Общий подход к полилинейным интерполяции и аппроксимации на основе линейчатых многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.18

ОБЩИЙ ПОДХОД К ПОЛИЛИНЕЙНЫМ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙЧАТЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Конопацкий Е.В., Ротков СИ., Крысько А.А.

1 Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, 286123, Донецкая Нарордная Республика, г. Макеевка, ул. Державина, 2 e.v.konopatskiy@mail.ru

2 Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, 603950, Россия, г. Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65 rotkov@nngasu.ru

Аннотация. В работе предложен общий подход к геометрическому моделированию многопараметрических линейчатых многообразий с последующим их аналитическим описанием в БН-исчислении. Такой подход является частным случаем геометрического моделирования многопараметрических многообразий, проходящих чрез наперёд заданные точки. Если координаты исходных точек будут соответствовать некоторой экспериментально-статистической информации, то полученный геометрический объект будет отражением модели многофакторного процесса, полученного с помощью многомерной интерполяции. Отличительной особенность такого подхода является выполнение условия прохождения моделируемого геометрического объекта через наперёд заданные точки, что позволяет сразу получить требуемый результат без необходимости составления и решения сложных систем алгебраических уравнений. При этом использование линейчатых многообразий, полученных на основе линейной зависимости параметров, которые являются инвариантом параллельного проецирования, в силу своей простоты и легкости вычислений является во многих случаях более предпочтительными, по отношению к другим возможным моделям исследуемого процесса или явления. А использование плана регулярной многомерной сети узловых точек в форме п -мерного обобщения прямоугольника, позволяет легко перейти от системы параметрических уравнений к уравнению модели в явном виде. Кроме того полученные линейчатые многообразия могут использоваться для геометрического моделирования многофакторных процессов и явлений путём многомерной аппроксимации исходного множества точек или, по аналогии с многомерной интерполяцией, некоторых экспериментально-статистических данных. Так приведенный в работе пример геометрического моделирования зависимости температуры внутренней поверхности наружного ограждения от трёх факторов и его результаты, подтверждают эффективность прикладного использования предложенного подхода к моделированию многофакторных процессов и явлений с помощью многомерных интерполяции и аппроксимации на основе линейчатых многообразий.

Ключевые слова: линейчатые многообразия, полилинейная интерполяция, полилинейная аппроксимация, геометрическое моделирование, многофакторный процесс, БН-исчисление.

ВВЕДЕНИЕ

Большинство из существующих способов математического моделирования сводится одному из двух групп методов: интерполяция и аппроксимация. При этом наиболее простыми моделями, и потому во многих случаях наиболее предпочтительными, являются линейные. На данный момент существует общий подход к созданию моделей на основе полилинейной интерполяции, основанный на решении СЛАУ, полученной на основе выбранного интерполянта. Такой подход имеет ряд ограничений, поскольку с

ростом количества исследуемых факторов, от которых зависит функция отклика, растёт количество уравнений СЛАУ. Так для определения коэффициентов трилинейного интерполянта функции трёх переменных необходимо решить систему 8-ми линейных уравнений. Предложенный в работах [1-5] общий подход к созданию моделей многофакторных процессов и явлений с помощью многомерной интерполяции и аппроксимации позволяет сразу получить точечное уравнение модели искомого процесса, исключая необходимость решения СЛАУ. Он заключается в том, что моделируемый процесс представляется

геометрическим параметризированным объектом многомерного аффинного пространства, проходящим через наперёд заданные точки, соответствующие исходной экспериментально -статистической информации в случае многомерной интерполяции или максимально приближенной к исходным данным в случае многомерной аппроксимации. Основу предложенного подхода составляют многопараметрические многообразия, проходящие через наперёд заданные точки и принадлежащие многомерному аффинному пространству, для построения которых используются дуги алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки [6]. Аналитическое описание таких многообразий и соответствующих им моделей процессов и явлений выполнено с помощью математического аппарата БН-исчисление (другое название «Точечное исчисление Балюбы-Найдыша» [7-9]), основанного на инвариантах аффинной геометрии, одном из которых является простое отношение трёх точек прямой, которое представляет собой линейную зависимость между точками, установленную посредством текущего параметра. Однако построение линейчатых многообразий с использованием простого отношения трёх точек прямой в БН-исчислении и его практическое приложение к моделированию линейных многофакторных процессов и явлений ранее рассмотрены не были.

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ И АНАЛИТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЛИНЕЙЧАТЫХ МНОГООБРАЗИЙ В БН-ИСЧИСЛЕНИИ

В соответствии с изложенной выше концепцией моделирования многофакторных процессов и явлений, геометрической моделью любого полилинейного многофакторного процесса будем считать многопараметрический линейчатый геометрический объект, принадлежащий многомерному пространству и проходящий через наперёд заданные точки, координаты которых соответствуют исходной экспериментально-статистической информации. Самым простым из геометрических объектов, относящихся к линейчатым многообразиям, является отрезок прямой, проходящей через 2 точки, точечное уравнение которого имеет следующий вид:

ыа = Аи + Аи,

(1)

где Ыл - текущая точка прямой АА, которая своим движением заполняет пространство, формируя тем самым отрезок прямой;

А - начальная точка отрезка прямой;

А - конечная точка отрезка прямой;

0 < и < 1 - текущий параметр, обеспечивающий движение текущей точки по прямой А А ;

и = 1 - и - дополнение текущего параметра и до 1.

Следует отметить, что при значении параметра и = 0 будем иметь начальную точку А , а при и = 1 - конечную А. Соответственно изменение параметра 0 < и < 1 формирует отрезок А А . При изменении параметра -да < и < , получим бесконечную прямую.

Уравнение (1) представляет собой не что иное как простое отношение трёх точек прямой и после простых преобразований может быть сведено к следующему виду:

ыл - А

А = и О =-^АА = и,

А А1

А2 а

где МАЛ2Л1 - простое отношение трёх точек Мл , А2 и А прямой А А •

Следует отметить, что точечные уравнения представляются в символьной форме, которая в результате сводится к параметрической. Т.е. любой точечное уравнение можно представить в виде системы однотипных по отношению к параметру параметрических уравнений:

X \ г — х л и + х. и

М л А А

Уыл = УАи + УАи

2Ма = 2А и + ^ и

При этом количество параметрических уравнений в системе напрямую зависит от размерности пространства и ограничивается только необходимостью аналитического описания моделируемого процесса или явления. Аналогичным образом любое точечное уравнение можно свести к системе параметрических уравнений. Геометрически этот процесс представляет собой определение проекций на оси глобальной системы координат и получил в БН-исчислении название покоординатного расчёта, который возможен исключительно благодаря использованию инвариантных свойств текущего параметра и •

Воспользовавшись методом подвижного симплекса [10], составим в общем виде геометрическую схему моделирования

двухфакторного процесса в виде двухпараметрического линейчатого многообразия (рис. 1). Поскольку для определения модели

<

процесса используются линейные зависимости, образующая искомого геометрического объекта также как и направляющие будет линией, каждая из которых определяется 2-мя точками. Таким образом, двухфакторный процесс в общем случае определяется 4-мя точками, координаты которых соответствуют исходной экспериментально -статистической информации, и порождает

линейчатую поверхность. Если направляющие прямые А А и ВВ скрещиваются, то геометрической моделью искомого процесса будет гиперболический параболоид. А в случае, когда направляющие прямые принадлежат одной плоскости, получим линейчатую поверхность нулевой кривизны.

Рис. 1. Геометрическая схема моделирования двухпараметрического линейчатого многообразия Fig. 1. The geometric scheme to modeling a two-parameter linear variety

Аналитическое описание такого линейчатого многообразия (рис. 1) в точечной форме имеет следующий

вид:

Na = Au + Au

NB

Бц. + B2u

^ Nab = Auv + Auv + Бцу + B2uv,

nab = nav + nbv

(2)

где Ым - текущая точка двухпараметрического линейчатого многообразия, которая своим движением заполняет пространство, формируя тем самым геометрический объект, соответствующий искомой модели процесса;

А и В - исходные точки, координаты которых соответствуют исходной экспериментально-статистической информации;

0 < и < 1 и 0 < V < 1 - текущие параметры двухпараметрического линейчатого многообразия; V = 1 - V - дополнение текущего параметра V до

1.

Выполнив покоординатный расчёт, для трёхмерного пространства получим следующую систему параметрических уравнений:

X

N

хл uv + х^ uv + х5 uv + uv;

= yA uv + уа2 uv + У вuv+Ув2 uv;

(3)

z

N

z^ uv + z^ uv + zB uv + zB2 uv.

В общем случае все проекции на координатные оси являются равноправными, но для аналитического описания модели процесса необходимо получить зависимость функции отклика от влияющих на неё факторов (другими словами, зависимость одной проекции от других). Пусть требуется определить зависимость функции

отклика z от двух факторов x

yNab . Тогда

параметры и и V необходимо определить из первых двух уравнений системы (3), соответствующие положению горизонтальной проекции искомой геометрической модели процесса. При этом стоит учитывать, что исходные данные для моделирования практически всегда располагаются на прямоугольном или квадратном плане, например, как показано на рис. 2.

<

и

ab

Рис. 2. Билинейная интерполяция на прямоугольном плане Fig. 2. Bilinear interpolation on a rectangular plan

Здесь AX, AT, BX и BX - соответственно проекции точек A , A , B и B2 на горизонтальную плоскость проекций xOy . При таком условии система параметрических уравнений (3) примет следующий вид:

X,, = kv + a;

N ab

УN ab = lu + b';

z,, = z .uv + z.uv + z„Uv + z„uv.

(4)

После преобразований из системы уравнений (4) получим зависимость функции отклика от двух фактор°в х„лв и у„лв:

2»лв (Х»лв ,Умлв ) = «0ХМв Умв + «Х*лв + а2Умв + «3 , (5)

где а - коэффициенты билинейного интерполянта, которые определяются следующими соотношениями:

_ 2в2 + 2 л^ ~ 2 л2 ~ 2в

0 kl

b (zA2 + zBi - ^ - zA, )-l (zA,~ zB.) . ' kl '

a (zA2 + zB, - zB2 - zA, ) k (zA, - zB, ) _ kl '

b(

^ + zA, - zA2 - zB, ) + l (z A, - zB, )+ k ((z A, - z A2 ) Ь + lzA )

3 Ы

Таким образом, билинейная интерполяция (5), которая получила широкое распространение в инженерной и научной практике, является частным случаем, который можно выделить из двухпараметрического линейчатого многообразия (2).

Аналогичным образом, получим точечное уравнение трёхпараметрического линейчатого многообразия в общем виде, геометрическая схема которого представлена на рис. 3:

M = Auvw + A2uvw + Buvw + B2uvw + CjMvw + C2uvw + D^vw + D2uvw, где w = 1 - w - дополнение текущего параметра w до 1.

(6)

ab

a =

2

Рис. 3. Геометрическая схема моделирования трёхпараметрического линейчатого многообразия Fig. 3. The geometric scheme to modeling a three-parameter linear variety

В общем случае геометрические объекты, выделенные из трёхпараметрического линейчатого многообразия, могут представлять собой как разнообразные трёхпараметрические линейчатые гиперповерхности отклика, так и гиперплоскость, принадлежащею 4-мерному пространству. Всё зависит от взаимного положения точек, определяемых исходными данными для моделирования. Также можно из полученного

множества выделить геометрический объект, аналитическое описание которого будет соответствовать трилинейному интерполянту. Для этого достаточно представить трёхмерный план регулярной сети точек в форме параллелепипеда (по аналогии с рис. 2) и установить линейную зависимость между проекциями текущей точки на координатные оси и текущими параметрами, по аналогии с (4).

хм = kv + a; yM =lu + b;

t,, = t. uvw +t. uvw +t„ uvw +t„ uvw + tr, uvw + tr, uvw +t„ uvw +t„ uvw.

C1

'A"

где a, Ь и c - нулевые значения соответствующих координат, которые определяют расстояние от параллелепипеда, до начала декартовой системы координат;

k, l и m - размеры трёхмерного плана регулярной сети точек в форме параллелепипеда.

Аналогичным образом можно получить аналитическое описание линейчатых многообразий любой размерности, для которых полилинейная интерполяция будет частным случаем.

ПРИНЦИПЫ АППРОКСИМАЦИИ ДИСКРЕТНОГО МНОЖЕСТВА ТОЧЕК С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙЧАТЫХ МНОГООБРАЗИЙ

В отличие от многомерной интерполяции, процесс аппроксимации подразумевает моделирование геометрического объекта, наиболее приближенного к исходному множеству точек, координаты которых соответствуют исходной экспериментально-статистической информации. При этом можно использовать готовые модели геометрических объектов, полученные с помощью многомерной интерполяции, в качестве аппроксимирующих. Тогда многомерную сеть

точек для аппроксимации следует формировать в пространстве на единицу меньшем, чем требуется для описания всего геометрического объекта в целом. Использование линейчатых многообразий не является исключением. Таким образом, необходимо, исходя из количества факторов, влияющих на функцию отклика, выбрать нужное линейчатое многообразие и выделить из него геометрический объект, наиболее приближенный к исходным данным. Тогда в общем случае задачу аппроксимации можно представить как минимизацию суммы квадратов длин отрезков между заданными точками и узловыми точками

многомерной интерполяции

p q

£ £ (М, - K¡)] ^ шт.

,=1 ] =1

где Ы1 - массив точек, принадлежащих аппроксимирующему геометрическому объекту многомерного пространства;

^ - массив заданных точек, координаты которых соответствуют исходной

экспериментально-статистической информации;

p - размерность пространства, которому принадлежит геометрический объект;

zM = mw + c;

д - соответствует числу экспериментально- аппроксимации можно значительно упростить и статистических данных. минимизировать только сумму квадратов разности

Однако с использованием регулярной по °дной из координат с°°тветствующей функции многомерной сети точек, по аналогии с отклика. Тогда получим частный случай многомерной интерполяцией, задачу многомерной аппроксимации - метод наименьших

квадратов:

д 2

£( Ум, - У к,) ^ т1п-

-=1

Точность аппроксимации, по аналогии с регрессионном анализом, будем оценивать с помощью коэффициента детерминации:

9 2

Х(у - у--)

я2 =1--,

£( у - у-)2

где ^ (у - у )2 - сумма квадратов регрессионных остатков, которая включает фактические у и расчётные

-=1

у, значения функции отклика.

-=1

у - у )2 - общая дисперсия;

-=1

у - выборочное среднее.

Исходя из этого, получим следующий принципиальный вычислительный алгоритм аппроксимации дискретного множества точек с помощью линейчатых многообразий,

соответствующий полилинейной аппроксимации:

1. Исходя из количества факторов, влияющих на функцию отклика, выбираем нужное количество параметров, определяющих размерность пространства, которому будет принадлежать искомое линейчатое многообразие.

2. Формируем многомерный план регулярной сети точек в форме многомерного параллелепипеда для построения аппроксимирующего геометрического объекта. При этом размерность пространства для построения сети точек аппроксимирующего объекта будет на единицу меньше, чем размерность пространства, в котором будет находиться моделируемый геометрический объект.

3. В соответствии с принятой аппроксимирующей сетью точек устанавливаем линейную зависимость между параметрами и факторами геометрической модели, которые соответствуют осям глобальной декартовой системы координат.

4. Составляем целевую функцию, представляющую собой сумму квадратов длин отрезков между исходными точками и их аналогами, принадлежащими аппроксимирующему геометрическому объекту.

5. Минимизируем целевую функцию. Для этого составляем и решаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, количество которых

соответствует количеству узловых точек сети аппроксимирующего геометрического объекта.

6. Проверяем результат моделирования путём определения коэффициента детерминации я2 . В случае неудовлетворительного результата повторяем алгоритм с самого начала, выбирая при этом для формирования аппроксимирующего геометрического объекта вместо линейчатых многообразий криволинейные [1-3], полученные аналогичным способом с помощью кривых, проходящих через наперёд заданные точки [6].

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЁХФАКТОРНОГО ПРОЦЕССА С ПОМОЩЬЮ ТРИЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

Рассмотрим в качестве примера возможности предложенного подхода к моделированию трёхфакторного процесса. В работе [11] получены экспериментальные данные зависимости функции отклика (температура внутренней поверхности наружного ограждения твн) от трёх факторов: углового коэффициента р, температуры поверхности излучателя /я и температуры наружного воздуха /я. Необходимо аппроксимировать полученные экспериментальные данные с помощью линейчатых многообразий, рассмотренных выше.

Каждый отдельный опыт проводился 30 раз. Для проведения вычислительного эксперимента полученные экспериментальные данные

предлагается усреднить в пределах каждого опыта. Результаты усреднения представлены в таблице 1.

Таблица 1. Усреднённые данные зависимости температура внутренней поверхности наружного ограждения тт от трёх

факторов

Table 1. Averaged data the dependence temperature from the inner surface of the outer fence zm on three factors

Факторы Температура наружного воздуха ^ , °С

V t °С 1П , С -25 -20 -15 -10 -5 0 5 8

0,07 40 -21,17 -16,37 -11,67 -6,91 -2,14 2,7 7,49 10,53

0,07 60 -19,3 -14,47 -9,7 -4,92 -0,13 4,66 9,43 12,37

0,07 80 -17,1 -12,31 -7,6 -2,77 1,84 6,67 11,45 14,51

0,235 40 -13,63 -9,4 -5,07 -0,83 3,28 7,42 11,7 14,15

0,235 60 -8,06 -3,82 0,55 4,56 8,74 12,92 17,25 19,66

0,235 80 -2,52 1,73 5,84 10,07 14,38 18,52 22,61 25,01

0,4 40 -5,81 -2,23 1,42 4,93 8,62 12,22 15,96 17,88

0,4 60 3,22 6,75 10,32 13,97 17,52 21,03 24,75 27,11

0,4 80 12,38 15,92 19,44 23,12 26,81 30,2 33,6 35,59

Следует отметить, что интервал изменения для каждого из трёх факторов, представленных в таблице 1, является одинаковым, кроме последнего столбца, соответствующего температуре наружного воздуха 8°С. Использование равномерных интервалов в значительной степени упрощает процесс организации циклов при проведении вычислительного эксперимента. Исходя из этого, исключим из исходных данных последний столбец и используем его в качестве дополнительной проверки результатов аппроксимации.

Рассмотрим моделируемый процесс в четырёхмерном пространстве. Тогда одна из осей

координат будет соответствовать функции отклика, а три других - влияющим на неё факторам. Соответственно выбираем для аппроксимации трехпараметрическое линейчатое многообразие, которое описывается точечным уравнением (6).

Установим линейную зависимость между проекциями текущей точки на координатные оси р

, , и текущими параметрами и, V, w. Для этого сформируем регулярную сеть точек в форме параллелепипеда, вершины которого определяются нижним и верхним уровнями варьирования факторов [11].

р = 0,07 (1 - и) + 0,33и; ^ = 40 ( 1 - V) + 80v; (7)

= -25 ( 1 - w) + 5w.

В соответствии с выражением (6) функция отклика будет определяться следующим параметрическим уравнением:

твн = aluvw + a2uVW + Ьи™ + b2uvW + clUVW + c2uVW + dlUVw + d2uvw. (8)

Выразив из (7) параметры и , V, w и подставив в (8), получим уравнение целевой функции в явном виде:

твн = (((0,013 - 0,0025^ )/я + 0,2^ -1,01)р + (0,001я - 0,005)^ - 0,081я + 0,4)^ + +(((0,0025^ -0,013)^ -0,2^ +1,01)^ + (-0,0002^ + 0,0009)^ + 0,014^ -0,071)^ + +(((0,0025^ - 0,013)^ - 0,1Я + 0,51)^ + (-0,001я + 0,005)^ + 0,04^ - 0,2)^ + +(((0,013 - 0,003^ )/я + 0,1я - 0,51)^ + (0,0002/я - 0,0009)^ - 0,0071Я + 0,03 5)£2 + +(((0,003^ + 0,063)^ - 0,2^ - 5,051)^- (0,001я + 0,025)^ + 0,081я + 2,02)^ --(((0,003^ + 0,063)^ + 0,2^ + 5,051)^ + (0,0002^ + 0,0044)^ -0,0ШЯ -0,354)е2 --(((0,003^ + 0,063)^ + 0,1Я + 2,525)^ + (0,001я + 0,025)^ -0,04^ -1,01)^ + +(((0,003^ + 0,063)^ - 0,1Я - 2,525)р- (0,0002^ + 0,0044)^ + 0,0071я + 0,177)^.

Минимизируем невязку между значениями дифференцируя целевую функцию поочерёдно по полученного целевого уравнения и исходными параметрам ^ , я2, \, Ь2 , ^, о,, ^, и ^.

экспериментальными данными из табл. 1. Для этого в результате получим1 искомое уравнение

составляем и решаем систему из 8 линейных трёхпараметрической гиперповерхности,

дифференциальных уравнений первого порядка, аналитическое описание которого соответствует

зависимости функции отклика от трёх факторов:

твн =-0,0006^^^ +1,0555^п - 0,6779^я -13,288^--0,00002tnt„ + 0,0262tn +1,0071^ - 0,3835.

Для проверки точности аппроксимации был рассчитан коэффициент детерминации, который в данном случае достиг значения практически равного единице: R2 = 0,99997 . Однако такой высокий коэффициент детерминации является следствием большого значения дисперсии. Поскольку исходные данные имели значительный разброс значений, как

отрицательных, так и положительных, что сказывается на значении выборочного среднего.

Исходя из этого, дополнительно для оценки точности аппроксимации проанализированы квадратичные отклонения расчётных значений от экспериментальных данных, в том числе и за пределами аппроксимируемой области

экспериментальных значений. Фрагмент этого анализа представлен в таблице 2.

Таблица 2. Сравнение точности результатов аппроксимации Table 2. The comparison to the accuracy of approximation

Факторы Температура наружного воздуха ^ , °С

V t °С 1П , С -25 -5 8

Исх. знач. Расч. знач. Квад. откл. Исх. знач. Расч. знач. Квад. откл. Исх. знач. Расч. знач. Квад. откл.

0,07 40 -21,17 -21,24 0,0043 -2,14 -2,1 0,0019 10,53 10,34 0,0358

0,07 60 -19,3 -19,2 0,0098 -0,13 -0,09 0,0017 12,37 12,33 0,001

0,07 80 -17,1 -17,17 0,0049 1,84 1,92 0,0068 14,51 14,36 0,0355

0,235 40 -13,63 -13,56 0,0046 3,28 3,26 0,0005 14,15 14,19 0,0013

0,235 60 -8,06 -7,99 0,0047 8,74 8,76 0,0005 19,66 19,65 0,0003

0,235 80 -2,52 -2,42 0,0113 14,38 14,26 0,0152 25,01 25,1 0,0091

0,4 40 -5,81 -5,88 0,0051 8,62 8,61 0,00002 17,88 18,03 0,025

0,4 60 3,22 3,23 0,00001 17,52 17,61 0,0076 27,11 26,96 0,0235

0,4 80 12,38 12,33 0,0022 26,81 26,6 0,0426 35,59 35,88 0,0819

В результате сумма квадратичных отклонений в 0,331, что является очень качественным аппроксимируемой области значений составила результатом. С учётом значений для температуры

наружного воздуха ^ = 8 °С, которые не сходили в аппроксимируемую область сумма квадратичных отклонений в аппроксимируемой области значений составила всего 0,545 на 63 экспериментальных значений. При этом усреднённое значение квадратичного отклонения составила 0,0086, что подтверждает достоверность полученных результатов.

ВЫВОДЫ

В статье рассмотрены как общий подход к формированию линейчатых многообразий в БН-исчислении, так и его частные случаи. В частности те из них, которые сводятся к полилинейным интерполяции и аппроксимации. Их можно рассматривать как обобщение существующих способов полилинейной интерполяции и аппроксимации. Принципиальное отличие предложенного обобщения заключается в том, что получены в общем виде точечные равнения линейчатых многообразия для любого наперёд заданного количества точек. При этом полученные точечные уравнения, являются инвариантными по отношению к любым преобразованиям и остаются полностью справедливыми даже при совпадении исходных точек, что соответствует совпадению их координат. Кроме того предложенные исследования и их результаты полностью укладываются в концепцию авторов о геометрическом моделировании многофакторных процессов и явлений на основе многомерных интерполяции и аппроксимации с помощью геометрических объектов, проходящих через наперёд заданные точки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Конопацкий Е.В. Геометрическое моделирование и оптимизация многофакторных процессов и явлений методом многомерной интерполяции // Труды Международной научной конференции по физико-технической информатике СРТ2018 (28-31 мая 2018 г.). Москва-Протвино, 2018. С.299-306.

2. Конопацкий Е.В. Принципы построения компьютерных моделей многофакторных процессов и явлений методом многомерной интерполяции // Сборник материалов II Международной научно-практической конференции: «Программная инженерия: методы и технологии разработки информационно-вычислительных систем (ПИИВС-2018)» (14-15 ноября 2018 г.). Донецк: ДонНТУ, 2018. С. 277-287.

3. Конопацкий Е.В. Подход к построению геометрических моделей многофакторных процессов и явлений многомерной интерполяции // Программная инженерия. М.: 2019. Т.10. № 2. С. 7786.

4. Конопацкий, Е.В. Аппроксимация геометрических объектов с помощью дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки //

Информационные технологии. М.: 2019. № 1. Т. 25. С. 46-52. DOI: 10.17587/it.25.46-51.

5. Конопацкий Е.В. Моделирование аппроксимирующего 16-точечного отсека поверхности отклика, применительно к решению неоднородного уравнения теплопроводности // Геометрия и графика. М.: Инфра-М, 2019. Т.7. №2. С.38-45. DOI: 10.12737/article_5 d2c1a551a22c5.12136357.

6. Конопацкий Е.В. Моделирование дуг кривых, проходящих через наперед заданные точки // Вестник компьютерных и информационных технологий. М.: 2019. № 2. С. 30-36. DOI: 10.14489/vkit.2019.02.pp.030-036.

7. Балюба И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. ... доктора техн. наук: 05.01.01. Макеевка, 1995. 227 с.

8. Балюба И.Г., Найдыш В.М. Точечное исчисление: учебное пособие. Мелитополь: МГПУ им. Б. Хмельницкого, 2015. 236 с.

9. Бумага А.И., Конопацкий Е.В., Крысько А.А., Чернышева О.А. Введение в математический аппарат БН-исчисление. Материалы VII Международной научно-практической интернет-конференции «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом ВУЗе: традиции и инновации». Пермь: ПНИПУ, 2017. Вып. 4. С. 76-82.

10. Метод подвижного симплекса при конструировании 2-поверхностей многомерного пространства / Балюба И.Г., Полищук В.И., Горягин Б.Ф., Малютина Т.П., Давыденко И.П., Конопацкий Е.В., Кокарева Я.А. // Моделювання та шформацшт технологи: Збiрник наукових праць. К.: 1нститут проблем моделювання в енергетищ iм. Г.£. Пухова НАН Украши, 2010. Т.1. С.310-318.

11.Щацков А.О. Повышение эффективности работы систем низкотемпературного лучистого отопления жилых и общественных зданий: дис. . канд. техн. наук: 05.23.03. Макеевка, 2018. 182 с.

REFERENCES

1. Konopatskiy E.V. Geometric modeling and optimization of multifactor processes and phenomena by multidimensional interpolation // Proceedings of the International scientific conference on physical and technical Informatics CPT2018 (28-31 may 2018). Moscow-Protvino, 2018. 299-306 pp. (In Russian)

2. Konopatskiy E.V. Principles of construction of computer models of multifactor processes and phenomena by the method of multidimensional interpolation // Proceedings of the II International scientific and practical conference: "Software engineering: methods and technologies of development of information and computing systems (PIIVS-2018)" (14-15 November 2018). Donetsk: DonNTU, 2018. 277-287 pp. (In Russian)

3. Konopatskiy E.V. Approach to the construction of geometric models of multifactor processes and phenomena of multidimensional interpolation //

Software engineering. Moscow: 2019. Vol. 10. No. 2. 77-86 pp. (In Russian)

4. Konopatskiy E.V. Approximation of geometric objects using arcs of curves passing through predetermined points // Information technology. Moscow: 2019. No. 1. Vol. 25. 46-52 pp. DOI: 10.17587/it.25.46-51. (In Russian)

5. Konopatskiy E.V. Modeling of the approximating 16-point compartment of the response surface, as applied to the solution of the inhomogeneous heat equation // Geometry and graphics. Moscow: Infra-M, 2019. Vol. 7. No. 2. 38-45 pp. DOI: 10.12737/article_5 d2c1a551a22c5.12136357. (In Russian)

6. Konopatskiy E.V. Modeling of arcs of curves passing through predetermined points // Bulletin of computer and information technologies. Moscow: 2019. No. 2. 30-36 pp. DOI: 10.14489/vkit.2019.02.pp.030-036. (In Russian)

7. Baluba I.G. Constructive geometry of varieties in point calculus: dis. Dr. Techn. Sciences: 05.01.01. Makeyevka, 1995. 227 p. (In Russian)

8. Baluba I.G., Naidysh V.M. Point calculus: textbook. Melitopol: MSPU them B.Khmelnitskiy, 2015. 236 p. (In Russian)

9. Bumaga A.I., Konopatskiy E.V., Krysko A.A., Chernysheva O.A. Introduction to the mathematical apparatus of BN-calculation. Materials VII International scientific and practical Internet conference "Quality problems of graphic training of students in a technical University: traditions and innovations". Perm: PNRPU, 2017. Issue. 4. 76-82 pp. (In Russian)

10. Method of rolling of the simplex in the design of the 2-surfaces in the multidimensional space / Baluba I.G., Polishchuk V.I., Garyagin B.F., Malyutina T.P., Davidenko I.P., Konopatskiy E.V., Kokareva J.A. / / modeling and information technologies: collection of scientific works. Kiev: Institute of modeling problems in power engineering. G.E. Pukhov NAS of Ukraine, 2010. Vol.1. P. 310-318. (In Russian)

11. Shatskov A.O. Increase of efficiency of systems with low temperature radiant heating of residential and public buildings: dis. ... kand. Techn. Sciences: 05.23.03. Makeyevka, 2018. 182 p. (In Russian)

A GENERAL APPROACH TO MULTILINEAR INTERPOLATION AND APPROXIMATION

BASED ON LINEAR MANIFOLDS

Konopatskiy E.V. , Rotkov S.I. , Krysko A.A.

Summary. In this paper we propose a General approach to the geometric modeling of multiparameter linear manifolds with their subsequent analytical description in BN-calculation. This approach is a special case of geometric modeling of multiparameter manifolds passing through pre-defined points. If the coordinates of the source points correspond to some experimental and statistical information, the resulting geometric object will be a reflection in model of the multivariate process obtained by multivariate interpolation. A distinctive feature of this approach is the fulfillment in condition of the passage by simulated geometric object through the predetermined points, which allows you to immediately obtain the desired result without the need to compile and solve complex systems of algebraic equations. In this case, the use of linear manifolds obtained on the basis of linear dependence parameters, which are an invariant of parallel projection, due to its simplicity and ease of calculation is in many cases more preferable to other possible models of the process or phenomenon under study. And the use of a regular multidimensional network plan with nodal points in the form of a dimensional generalization of a rectangle makes it easy to move from a system of parametric equations to the equation of the model explicitly. In addition, the obtained linear manifolds can be used for geometric modeling of multifactor processes and phenomena by multidimensional approximation of the initial set of points or, by analogy with multidimensional interpolation, some experimental and statistical data. Thus, the example of geometric modeling to dependence inner surface of the outer fence temperature on three factors and its results confirm the effectiveness of the application by proposed approach to the modeling of multifactor processes and phenomena using multidimensional interpolation and approximation based on linear manifolds.

Key words: linear manifolds, multilinear interpolation, multilinear approximation, geometric modeling, multifactorial process, BN-calculation.