CC BY
24
■а о
У роботі у рамках феноменологічного підходу сформульовано основні вимоги до математичної моделі руху робочого середовища у вібраційних верстатах з плоскою траєкторією руху, коли змінне силове поле збудження створюється зовнішнім джерелом динамічного впливу
Ключові слова: віброобробка, вихресток, тензори першої і другої в’язкості, глибина знімання матеріалу
□------------------------------------□
В работе в рамках феноменологического подхода сформулированы основные требования к математической модели движения рабочей среды в вибрационном станке с плоской траекторией движения, когда переменное силовое поле возбуждения создается внешним источником динамического воздействия
Ключевые слова: виброобработка, вих-ресток, тензоры первой и второй вязкости, глубина съема материала
□------------------------------------□
In-process within the framework of phenomenological approach the basic requirements are formulated to the mathematical model of motion of working environment of vibrosetting in flat case, when the external variable power field of excitation has a turbulent constituent
Keywords: vibrotreatment, vortex drain, tensors of the first and second viscidity, depth of output of material -------------------□ □-----------------------
УДК 621.9.048
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ОПИСАНИЯ ПРОЦЕССА ВИБРООБРАБОТКИ С ВНЕШНИМ ИСТОЧНИКОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
М.А. Калмыков
Кандидат технических наук*
В.Б. Струтинский
Доктор технических наук, заведующий кафедрой* *Кафедра конструирования станков и машин Механико-машиностроительный институт Национальный технический университет «Киевский политехнический
институт»
пр-т Победы, 37, г. Киев, Украина, 03056 Контактный тел.: (044) 454-94-61
В.С. Щелоков
Кандидат физико-математических наук, доцент Кафедра прикладной математики Восточноукраинский национальный университет
им. Владимира Даля кв. Молодежный, 20А, г. Луганск, Украина, 91034 Контактный тел.: 095-395-10-01
1. Введение
Современные математические построения по теории виброобработки деталей [1 - 3] базируются на одном и том же унифицированном подходе: исходной позицией является рассмотрение некоторого контейнера с фиксированной геометрией, заполненного рабочей средой вместе с обрабатываемыми деталями и находящегося в условиях сколь угодно длительного периодического вибровоздуждения. Описание движения рабочей среды представляет собой контактную задачу, которая существенно учитывает краевые условия. Легко видеть, что точное решение этой задачи предполагает ее детерминированный характер, являющийся следствием полного задания поведения содержимого контейнера на его границе. Но это не представляется возможным даже для простейшей геометрической конфигурации границы. Таким образом, создание теории виброобработки в отдельно взятом
контейнере не приводило, не приводит и не приведет к описанию общих закономерностей взаимодействия обрабатывающей рабочей среды с обрабатываемыми деталями, которые вывели бы исследовательский процесс на определенные технологические решения и рекомендации, включающие в себя возможность управления производительностью обработки на основе сочетания значений конструктивных параметров задачи. Без нового последовательного системного подхода к созданию теории виброобработки нельзя расчитывать на четкую прикладную перспективу исследований, основанную на эффективной технологии. Эта ситуация подчеркивает хроническую слабость упоминавшейся ранее концепции виброобработки (а в некоторых случаях использование совершенно неприемлемых исследовательских схем [4]), когда совершенствование конструкции контейнеров проводится в результате анализа многочисленных экспериментальных данных по методу проб и ошибок без
Е
учета строгих критериев эффективности и в условиях отсутствия теоретических результатов общего характера.
2. Формулировка проблемы
Рассмотрим плоскую задачу, связанную с описанием процесса движения среды, заполняющую в начальный момент времени t = 0 в состоянии покоя всю евклидову плоскость Я2 с декартовой прямоугольной системой координат X0Y . Здесь и в дальнейшем будем различать два состояния рабочей среды: а - состояние (априорное состояние покоя) и е - состояние (состояние возбуждения). Отметим, что рабочая среда переходит по предположению из однородного и изотропного а - состояния в е - состояние («а - е » переход) с помощью внешнего переменного плоскопараллельного поля Ё(^^, ^х,у) еЯ2, которое включается в момент времени t = 0 и которое представляет собой общую модель вибровозбуждения. Термин «общая модель» нужно понимать в том смысле, что при специальном задании виброполя Б(Н^ можно изучать плоскую задачу и в ограниченной односвязной области G с Я2. а
- состояние и е - состояние рабочей среды будут характеризоваться своими наборами параметров, которые мы будем фиксировать индексами соответственно « а » или «е ». Например, массовую поверхностную плотность рабочей среды обозначим символом ра = тапа, где та
- масса отдельной гранулы, па - поверхностная плотность гранул и т.д.
Формулировка проблемы «а - е » перехода рабочей среды сводится к следующему: исследовать отклик рассматриваемой многочастичной системы на внешнее переменное поле Б(Н^ и процесс взаимодействия возникающих при этом массовых потоков с обрабатываемыми деталями как основной теоретико-технологический рабочий механизм. Следует заметить, что полное описание отклитка рабочей среды на действие силового виброполя Б(Н^ должно проводиться в терминах величин {ре(^), йе(^), £е(^)} , где ре(^)
- поверхностная плотность массы, йе(^^ - поверхностная плотность импульса, £е(^^ - поверхностная плотность энергии. В данном случае основным параметром является массовая плотность ре(^^, через которую легко выражаются остальные параметры. Это обстоятельство связано с тем, что движение рабочей среды в присутствии внешнего поля Б(Н^ является вынужденным и, поэтому, не носит релаксационного характера. Более того, диссипативные процессы в движущейся рабочей среде обусловлены только механическим рассеянием массы при двух-, трех- и, в общем случае, п - частичных столкновениях отдельных гранул рабочей среды с их износом. Это так называемое «внутреннее трение» не является эффектом межмолекулярного взаимодействия и не связано с классическими явлениями переноса в жидкостях и газах, которые можно трактовать на языке законов сохранения массы, импульса и энергии, а индуцируется вихревыми свойствами силового поля Ё(^^ , приводящего к тензорному виду распределения скоростей в рабочей среде. Сформулируем теперь основные условия и принципы (систему аксиом) построения модели изучаемого процесса:
А1. Рабочая среда в а - состоянии заполняет всю евклидову плоскость Я2 и имеет поверхностную плотность массы р = т п .
“а а а
А2. В момент времени t = 0 включается внешнее переменное плоскопараллельное силовое поле, обеспечивающее «а - е » переход и имеющее поверхностную плотность вида
Р(^)=б;рх^)+ьЕх^), (1)
где Р5р(^^ - соленоидально-потенциальное поле для которого, за исключением не более счетного числа точек, ^Р5р(^) = 0 и го^5р(^) = 0, а Рг<(^) представляет собой турбулентную составляющую с го^г<(^^ Ф 0 и <^РГ(1(^^ Ф 0. Легко видеть, что поверхностная плотность сил Рг<(^^ - это векторная случайная величина, заданная на некотором исходном вероятностном пространстве {О, и, Р} , где О = {ю}
- пространство элементарных событий ю, и = {А}
- алгебра (или о - алгебра) случайных событий А и Р = Р(А) - функция вероятности. Выбор соответствующего вероятностного пространства определяется особенностями механизма вибровозбуждения и в данной работе детально исследоваться не будет.
А3. В е - состоянии рабочая среда рассматривается как двухкомпонентная среда с качественно различными компонентами: первая компонента - собственно гранулы рабочей среды, состоящие из частиц массой т1е^) и имеющие плотность потока массы
Й1е№) = т^п^Ч^е^), (2)
где п1е(^^ - плотность числа частиц в точке N = ^х,у) , а V1e(N,t) - скорость рабочей среды в точке N = ^х,у), и вторая компонента - совокупность точечных вихрестоков с массой т2е(^ и плотностью потока массы
П2е(^) = т2е(^П2е(^)#2е(^) , (3)
где п2е(^^ - плотность числа вихрестоков в точке N = ^х,у) , а #2е(^^ - скорость потока вихрестоков в точке N = ^х,у) .
Зависимость между скоростями V1e(N,t), "№2е(^^ и внешним силовым полем Ё(^^ будет установлена ниже.
А4. Наличие в структуре внешнего силового поля (1) турбулентной составляющей Рг<(^^ способствует появлению в рабочей среде вихрестоков с плотностью п2е(^^, которая является случайной функцией. Определим среднее значение плотности п2е(^^ с помощью динамического предельного перехода , <ы 1 ..
п2е00=(мад)=Л ^еС^М0 „, (4)
^ —(!) !
где <!о = <х<!у, а -(!) - площадь односвязной области ! с Я2.
Таким образом, динамическую плотность вихре-стоков п2е(^ можно рассматривать как случайный процесс с дискретным или непрерывным параметром t , t > 0 . Заметим здесь, что смысл предельного перехода (4) состоит в том, чтобы исключить влияние границ и, тем самым, соответствовать духу основной задачи.
3
А5. Вихресток представляет собой объединение в одной точке М0(х0,уо) еЯ2 вихря с интенсивностью ЕО) и виртуального стока с интенсивностью Н^), так что
Возвращаясь к соотношению (9), легко заметить,
Ііт —(;) = 0 .
^Т
(12)
НО;) =ЩЧ), t>0 , 0<Х< 1,
(5)
Хо = ХоО), Уо = Уо(;>, ;>о.
Ро;о (Г) =
—2(;)
2о2(;)
т1е(Т) = Р та.
где X - коэффициент рассеяния совокупности массы гранул в вихрестоке.
Соотношение (5) указывает на специфику вихре-стока: т.к. го^г<(М0^) Ф 0, то циркуляция векторного поля Рг<(^^ приводит из-за эффекта внутреннего трения в рабочей среде к рассеянию массы с интенсивностью НО), что эквивалентно действию стока в точке М0(х0,уо). Точка М0(х0,уо) движется в рабочей среде вдоль линии разрыва функции Рг<(^^ по траектории
(6)
А6. Перенос массы двухкомпонентной рабочей среды в присутствии внешнего силового поля Ё(^^ (1) с турбулентной составляющей Рг<(^^ происходит вдоль линий тока силового соленоидально-потенци-ального поля Р5р(^^ со скоростью:
Для первой компоненты
^е,(ад = 1 ЛеШ<^ - Р^-Т)Р,р.к(Р,Т)<Т<°р , (7)
а для второй компоненты, движущейся вдоль линии тока поля Р5р(^^ по траектории линии разрыва турбулентной составляющей Рг< (N,t)
= 1 Д42)^-P,t-т)р,р.к(ртМт<0р. (8)
0 Я2
Двухвалентные тензоры, фигурирующие в формулах (7) и (8), необходимо рассматривать как коэффициенты ^(Н^, е.к^Н^ соответственно первой и второй «вязкости» в двухкомпонентной рабочей среде.
А7. Будем полагать, что радиус г вихрестока распределен по нормальному закону с математическим ожиданием а = 0 и среднеквадратическим отклонением о = о^), являющемся функцией параметра ^ т.е. плотность вероятности случайной величины г равна
(9)
Действие виброполя Б(Н^ (1) происходит на временном промежутке [0,Т], где Т - время технологической функциональности рабочей среды, когда рассеяние массы, вызванное износом гранул, не достигло критического уровня. Если критическая маса гранулы равна ткр =Рта, 0<Р< 1, то значение параметра Т находится из уравнения
(10)
Если т1еч - технологическое время обработки детали в присутствии виброполя (1) Б(Н^, то критерий эффективности этого процесса имеет вид
V ^ Т, (11)
где Т - решение уравнения (10).
А8. Будем полагать, что наличие в рабочей среде батываемых тел не влияет на геометрию полевой сетки виброполя (1) Б(Н^ и на распределение массовых потоков.
3. Результаты исследования
Построим, основываясь на аксиомах А1-А8, сформулированных в предыдущем пункте, математический апарат исследования контактной задачи совместного движения среды, состоящей из единичных гранул и обрабатываемых деталей в присутствии внешнего виброполя Ё(^^ (1). Очевидно, что решение этой проблемы связано с нахождением плотности потока массы йе(^^ , которая с учетом формул (2) и (3), имеет вид
йе(^) = тіеО)Піе(Ч;)Уіе(Ч;)+, +т2Є(;)п2Є(ч;)# 2.№)
(13)
где скорости V1e(N,t), #2е(^^ определяются равенствами соответственно (7) и (8).
Заметим здесь, что в формуле (12) величины т1е^), п1е(^^, т2е(^ носят детерминированный характер, а величина п2е(^^ является случайной функцией. Найдем прежде всего массу вихрестока т2е^) . Так как геометрические характеристики вихрестока не зависят от его положения на плоскости Я2, то для простоты последующих построений поместим вихресток в начало координат 0(0,0) , предполагая его радиальную симметрию. Найдем с помощью формулы (9)средний радиус г вихрестока
1
г = г(;) = |гр0о(г^г = -^-[А 2—2(;Чг = і^о(;) . (14)
о — (;)0 ' 2
Вычислим циркуляцию точечного вихря (рис. 1)
Рис. 1. Вихресток с центром в начале координат и средним радиусом г
ВД = 1(п г.d.(N,t),d! т), С: X2 + у2 = г2, (15)
С
где плотность потока массы вихря йг<(^^ равна
г
е
Е
nr.d.(N,t) = mb(t)nb(N,t)V(N,t),
(16) limm1e(t) = 0. (24)
Для уравнения (22) решение примет форму nie(N,t) =
f г , 1 . (25)
= n0 exp-j a'J n2e(x)|v1e(N, x)-w2e(N,x)|dx - a"t !•
Выполняя в (25) операцию динамического предельного перехода и подставляя результат в (23) получим явное выражение для величины m1e(t), t > 0 . Учитывая, что dSx = S0dS , где S0 - единичный век- Отметим здесь, что формула (25) в развернутом виде
тор касательной к контуру C в точке N, Frd(N,t)||S0 включает в себя, с учетом определений (7), (8) тензоры
на основании (17) окончательно получим первой и второй вязкости e|k)(N,t), £(2)(N,t). Вели-
чину n2e(t) тоже можно считать определенной, если _ 2? ,^| рассматривать ее как некоторый случайный процесс
E(t) = m1e(t)r(t)J n1e(N,t)K(N,t)|Fr.d.(N,t)|d9. (18) (например, процесс Пуассона).
Опишем теперь взаимодействие структурирован-Так как начальная маса вихрестока равна ной двухкомпонентной рабочей среды с обрабаты-
m2e(0) = пmanar2(0), то для величины m2e(t) справед- ваемой однородной деталью, учитывая аксиому А8.
V(N,t) = K(N,t)Fr.d.(N,t).
В формуле (16) K(N,t) означает коэффициент турбулентности потоков в поле Бг < (N,t) .
Подставляя (1) в (15), получим
Е(;) = т^^п^^ЖЧ;)^.^)^). (17)
С
ливо равенство
t
m2e(t) = m2e(0) - XJ E(x)dx =
Обрабатываемая деталь представляется в виде ограниченной односвязной областью ЕсЯ2, с центром масс в точке Р , имеющая кусочно-гладкую границу L , массу М , скоростью и(^;) в точке N и единич-; 2п ный вектор внешней нормали п в точке N
= п тапаг2(0) -х11 т1е(т)Г(т)п1е(^ т)К(Н т)|:Бг.<.(М, т)|<т <ф, (19) (рис. 2).
0 0 Контакт гранул рабочей среды с телом 2
вдоль границы L на временном промежутке [0,;] приводит к съему массы ДМ^), определяемой ниже приведенной зависимостью
г(;)=Ло(;).
Далее, выпишем уравнение для нахождения величин т1е0) и n1e(N,t). Для т1е0) получим
dm1e(t)
dt
m1e(0) = m0.
= -am1e(t)n1e(t), a>0,
(20)
В уравнении (20) величина n1e(t) определяется равенством
AM(t) = = Х dx J dlmJ^nJN, x)|(V 1e(N, t) - u(N, x),n(N, x))| +
0 L
+X2 JdxJ dlm2eCX)n2e(N» T)|(W 2e(N T) - U(N, Т),П (N, (26)
0 L
h, X2 > 0.
В равенстве (26) х1 и х2 обозначают коэффициенты съема материала обрабатываемого изделия 2 .
В силу (26) глубина Ь = Ь(;) съема материала за Для плотности первой компоненты п1е(^;) будем время ; равна
1
l1e(t) Ц n1e(N,t)) = JJ n1e(N,t)d^ N . (21)
dn1e(N,t) = a'n1e(N,t)n2e(t)|V 1e(N,t)-w 1e(N,t)|-a''n1e(N,t), a', a''>0,
dt
n1e(N,0) = n0.
В уравнении (22) скорости V1e(N,t), #2е(^;) определяются формулами соответственно (7) и (8), а а' и а'' обозначают некоторые, пока неизвестные коэффициенты.
Решение уравнения (20) имеет вид:
(22)
m1e(t) = m0 exP- -aJn1e(x)dx f.
h(t) = ^^ AM(t). W LM W
(27)
(23)
Так как величина п1е0) в (23) монотонно не убыва- Рис. 2. Схема контакта рабочей среды с обрабатываемым ет, то из (23) следует предельное равенство телом 2 в точке N
э
4. Выводы
Математические построения, проведенные в данной работе, носят общий характер и в большей степени определяют направление, в котором должна развивать-
ся теория виброобработки. Более детальное исследование геометрии сетки векторного поля (1) Б(^) приведет к конкретным технологическим рекомендациям, связанных с параметрами используемых на практике форм контейнеров ВиО станков в процессе их работы.
Литература
1. Кулаков Ю.М. Отделочно-зачистная обработка деталей / Ю.М. Кулаков, В.А. Хрульков. - М.: Машиностроение, 1979. - 216 с.
2. Бабичев А.П. Вибрационная обработка деталей. - М.: Машиностроение, 1974. - 136 с.
3. Бабичев А.П. Основы вибрационной технологии / А.П. Бабичев, И.А. Бабичев. - Ростов н/Д: Издательство центр ДГТУ, 2008. - 694 с.
4. Мицык А.В. Определение влияния параметров виброобработки на величину давления гранул и деталей / А.В. Мицык // Ви-
брации в технике и технологиях. - 2010. - № 3(59). - с. 75-79.
-------------------□ □------------------------
У роботі виведено формулу, що визначає залежність коефіцієнта тертя бігунка об кільце веретена кільцепрядильної машини від вібрації веретена. Розраховано коефіцієнт тертя за інших рівних умов проведення дослідження
Ключові слова: бігунок, веретено, вібрація, кільце прядильна машина
□ □
В работе выведена формула, определяющая зависимость коэффициента трения бегунка о кольцо веретена кольцепрядильной машины от вибрации веретена. Рассчитан коэффициент трения при других равных условиях проведения исследования
Ключевые слова: бегунок, веретено, вибрация, кольцепрядильная машина
□ □
A formula, determining dependence of coefficient of friction of sulky at the ring of spindle of spinning machine from the vibration of spindle, is in-process shown out. The coefficient of friction is expected at other equal terms of leadthr-ough of research
Keywords: sulky, spindle, vibration, spinning machine
-------------------□ □------------------------
УДК 677.051.125.2
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ КОНСТРУКЦИИ ВЕРХНЕЙ ОПОРЫ ВЕРЕТЕНА КОЛЬЦЕПРЯДИЛЬНОЙ
МАШИНЫ
О . А . В о й т о в и ч
Кандидат технических наук, доцент Кафедра основ конструирования Херсонский национальный технический университет Бериславское шоссе, 24, г. Херсон, Украина, 73008 Контактный тел.: 095-096-89-01 E-mail: polina.volya@mail.ru
Отс у тст вие инв ест ици й в о сновной к а пи та л вынуждает текстильные предприятия использовать технологическое оборудование, установленное еще в 70-80 гг. прошлого столетия. К настоящему времени такое оборудование морально и физически изношено и считается низкопроизводительным. Основным условием снижения себестоимости производства и повышения качества пряжи является достижение максимально высокой эффективности используемых машин прядильного производства,
что возможно только при широком внедрении новых технических средств и совершенствовании технологий.
Проведенный анализ влияния различных факторов на повышение эффективности работы кольцепрядильных машин выявил, что одной из основных причин, ограничивающих частоту вращения веретен
и, соответственно, производительность машин, является малая долговечность бегунков и, следовательно, остановка машины для его замены.
Е
