CC BY
18УДК 514.18, 536.2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОМАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
Конопацкий Е. В., Воронова О. С
ГОУ ВПО Донбасская национальная академия строительства и архитектуры Адрес: ДНР/ Украина, г. Макеевка, ул. Державина 2 E-mail: [email protected] E-mail: [email protected]
Аннотация. В статье проанализированы существующие подходы аналитического описания и моделирования процессов конвективного тепломассообмена, а также выделены преимущества и недостатки каждого из них. Предложена классификация подходов к моделированию тепломассообменных процессов, включающая в себя дифференциально -интегральный, численный и критериальный подходы. Установлено, что, несмотря на большое разнообразие подходов к аналитическому описанию тепломассообменных процессов наибольшей популярностью на практике пользуется критериальный подход, основанный на анализе и обработке экспериментальных данных. С учётом выявленных недостатков существующих методов моделирования предложено использовать метод многомерной интерполяции для построения геометрических моделей тепломассообменных процессов с последующей их оптимизацией. На конкретном примере зависимости конструктивных характеристик конвективной части котлоагрегата изложены принципы создания геометрической модели конвективного тепломассообмена с дальнейшим ее аналитическим описанием методами многомерного моделирования, реализованными в БН-исчислении. Предложенная геометрическая модель представлена в виде трехпараметрической гиперповерхности, которая принадлежит четырехмерному пространству. Это дает возможность определить все необходимые значения конструктивных характеристик конвективной части котлоагрегата и исследовать их с помощью методов математического анализа. Такой подход к моделированию тепломассообменных процессов позволяет получить их аналитическое описание и при этом избежать всех промежуточных уточняющих коэффициентов и критериев.
Предмет исследования: усовершенствование методов моделирования тепломассообменных процессов.
Материалы и методы: метод многомерной интерполяции, реализованный с помощью математического аппарата
геометрического моделирования процессов и явлений - БН-исчисление.
Результаты: в работе разработаны теоретические основы геометрического моделирования тепломассообменных процессов методом многомерной интерполяции. Также приводится пример моделирования процесса конвективного тепломассообмена жаротрубного котлоагрегата, который включает разработку и аналитическое описание геометрической модели конвективного тепломассообмена.
Выводы: предложено использовать метод многомерной интерполяции, реализованный в БН-исчислении, для геометрического моделирования тепломассообменных процессов, включающих большое количество взаимосвязанных факторов. Это позволяет избежать недостатков существующих подходов аналитического описания и моделирования процессов конвективного тепломассообмена, а также использовать высокоточные методы математического анализа для оптимизации результатов моделирования.
Ключевые слова: геометрическое моделирование; метод многомерной интерполяции; геометрический объект; БН-исчисление; конвективный тепломассообмен; жаротрубный котлоагрегат.
ВВЕДЕНИЕ
Тепломассообмен - это сложное явление переноса теплоты и вещества в пространстве, моделирование и аналитическое описание которого является достаточно сложной и до конца не решённой научно-практической задачей, связанной с большим количеством взаимосвязанных факторов, влияющих на процесс
тепломассопереноса. Теоретические исследования, развёрнутый анализ которых приводится в соответствующем разделе статьи, приводят либо к сложно-разрешимой системе дифференциальных уравнений, либо к достаточно сложным машинным
алгоритмам, затрудняющим их использование в инженерной практике. Поэтому в инженерной практике используется критериальный подход, основанный на моделировании экспериментальных данных с помощью эмпирических (чаше всего степенных) зависимостей. Однако для аналитического описания и оптимизации экспериментально-статистической информации не менее эффективно могут быть использованы инструменты и методы геометрического моделирования многофакторных процессов и явлений.
АНАЛИЗ ПУБЛИКАЦИЙ
Теория теплообмена изучает процессы распространения теплоты в твердых телах, жидкостях и газах при котором теплота может передаваться тремя простейшими принципиально отличными друг от друга способами: теплопроводность, конвекция и излучение [1-3]. Наибольший интерес, с точки зрения моделирования, представляет собой конвективный теплообмен. Анализ литературных источников показал, что существующие подходы к моделированию тепломассообменных процессов можно представить в виде трех различных подходов: дифференциально -интегральный,
численный и критериальный, каждый из которых обладает своими преимуществами и недостатками.
Дифференциально-интегральный подход - это решение системы дифференциальных уравнений (теплоотдачи, энергии, неразрывности и движения) [1,2] конвективного теплообмена средствами математического анализа. Недостатки
дифференциально-интегрального подхода
заключаются в следующем:
1. Конвективный тепломассообмен описывается системой дифференциальных уравнений, которые содержат большое количество неизвестных. Решение данной системы уравнений не всегда возможно, а рассмотрение задач может быть только для простейших случаев.
2. Приходится делать целый ряд упрощений, которые могут существенно отличатся от реальных условий протекания процессов.
3. Рассмотрение объекта в системе координат происходит отдельно для каждой проекции, в результате чего количество дифференциальных уравнений утраивается.
Численный подход основан на численных методах решении системы дифференциальных уравнений теплоотдачи, энергии, неразрывности и движения. Данный подход является частью дифференциального-интегрального подхода, но в виду его широкого использования в системах автоматизированного проектирования, было решено выделить данный подход в отдельную категорию. В настоящее время существует несколько различных методов численного решения задач конвективного тепломассообмена [4-7]: метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод конечных объемов, вихревые методы и др. Используя численный подход, были разработаны коммерческие и свободно распространяемые программные пакеты [6, 7], такие как ANSYS CFX, ANSYS FLUENT, FlowVision, PHOENICS, TascFlow, Star-CD, SINF, SigmaFlow и др.
Недостатки численного подхода:
1. Решение системы дифференциальных уравнений конвективного тепломассообмена численными методами, может рассматриваться в
линейной и нелинейной постановках. При линейном решении результаты моделирования не всегда соответствуют действительному протеканию процесса. Решение нелинейных уравнений дает более достоверные результаты, однако это весьма сложный и продолжительный процесс, который требует больших вычислительных ресурсов. При численном моделировании процессов от инженера требуются определенные навыки и знания, а в некоторых случаях и дополнительные исследования, без которых невозможно произвести учет всех нелинейных процессов.
2. Результаты расчетов сильно зависят от геометрической формы исследуемой области, которая может быть сложной и незакономерной, изменения свойств вещества, а также особенностей выбранного программного пакета.
3. Если представленная задача имеет более одного решения, то трудно выявить, какой из результатов расчета является достоверным и как он согласуется с реальным протеканием процесса.
В инженерной практике при изучении конвективного тепломассоообмена чаще всего применяется критериальный подход, основой которого является эксперимент. Критериальный подход представляет собой решение критериальных уравнений, используя критерии и теорию подобия [1-3]. Применяя теорию подобия, находят зависимость искомой величины не от всех влияющих параметров, а только от некоторых критериев подобия. К недостаткам критериального подхода можно отнести:
1. При моделировании процессов конвективного тепломассообмена возникают трудности распространения полученных результатов на широкий спектр задач.
2. Для расчета критериального уравнения приходится учитывать целый ряд критериев подобия, которые могут существенно различаться в зависимости от параметров и режима течения вещества.
3. Критериальные уравнения являются справедливыми только в пределах изменения критериев подобия, которые имели место в ходе проведения опыта.
Резюмируя всё выше сказанное, можно сделать вывод о некоторой разобщенности всех выделенных подходов, которые существуют отдельно, но при этом могут дополнять друг друга. Так теоретическое описание тепломассообменных процессов в виде совокупности дифференциальных уравнений практически не используется на практике. Исключение составляют численный подход, который условно можно считать разновидностью дифференциально-интегрального. Он используется во всех специализированных программных пакетах по расчёту и анализу тепломассообменных процессов и САПР, но при этом не пригоден для инженерного расчёта и поиска оптимального решения при проектировании, поскольку изменение любого фактора приводит к необходимости
продолжительного пересчёта всей системы в целом. Поэтому для решения широкого спектра практических задач тепломассообмена
используется критериальный подход, который несмотря на свои недостатки, обеспечивает достаточно гибкие инструменты для решения инженерных задач.
В сложившейся ситуации предлагается использовать методы геометрического
моделирования и оптимизации многофакторных процессов и явлений [8-10] для аналитического описания тепломассообменных процессов с последующей их оптимизацией, которые лишены большинства из перечисленных выше недостатков. Работ связанных с геометрическим моделированием тепломассообменных процессов авторам удалось найти не много. Чаще всего геометрическое моделирование рассматривают с точки зрения формообразования. Кроме перечисленных выше, к работам посвящённым геометрическому моделированию многофакторных процессов и явлений, в том числе и тепломассообменных процессов, относятся исследования профессора Вертинской Н.Д. [11], в которых приводятся как аппарат геометрического моделирования так и частные его случаи в виде широкого спектра решённых практических задач. Однако используемый в работах [11] аппарат моделирования ограничивается использованием геометрических объектов 2-го порядка, что в значительной мере сужает круг его практического использования в инженерной практике.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Разработать теоретические основы геометрического моделирования многофакторных процессов и явлений применительно к решению задач тепломассообмена.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
В работе инженерная геометрия рассматривается как область науки и техники, занимающаяся разработкой теоретических основ и практических методов геометрического моделирования явлений, объектов и процессов живой природы, техники, технологии, экономики, строительства и архитектуры. Исходя из этого под геометрическим моделированием многофакторных процессов и явлений будем понимать такие модели, которым соответствует конкретный геометрический объект, проходящий через наперёд заданные точки, координаты которых соответствуют исходным экспериментально-статистическим данным. Реализовать такой подход можно используя различные методы начертательной, аналитической,
дифференциальной, проективной и аффинной геометрии.
В нашем случае для геометрического моделирования многофакторных процессов и явлений используется математический аппарат БН-исчисление (другое название «Точечное исчисление» [12-13]), основанный на аффинных инвариантах. Выбор БН-исчисления обусловлен наличием гибких инструментов конструирования геометрических объектов многомерного аффинного пространства с наперёд заданными свойствами, параметризированных с помощью инвариантов аффинной геометрии. На основе БН-исчисление авторами был разработан метод многомерной интерполяции [10], применительно к задачам моделирования и оптимизации многофакторных процессов и явлений. Для метода многомерной интерполяции характерно наличие зависимости сложности геометрического объекта и размерности пространства, в котором он расположен, от количества моделируемых факторов. Так однофакторный процесс можно представить однопараметрическим множеством точек - линией двухмерного пространства, проходящей через наперед заданные точки, (рис. 1):
М = £ Мр (и ).
(1)
Причём обязательным является условие: ^ р (и) = 1.
1=1
1=1
Рис. 1. Геометрическая модель однофакторного процесса Fig. 1. Geometric model of single-factor process
Точечное уравнение (1) представляет собой символьную запись. Выполнив покоординатный расчёт, получим систему параметрических уравнений:
п
хм =Е хы1р1 (и);
¡=1
<
п
Ум =Е Ум,Рг (и )•
¡=1
Аналогичным образом любое точечное уравнение можно представить системой параметрических уравнений. Эта система представляет собой аналитическое описание проекций дуги плоской кривой на оси глобальной
системы координат. При этом оси Ох соответствует фактор, влияющий на процесс или явление, а оси Оу - искомая функция отклика. Следует отметить, что каждой точке, через которую проходит геометрический объект, соответствует конкретное значение
экспериментально-статистической информации исходных данных искомой модели процесса или явления.
Двухфакторный - двухпараметрическим множеством точек - поверхностью трёхмерного пространства, проходящей через наперед заданные точки, (рис. 2):
n
M = X m jPi j (u );
j=
n
M t = Xm jP j (u);
j=1
n
Mm = XMmjPmj (u )
j = 1 m
M = X M q (v ).
=1
Рис. 2. Геометрическая модель двухфакторного процесса Fig. 2. Geometric model of two-factor process
Для описания геометрической модели двухфакторного процесса (рис. 2) используется трёхмерная декартовая система координат. Причём осям Ох и Оу соответствуют факторы, влияющие на процесс, а оси Ог искомая функция отклика.
Трёхфакторный - трёхпараметрическим множеством точек - гиперповерхностью четырёхмерного пространства, проходящей через наперед заданные точки, (рис. 3):
i
Му=ЪMijkPijk (и); k=1
n
М =Z MjVj(v); (3)
j=i
m
M Mr (w).
i=1
Выполнив покоординатный расчёт последовательности точечных уравнений (3), получим проекции гиперповерхности на оси глобальной системы координат, для которой оси
Ох, Оу и Ог будут соответствовать факторам влияния, а О1 - искомой функции отклика.
Рис. 3. Геометрическая модель трехфакторного процесса Fig. 3. Geometric model of three-factor process
Обобщая такой подход получим геометрическую модель п -факторного процесса, как п -параметрическое множество точек или гиперповерхность (п +1) -го пространства,
проходящую через наперёд заданные точки. Прохождение всего геометрического объекта через наперёд заданные точки обеспечивается прохождением всех точек через направляющие линии на каждом этапе формирования дерева модели. А любая линия представляется организованным определённым образом однопараметрическим множеством точек.
Для аналитического описания геометрических объектов многомерного пространства необходимо иметь специальный набор уравнений дуг кривых,
проходящих через наперёд заданные точки. В данном случае возможно два принципиальных подхода: использование единой кривой и составной кривой. В работе рассмотрены способы моделирования как составных кривых в виде выпуклых обводов разного порядка гладкости, так и единых алгебраических кривых, проходящих через наперед заданные точки, на основе полиномов Бернштейна. Использование последних является наиболее предпочтительным, поскольку использование составных кривых для аналитического описания геометрических объектов многомерного пространства является
затруднительным и не всегда возможным. Это связано с тем, что моделирование составных
геометрических объектов многомерного пространства возможно только на регулярной сети точек. К тому же сложность визуального восприятия многомерного пространства приводит к необходимости использования не зрительной, а логической наглядности, основанной на методах обобщения и аналогии.
Исходное точечное уравнение кривых, полученных на основе полиномов Бернштейна, которые в общем случае находятся в пространстве размерности п, являются кривыми (п -1) -й кривизны:
M = XA+1T
!( n - i )!
(4)
n
0
Использовав равномерное распределение
текущего параметра t = —, получим:
n
Хтгтт-тг(n - jГ ( jК1 = n"Mr
=0 i! ( n - i )!
(6)
M
j+i
= X A+1T
!( n - i )!
n-i
n - j 1 i J
(5)
Переопределим точки ломаной линии АА-А, Л+1 через точки МхМг -Мп, Ми+1, которые принадлежат дуге кривой, определенной с помощью уравнения (5), пропорционально изменяя значение параметра ь от 0 до 1. В результате получим систему линейных п +1 алгебраических уравнений, каждая строка которой определяется следующим уравнением:
Решив полученную систему уравнений (6) методом Крамера и подставив в исходное уравнение (4), получим уравнение дуги кривой, проходящей через наперёд заданные точки ММ •••Мп, М+1. Используя предложенную методику, были получены дуги кривых 2-10 порядка, проходящие соответственно через 3-11 наперёд заданных точек. Например:
1. Дуга кривой 2-го порядка, проходящая через 3 наперед заданные точки:
M = MJ (1 - 2t) + 4tiM2 + Mt (2t-1), где t = 1 -1.
2. Дуга кривой 3-го порядка, проходящая через 4 наперед заданные точки:
M = M (t3 - 2,5t 2t + tt2) + M2 (9t 2t - 4,5tt2) + M (-4,5F2t + 9tt2) + M4 (t2t - 2,5tt2 +13).
3. Дуга кривой 4-го порядка, проходящая через 5 наперед заданных точек:
M = MM4 - H13t +13F2t2 - tt3 1 + M21 16F 3t - 64 F2t2 +16 tt3 1 + M (-12F3t + 40F2t2 - 12tt3 ) + +M, 1—Pt-64F2t2 + 16tt31 + M f-F3t +1312t2 -13Ft3 +14
.-3, 64-2,2 , 1^3
n
n
n
i=0
Остальные уравнения дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки, не приводятся из-за ограниченного объёма статьи и могут быть получены аналогичным образом с использованием предложенной методики. Точечные уравнения, проходящие через наперёд заданные точки, являются универсальным инструментом и могут быть использованы в пространстве любой размерности. Кроме того полученные дуги кривых обладают одним очень важным свойством. Поскольку они получены на основе равномерного распределения параметра, то используя равномерное распределение точек при
покоординатном расчёте, получаются линейные зависимости, за счёт чего легко можно перейти от параметрических уравнений к уравнениям, заданным в явном виде. Т.е. появляется возможность, исключая параметры напрямую работать с факторами, влияющими на функцию отклика.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ АНАЛИЗ
Отличительной особенностью моделирования тепломассообменных процессов, которая в значительной степени затрудняет их исследование,
является наличие большого количества взаимосвязанных факторов. Чтобы нивелировать это обстоятельство воспользуемся методами геометрического моделирования. Исходя из того, что определённая последовательность событий привела к конкретному результату, поставим в соответствие для одной из осей координат необходимую функцию отклика, а другим осям -факторы, влияющие на функцию отклика. Тогда геометрический объект, полученный в такой системе координат, будет устанавливать взаимосвязь между функцией отклика и факторами, влияющими на неё. При этом как факторы, так и функция отклика могут в различных комбинациях коррелировать между собой, что не оказывает никакого влияния на результат геометрического моделирования.
В качестве примера, рассмотрим процесс геометрического моделирования
тепломассообменных процессов, протекающих в жаротрубном котлоагрегате (КА). Жаротрубный
В качестве примера воспользуемся паспортными данными теплогенератора КВ-0,3 с номинальной теплопроизводительностью 0,3 МВт. Другие исходные данные: температура уходящих газов - 150 °С; топливо - природный газ; газопровод - Средняя Азия - Центр. Остальные данные, необходимые для расчёта конвективной части КА, не приводятся из-за ограниченного объёма статьи.
Примем интервалы, в которых будут варьироваться факторы, влияющие на функцию отклика: 2=10-50 шт; 4=0,03-0,07 м; Д/=20-50°С. При отсутствии доступа к реальным экспериментальным данным, в пределах этих интервалов были получены расчётно-статистические данные по методике расчёта жаротрубных КА профессора Лукьянова А.В. [14].
Поскольку количество варьируемых параметров равно трем, создадим геометрическую
КА имеет простую конструкцию и состоит из топочной камеры и конвективного газохода. Тем не менее, он представляет собой сложный теплообменный аппарат, в котором происходит процесс сжигания топлива и передача тепла от дымовых газов к теплоносителю.
Выделим основные конструктивные характеристики конвективного газохода жаротрубного котлоагрегата, которыми может оперировать инженер-проектировщик: 2 -количество конвективных труб, шт; йе -внутренний диаметр конвективных труб, м; Д/ -разность температуры теплоносителя на входе и выходе КА, °С. В качестве функции отклика принимается теплота переданная конвективной поверхности КА Q.
Представим искомую геометрическую модель в параметрическом виде, где каждой оси координат соответствуют 3 фактора (г, йе и Д/) и функция отклика Q:
(7)
модель конвективного тепломассообмена в виде отсека гиперповерхности, которая представляет собой трехпараметрическое множество точек, принадлежащих четырехмерному пространству. Для более наглядного представления полученной модели, рассмотрим ее частный случай -поверхность, принадлежащую трехмерному пространству, которая отображает зависимость теплоты от количества конвективных труб и их
внутреннего диаметра при Д = 20 °С. Определим геометрическую модель в трехмерной декартовой системе координат и установим соответствие между значениями факторов влияния и осями декартовой системы координат (рис. 4). Так оси Ох соответствует количество конвективных труб; оси Оу - внутренний диаметр конвективных труб; оси Оz - количество теплоты.
б = /1(и, V, м);
г = Л(и v, м);
ё = /з(ы, V, м); Ы = /4 (и, V, м).
Рис. 4. Геометрическая модель установления зависимости двух параметров при Дг=20°С Fig. 4. The geometric model for establishing the dependence of two parameters at Дг=20°С
На рисунке 4, точки А, Б, С, А, Е, ¥ -исходные точки для моделирования, которым соответствуют фиксированные значения исходных расчётно-статистических данных. QА, Qв, Qc, QD, QЕ, Q¥ - дуги кривых, проходящие через шесть наперед заданных точек, которые описывают
конкретное состояние и являются направляющими поверхности. Дуга кривой, которая описывается текущей точкой Q20, является образующей и объединяет все фиксированные состояния с помощью криволинейной интерполяции.
„ ,1-5 77 _4 269 —з 2 77 —2 3 -4 1 Л^-4 725 2 92^2 3 2^4 ,
Q, = Д м--и u +--u u--u u + uu + A 25u u--u u +--u u--uu +
1 12 24 12 ) \ 12 24 4 1
.4 ,147^3 2 575 _2 3,50 _45^4 575 _3 2 , 1475 _2 3
+AJ -25u u Л--u u--u u Л--uu + A. \ —u u--u u Л--u u - 25uu + (8)
31 12 6 3 ) 4^ 3 6 12 1 ( )
25 , 925 , 2 725 23 ^--,4 V , ( ^4 77^..2 , 269^, 77^. ,
+АА--и и +--и и--и и + 25ии + А и и--и и +--и и--ии + и
51 4 24 12 ) 6 У 12 24 12
где и - параметр, определяющий положение текущей точки на соответствующей направляющей. Подобным уравнением определяются дуги кривых QА, Qв, Qc, QD, QЕ, Q¥. Образующая гиперповерхности определяется аналогичным уравнением, но уже с параметром V:
„ ^,-5 77 _4 269 —3 2 77 —2 3 -4 1 Л (~-4 72^3 2 92^2 3 2^4 .
020 = QA\V V V + —V V V V + W J + QB (25v V V V +—V V W4 | + 147^3 2 575_2 3,50_4 5^4 575_3 2 , 1475 _2 3 4
+61 -25V V +-V'V2--VV +—уу4 1 + 0„| — V V--V'V2 +-VV - 25vv4 1+ (9)
с У 12 6 3 ) п { 3 6 12 1 ( )
_ ( 25 _4 92^3 2 72^2^.-4 ] „ (-4 77_з 2 26^2 3 77 _4 5 +0„--V V +-V V--V V + 25vv + б V V--V V +-V V--уу + V
£ У 4 24 12 ) " У 12 24 12
где V - параметр, определяющий положение текущей точки на соответствующей образующей.
Аналогичным образом, определяются еще три 30°С, Д/=40°С, Д/=50°С, которые соответствуют текущим точкам Qзo, Q4o, Qso. Тогда текущие точки Q2o, Qзo, Q4o, Qso одновременно являются и образующими для отдельных поверхностей, и направляющими для построения
ерхности для значений температурного напора Д1= гиперповерхности (рис. 5). В свою очередь, текущая точка Q является образующей гиперповерхности, которая аналитически описывается уравнением (10).
Рис. 5. Геометрическая модель конвективного тепломассообмена Fig. 5. The geometric model of convective heat transfer exchange
О = 620 (- 2,5w1 п + пп2) + 230 (9п2п - 4,5ww2) + О40 (-4,5w2w + ) +
/_ _ ч (10)
+65о (п2п - 2,5пп2 + п3), где V - параметр, определяющий положение текущей точки искомой гиперповерхности.
Таким образом, подставив уравнения (8) - (9) в уравнение (10), получим аналитическое описание процесса конвективного тепломассообмена, зависящего от трех параметров и, V, V. При этом изменение параметра и соответствует изменению количества конвективных труб 10-50 шт; изменение параметра V - внутреннего диаметра конвективных труб 0,03-0,07 м; изменение параметра V - температуры теплоносителя в пределах 20-50°С.
Далее исключим избыточные параметры. Учитывая равномерное распределение исходных для моделирования точек, выразим значения параметров и, V и V через натуральные значения
факторов: " = °,°25г -0,25 , у = 25й - °'75 и п = 0,033Д/ - 0,667 . Подставив полученные выражения в первое уравнение из системы уравнений (7), получим зависимость теплоты от количества конвективных труб, внутреннего диаметра конвективных труб и температуры
О = / (г, й, Д г) теплоносителя: .
Проведём верификацию полученной модели с помощью коэффициента детерминации. При этом следует учесть, что полученная геометрическая модель по сравнению с исходными данными имеет полную сходимость, при которой коэффициент детерминации равен 1. С геометрической точки зрения этот факт объясняется тем, что условие прохождения итогового геометрического объекта через наперед заданные точки, соответствующие
исходным расчётно-статистическим данным, было заложено заранее, непосредственно на стадии моделирования. Поэтому для проверки достоверности результатов моделирования воспользуемся дополнительными, которые не вошли в полученную модель. В результате точность геометрической модели достигла Л2=0,99982.
ВЫВОДЫ
В работе предложены теоретические основы геометрического моделирования
тепломассообменных процессов, которые позволяют получать аналитические зависимости в виде точечных уравнений и расчётных алгоритмов. Приведенный пример не претендует на самый удачный выбор факторов и функции отклика, а лишь демонстрирует принципы геометрического моделирования тепломассообменных процессов. Следует отметить, что полученная на примере КВ-0,3 геометрическая модель является универсальной и может быть использована для проектирования жаротрубных котлов любых типоразмеров. Необходимо только соответствующим образом изменить исходные данные для моделирования. Аналогичным образом можно смоделировать любой тепломассообменный процесс с любым количеством факторов и с любой функцией отклика. Так перспективой дальнейших исследований является обобщение предложенной
геометрической модели для расчёта и проектирования других КА и теплообменных аппаратов. Кроме того появляется возможность с помощью высокоточных методов математического анализа оптимизировать конструктивные характеристики КА для достижения максимальных значений передачи тепла от продуктов сгорания к теплоносителю.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент: Справочник / Е.В. Аметистов, В.А. Григорьев, Б.Т. Емцев и др.; под общ. ред. В.Г. Григорьева, В.М. Зорона. М.:Энергоиздат, 1982. 512 с.
2. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М.: Энергия, 1977. 344 с.
3. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена.- Изд. 5-е перераб. и доп. М.: Атомиздат, 1979, 416 с.
4. Ferziger J.H., Pent M. Computational Methods for Fluid Dynamics 3rd edition. - Berlin, Heidelberg, New York, Barcelona, Hong Kong, London, Milan, Paris, Tokyo: Springer, 2002. 423 р.
5. Andersson B., Andersson R., Hakansson L. et al. Computational Fluid Dynamics for Engineers. New York: Cambridge University Press, 2012. 212 p.
6. Платонов Д.В., Минаков А.В., Харламов Е.Б., Дектерев А.А. Сравнительный анализ CFD-пакетов SigmaFlow и Ansys Fluent на примере решения ламинарных тестовых задач // Вестн. Томск. гос. ун-та. Математика и механика. 2013. № 1(21). С. 84 - 94.
7. Львович И.Я., Львович Я.Е., Преображенский А.П., Чопоров О.Н. Особенности методов вычислительной гидродинамикидля моделирования турбулентности. // Информационные технологии. 2016. Т. 22. № 12. С. 905 - 913.
8. Конопацкий Е.В. Некоторые вопросы математического и компьютерного моделирования в строительстве // Информатика и кибернетика. Донецк, ДонНТУ, 2016. № 2(4)-2016. С. 37 - 42.
9. Конопацький £.В., Верещага В.М., Найдиш А.В., Балюба 1.Г. Принципи систематизацп компонента процесу для створення його геометрично! моделi у БН-численш // Науковий вюник Мелггопольського державного педагопчного ушверситету iменi Богдана Хмельницького. Серiя: Математика. Геометрiя. 1нформатика. - Мелпополь: МДПУ iм. Б. Хмельницького, 2014. Т.1. С.75 - 79.
10. Конопацкий Е.В. Геометрическое моделирование и оптимизация многофакторных процессов и явлений методом многомерной интерполяции // Труды Международной научной конференции по физико-технической информатике
CPT2018, 28-31 мая 2018 г. Москва-Протвино, 2018. С.299 - 306.
11. Вертинская Н.Д. Теория нелинейных многомерных моноидальных поверхностей и её приложения: автореф. дис. ... доктора техн. наук: 05.01.01. Иркутск, 2006. 31 с.
12. Бумага А.И., Конопацкий Е.В., Крысько
A.А., Чернышева О.А. Введение в математические аппарат БН-исчисления // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. 2017. Т. 1. С. 76 - 82.
13. Найдыш В.М., Балюба И.Г., Верещага
B.М. Алгебра БН-исчисления // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. 2012. № 90. С. 210 - 215.
14. Лук'янов О.В. Теплогенератори для локальних систем теплопостачання. Макивка.: ДонДАБА, 2003. - 149 с.
REFERENCES
1. Teplo- i massoobmen. Teplotekhnicheskiy eksperiment [Heat and mass transfer. Thermotechnical experiment]: Spravochnik / Ye.V. Ametistov, V.A. Grigor'yev, B.T. Yemtsev i dr.; pod obshch. red. V.G. Grigor'yeva, V.M. Zorona. Moscow: Energoizdat, 1982. 512 p.
2. Mikheyev M.A., Mikheyeva I.M. Osnovy teploperedachi [Fundamentals of heat transfer]. Moscow: Energiya. 1977. 344 p.
3. Kutateladze S.S. Osnovy teorii teploobmena [Fundamentals of the theory of heat transfer].- Izd. 5-ye pererab. i dop. Moscow: Atomizdat, 1979. 416 p.
4. Ferziger J.H., Pent M. Computational Methods for Fluid Dynamics 3rd edition. - Berlin, Heidelberg, New York, Barcelona, Hong Kong, London, Milan, Paris, Tokyo: Springer, 2002. 423 р.
5. Andersson B., Andersson R., Hakansson L. et al. Computational Fluid Dynamics for Engineers. New York: Cambridge University Press, 2012. 212 p.
6. Platonov D.V., Minakov A.V., Kharlamov Ye.B., Dekterev A.A. Аnalysis of CFD sigmaflow and fluent packages by the example of solving laminar test problems. Vestn. Tomsk. gos. un-ta. Matematika i mekhanika. 2013. № 1(21). pp. 84 - 94. (In Russian).
7. Lvovich I. Ya., Lvovich Ya. E., Preobrazhensky A. P., Choporov O. N. The Features of the methods of computational fluid dynamics for turbulence modeling. Informatsionnyye tekhnologii. 2016. T. 22. № 12. pp. 905-913. (In Russian).
8. Konopatskiy E.V. Some questions of mathematical and computer modeling in building. Informatika i kibernetika. Donetsk, DonNTU. 2016. № 2(4)-2016. pp. 37 - 42. (In Russian).
9. Konopats'kiy E.V., Vereshchaha V.M., Naydysh A.V., Balyuba I.H. Principles of systematization of process components for creation of its geometric model in BN- calculation. Naukovyy
visnyk Melitopol's'koho derzhavnoho pedahohichnoho universytetu imeni Bohdana Khmel'nyts'koho. Seriya: Matematyka. Heometriya. Informatyka. - Melitopol': MDPU im. B. Khmel'nyts'koho. 2014. T.1. pp.75 - 79. (In Ukrainian).
10. Konopatskiy E.V. Geometrical modeling and optimization of multifactor processes and phenomena's by method of multidimensional interpolation. Proceedings of the International Conference on Computing for Physics and Technology CPT2018. May 28-31, 2018, Moscow-Protvino, 2018. pp.299 -306. (In Russian).
11. Vertinskaya N.D. The theory of non-linear multidimensional monoidal surfaces and its applications. Avtoref. Diss. ... doktora tekhn. nauk: 05.01.01. Irkutsk, 2006. 31 p. (In Russian).
12. Bumaga A.I., Konopatskiy E.V., Krysko A.A., Chernysheva O.A. introduction in the mathematical apparatus bn-calculation. Problems of the quality of graphic preparation of students in a technical college: traditions and innovations. 2017. T. 1. pp. 76-82. (In Russian).
13. Naydysh V.M., Balyuba Y.H., Vereshchaha V.M. Algebra BN- calculation. Applied geometry and engineering graphics. 2012. № 90. pp. 210 - 215. (In Russian).
14. Lukyanov O.V. Teploheneratory dlya lokal'nykh system teplopostachannya [Heat generators for local heat supply systems]. Makiyivka. DNACEA. 2003. 149 p.
THEORETICAL BASIS OF GEOMETRICAL MODELING OF HEAT EXCHANGING PROCESSES
Konopatskiy E. V., Voronova O. S.
Summary In this article have been analyzed the existing approaches of analytical description and modeling of convective heat transfer exchange processes as well as been revealed advantages and shortcomings of each of them. The classification of approaches to the modeling of heat transfer exchange processes have been proposed. This classification includes differentialintegral, numerical and criterial approaches. It has been established that, despite the wide variety of approaches to the analytical description of heat transfer exchange processes, the criterion approach is most popular in practice. The criterial approach is based on the analysis and processing the experimental data. Taking into account the revealed shortcomings of the existing modeling methods, it is suggested to use the multidimensional interpolation method to construct geometric models of convective heat transfer exchange processes with their subsequent optimization. A specific example of the dependence of the constructive characteristics convective part of the boiler set out the principles for creating the geometric model of convective heat transfer with its further analytical description using multidimensional modeling methods implemented in BN- calculation. The given geometrical model presented as three-parameter hypersurface that belongs to four-dimensional space. This gives a possibility to reveal all the necessary values of the constructive characteristics convective part of the boiler and and investigate those with mathematical analysis methods. This approach to modeling of convective heat transfer exchange processes allows to obtain their analytical description and at the same time to avoid any intermediate specifying coefficients and criteria.
Subject: improvement the methods for modeling of convective heat transfer exchange processes.
Materials and methods: method of multidimensional interpolation, implemented using the mathematical apparatus of geometric modeling processes and phenomena - BN- calculation.
Results: theoretical foundations the geometric modeling of convective heat transfer exchange processes have been developed. An example is given of modeling the process of convective heat transfer a boiler, which includes the development and analytical description the geometric model of convective heat transfer.
Conclusions: it is suggested to use the method of multidimensional interpolation, realized in BN- calculation, for geometric modeling of heat exchange processes, including a plenty of interrelated factors. This avoids the shortcomings of analytical description and modeling of convective heat transfer exchange processes, as well as using high-precision mathematical analysis methods to optimize simulation results.
Key words: geometrical modeling; multidimensional interpolation method; geometrical object; BN-calculation; convective heat transfer; boiler.
