Исследование распространения нестационарных изгибных волн в балке на основе уточненной модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

Д-р техн. наук А. Д. Шамровский, Л. Н. Егармина

Государственная инженерная академия, г. Запорожье

ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ИЗГИБНЫХ ВОЛН В БАЛКЕ НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННОЙ МОДЕЛИ

Рассматривается процесс распространения нестационарных волн в балке прямоугольного сечения при ее изгибе на основе уточненных уравнений [1] для случая внезапно приложенного изгибающего момента. Приведены соответствующие графики изгибающего момента. В отличие от известных ранее уравнений [2], скорости распространения фронтов продольных и поперечных волн совпадают со скоростями аналогичных волн в теории упругости.

Ключевые слова: асимптотико-групповой анализ, уточненные динамические уравнения изгиба балки, квазифронт, изгибающий момент, изгибная волна.

Введение

Уравнения динамики стержней получаются обычно на основе каких-то предположений о характере распределения искомых величин - напряжений и деформаций по поперечному сечению стержня [3]. В случае свободных колебаний все величины считаются постоянными по сечению стержня. Ранее в работе [4] было показано, как известные динамические уравнения продольной деформации стержня получаются из трехмерных уравнений теории упругости при помощи метода асимптотико-групповош анализа, не требующего использования каких-либо гипотез. Однако в динамических задачах существенную роль могут играть некоторые факторы, которые не учитываются классическими уравнениями, например, поперечные колебания стержня, возникающие при движении продольной волны. В [1 ] аналогично производится поиск уточненных одномерных динамических уравнений изгиба стержня на основе трехмерных уравнений теории упругости. Таким образом, получаются асимптотически обоснованные уточненные уравнения, позволяющие учитывать как известные в изгибе балки эффекты, так и некоторые новые. В данной работе показано решение этих уравнений, а также проанализирован процесс распространения нестационарных волн по стержню прямоугольного сечения при его изгибе на основе полученных решений.

Решение найденных уточненных динамических уравнений изгиба балки для случая внезапно приложенного изгибающего момента

В работе [1] изложена процедура получения уточненных динамических уравнений изгиба балки на основе трехмерных уравнений теории упругости при помощи метода асимпготико-группового анализа. При этом реализовано, так называемое, неминимальное

© А. Д. Шамровский, Л. Н. Егармина, 2012

упрощение трехмерных уравнений, приводящее к одномерным уравнениям.

Перепишем полученные в [1 ] уравнения в однородном случае, отвечающем отсутствию нагрузок на боковых поверхностях балки:

5^ф+ сдх1¥ + сдхУ - 8а2{д х\у + ср)- <Э^ср = 0; а2дхж + (а1 + Ш + сУ = 0;

8 а]д\>ю + (8 а] + 24с)элф+ 24(Ж + сУ) + = 0;

8(К + сдхц> + с!¥)+ гд^У = 0;

<2 = дхм? + ф; М = дх<р+с1¥ + сУ;

N = 1У + сдх<р+сУ; К = У + сдх<р+с1¥. Выполним преобразования:

дх=8а'д*х, а, = 8а2а;, ф = 8аУ;

м; = 5а4>/, 1У=8а51Г\ У = 8абУ*;

д = 8а?д\ М = 8а®М *, N = 8а9Л^\ К = К , приводящие к соотношениям:

Э*~1, Э*~1, ср* ~Г* ~£>* ~М* ~Л^* ~К.

Соответствующая таблица показателей степени будет:

2а1 + а3,а1 + а5,а1 + а6 , (Х^ + (Х3 ,2а2

2а1 + а4, а1 + а3, а5, 2а2 + а4

2а1 + СС4, а1 + а3, а5, 2а 2 + а5

а1 + а3, а5, 2а 2 + а6

а7, а1 + а 4’а3 а1 + а3,а5. ,а6

а9,а5,а1 + а3,а6; 0,а6,а1 + а3,а5. (1)

Рассмотрим следующие значения параметров: = -1, а2 = -1, а3 =1, а4 = 2,

а5 = 2, а6 = 2, а7 = 1, а8 = 0, а9 = 0.

Таблица (1) при этом принимает вид:

-1, 1, 1, 1, 1, -1 О, 0, 2, 2, О

О, 0, 2, 2, О

2, 0, 2, О 1, 1, 1; О, О, 2, 2 О, 2, О, 2; О, 2, О, 2.

Упрощенные уравнения:

0*Ф-0?Ф=О;

Решение этих уравнений разыскиваем в виде:

йу дх +1

(а^+с)дх(р-д^=0-8 а]дгхм?+ (8 а; + 24с)дх(р+д?1Г = О;

8сдхср+ед?У = О;

<2 = дхм? + ф; М = дхф;

N = сдх ф; К = сдх ф . (2)

Перейдем к более подробному изучению полученного варианта упрощения. Он отвечает быстрым изменениям по х и по I, что отвечает отрицательным значениям параметров О] и а2 и, соответственно, большим значениям дифференциальных операторов дх и . В этих условиях результаты, получаемые в первом приближении, нуждаются в уточнениях, достигаемых путем построения процедур последовательных приближений.

Представим искомые функции в виде рядов:

со со со со

ф= 1ф, .«'=!>,. и7 = ЕЙ7..^ = Е^.

2=1 г=1 г=1 г=1

СО СО СО СО

О = 'Е0.-м = 'Ем.^='Ек.-к = 'Ек..

2=1 г=1 г=1 г=1

Упрощенные уравнения (2) порождают бесконечную рекуррентную систему уравнений:

Э?ф, + с8Л +е0/!- 1~В^(8хЩ +Ф1-1)-Э?ф; = 0

- (а? - ф/р,., - - сК_2 - = и

8а,2 Э2 и- + (8а,2 + 24е^ф,_1 + 2А(Щ_1 + сЦ.2)+д21Г, = О 8(Г1_1 + сдх<р1+сЩ)+ед?У1=0

й =Э,И'< +Ф,-1

^ = ^-1+Ф,ф,+щ) (;=и...). (3)

№і = Е^,;х‘^-х),+,+^1 + Еи'ух‘

7=2 ;=і

,У+ї + У-1

+ Т.Кх-Ца^-х'Г*1-1

7 = 2 7=1

фі = І фЬ'х" 7 _ х)у+г+7+2 ф^^ - х)у+г+у

у=1 7=1

уі=тк^-^+і+]+1+і;^-^*-*г+'+1

у=1

7=1

7=2 7=1

М; =

7=1 7=1

лг, = + -^ы^х-На^-хГ*1-1

7=1

7=1

к, = £4/-'('-*Г'+'~1 + . (5)

7 = 1 7 = 1

Выражения вида / - х определены при х <1 и равны нулю при х > t; выражения вида а31- х определены при х < а/ и равны нулю при х > а/ . Коэффициенты сумм (4) определены при значениях У, заданных в записях соответствующих сумм. Если индекс выходит за указанные пределы, то коэффициенты считаются равными нулю.

После подстановки решений (5) в рекуррентные уравнения (4), а также применения к получившемуся результату некоторых несложных математических преобразований будем иметь:

фЬ-і = оГ:—~^Т—:—“М 1г' ~^+ 2^ ~ І +1К

2[г-J+Цy+г+ J-2У

7-2

+ с[(і-] +1^._2 -(y + i + j-2Кі,,-і +

+ 0 ^ - (у + / + ^ - 2^ ^! ]-8^2 [(/ - ^ + _2 -

- (у + / + у - + ф}_1 >;_11 (/ = 2,3,.. .1 ./' 2./У

2 1

Ф/, / =

———у—. , о, V-у+2Хг'~ у+^1-2-“ і д +1 + ] ~ і Ху +1 + ] ~ ч

2 + 1ІУ+ i + j- 2^ + 4(,-,- + 1)(^Ди_2 + Г,2.и-2)-

(у + І + ) - + К-и-1)]- 8а2 [(і -7 + 1 К-и -2 -

'■7 ~ 1 ~ _/ ~ ~ ф2-! -! 1 (г - -Д-_/ = 2

Ч = г——:——гг к (*' -У + 2Іі-У +1 Ку- 2 -

(і-<|у + / + Ду + / + 7-і)^

- 2а](i-J + \ Jy+i+J-\V?,;-1 + іаг + с1(*“7 +1 )ф/,;-і --ІУ + і + У-іЦІ+Ш^ +^4 (і = 1,2,..-у = 1,...,/),

0 “ 7 + “ і + \)™‘іІу-2 +

1

і^1"2^(/-,- + іХу + / + і-і)

+ (а? + с|(/ -] + і)ф^_і - (у + і + 7 ~ 1 )фу ]+ ^Ді,7-і + с^-і,;-і}

(г = 2,3,...; у = 2,...,г),

= -_________і_______

У (у+^+У'Хт+г'+У -

^ [(г' ~У + 2Х* - У +

— 2(/ — 7 + 1 Ху + г’+7“і)н’і1,;-1 + (у+ г +^Хт + г’ + 7 “IV/;-]+

+ (&,? + 24с |(/ - ] + 1^ - (у + і + ]- і)рУ + 24^..! +

+ ^-и-і)} (*= 1,2,..-у = 1,...,;),

К =~ —(-----------1-------------^ К2 Ь - У + 2Iі - з + Мз-2 ~

<(у+/ + 7Ху + ^ + 7-і) + іХу+ * + ] “1 )Ч;-1 + (у+ г’+ уХу+ г'+ У “IV//]+

+ (8а2 + 24с |(/ - ] + - (у + / + у - і)р’]+ 24(^2_и_1 +

+ ^-і,у-і)} (і = 1,2,...;У = 1.....іі

(у + г + 7'Хт + г + 7'-і)

(у + і + У-іНІ+^-і.у-і} = =

Ь-и-1 + ф-> + 1)ф?,;-г

К =--------

У 2

єа.

(у+/+у)(у + /+у-і) -(у+і+у-І^+сИ^} (і = 2Д...у = 2,...,і), бу = (/_У +1 Ьф^т 1 “ (у + * + /Ц + Фу, = 1,2,...;7 = 1,...,/), бу = (У~7 +1 Ь*^; і - (у + і+ ^ Кі-’у + Фу, (/ = 1,2,...;7 = 1,...,/); М,1, = (і -] + І)р‘-(у + і + ]~ іК; + )

(> = 1,2,..'./ = 1,....і),

МІ = (/ - ) +1^.! -(у + і + ]~ 1>р| + с(ж^ + УІ^ ) (і = 2Х-\3 = 2,...,і\

м], = + Ф -] + 1К;-1 -(у + ‘ + 3- іН + укі-11

(> = і,2,..'./ = 1,.

N1 = Щ 2_и_1 + Ф-> + і)фЬ-1-(у+ >+ >-1>Р,5 {і = 2Х-.,] = 2,...,і),

4 = -і + 4і - > +1 Нм - (V + ’■+ > -1Н + ^ -и-і 1

(; = 1,2,. .-> = 1,.

Щ = ^-и-1 + 4(''->+1>Р?.у-1 - (у+ >'+

(/ = 2,3,...;/= 2,.(6) Рекуррентные соотношения (6) не позволяют находить коэффициенты вида ср* и . Эти коэффициенты находятся при помощи граничных условий. При задании этих условий учтем, что решение вида (5) описывает распространение упругой волны в положительном направлении из точки х = 0, т. е. от торца полубесконечной балки х > О . При этом рассматривается случай преобладания углового перемещения Ф над другими перемещениями. Такой случай может реализоваться при внезапно приложенном на торце балки изгибающем моменте. В соответствии с (3) и (б) имеем:

мМ=х(м‘+мЯ,+2И)),+2И)

(7)

Следовательно, изгибающий момент при х = О должен задаваться в виде разложения по степеням t вида:

(8)

Приравнивая коэффициенты в (7) к коэффициентам в (8) получаем, с учетом (19):

ФI =

г к-1+л +

у + 2г -1

+ аГ2^1^-! - (у + 2і - 1>р" + +^-и-і

(і = 1, 2,...)

(9)

В дальнейшем ограничимся случаем внезапно приложенного в момент времени I - 0 и остающегося в

дальнейшем постоянного момента М(си)=1 . При этом будет:

[1 1 = 1

У = 0, /і =

О г > 1

Кроме заданного изгибающего момента на торце балки может быть задан также прогиб (шарнирная опора) либо перерезывающая сила (свободный торец). В первом случае, в соответствии с (3) и (18), имеем:

Аол)=Ц^+^ау2‘У2‘ =0. (10)

1=1

Отсюда получаем:

2 Щ

= -

у+21

Во втором случае будет:

е(о,0=Ё(й+а?аГ2М>,+2М=о

Отсюда, в соответствии с (19), имеем:

1

у + 2/

>4 -1 - (у+2г'К + ф!;

а

у+ 2; -1

(п)

(12)

(13)

Таким образом, задавая (8), (10) или (12) мы имеем возможность находить все коэффициенты сумм (5) по решениям (б), (9) и (11) или (13), т.е. доводить решение до конца.

Остановимся коротко на вопросе о сходимости построенных рядов. Эти ряды носят название так называемой прифронтовой асимптотики. Это означает, что они в первую очередь предназначены для описания зоны вблизи фронта волны. В каждый член ряда

входит величина £-х и аЛ-х . При малых значениях этих величин общий член ряда стремится к нулю. Т.е. выполняется необходимое условие сходимости. Ранее было показано [5, 6], что удержание только слагаемых, преобладающих вблизи фронта, приводит к рядам для функции Бесселя, для которых сходимость доказана.

Рис. 1. Распространение волны М(х, х) в стержне квадратного сечения % - 3

МС^П-...

Рис. 2. Распространение волны М (х, х) в стержне квадратного сечения т = 7,5

На рис. 1, 2 приведены соответствующие графические результаты. Изображены графики изгибающего момента как функции х для моментов времени х = 3ит = 7,5. Мы видим, что в отличие от картины, получаемой при помощи известных уравнений изгиба стержня, картина вблизи фронта распространяющейся волны выглядит значительно сложнее. Вблизи трехмерного фронта волны наблюдаются интенсивные поперечные колебания стержня, которые приводят к быстроизменяющемусянапряженно-деформированно-му состоянию. В дальнейшем происходит переход к классическому решению в виде так называемого квазифронта, то есть не ступенчатого, а быстрою меняющегося роста продольного усилия. С удалением от фронта, картина переходит в классическую. Таким образом, классическое решение для продольной волны в стержне - это медленно изменяющаяся асимптотика по отношению к более точному решению.

Выводы

Исследование распространения нестационарного волнового возмущения в балке при воздействии внезапно приложенного изгибающего момента на основе предлагаемых уточненных уравнений показало, что картина возмущения хорошо соответствует трехмерным уравнениям теории упругости. В частности, возмущение имеет два фронта - продольных и поперечных волн, причем скорости этих фронтов совпадают со скоростями таких же фронтов в теории упругости.

Список литературы

1. Шамровский А. Д. Уточненные динамические уравнения изгиба балки с учетом трехмерной картины напря-женно-дсформированного состоянияв поперечном сечении балки / Шамровский А. Д., Егармина Л. Н. // Сб. научн. тр. по материалам междунар. научн.-практич. конф. «Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании-2010». Т. 5. Технические науки. - Одесса : Черноморье, 2010. -С. 28-37.

2. Тимошенко С.П . Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко - М. : «Наука», 1967. - 444 с.

3. Бабаков И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков - М. : «Наука», 1968. - 559 с.

4. Шамровский А .Д. Вывод динамических уравнений продольной деформации стержня при помощи двойного упрощения уравнений теории упругости / А. Д. Шамровский, Л. Н. Егармина // Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні, 2009. - № 2. - С. 111— 115.

5. Скрыпник И. А. Двумерное моделирование трехмерных продольных волн в плоском слое./ И. А. Скрыпник, А. Д. Шамровский // Математическое моделирование физико-математических полей и интенсификация промышленного производства - Запорожье, 1995. -С. 43-50.

6. Шамровский А. Д. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравненийтеории упругости/А. Д. Шамровский - Запорожье, Изд-во ЗГИА, 1997 - 169 с.

Одержано 27.01.2011

Шамровський О. Д., Єгарміиа Л.М. Дослідження розповсюдження нестаціонарних хвиль, що вигинають у балці на основі уточненої моделі

Розглядається процес розповсюдження нестаціонарних хвиль у балці прямокутного перерізу під час її вигину на основі уточнених рівнянь [1] для випадку раптово прикладеного моменту що вигинає. Наведені відповідні графіки моменту, що вигинає. На відміну від відомих раніше рівнянь [2], швидкості розповсюдження фронтів повздовжніх та поперечних хвиль співпадають із швидкостями аналогічних хвиль у теорії пружності.

Ключові слова: асимптотико-груповий аналіз, уточнені динамічні рівняння вигину балки, квазіфронт, момент що вигинає, хвиля що вигинає.

Shamrovskiy A., Egarmina L. Research of non-stationary flexural waves distribution in a baron the basis of the specified model

The process of non-stationary waves distribution in the bending bar with a rectangular cross-section is examined on the basis of the specified equationfor the case ofsuddenly attached bending moment. The proper charts for bending moment are resulted. Unlike to the well-known equations, the speeds of the longitudinal and transversal wave fronts distribution coincide with analogical wave speeds in the elasticity theory.

Key words: asymptotic-group analysis, specified dynamic equalizations of bar bending, quasifront, bending moment, bending wave.