Распространение нестационарных изгибных волн в балке на основе уточненной модели Текст научной статьи по специальности «Физика»

------------------□ □----------------------

Розглядається процес розповсюдження нестаціонарних згинних хвиль у балці на основі уточнених рівнянь [1]; раптово прикладена сила, що перерізує. На відміну від [2], швидкості розповсюдження фронтів повздовжніх та поперечних хвиль відповідають швидкостям теорії пружності

Ключові слова: асимптотико-груповий, квазіфронт, сила що перерізує, хвиля що згинає

□-----------------------------------□

Рассматривается процесс распространения нестационарных изгибных волн в балке на основе уточненных уравнений [1]; внезапно приложена перерезывающая сила. В отличие от [2], скорости распространения фронтов продольных и поперечных волн соответствуют скоростям теории упругости

Ключевые слова: асимптотико-группо-вой, квазифронт, перерезывающая сила, изгибная волна

□-----------------------------------□

The process of distribution of non-stationary waves in the bending beam is examined on the basis of the specified equalizations [1]; the crosscutting power is suddenly attached. Unlike to the [2], the speeds of the longitudinal and transversal waves fronts distribution coincide with speeds in the elasticity theory

Key words: asymptotic-group, quasifront, the crosscutting power, flexural wave ------------------□ □----------------------

УДК 539.3

РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ИЗГИБНЫХ ВОЛН В БАЛКЕ НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННОЙ МОДЕЛИ

А.Д. Шамровский

Доктор технических наук, професор* Контактный тел.: (0612) 223-82-16 E-mail:adshamr@rambler.ru

Л.Н. Егармина

Аспирант, младший научный сотрудник* *Кафедра программного обеспечения автоматизированных систем Запорожская государственная инженерная академия пр. Ленина, 226, г. Запорожье, 69006 Контактный тел.: (0612)96-14-39, 068-449-13-31 E-mail:neverojatnonofakt@rambler.ru

1.Введение

Уравнения динамики стержней получаются обычно на основе каких-то предположений о характере распределения искомых величин - напряжений и деформаций по поперечному сечению стержня [3]. В случае свободных колебаний все величины считаются постоянными по сечению стержня. Ранее в работе [4] было показано, как известные динамические уравнения продольной деформации стержня получаются из трехмерных уравнений теории упругости при помощи метода асимптотико-группового анализа, не требующего использования каких-либо гипотез. Однако в динамических задачах существенную роль могут играть некоторые факторы, которые не учитываются классическими уравнениями, например, поперечные колебания стержня, возникающие при движении продольной волны. В [1] аналогично производится поиск уточненных одномерных динамических уравнений изгиба стержня на основе трехмерных уравнений теории упругости. Таким образом, получаются асимптотически обоснованные уточненные уравнения, позволяющие учитывать как известные в изгибе балки эффекты, так и некоторые новые. В данной работе показано решение этих уравнений, а также проанализирован

процесс распространения нестационарных волн по стержню прямоугольного сечения при его изгибе на основе полученных решений.

2.Решение найденных уточненных динамических уравнений изгиба балки прямоугольного поперечного сечения для случая внезапно приложенной перерезывающей силы

В работе [1] изложена процедура получения уточненных динамических уравнений изгиба балки на основе трехмерных уравнений теории упругости при помощи метода асимптотико-группового анализа. При этом реализовано, так называемое, неминимальное упрощение трехмерных уравнений, приводящее к одномерным уравнениям.

Перепишем полученные в [1] уравнения в однородном случае, отвечающем отсутствию нагрузок на боковых поверхностях балки:

Э;;ф + сЭ^ + сЭ^ - 8а;; (Э^+ф)- Э^ф = 0;

а^Э^ + (а;; + с)Эхф + W + сУ - = 0;

8а;;Э> + (8а2 + 24с)Эхф + 24 (W + cV) + Э2W = 0;

8^ + сЭхф + cW) + eЭ2V = 0; Q = Э^ + ф;

М = Эхф + cW + сУ; N = W + сЭхф + сУ; К = V + сЭхф + cW Выполним преобразования:

Эх = §“• ЭХ, Э; = 8“2э;, ф= 8“3ф*, w = 8а^*, W = SаsW*,

V = 8а^*, 0 = 8“7Ц', М = 6“8М', N = §а9Г, К = К*, приводящие к соотношениям:

~ч * , * . * * __ _* _ -г* * _ ,* -» т* т Т*

Эх~1, Э;~1, ф ~w ~W ~V ~0 ~М ~N ~К

Соответствующая таблица показателей степени будет:

2а1 + а3, а1 + а5, а1 +а6, а1 + а4, а3, 2а2 + а3;

(1)

2а1 + а4, а1 + а3, а5, а6, 2а2 + а4;

2а1 + а4, а1 + а3, а5, а6, 2а2 + а5;

а6, а1 + а3, а5, 2а2 +а6; а7, а1 + а4, а3;

а8, а1 + а3, а5, а6; а9, а5, а1 + а3, а6;

0, а6, а1 +а3, а5

Рассмотрим следующие значения параметров:

а1 = -1,а 2 = -1, а3 = 1,а4 = 0, а5 = 0,

а6 = 2, а7 =-1, а8 = 0, а9 = 0

Таблица (1):

-1, -1, 1, -1, 1, -1;

-2, 0, 0, 2, - 2;

-2, 0, 0, 2, - 2;

2, 0, 0, 0; -1, -1, 1;

0, 0, 0, 2; 0, 0, 0, 2; 0, 2, 0, 0

Упрощенные уравнения:

Эхф+сЭ^ - 8а2Эх№ - Э2 ф = 0; а2Э^ - Э2w = 0; 8а2ЭХw + Э2W = 0;

8(сЭхф + cW) + eЭ2V = 0; 0 = Э^;

М = Эхф + cW; N = W + сЭхф; к = сЭхф+cW

Перейдем к более подробному изучению полу чен-ного варианта упрощения. Он отвечает быстрым изменениям по х и по ; , что отвечает отрицательным значениям параметров а1 и а2 и, соответственно, большим значениям дифференциальных операторов Эх и Э;. В этих условиях результаты, получаемые в первом приближении, нуждаются в уточнениях, достигаемых путем построения процедур последовательных приближений.

Представим искомые функции в виде рядов:

ф = £ф^ = Х wi;W = Х Wi;V = Х Vi;

=1 1=1

0=Ё &;М = Х М^= Х Ni;K= Х Ki

Упрощенные уравнения (2) порождают бесконечную рекуррентную систему уравнений:

Э^ + сЭх^ + сЭх^_ - 8а;; (ЭxWi + фi_l )-Э;!фi = 0; (4)

а2эх^+(а2+с)эхф1_1+^+cVi_2 -ЭЯ=°;

8a2ЭХwi + (8а2 + 24c)Эxфi_1 + 24 (+ с^_2) + Э2^ = 0; 8(Vi_1 + сЭ^ + cWi ) + eЭ2Vi = 0; Qi =Эxwi +фi_1;

Mi = Э^ + с (Wi + ^_1); Ni = Wi + с (Э^ + Vi_1);

Ki = ^_1 + с(Э^ + ^), (1 = 1,2,...)

Решение этих уравнений разыскиваем в виде:

^1=1 w1jxi_j (; - х)—1 + Х w2xi-(as; - х)-'

(5)

wi = X ^х1-j (; - х)т+1+1~ + X wij!xi_j (а5; - х)

Y+i+j_1

j=2

ф1 = Хф^4 (; - хГ^ + Хф2хН (а*; - х)

л=1

л=1

^=X ^хН (; - х)т+1+^ + X ^хЧ (а*; - х) j=1 j=1

\Y+i+j+1

01=Х 0^(; - х)—2+х о^а.; - х)—2

^2

Л=1

М1=X ЦхЧ (; - хГ1Ч_ + X ЦхЧ (а*; - х)

И j=l

Т+1+j_l

N1=1 ЦхН(; - х)^1 + Х ^хН(а.; - х)—1

j=l

^=1

^=1

л=1

К1 = Х К1х1-(; - х)—1 + Х К2х1-(а8; - х)—1

(2)

Выражения вида ; - х определены при х < ;и равны нулю при х > ;; выражения вида а5; - х определены при х < а5; и равны нулю при х > а5; . Коэффициенты сумм (4) определены при значениях ], заданных в записях соответствующих сумм. Если индекс выходит за указанные пределы, то коэффициенты считаются равными нулю.

После подстановки решений (5) в рекуррентные уравнения (4), а также применения к получившемуся результату некоторых несложных математических преобразований будем иметь:

11

4 (1 _ а2 )(Т +1 + ] _ 1)(Т +1 + ] _ 2)

Х|а2 (1 _ ^ + 2)(1 _ ^ + 1) w1,j_2 -

-2а2 (1 - } + 1)(Т + 1 + } - 2) w1J_1 + (а2 + с)Х

х[(1 - } + 1)ф1_1,л-2 -(Т + 1 + } - 2)ф1_1,j_1 ] +

=1

=1

j=2 j=1

+^^1_1,л-1 + cVi1_2,j_2}, (1 = 2,3,...;] = 2,...,1);

V! =----------------------------------------8-:

4 ф +1 + j + 1)(у +1 + j)

-(а2 + с)>

1^"2а2 (1 -] + 1)(у +1 +] - 2)|а2 (1 _ ] + 2)(1 _ ] +1) ^_2 _ x|Vi1_lJ_l + с [(1 -] + 1)ф1,]_1 -(у +1 + ])ф! + W! ]},

Х [(1 - ] + !) ф2_1,]_2 - (Т + 1 + ] - 2) ф2_1,]_1 ] + Wi2_1,j_1 + с"^-2,]_2 }, (1 = 2,3,...; ^ = 2,...,1);

1

W! = -7--------------------^------------------гХ

j (у +1 + j - 1)(т +1 + j - 2)

Х |8а2 [(1 _ ] + !) (w1,j_2 (1 - ] + 2) - (У + 1 + ] - 2)) +

+w1,j(Y +1 + j - 1)(Т +1 + j - 2)] +

+ (8а2 + 24с)(ф1_1,]_2 (1 - ] + 1)-(Т + 1 + ] - 2)ф1_1,]_1 ) +

+24 (W!_1J_1 + с^_2)}, (j = 2,...,1);

W.2 = -

ч

(у +1 + j- 1)(а5) (у +1 + j-2)

Х |8а2 [(1 - ] + !) (w2,j_2(1 - ] + 2) - 2w2,j_l('У +1 + ]- 2)) +

+w2j(Y +1 + ] - 1)(т +1 + ] - 2)] +

+ (8а2 + 24с) (ф2_1,]_2 (1 - ] + !) - ф2_1,]_1 (Т + 1 + ] - 2)) + +24Wi2_lJ_l + 24с^2_2,]_2}, (] = 1,...,1);

ф]1 = 2(1 - ] + 1)(у +1 + ] -1)Х

Х|(1 - ] + 2)(1 - ] + !)ф2]_2 + с[(1 - ] + !) Wi1j_1 --(у +1 + ] -1) ^ + (1 - ] +1) V?] -

- (у +1 +] - !) Vi1_l,j_l ] - 8а2 [(1 - ] + !) w1,j_l-

-(Т +1 +]-!)w1j +ф1_1,]_1]}, (1 = 2,3,...;] = 2,...,1);

2 =________________________1__________________Х

ф (1-а2 )(у +1 + ])(у +1 + ]-1)Х Х|(1 - ] + !)[(1 - ] + 2)ф1,]_2 - 2(Т + 1 + ] - 1)ф2,]_1 ] +

+с [(1 - ] + 1) ^2]_1 -(у + 1 + ] - 1) ^^12 +

+(1- ] +!) ^2_и_2- (у +1 +] -!) ^2_и_1] --8а2 [(1- ] + !) w2,j_l - (У +1 + ] - !) w2 + ф2_1,]_1]},

(1 = 1,2,...;] = 1,...,1);

(1 = 1,2,...;] = 1,...,1);

V2 =-----------------------8-------------------Х

4 еа2 (у +1 + ] + 1)(у +1 + ])

Х|'у12_и_1 + с [(!- ] +!) фи_1- (■У'+1+])фф2 + wj ]},

(1 = 1,2,...;] = 1,...,1);

0! = (1 - ] + !) w1,j_1 - (У +1 +] - !)^ + ф1-!,]-!-(1 = 2,3,...;] = 2,...,1);

02 = (1 - ] + !) <]_1 - (у +1 +] - !)w2 + ф]

(1 = 1,2,...;] = 1,...,1);

М! = (1- ] + !) ф]- (У +1 +]) ф! + с (wi^ + Vi1_l,j_l)-(1 = 1,2,...;] = 1,...,1);

М2=(1- ] + 1)фу_1 -(у + 1 + ])ф2 + с (Wj! + )

(1 = 1,2,...;] = 1,...,1);

Ц = ^ + с [(! - ] + !) ф] - (У + 1 + ]) ф^ + -

(1 = 1,2,...;] = 1,...,1);

N2 = ^ + с [(1 - ] + !) фи_1- (У +1 +]) ф2 + -

(1 = 1,2,...;] = 1,...,1);

к! = Vi1_l,j_l + с [(1 - ] +!) ф1,]_1- (У +1 +]) ф! + ^ ], (1 = 1,2,...;] = 1,...,1);

К2 = ^2_и_1 + с [(1 - ] + !) ф]- (У +1 +]) ф2 + Wj! ]-(1 = 1,2,...;] = 1,...,1).

Рекуррентные соотношения (6) не позволяют находить коэффициенты вида ф11 и w2. Эти коэффициенты находятся при помощи граничных условий. При задании этих условий учтем, что решение вида

(5) описывает распространение упругой волны в положительном направлении из точки х = 0 , т.е. от торца полубесконечной балки х > 0.

Основной нагрузкой здесь является перерезывающая сила, заданная при х = 0 . В соответствии с (3) и

(6) имеем:

0 (0,;)=Х(о! + 02аГ2(И) ^;т+2°_1) (7)

Отсюда, с учетом (6), будет:

2

1

Х

1

у + 2і -1

у+2(і

1 Т На рис. 1, 2 приведены соответ-

2ЙУ [Чи_ (Т + 2і -1)Ч + Ф1-1,І_1 - ^+ ф2_ц_11,(і =1,2,...) (8) ствующие графические результа-

ф1 =

у + 2і

ты. Изображены графики пере резывающей силы, как функции х для моментов времени т = 3 и т = 8. Мы видим, что в отличие от картины, получаемой при помощи известных уравнений изгиба стержня, картина вблизи фронта распространяющейся волны выглядит значительно сложнее. Вблизи трехмерного фронта волны наблюдаются интенсивные поперечные колебания стержня, которые приводят к быстроизменяющемуся напряженно-деформированному состоянию. В дальнейшем происходит переход к классическому решению в виде так называемого квазифронта, то есть не ступенчатого, а быстроизме-няющегося роста продольного усилия. С удалением от

фронта, картина переходит

-|ф1._1 + с^1 + V!_1,i_1) + а^+21-1 [ф2._1 -(у + 21)ф2+ с ("^^2 + ^2_1М)]}, (1 = 1,2,...) (10) в классическую. Таким об

1

В случае внезапно приложенной единичной посто янной силы задаем:

, [1 і = 1 у = 0, £ = \

1,1 [о і > 1

Кроме того, на конце балки задаем нулевой изгиба ющий момент:

м (0, ^ Ё (м11 + М2а^+21-1) ^+21-1 = 0 і=1

Отсюда, с учетом (6), получаем:

1

(9)

В точке х = 0 может быть также задано кинематическое условие:

фМ=2(ф‘ +Ф2а!+2і) ^+21 = 0 і=1

Отсюда:

(і = и...)

Ф1і = _Ф2а!+2

(11)

(12)

Таким образом, задавая (7), (9) или (11) мы имеем возможность находить все коэффициенты сумм (5) по решениям (6), (8) и (10) или (12), т.е. доводить решение до конца.

Остановимся коротко на вопросе о сходимости построенных рядов. Эти ряды носят название так называемой прифронтовой асимптотики. Это означает, что они в первую очередь предназначены для описания зоны вблизи фронта волны. В каждый член ряда входит величина ; - х и а5; - х. При малых значениях этих величин общий член ряда стремится к нулю. Т.е. выполняется необходимое условие сходимости. Ранее было показано [5, 6], что удержание только слагаемых, преобладающих вблизи фронта, приводит к рядам для функции Бесселя, для которых сходимость доказана.

График: 0(х,Т)

Рис. 1. Распространение волны Q (х, т) в стержне квадратного сечения т = 3

разом, классическое решение для продольной волны в стержне - это медленноизменяющаяся асимптотика по отношению к более точному решению.

Рис. 2. Распространение волны 0 (х, т) в стержне квадратного сечения т = 8

3. Выводы

Исследование распространения нестационарного волнового возмущения в балке при воздействии внезапно приложенной перерезывающей силы на основе предлагаемых уточненных уравнений показало, что картина возмущения хорошо соответствует трехмерным уравнениям теории упругости. В частности, возмущение имеет два фронта - продольных и поперечных волн, причем скорости этих фронтов совпадают со скоростями таких же фронтов в теории упругости.

Литература

1. Егармина Л. Н. Уточненные динамические уравнения изгиба балки с учетом трехмерной картины напряженно-деформированного состояния в поперечном сечении балки [Текст] / Егармина Л. Н., Шамровский А. Д. //Сб. науч. тр. «Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании ‘2010». Том 5. - Одесса: Черноморье, 2010. - С. 28 37.

2. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле [Текст] / С. П. Тимошенко - М., «Наука», 1967. 444 с.

3. Бабаков И. М. Теория колебаний [Текст] / И. М. Бабаков - М., «Наука», 1968. 559 с.

4. Егармина Л. Н. Вывод динамических уравнений продольной деформации стержня при помощи двойного упрощения уравнений теории упругости [ Текст ] / Л. Н. Егармина, А. Д. Шамровский // Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні 2009. - №2. -С. 111 - 115.

5. Шамровский А. Д. Двумерное моделирование трехмерных продольных волн в плоском слое [ Текст ]/ А. Д. Шамровский, И. А. Скрыпник// Математическое моделирование физико-математических полей и интенсификация промышленного производства - Запорожье, 1995. - С. 43-50.

6. Шамровский А. Д. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости [Текст] / А. Д. Шамровский - Запорожье, Издательство ЗГИА, 1997 - 169 с.

--------------------□ □------------------------

Розглянуто геометричні питання теорії віброобробки, пов’язані з вибором найбільш прийнятної конфігурації контейнера у випадках впливу зовнішнього силового поля збудження. Приведено аналітичну схему рішення зворотної задачі

Ключові слова: віброобробка, консервативна зона, поле збудження, вихресток

□--------------------------------------□

Рассмотрены геометрические вопросы теории виброобработки, связанные с выбором наиболее приемлемой конфигурации контейнера в случаях воздействия внешнего силового поля возбуждения. Приведена аналитическая схема решения обратной задачи

Ключевые слова: виброобработка, консервативная зона, поле возбуждения, вих-ресток

□--------------------------------------□

The geometrical questions of theory of vib-rotreatment, related to the choice of the most acceptable configurations of container in cases trivial-parallel the external power field of excitation are considered. The analytical chart of decision of reverse task is resulted

Keywords: vibrotreatment, conservative area, field of excitation, vortex drain --------------------□ □------------------------

УДК 621.9.048

ФОРМИРОВАНИЕ КОНСЕРВАТИВНЫХ ЗОН В РАБОЧЕЙ СРЕДЕ ПРИ КОНТЕЙНЕРНОЙ ВИБРООБРАБОТКЕ

М.А. Калмыков

Кандидат технических наук Кафедра конструирования станков и машин Механико-машиностроительный институт Национальный технический университет «Киевский политехнический институт» пр. Победы, 37, г. Киев, Украина, 03056 Контактный тел.: (044) 454-94-61

Введение

В работах [1],[2] был сформулирован полуфеноме-нологический подход к созданию теории контейнеров виброобработки, который предполагает зависимость макропараметров рабочей среды от ее микропараметров на уровне отдельных частиц абразива. При этом влияние «кинетических» процессов, связанных с рассеянием массы при многочастичных столкновениях структурных элементов рабочей среды, на формирование макропараметров обусловлено только действием внешнего силового поля возбуждения (1) из [1] Ё(Н^ (здесь также как и в работе [2] используются обозна-

чения работы [1]). Заметим, что динамическое поле имеет вид

Р(^)=б;.р.(^)+рг.р.(^), (1)

где Р5р(^^ - соленоидально-потенциальное

поле, а случайная вектор-функция Ргр(^^ отвечает за вихреобразование в обрабатывающей среде. Таким образом, математический аппарат предлагаемой теории виброобработки носит наиболее общий характер с возможностями конкретных практических приложений. Полуфеноменологическая трактовка движения массовых потоков в рабочей среде и их