начиная с момента, для которого известно поле скоростей течения.

Итак, по данному вопросу в настоящее время опубликовано большое число специальных монографий и журнальных статей, но практически все имеющиеся результаты получены для слабоизогнутых и тонких профилей. Целью данной работы является вывод интегральных уравнений для нестационарного обтекания произвольного профиля.

1. Постановка задачи

Рассмотрим нестационарное безотрывное обтекание плоским потенциальным потоком несжимаемой жидкости произвольного профиля, колеблющегося как твердое тело с малой амплитудой по некоторому гармоническому закону.

Введем прямоугольную систему координат ОХУ так, что ось ОХ совпадает с геометрической хордой профиля, в среднем положении, причем х=0 соответствует носику, а координата х=1 - хвостику профиля. Обозначим через Ц контур профиля в момент времени X , а через Ь -контур профиля в среднем положении. Обозначим соответственно С(иС--вихревые следы, /) и /) - области вне контуров Ц и Ь с разрезом вдоль линий вихревых следов ( \ и С.

Предположим, что в бесконечном удалении перед профилем жидкость имеет постоянную скорость V/ .

Условие потенциальности потока позволяет ввести в рассмотрение функцию потенциала скорости ф(х,у: V = gradф .

Для нахождения которой мы имеем следующую краевую задачу Неймана:

[13].

Аф = 0

в плоскости течения /) ; со следующими граничными условиями: 1) непротекания жидкости через профиль:

(1.1)

(1.2)

где V - внешняя нормаль к контуру, У\ - скорость точек профиля;

2) затухания возмущенных скоростей на бесконечности, за исключением линии вихревого следа:

3) конечности скорости жидкости в задней (выходной) острой кромке профиля В (постулат Кутта-Жуковского):

4) непрерывности нормальной составляющей скорости жидкости при переходе через вихревой след:

В общем случае около колеблющегося профиля область течения меняется со временем. Это происходит как от перемещения профиля, так и от изменения формы вихревого следа. Поэтому возникает нелинейная задача. В нашем случае мы рассматриваем обтекание в рамках линейной теории, в которой форма вихревого следа предполагается заданной, а граничные условия с колеблющегося профиля сносятся на его среднее положение. Иначе говоря, область течения жидкости оказывается неизменной с течением времени. Кроме того, движение профиля предполагается периодическим в течение бесконечного промежутка времени. В этом случае движение жидкости во всей области течения устанавливается также периодическим.

Представим потенциал скорости движения жидкости в виде:

ф(х, у, 0 = ф0 (х, у) + ф1 (х, у, 0, где ф0 - потенциал скорости стационарного течения жидкости около неподвижного профиля, а ф1 - дополнительный потенциал скорости, учитывающий колебания профиля.

В дальнейшем ф1 и Уф1 будем считать, в силу предположения о малости амплитуды колебания по сравнению с характерным размером, первого порядка малости по сравнению с характерным размером, величинами первого порядка малости по сравнению с ф0 и Уф0 соответственно. С учетом этих предположений вышепоставленная задача (1.1) - (1.5) является линейной. Это позволяет задачи определения потенциала скорости Уф0 стационарного течения и дополнительного потенциала ф1, вызванного нестационарностью течения, решать независимо друг от друга. Задача при этом линеаризуется относительно нестационарных параметров течения.

2. Вывод интегральных уравнений

Для решения вышепоставленной задачи применяем метод интегральных уравнений [16, 17]. В основе метода лежит интегральное представление аналитической функции в области через ее значения на

(1.3)

\Уф\ <С0, (х,у) е Ц

(1.4)

(1.5)

границе области. Записывая предельное значение функции на профиле как краевое значение аналитической во внешности профиля функции, нетрудно получить интегральное уравнение относительно значений искомой функции на профиле. В качестве искомой функции можно при

этом брать комплексно-сопряженную скорость жидкости V = Ух—Иг или

любую функцию скорости (например, 1п V), аналитическую во внешности профиля.

Особенностью интегрального уравнения, получаемого описанным выше способом, является то, что для его однозначного решения необходимо задавать циркуляцию скорости жидкости вокруг профиля. Последняя может быть определена из решения уравнения, если предполагать известной одну из критических точек профиля, где скорость жидкости равна нулю, в случае профиля с острой задней кромкой используется постулат Кутта-Жуковского.

Итак, применяем метод интегральных уравнений к нашей задаче. Существенное отличие рассматриваемой задачи от задачи о стационарном обтекании профиля в том, что помимо смещения профиля в общем случае неустановившегося течения за профилем существуют свободные вихри, которые сносятся потоком и образуют вихревой след. В принятых выше предположениях о малости нестационарных возмущений скорости можно считать, что свободные вихри за профилем движутся со скоростью у0(т) стационарного потока, а вихревой след совпадает с критической линией тока в стационарном потоке. Обозначим через г(/) текущую координату некоторого свободного вихря за профилем. Длина дуги х отсчитывается вдоль линии вихревого следа С от задней кромки. Пусть /, -фиксированный момент времени. В соответствии с теоремой Томсона общая циркуляция всей системы вихрей на профиле и в вихревом следе за

ним должна сохраняться. Отсюда для момента времени I = +

0

где Г(1;) - циркуляция скорости жидкости около профиля в момент времени X, г| - погонная интенсивность вихрей в следе С за профилем.

Дифференцируя последнее равенство по времени и учитывая

— = у0(т), будем иметь:

Откуда разрыв касательной, составляющей скорости жидкости на линии вихревого следа, равен:

получаем:

т

Г(0+ \ф,Г)ёт=Г(Г1),

Л

Tj(z,t) = -

1 дГ v0(t) dt

(2.1)

При этом задняя критическая точка на профиле предполагается фиксированной.

Комплексная скорость жидкости У = Ух—\У в области /) является

аналитической функцией. Отсюда по формуле Коши для произвольной точки получим:

/ -7Г7 * V — Г /-7Г7 *

• и

2ni i z-q

— "I dr+V^ç (i)eC, 2л-/ 5 z - ç (t)

(2.2)

При этом обход контура совершается так, чтобы область /) оставалась справа. Представим комплексную скорость жидкости в точке £ = % +irj профиля в виде:

V(£,0 = Уо(Со)+ПС0)е^, Со е L, (2.3)

где со - круговая частота колебаний, j - мнимая единица, связанная с временными процессами.

Условие непротекания представим в форме

Vr{C,t) = v{s,t)e-^\ (2.4)

где s - длина дуги контура L, отсчитываемая от выходной кромки в направлении положительного обхода контура L, Vr = V — ja>Ag{s)e]a't -комплексно-сопряженная относительная скорость жидкости на профиле, А - амплитуда колебаний, g = gx- igy - комплексная форма колебаний

профиля, ax(s,t) = a(s) + ß(s)eja}t - угол между касательной к контуру Lt и осью ОХ.

Модуль относительной скорости жидкости в точке s профиля, согласно (2.3), запишется так:

v(s,t) = v0(s) + v(syat, (2.5)

v(s)

где

К.

«1.

Величина касательного разрыва скорости жидкости на линии вихревого следа определится, согласно (2.1), из равенства:

Tj(z,t) = -

1 д

v0(t) dt

Отсюда, переходя к комплексно-сопряженной относительной скорости жидкости и учитывая (2.4) и (2.5), а также = е'"~х' Л"б/л', получим:

ri(z,t) = -j(o-

-jaA(T)

vo(T)

Jv(s)ifc + jcoAKsUgisy^ds

,j«>t

(2.6)

Равенство (2.2), учитывая (2.3)-(2.6), запишем в виде:

- —

2;п *

2т I г-д(сг,()

]юе

№

2Я7

_ь

(2.7)

-ёт +¥х

где £(<J,t) = £(<J) + Ag(s)eJa't, ^(о)<еЬ, (*еС и интегрирование в пределах (0,<ю) ведется вдоль линии вихревого следа С.

Устремим в равенстве (2.7) точку г из области течения к точке го(э,0 = z0(s) + Ag(s)eJЫ, г0(5) е Ь, согласно формулам Сохоцкого:

2Я7' 1г0-?(<7,0

2 2ж11

](ое'

2ж1

г0 -д

|г(о-у<7 + /юЛЬц! |^(сг)е'"1<'т-')^сг

<1

г)

(2.8)

о^ООХа,-? О))

Перейдем в этом равенстве к комплексно-сопряженной относительной скорости жидкости на профиле и разложим полученное выражение в ряд по степеням амплитуды колебаний профиля А. Подставляя Z0(s,t) = z0(s) + Ag(s)eJa't, г0(5)еХ, и учитывая формулы (2.4) и (2.5), получим следующие соотношения:

-^сг-е^^у^сг)

1 77 .

,А2)

1

К

где а(н) - угол между касательной к контуру Ь и осью ОХ, отсчитываемый от оси ОХ против часовой стрелки.

Из (2.8) в соответствии с последними равенствами с точностью до членов первого порядка малости получим:

-/а (л)

/а (л)

2 Л 2т \ г-д 2

I

9-77-;' J

2я7

I

-I

2я7 \ г-д 2я1 ь

Я

(2-дУ

2я7

(2.9)

Г е^Чх ]сое1м — -

2

Объединим в равенстве (2.9) члены с экспоненциальным множителем. Получим два интегральных уравнения относительно величины стационарной скорости у()(\) на профиле и амплитудного значения нестационарной части относительной скорости v(s):

2 ~'тг7

-га (5)

2;п I г-д

1 су(ст)б/сг 2;п

ь

А г ,

2лг1 (г -

заПт)с1т

К. = Га

О к0

ёа

ге

№

2Я7

1

¿оА ^(оУ^Ыо со2А

-}аТ{х)

ёт ]'соА

ь г-д Алг I *0у0(т)(г-^) 2

Приравнивая действительные по 7 части слева и справа, получим интегральные уравнения следующего вида:

уо(°") 1

2 2л

|у0(ст)АГ(5,Ст)б/сГ =Ксо соз(а(5) -в)

(2.10)

— —1-^(а)В.(э,а)с1а = А Ке,Ф(.?) +—ю2Д х-]аиК{5,и)йи 2 2 л ь [ 2 л 0

где K(s.u).R(s.u) - ядра интегральных уравнений.

(2.11)

Заключение

Таким образом, метод интегральных уравнений приводит задачу о нестационарном обтекании произвольного профиля, колеблющегося в потоке идеальной несжимаемой жидкости, к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода относительно величины стационарной скорости (2.10) и амплитудного значения нестационарной части относительной скорости (2.11).

Литература

1. Prandtl L. Uber die Enstehung von Wirbeln in einer idealen Flüssigkeit // Vortrage zur Hydro-und Aerodynamik. Berlin, 1924.

2. Birnbaym W. Das ebene Problem des schlagenden Flugein // ZAMM-1924.-V.4.

3. Wagner H. Uber die Einstehung des dynamischen Auftriebs von Tragflügeln. 1925.

4. Чаплыгин С.А. О влиянии плоскопараллельного потока воздуха на движущее в нем цилиндрическое крыло // Труды ЦАГИ. - 1926. - Вып. 19.

5. Carafoli Е. Aérodynamique des ailes d'avion // Paris: Librarie Chi-ron-Editeur, 1928.

6. Glauert H. The force and moment on an oscilating airfoil // Rep. and mem., 1935.

7. Келдыш M.В., Лаврентьев М.А. К теории колеблющегося крыла // Технические заметки ЦАГИ. - 1935. - № 45.

8. Седов Л.И. К теории неустановившихся движении внутри жидкости // Труды ЦАГИ. - 1935. - Вып. 229.

9. Седов Л.И. Теория нестационарного глиссирования и движения крыла со сбегающими вихрями // Труды ЦАГИ. - 1936. - Вып. 252.

10. Седов Л.И. Теория плоских движений идеальной жидкости. -ГТТИ, 1939.

11. Поляков Н.Ф. Теория нестационарных движений несущей поверхности. - Л., 1960.

12. Горелов Д.Н. Теория крыла в нестационарном потоке. -Новосибирск, 1975.

13. Горелов Д.Н., Куляев Р.Л. Нелинейная задача о нестационарном обтекании профиля несжимаемой жидкостью // Известия АН СССР. МЖГ. - 1971. - №6.

14. Головкин В.А. Нелинейная задача о неустановившемся обтекании произвольного профиля со свободно деформирующимся вихревым следом // Ученые записки ЦАГИ. - 1972. - Т.З, №3.

15. Павловец Г.А. Методы расчета обтекания сечения крыла идеальным несжимаемым потоком // Труды ЦАГИ. - 1971. - Вып. 1344.

16. Горелов Д.Н., Курзин В.Б., Сарян В.Э. Аэродинамика решеток в нестационарном потоке. - Новосибирск, 1971.

17. Бицадзе A.B. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. - М., 1972.

Дармаев Тумэн Гомбоцыренович, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, заведующий лабораторией вычислительных и геоинформационных технологий Научно-образовательного и инновационного центра системных исследований и автоматизации БГУ, 670000 г.Улан-Удэ, ул.Смолина 24а, тел.(3012)221215. E-mail: dtg@bsu.ru

Дамбаев Жаргал Гомбоевич, д-р техн. наук, проф., заведующий лабораторией оптимального управления Научно-образовательного и инновационного центра системных исследований и автоматизации БГУ, 670000 г.Улан-Удэ, ул.Смолина, 24а, тел.(3012)221215.

Darmaev Титеп Gombotsyrenovich, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics, Buryat State University, head of the laboratory of numerical and geoinformational technologies, Scientific and Educational Innovation Centre For System Research and Automation, Buryat State University. 670000, Ulan-Ude, Smolina St., 24a, phone:(3012)221215.

Dambaev Zhargal Gomboevich, doctor of technical sciences, professor, head of the laboratory of optimal control, Scientific and Educational Innovation Centre For System Research and Automation, Buryat State University. 670000, Ulan-Ude, Smolina St., 24a, phone: (3012)221215.