CC BY
62
УДК 532.72
ОСОБЕННОСТИ ДИФФУЗИОФОРЕТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ИСПАРЯЮЩЕЙСЯ УМЕРЕННО КРУПНОЙ КАПЛИ
К.С. Рязанов
Белгородский государственный университет
ул.Студенческая, 14, г.Белгород, 308007, Россия, e-mail: rksbOrambler.ru
Аннотация. Вычислена скорость диффузиофореза испаряющейся умеренно крупной капли в бинарной газовой смеси, внутри которой имеются внутренние источники тепла. Первый компонент газовой смеси образуют молекулы паров вещества, а второй (несущий) компонент смеси не испытывает фазовых превращений на поверхности частицы. Показано, что скорость диффузиофореза зависит от теплового и диффузионного скольжений, поверхностного натяжения, от реактивного эффекта, связанного с неоднородностью фазового перехода; эффектов, связанных с растеканием вдоль поверхности капли в слое Кнудсена молекул газовой смеси.
Ключевые слова: диффузиофорез, задача Адамара-Рыбчинского.
1. Постановка задачи. Рассматривается жидкая сферическая капля радиуса Я с плотностью рг и вязкостью ^, внутри которой действуют неравномерно распределенные источники тепла с плотностью Капля находится в неограниченно расположенной в пространстве бинарной газовой смеси с плотностью ре и вязкостью ^е. Наличие внутренних источников тепла является модельным представлением, предназначенным для описания физических процессов, сопровождающихся выделением тепла в объёме аэрозольной частицы. Так образом можно моделировать нагрев поверхности частицы под действием химической реакции, вследствие радиоактивного распада вещества частицы, либо вследствие поглощения электромагнитного излучения и т.п. Неоднородный нагрев поверхности капли вызывает, с одной стороны, усиление испарения, что сказывается на процессе теплообмена и массообмена между каплей и окружающей средой и так называемого реактивного эффекта; с другой стороны, такой нагрев влияет на величину теплового и диффузионного скольжения, а также и на термокапиллярный дрейф, связанный с возникновением касательных напряжений на поверхности капли за счёт изменения коэффициента поверхностного натяжения а с температурой Те (эффект Марангони). Все это важно как для теоретического описания движения испаряющейся капли, так и для практических приложений. Таким образом, наличие внутренних источников тепла может влиять не только на направление, но и на величину силы и скорости диффузиофореза.
Будем считать, что на поверхности капли происходит фазовый переход вещества, из которого она состоит. Предполагается также, что на относительно большом удалении от капли в объёме газообразной смеси присутствуют постоянные градиенты относительных концентраций VС1е и VC2e. Введём обозначения
С1е = П1е , (72е = П1е , (1)
П\е + П2е П1е + П2е
где n1e и n2e - числа молекул компонентов смеси в единице объёма. При этом суммарное число молекул в единице объёма равно
Пе = nie + П2е . (2)
Из (1) и (2) следует
Cie + C2e =1, (VCieU = -(VC2eU , (3)
Окружающая каплю газовая среда состоит из двух компонентов: основной (несущий) компонент, граничная поверхность для которого непроницаема, и компонента (например, первого), испытывающего фазовый переход на поверхности капли. Молекулы конденсированной фазы испаряются или конденсируются при числах Маха много меньших единицы, т.е. испарение капли протекает в диффузионном режиме, когда основное влияние на процесс переноса в окрестности частицы определяется молекулярной диффузией [2], [6]. Тепло- и массоперенос внутри капли протекает при тепловых и диффузионных числах Пекле много меньших единицы. Движение капли происходит при
малых относительных перепадов температуры (Tis — Teix>)/Teix ^ 1. Здесь (Tis - сред-
няя температура поверхности капли, Тете - температура газа на большом расстоянии от неё. Это позволяет считать коэффициенты молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности, диффузии) постоянными величинами. В силу малости времен тепловой и диффузионной релаксации описание движения частиц проводится в квазистационар-ном режиме. Капля в процессе движения сохраняет сферическую форму, образована однородным и изотропным по своим свойствам веществом.
Если размеры капли таковы, что выполняется следующее соотношение
0.01 <4 <0.3, (4)
R
то в граничных условиях необходимо учитывать поправку на отличие средней длины свободного пробега молекул (Л) от нуля. Отношение Л/R называется числом Кнудсена и обозначается Kn. Частицы, размеры которых удовлетворяют соотношению (4), называются умеренно крупными. При постановке граничных условий для умеренно крупных частиц, весь объём, занятый газом, разбивается на слой Кнудсена - область газа толщиной порядка длин свободного пробега, прилегающая к поверхности частицы, и на весь остальной газ. В слое Кнудсена справедливы кинетические уравнения, которые формируют граничные условия для гидродинамических уравнений. Течения вне слоя Кнудсена описываются гидродинамическими уравнениями Навье-Стокса. В настоящей работе используется гидродинамический метод расчёта. Используемые при этом выражения для кинетических коэффициентов (изотермического Cm, теплового KtS, диффузионного Kds скольжений; влияние на скольжение смеси кривизны поверхности вит, вит, ß*Rс, Pro и барнетовских эффектов pRT, вКс; растекание молекул Cvt , Cvd ; растекание тепла Cqt, Cqd; скачки температуры и относительной концентрации KT, KtN, K$, KT) взяты нами из [10].
Решение задачи производится в сферической системе координат (r, 0,ф), начало которой жёстко привязано к центру капли, вектор VC1e направлен вдоль полярной оси
z = r cos 9. При этом скорость диффузиофореза Udf = — U^ (U^ - скорость движения центра тяжести смеси относительно капли) и движение капли происходит при малых числах Рейнольдса.
В рамках сформулированных допущений в квазистационарном приближении распределение скорости U, давления P, температуры T и относительной концентрации первого компонента Cie бинарной газовой смеси, описывается следующей линеаризованной системой уравнений газовой динамики [1],[7]-[9]:
^eAUe = VPe , div Ue
0
ATe = 0 , ЛС-ie = 0
(5)
^iAUi = VPi, divUi = 0 , ATi = —qi/Xi. (6)
На поверхности капли выполняется следующие граничные условия [1], [3], [4], [9]:
r = R,
ri^mi dCie
+ DV2-
pe
,, n2eD12fd2CIe acu _ _ AnCvD___/_ + ctg9 _
-A'»CW^('S?+ ctge®7’'
RTe\ d92
nieUe — D
12"
n?em2 dCie dr
pe
— KnCvD
nieDl2 f
d2C
ie
— KnCvT
R \ d92
nieVe
+ ctg 9
d9
dCle
дв
dTf
Uee — Щ
K
Ve
TS
R Te
+ K
RTe
1 + Kn{uT Put + Д Di2
d2T
■w+ctse To
niU
*
'RT
dTe
DS~
R
d9
1 + Ku{gc вис + в
+
*
RC
dC
ie
d9
— KuKts в_
-
в a/1 д2Те 1 dTe
RT^fe \r дгдв г2 дв
- I<nKDS /3icD12R[ -
1 d2Cie 1 dCie
r drd9 r2 d9
+
+ KnC„
дЩ
1 dUe
+ —
dr r д9
Ц'в
дЩ 1 dUl —- Л------------
dr г дв
дЩ
dr
+
1 да дТг
яЩ~дв
dUl 1 dUl —- Л-------------
дг г дв
дЩ
dr
дЩ
dr
Te — Ti = KnKN R Te
dC
ie
dr
+ KnKT R
dr
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
0
,dTe dTi nlmim2 dCie
— ле^.--Г — ЬЬ>12------------
dr dr pe dr
T, „ PeDv2(d2Cle , ^ dCle
- A n CQD—— —— + ctgв
R \ дв2 дв
+ (12)
I<nKNR9Си KnKrR 9Te -KnKNR dr + KnKN dr .
(13)
Вдали от капли (на бесконечности) граничные условия имеют вид: r ^ ж, Ue ^ (cos в er - sin в ee) , Pe ^ Pe^ , Te ^ Teж ,
Cie ^ Cie<x + |VCie| r cos в . (14)
Следующие ограничения на искомые решения связаны к конечностью физических величин:
при r ^ 0 , Ui = ж , Pi = ж , Ti = ж . (15)
Здесь Ur и Ue - радиальная и касательная компоненты массовой скорости; pe = pie + p2e, pie = nieml, p2e = n2em2; mi, m2 - массы первого и второго компонента бинарной газовой смеси; Dl2 - коэффициент взаимной диффузии компонентов; v - коэффициент кинематической вязкости; nli - концентрация молекул вещества капли; ß - коэффициент динамической вязкости; а - коэффициент поверхностного натяжения капли; Л -коэффициент теплопроводности; L - удельная теплота фазового перехода; P - давление; T - температура; nls - концентрация насыщенных паров вещества капли, зависящая от Ti;
= (d2Te\(ldTeyl =(d2C1A(ldC1
ат \drd9) \R дв ) ’ ас \дгдв)\Ядв
В последних формулах индекс "e" относится к газообразной среде, индекс "i" относится к капле, а индексом ж обозначены значения физических величин, характеризующие внешнюю среду в невозмущенном потоке.
В граничных условиях на поверхности капли учтены линейные поправки по числу Кнудсена, исходя из допущений в постановке задачи.
Граничное условие (7) указывает на то, что поверхность капли является непроницаемой для второго компонента бинарной газовой смеси. В нём произведен учет конвективного и диффузионного потоков, а также разрыв потоков тепла и массы в слое Кнудсена, пропорциональных соответственно Cvt и Cvd.
Граничное условие (8) отражает непрерывность потока первого компонента бинарной газовой смеси при фазовом переходе. Конвективный и диффузионный потоки, с учетом разрывов потоков тепла (слагаемые, содержащие коэффициент Cvt) и массы
(слагаемые, содержащие коэффициент Cvd) в слое Кнудсена, уравновешиваются конвективным радиальным потоком первого компонента внутри капли.
Граничное условие (9) показывает, что разность касательных составляющих внешней U; и внутренней U скоростей складывается из суммы изотермического (слагаемого с коэффициентом Cm), теплового (слагаемые с Kts) и диффузионного (слагаемые с Kds) скольжений, а также в этом граничном условии произведён учёт влияния кривизны поверхности капли на скольжение (слагаемые с вит, вит, вис, в*ис) и учёт барнеттовских эффектов (слагаемые с вят, вкс).
В граничном условии (10) учтена непрерывность касательных составляющих тензора полных напряжений, а граничное условие (11) отражает непрерывность температуры на границе слоя Кнудсена, с учётом скачков температуры и относительной концентрации первого компонента в бинарной газовой смеси, соответственно пропорционально
Непрерывность радиальных потоков тепла учтена в граничном условии (12), где разность потоков вне и внутри капли уравновешивается потоком тепла, идущего на фазовый переход, а также непрерывность неоднородных потоков тепла (слагаемые Cqt) и массы (слагаемые с Cqd), растекающихся в слое Кнудсена.
Граничное условие (13) отражает непрерывность концентрации первой компоненты бинарной газовой смеси, испытывающей фазовый переход, на границе слоя Кнудсена, т.е. разность концентрации молекул с насыщенной концентрацией паров вещества капли уравновешивается скачками относительной концентрации и температуры, которые пропорциональны K$ и KN.
Приведём уравнения (5), (6) и граничные условия (7)-(15) к безразмерной форме, введя следующим образом безразмерные координату, скорость и температуру: =
Xk/R, V = UfU^, t = T/Terx. Определяюшими параметрами в задаче являются материальные постоянные pe, ße, Xe, D12 и сохраняющиеся в процессе движения капли R, величины |VCie|, U». Из них можно составить три безразмерных комбинации: е = R|VCie|, числа Пекле и Рейнольдса.
При е ^ 1 набегающий поток оказывает лишь возмущающее влияние, и поэтому решение уравнений (5), (6) будем искать в виде:
Vk = Vk0 + eVk 1, Pk = Pk0 + ePk1, tk = tk0 + etk1, C1e = C1e0 + eC1e1 , k = e,i ■ (16)
2. Вывод выражения для диффузиофоретической скорости. Для нахождения пространственных распределений полей tk, C1e, Vk и pk подставим (1.16) в систему уравнений (5), (6). С учётом граничных условий (14), (15), они имеют вид
KT и KN.
(17)
(18)
1 I Ve Urx . I 1 А И 2 Vi Ucx п
Ре = 1 + 0 9 COS в А2, Рг= Ро + ЮА4у —COS в .
Ry2 R
2 У У
t-eo = 1 + —, tio = Во + Д J°-----------------b í —dy - - [ фоdy, (20)
У 3Ai Te^ y J y y 1
i i
cle0 — C'ieoo H —, tei — — eos 9, C\e\ — (y H — ) eos 6», (21)
y y2 \ y2
. RJi 1
í“ = 0“e<Bll'+35iw + 3
y y
y2 y2
ii
(22)
Здесь
4 1 f 1 f
V = -7Гi?3, J° = — QidV., Ji = — qízdV , с = r eos 9,
i
Ф,г = — i qi(r,e)Pn(cOSe)d(cOSe) .
2AiTe<x> J
-i
Постоянные интегрирования Am (m = 1,4), M¡, Г i, B¡ (l = 0,1) находятся в резуль-
тате решения линейной системы алгебраических уравнений, полученных после подстановки выражений (17)-(22) в граничные условия на поверхности капли (7)-(13).
Общая сила, действующая на частицу, определяется интегрированием тензора напряжений по её поверхности и в сферической системе координат определяется по следующей формуле [7], [8]:
Fz = J{-Pe cos 9 + arr cos 9 — <jrQ sin 9)т2 sin 9 d9d<p. (23)
Здесь arr, orQ - компоненты тензора напряжений, которые в сферической системе ко-
ординат имеют вид [7]:
/ due 2 v r \ (дЩ 1 due дЩ
Grr — ße I 2 —----— CllУUе I , Огв — ße I T¡-----1--
дг 3 у \ дг г 89 дг
Подставляя в (23) выражения (17)-(19), после интегрирования получаем
^ = —4пКре и^ А2■ (24)
Если капля движется равномерно, то приравнивая (24) к нулю, учитывая, что и $ =
-и те, выражение для скорости диффузиофоретического переноса умеренно крупных капель в бинарной газообразной смеси имеет следующий вид:
и= -£(иТЯ + иОЯ + иУТ + иУО + ир + иа) , (25)
где
р
UtS = I^TS в ) I + k'n(ß*RT ~ WbT + 3pRT)\nz R ф3 teS
и
ОЯ
К
Б
12
из-
Г1 ф2 [1 + Кп(Ряс — 2вЯО + 3вВС^ —
К фо фз
— 2Кп[ф1(1 + К'П(Р*Кс + вВс)) + Ряс — Ркс] ]Пх,
и
УТ
= - а
, Г1 Уе Кп( л . о . а п „ \
ут ,, , т 1 + 2 Ь 6 СтК п гг
К ф3 ЬеЯ \ ^г )
и
УО
а
Кп
УО
Г1 уе
ЬеЯ
+
2 ф1Б12
фо
Пх,
ир
П Ш1^12
.1 + 2 — Ь 2 - Ь 6 СтК п ] ( Г\ ф2 — 1 ] п,
К ре п2е ф0 ф3\ р1г г
иа
1
да
(Гг [1 + Кп(К% + К” 1е8 ^)\ - КпК” 1е8 |Лп, V ф0 фо/
Здесь
3 ф3 дЬгЯ
фо = 1 + 2КпК - КN 1ез Ся)
ф1 = кт - кТ Ьез с{3,
ф2 = С{3 + 2Кп(К* С% - 1<х У), фз = 1 + ^ + 2 СтКп ,
Г1
К 71
Хг Теж 8
+
8 фо
2
п2 Ш1 Ш2 „
ЬБ12 л т--------------Ь А /?.
ре Хг Те<
X,
КТ ЬеЯ + а<30(ф0 — 1)
Ре оо 012 Теж Хг
5=1 + 2 К^Кп + 2 —- (1 — С'с?тА'/г) +
Хг
+ ,/ЫЬВг2‘А^1 + Кп
ф0 \ ре Хг Т еж
Кт ЬеЯ — С<
Р Б
еж!
воо -^12
Т X
Т еж Хг
Среднее значение температуры поверхности капли ЬгЯ связано со средней относительной температурой ЬеЯ следующей системой уравнений, в которой Ь,я = Ье0 |у=1, I ^* ¿С1е
ия = ¿¿о | у= 11 С18 =
¿Ь
гЯ
ЬеЯ — ЬгЯ = С — КТ Кп(ЬеЯ — 1)
ЬеЯ = 1 +
Л10
3 ХрТр.с
+ ЬБ
п2 Ш1 Ш2 (
12 “
С
С^еоо — С\я + АдгА/г(1 — 1е3)
1 + К%Кп
(26)
Хе ре Теж 1 + К Т ^
В пределе числа Кнудсена, стремящегося к нулю X/ К ^ 0, (25) переходит в формулу для скорости диффузиофоретического движения крупных летучих капель в бинарной газообразной среде [1], [3]. Из (25) могут быть получены формулы для скорости
х
3
диффузифоретического движения крупных твёрдых частиц, которые совпадают с ранее полученными формулами [1], [3].
Из формулы (25) видно, что полная скорость диффузиофоретического переноса капель в газообразной смеси состоит из скоростей теплового Uts и диффузионных Uds скольжений; скорости, связанной с растеканием молекул компонентов газовой смеси Uvt, Uvd; реактивной скорости Up; скорости Марангони Uа.
Таким образом, формула (25) для скорости диффузиофоретического движения умеренно крупных капель в двухкомпонентной газовой среде наиболее полно отражает по числу Кнудсена поправки на кривизну частицы (пропорциональные вит, вит, вис, вис), барнеттовские эффекты (пропорциональные вят, вяс), растекание молекул компонентов газовой смеси (~ Cvt, ~ Cvd), потока тепла ( CQT, Cqd) , а также фазовый переход вещества капли на её поверхности. Учтены зависимость коэффициента поверхностного межфазного натяжения от температуры и неоднородный нагрев поверхности капли внутренними источниками тепла.
Литература
1. Галоян В.С., Яламов Ю.И. Динамика капель в неоднородных вязких средах / В.С. Га-лоян, Ю.И. Яламов. - Ереван: Луйс. 1985. - 208 с.
2. Фукс Н.А. Испарение и рост капель в газообразной среде / Н.А. Фукс. - Москва: Изв. АН СССР, 1958. - 90 с.
3. Дерягин Б.В., Яламов Ю.И. Теория движения капель растворов в диффундирующей бинарной газовой смеси // ДАН СССР. - 1967. - 175;1. - C.59-62.
4. Щукин Е.Р., Яламов Ю.И., Шулиманова З.Л. Избранные вопросы физики аэрозолей / Учебное пособие для студентов и аспирантов / Е.Р. Щукин. - М.: МПУ,1992. - 297 с.
5. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика / М.: Физ. мат. лит., 1959. - 230 с.
6. Брюханов О.Н., Шевченко С.Н. Тепломассообмен / Учебное пособие / О.Н.Брюханов. -М.: Изд. АСВ, 2005. - 460 с.
7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1986. - 736 с.
8. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хаппель, Г. Бреннер. - М.: Мир, 1960. - 630 с.
9. Яламов Ю.И., Юшканов А.А. Диффузионное скольжение бинарной газовой смеси вдоль искривленной поверхности // ДАН СССР. - 1977. - 237;2. - С.303-306.
10. Яламов Ю.И., Поддоскин А.Б., Юшканов А.А. О граничных условиях при обтекании неоднородно нагретым газом сферической поверхности малой кривизны // ДАН СССР. -1980. - 254;2. - С.1047-1050.
PECULIARITIES OF THE DIFFUSIOPHORESIS MOVEMENT OF THE EVAPORATING AND GENTLY LARGE DROP K.S. Ryazanov
Belgorod State University Studencheskaya st.,14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: rksbOrambler.ru
Аннотация. The diffusiophoresis velocity of the evaporating and gently large drop being in the binary gas mixture where there are some internal heat sources is calculated. First component of the gas mixture consists of vapor molecules. Second mixture component (the supporting one) does not undergo phase transition on the particle surface. It is shown that the diffusiophoresis velocity depends on the heat gliding and the diffusion one; on the surface tension; on the reactive effect connected with the phase transition nonuniformity; on some effects connected with the flowing of gas mixture molecules along the drop surface in the Knudsen layer.
Key words: diffusiophoresis, Hadamar-Rybchinskii problem.
