Формирование консервативных зон в рабочей среде при контейнерной виброобработке Текст научной статьи по специальности «Физика»

3. Бабаков И. М. Теория колебаний [Текст] / И. М. Бабаков - М., «Наука», 1968. 559 с.

4. Егармина Л. Н. Вывод динамических уравнений продольной деформации стержня при помощи двойного упрощения уравнений теории упругости [ Текст ] / Л. Н. Егармина, А. Д. Шамровский // Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні 2009. - №2. -С. 111 - 115.

5. Шамровский А. Д. Двумерное моделирование трехмерных продольных волн в плоском слое [ Текст ]/ А. Д. Шамровский, И. А. Скрыпник// Математическое моделирование физико-математических полей и интенсификация промышленного производства - Запорожье, 1995. - С. 43-50.

6. Шамровский А. Д. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости [Текст] / А. Д. Шамровский - Запорожье, Издательство ЗГИА, 1997 - 169 с.

--------------------□ □------------------------

Розглянуто геометричні питання теорії віброобробки, пов’язані з вибором найбільш прийнятної конфігурації контейнера у випадках впливу зовнішнього силового поля збудження. Приведено аналітичну схему рішення зворотної задачі

Ключові слова: віброобробка, консервативна зона, поле збудження, вихресток

□--------------------------------------□

Рассмотрены геометрические вопросы теории виброобработки, связанные с выбором наиболее приемлемой конфигурации контейнера в случаях воздействия внешнего силового поля возбуждения. Приведена аналитическая схема решения обратной задачи

Ключевые слова: виброобработка, консервативная зона, поле возбуждения, вих-ресток

□--------------------------------------□

The geometrical questions of theory of vib-rotreatment, related to the choice of the most acceptable configurations of container in cases trivial-parallel the external power field of excitation are considered. The analytical chart of decision of reverse task is resulted

Keywords: vibrotreatment, conservative area, field of excitation, vortex drain --------------------□ □------------------------

УДК 62l.9.048

ФОРМИРОВАНИЕ КОНСЕРВАТИВНЫХ ЗОН В РАБОЧЕЙ СРЕДЕ ПРИ КОНТЕЙНЕРНОЙ ВИБРООБРАБОТКЕ

М.А. Калмыков

Кандидат технических наук Кафедра конструирования станков и машин Механико-машиностроительный институт Национальный технический университет «Киевский политехнический институт» пр. Победы, 37, г. Киев, Украина, 03056 Контактный тел.: (044) 454-94-61

Введение

В работах [1],[2] был сформулирован полуфеноме-нологический подход к созданию теории контейнеров виброобработки, который предполагает зависимость макропараметров рабочей среды от ее микропараметров на уровне отдельных частиц абразива. При этом влияние «кинетических» процессов, связанных с рассеянием массы при многочастичных столкновениях структурных элементов рабочей среды, на формирование макропараметров обусловлено только действием внешнего силового поля возбуждения (1) из [1] Ё(Н^ (здесь также как и в работе [2] используются обозна-

чения работы [1]). Заметим, что динамическое поле имеет вид

Р(^)=б;рх^)+рг.рх^), (1)

где Ё (^^ - соленоидально-потенциальное

поле, а случайная вектор-функция Ё (^^ отвечает за вихреобразование в обрабатывающей среде. Таким образом, математический аппарат предлагаемой теории виброобработки носит наиболее общий характер с возможностями конкретных практических приложений. Полуфеноменологическая трактовка движения массовых потоков в рабочей среде и их

взаимодействие с обрабатываемыми деталями формирует новую концепцию виброобработки, суть которой состоит в создании консервативных зон, ограниченных линиями тока некоторого фиксированного векторного поля, что способствует образованию в рабочей среде макродоменной структуры. Доменное структурирование рабочей среды отражает конфигурацию полевой сетки динамического поля (1) и не может быть описано на языке законов гидродинамики или газовой динамики, несмотря на некоторую аналогию используемых в полуфеноменологической теории понятий. Отметим здесь, что к микропараметрам теории относятся масса вихрестока ш2е^) и масса отдельной частицы абразива ш1е^) , даваемых соответственно формулами (19) и (20) из [1], а к макропараметрам следует отнести скорости первой У1е(Н^ и второй #(^^ компонент, определяемых равенствами (7) и (8) из [1], а также плотности потоков массы й1е(^) (2) из [1] и й2е(^) (3) из [1]. Указанные микро- и макропараметры характеризуют рабочую среду в е -состоянии, которое формируется в результате "а-е" перехода, инициированного силовым полем (1). Формальная суперпозиция полей Ё(^^ и Ё(^^ (1) на уровне движения массовых потоков в е -состоянии может приводить как к линейным, так и нелинейным эффектам, обусловленных взаимодействием первой ш1е^) и второй ш2е^) компонент рабочей среды. Некоторые проблемы линейной теории с определенными количественными оценками макропараметров были исследованы в работе [2], что позволило в главном приближении выйти на технологию контейнерной виброобработки. При этом нерешенным остается вопрос о влиянии нелинейных процессов рассеяния на качественные и количественные характеристики массовых потоков в обрабатывающей среде и на геометрические особенности ее макродоменной структуры. Актуальность этого и других ранее упоминавшихся вопросов по-луфеноменологической теории виброобработки очевидна, так как все технологические аспекты процесса виброобработки сосредоточены в консервативных зонах.

|(йе(Ч^§п ) = 0, (3)

Г

где векторный дифференциал дуги dSn контура интегрирования Г имеет вид

dS п = п га,ш^

п 4 у (4)

п(^)±Г, |п(N,^1 = 1.

Равенство (3) позволит в дальнейшем ввести понятие консервативной зоны в рабочей среде. Заметим, что контур Г в (3) может быть как замкнутым, так и разомкнутым, содержащим бесконечно удаленную точку.

Большой теоретический интерес с определенной практической перспективой представляют математические построения по обобщению исследовательских схем работ [1] и [2] на случай, когда в качестве внешних полей возбуждения рассматриваются вместо плоско-параллельных объёмные динамические поля, т.е. математизация процесса виброобработки формулируется в терминах пространства Я3.

В рамках разрабатываемой полуфеноменологиче-ской теории виброобработки существует возможность изучения нелинейных по внешним полям эффектов взаимодействия первой ш1е^) и второй ш2е^) компонент абразивной среды в е -состоянии, которые будут приводить к рассеянию (уменьшению) масс соответствующих компонент и, следовательно, к ухудшению качественных характеристик рабочего инструмента виброобработки и к увеличению непроизводительных энергетических потерь.

Таким образом, объектами исследования в данной работе будут следующие:

1. Полевая сетка виртуального векторного поля, индуцированного динамическим полем Рр(^^ из (1);

2. Полевая сетка соленоидально-потенциального поля Р5р (^^ , определяемая по заданной конфигурации контейнера.

Формулировка проблемы

В работе [2] была выдвинута идея выбора наиболее приемлемой конфигурации рабочего контейнера в присутствии заданного внешнего плоско-параллельного динамического поля (1): внутренний контур контейнера должен совпадать с одной из линий тока некоторого виртуального соленоидально-потенци-ального векторного поля G(N,t), структура полевой сетки которого может быть описана при исследовании равенства

йе(^) = 0. (2)

В (2) плотность потока массы двухкомпонентной абразивной среды определяется формулой (13) из [1]. Если Г - это контур в Я2, на котором выполняется равенство (2), то поток массы через этот контур будет равен нулю в любой момент времени t > 0 , т.е.

Результаты исследования

1. Полевая сетка виртуального векторного поля, индуцированного динамическим полем Р5р(^^ из (1). Выпишем, следуя равенству (13) из [1], явное выражение для плотности потока массы йе(^^ :

й е(^) = т^п^,^^) +

, (5)

+т2е^Ке(^)# 2е№)

где скорости У1е(^^, "№2е(^^ определяются соответственно равенствами (36) и (37) из [2]:

у1И(^) = Иш | - Р^ -т)Р,р.к(Р, т)Ыор, (6)

М+ -е Я2

№2е,(^) =Иш | Д42)^-Р^-т)Р,р.к(Р,т)Ыор . (7)

М+ -е Я2

э

Предполагая заданным внешнее поле возбуждения Из (16) следует, что у векторного поля (9) суще-

(1), выясним условия, при которых выполняется ра- ствует функция тока g = g(u,v) , полный дифференци-

венство (2). Равенство (2) сводится к системе функци- ал которой равен ональных уравнений

dg = -у2(^;Р,т^и + у1(^;Р,т^ . (17)

' t

ЛД^ (^;Р, т)Д.р.(Р, т))!т<10р = 0, Действительно, на основании (17), имеем

0 Я (8) t до

1Л(Ф(^^Р, т),?,р.(Р, т))dтdoP = 0, -Г0 = -у2(^;Р, т), (18)

П п2 ди

где

^■ = Vl(N,t-^p, т). (19)

dv

V k(N,t••P, т) = ш^^п^Л)^1^ - P,t-т) + Таким образом, с учетом равенства (16), получим

, (9) достаточное условие существования полного диффе-

+ш2е^)п2е(^)£<к)^ - Р^-т) ренциала (17):

Фк(^;Р, т) = ш^ООп^ф^ - P,t-т)+ _Э^ =ду1<:М,^Р^ = _д^ (20)

. (10) дvдu дv ди дuдv

+Ш2e(t)n2e(N,t)е(22k)(N - P,t-т)

Функция о = о(и^) восстанавливается с точнос-Величины ш1e(t), n1e(N,t) и ш2е^) из (9) и (10) да- тью до постоянного слагаемого по своему полному

ются равенствами дифференциалу (17):

g(u,v) =

p(uv) . (21) = I -"^(N^p, т)du + ^1(N,t'^p, т)dv + const

p0(u0,v0)

mle(t) = maexp-^а^Дт^ , (11)

nle(N,t) =

= n exp-а'fn2 (т)к (N,т)-W2 (N,т)Ит-а"tl, (1^ Рассмотрим пРоизвольную, но фиксированную,

a "І о 2^ 1 J линию тока g(u,v) = const. Тогда

m (t) = dg(u,v) = 0 ^^(N^P,т)du + "1(N,t••P,т)dv . (22)

t 2n

= nmanar2(0)-Xj | m^^r^n^N, т)^.^, т)|атаф, (1З) Из (22) получаем равенство

00

вд=°<‘># (2З)

V2 du "1(N,t-^p, т)

Анализ системы (8) сводится к тому, что виртуальные векторные поля "(N^P,т) и Ф(N,t••P,т) для С учетом (2З) и (15) легко сделать вывод о том,

любых значений параметров N = N(x,y) eR2 и t > 0 что заданное внешнее поле возбуждения Fsp(p,т)

коллинеарны, т.е. ортогонально произвольной фиксированной линии

тока g(u,v) = const и, следовательно, можно поло-"(N^P, т) = y(N,t••P, ^Ф^,^, т), (14) жить

|"1 (N,t-^p, т) = а (N,t-^p, т) Fsp2 (p, т) где Y = Y(N,t••P, т) - с-числовая функция. Таким об- | (24)

разом, система (8) сводится к одному независимому l"2(N^P,т) = -а(N,t••P,^Fsp1(p,т)

уравнению

("(NtP-r) F (Pt;)) = 0 где а(N^P,т) - некоторая с - числовая функция.

sp. (15) Подставляя равенство (24) в формулу (21) оконча-

N = N(x,yX p = p(u,v)eR2. тельно получим

Векторное поле (9) является соленоидально-по- p(uv)

тенциальным, т.е. g (u,v)= j a(N,t-^p, т^.^ (p, т) du +

divp"(N,t’^p,т) = + 9v2(lN1t,P,T) = 0. (16) a(N,t••P,т^.^(p,т)dv + const

p0 (“0 ,v0) . (25)

p.2 (

E

Таким образом, формула (25) определяет оптимальную конфигурацию контейнера в плоском случае, когда массовые потоки в рабочей среде движутся по касательным в каждой точке линии уровня g(u,v) = const. Внутренность линии g(u,v) = const назовем консервативной зоной рабочей среды.

2. Полевая сетка соленоидально-потенциального поля Fs p.(N,t), определяемая по заданной конфигурации контейнера. Пусть функция g = g(u,v) принадлежит классу C2 (R2) и геометрический профиль L контейнера описывается уравнением виде

L: g(u,v) _ c _ const,

(26)

p(u,v)

g(u,v)_ j d^u+dgdv J du dv

po (uoVo)

+ const.

(2У)

" (N,t;P, т)_ "1 (N^P, т) i +" 2 (N,t;P, т) j

(28)

"1 (N^P, т)_ " 2 (N,t;P, т)_

dg (u,v) 9v , dg (u,v) du

(29)

Используя соотношения (24), выпишем окончательно явные выражения для компонент динамического поля ? .(Р,т):

Fs.p.l(P, т) _

Fs.p.2 (P, т) _

1

_____________dg ( u,V )

а(N,t•P, т) du ,

1 dg (u,v) а( N,t^P, т) dv

(З0)

(u,v)_ v-au2n _ c_ const,n > 1.

і і 2п v=l+u / / 2п / / V=U /

\ / /v=-:

\ 0 / U VA^vj/(N,t;P9T)

-2

-2+u

где с - некоторая вещественная постоянная. Очевидно, что кривая L - это линия уровня функции 0 = о(и^) (или ее часть), соответствующая параметру с. Кроме этого, будем полагать, что равенство (26) определяет линию тока некоторого виртуально со-леноидального векторного поля, с помощью которого будут определены параметры реального поля возбуждения Р5.р.(^) .

Легко видеть, что функция о = о(и^) удовлетворяет уравнению:

Рис. 1. График парабол из семейства (31), a=1 и c=0, 1, -2, определяющих границы консервативных зон

Так как частные производные первого порядка функции о (и^) (31) равны

(u,v)

du dg (u,v)

dv

_ -2nu2n-1, _ 1,

(З2)

то, в силу равенств (З0), внешнее поле возбуждения

F.(P, т) имеет форму

Fs.p.(P, т) _-

2nu2

-т + -

а( N,t^P, т) а( N,t^P, т)

j.

(ЗЗ)

Пусть виртуальное соленоидальное векторное поле, для которого формула (26) определяет линии уровня, имеет вид

Взаимное расположение силового поля (33) Fsp (Р,т) и виртуального векторного поля (28) у(К,^Р,т), которое в данном случае равно

"(N,t^P,т)_ Т + 2na(N,t^P,т)u2n-1j ,

(З4)

где N = N(х,у)еЯ2^>0,т>0 играют роль параметров. Тогда, с учетом замечания, сделанного ранее, и на основании формул (27), (28), получим

отражено на рис. 1, где Р - произвольная точка семейства (31) и ^р (Р,т)±у (К,^Р,т).

Далее, рассмотрим контейнер, геометрический профиль которого задается кривой из трехпараметрического семейства вида:

u v 2 g(u,v)_ — + Т2_c _const, ab

a < b, a,b,c > 0.

Вычисляя частные производные функции (З5)

(З5)

dg (u, v) _ 2u du a2 ,

dg (u,v) _ 2v dv b2,

(З6)

Покажем, как работает аппарат формул (26)-(30) в некоторых конкретных приложениях. Пусть вначале геометрия контейнера определяется кривой из двухпараметрического семейства (рис. 1):

на основании равенств (30) находим компоненты внешнего поля возбуждения Р5р (Р,т) :

Fs.p.(P, т) _

2u

-1 +:

2v

a2a(N,t^P,т) b2a(N,t^P,т) *

(ЗУ)

Легко видеть, что кривые семейства (35) - это эл-(31) липсы с полуосями ас и Ьс (рис. 2).

1

3

Рис. 2. Графики эллипсов из семейства (35), с=1, 3, определяющие конфигурацию границы конечных консервативных зон

На рис. 2 силовое поле возбуждения Р8р(Р,т) ортогонально в каждой точке Р произвольной кривой семейства (35) виртуальному полю у(^^Р,т), которое в данном случае, с учетом (28), (29), (36), имеет вид

у (^і;Р, т) ■

2v

2и

Ь2 (адР, т) а2 (адР, т)

(38)

Выводы

Результаты, полученные в данной работе, делают логически завершенным аналитический аппарат описания процесса виброобработки в присутствии внешнего поля возбуждения.

При этом была решена в общей форме с соответствующими иллюстрациями обратная задача виброобработки, когда первичным является геометрический профиль рабочего контейнера, а вторичным - оптимальное динамическое поле. Возможности разработанной в статьях [1], [2] и в данной статье полуфено-менологической теории виброобработки позволяют выполнить обобщение исследовательской схемы в случае внешних объемных силовых полей возбуждения и изучить нелинейные процессы рассеяния массы при взаимодействии (механическом столкновении) первой ш1е (t) и второй ш2е (t) компонент рабочего инструмента.

Литература

1. Калмыков М.А. Общие принципы описания процесса виброобработки в присутствии внешнего динамического поля / М.А. Калмыков, В.Б. Струтинский, В.С. Щелоков // Восточно-европейский журнал передовых технологий. - 2011. - № 1/3 (49). - С. 45-49.

2. Калмыков М.А. Исследование зависимости динамических и технологических параметров процесса виброобработки от способа включения внешнего поля возбуждения / М.А. Калмыков, В.Б. Струтинский, В.С. Щелоков // Вібрації в техніці та технологіях. - 2011. - № 1 (61). - С. 32-40.

Е