Влияние движения среды на диффузиофоретическое движение крупной испаряющейся капли сферической формы в вязкой газообразной среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.72

ВЛИЯНИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ НА ДИФФУЗИОФОРЕТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ КРУПНОЙ ИСПАРЯЮЩЕЙСЯ КАПЛИ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ В ВЯЗКОЙ ГАЗООБРАЗНОЙ СРЕДЕ4)

К.С. Рязанов

Белгородский государственный университет ул.Студенческая, 14, г.Белгород, 308007, Россия, e-mail: [email protected]

Найдено аналитическое решение задачи стационарного движения при малых числах Рейнольдса крупной испаряющейся капли сферической формы, находящейся в бинарной газовой смеси при наличии градиента концентрации. Предполагается, что средняя температура поверхности частицы незначительно отличается от температуры окружающей её газообразной среды. В процессе решения газодинамических уравнений получены аналитические выражения для силы диффузиофореза с учётом влияния движения среды.

Ключевые слова: диффузиофорез, задача Адамара-Рыбчинского.

1. Рассмотрим каплю, находящуюся в бинарной газовой смеси, первая компонента которой образована молекулами вещества капли. Если на больших расстояниях от центра капли значения относительной концентрации С1 паров вещества капли меньше, чем значения С1 у поверхности капли, то при этом происходит испарение капли. Такие капли называют летучими. Нелетучими называют капли, на поверхности которых фазовый переход не происходит. Будем предполагать, что испарение капли происходит в диффузионном режиме, т.е. основным механизмом переноса молекул является диффузия. Математически это означает, что при малых концентрациях молекул паров капли мы имеем соотношение вида Ci ^ 1.

Каплю, радиус которой много меньше длины волны свободного пробега А молекул газовой смеси, окружает тонкий слой газа, имеющий толщину сравнимую с А. Этот слой называют слоем Кнудсена. В слое Кнудсена происходят столкновения молекул, вылетающих с поверхности капли, с молекулами, летящими к поверхности капли. Если слой Кнудсена оказывает слабое влияние на скорость роста или испарения капли, то каплю называют крупной, т.е. А/R ^ 1, где R - радиус капли. Потому в слое Кнудсена поверхность капли оказывает существенное влияние на диффузиофоретическое движение, и задача решается с помощью математических методов кинетической теории газов, а вне слоя Кнудсена - с помощью системы уравнений газовой динамики.

Движение капель относительно центра инерции неоднородной по составу газовой смеси при наличии градиентов относительных концентраций её компонентов называется диф-фузиофоретическим [1,2]. Когда дифузиофоретическая сила уровновешивает силу вязкого сопротивления, капля приобретает постоянную скорость диффузиофореза. Когда капля находится в поле бегущей плоской волны монохроматического излучения интенсивностью I0 и длиной волны А0, то в результате поглощения электромагнитной энергии происходит нагрев частицы, который может быть описан некоторой функцией внутренних источников

4Работа выполнена в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы, ГК № П1923 от 29.10.09

тепла qi. Молекулы газа, взаимодействующие с более нагретой частью поверхности капли, сообщают ей больший импульс, чем от холодной. В результате, происходит движение капли, получившее название фотофорез. В случае одностороннего направленного излучения источники qi принимают вид

Здесь к = 2п/Л0 - волновое число, т = п + id - комплексный показатель преломления вещества частицы, ЕДг) - напряженность электрического поля внутри частицы. Точное решение для амплитуд компонент напряженности электрического поля внутри сферической частицы дано, например, в [5,6].

Явлениям диффузиофореза крупных летучих частиц при малых относительных перепадах температуры были посвящены работы [1-3]. Учёт конвективных членов в уравнениях теплопроводности и диффузии на диффузиофотофорез в [1-3] не проводился. В данной работе проводится оценка этого влияния.

При описании термодиффузиофотофореза предполагается, что относительный перепад температуры мал, т.е. (Ts — Тж)/Тж ^ 1. При выполнении этого условия коэффициенты теплопроводности, диффузии, динамической вязкости и плотности можно считать постоянными величинами. В бинарной газовой смеси поддерживается малый постоянный градиент относительных концентраций первого и второго компонентов бинарной газовой смеси 'ЧС1е и ^С2е. Будем предполагать, что при движении капля сохраняет сферическую форму. Это предположение справедливо, если силы поверхностного натяжения значительно больше сил вязкого сопротивления. Аналитически условие сохраняемости формы капли имеет вид

где о - коэффициент поверхностного натяжения капли, и - скорость капли, величина которой имеет порядок

Здесь и далее индексы "e" и "i" относятся к газообразной среде и капле, соответственно, индексом "то" обозначены значения физических величин, характеризующие газ вдали от капли, а индексом "s" - значения физических величин, взятые при средней температуре поверхности капли, равной Ts.

Диффузиофоретическое движение будем описывать в сферической системе координат r, в, p, начало которой жёстко связано с мгновенным положением центра масс капли. Полярная ось z = r cos в направлена в сторону градиента VC1e. Капля движется с постоянной скоростью U в отрицательном направлении оси OZ. Распределения скорости и давления должны быть симметричны относительно оси, проходящей через центр капли и параллельны вектору скорости U. В рамках сформулированных допущений, распределения массовой скорости U, давления P, температуры Т и относительной концентрации первого компонента C1e описываются следующей системой уравнений [7,8]:

I 12

qi(r) = 2nkdIo |Ei(r)1 .

^JU

U - ^i2|VCie

(1)

Система газодинамических уравнений (1), (2) решалась со следующими граничными условиями в сферической системе координат г, 9, р [8]:

г = Я,

U2e{Uer + Ucos в) + D12C = 0 ,

Pe

dr

n 2

Uie( Ue + U cos в) - D12 e 2 Q_1e = UuUl + U cos в)

Pe

dr

Ue — U1 = — Ke _______e

U Ue = KtsRTe дв

ve dTe + KTrS-V— dTi_ K e

6U$ + 1 dUe 0Щ

dr r дв

dr

TS RTt дв

1 da dTi ROT, ~дв = ^

Te = T,

D12 dCie

DS R дв

dUi 1 dUi 0Ut dr + r дв

dr

(3)

(4)

(5)

(6) (7)

dT 8T-

-Xe -TL + A, —^ = LD

dr dr

12

n2em1m2 dC1e Pe dr

n1e = n1e(Ts) + ddT- STt.

(8)

(9)

(10)

(11)

C1e ^ C1e^ + \4C1e | r cos в ,

r ^ 0 , U, = to , P,\ = to , T, = to .

Здесь Ue и Ue - радиальная и касательная компоненты массовой скорости Ue; pe = p1e+p2e, P1e = n1em1, p2e = n2em2, n1e, m1 и n2e, m2 - концентрация и масса первого и второго компонентов бинарной газовой смеси; U = |U|, cpk, Ak, , Vk, D12 - удельная теплоемкость

при постоянном давлении и коэффициенты теплопроводности, динамической и кинематической вязкостей и диффузии соответственно при k = e,i; L - удельная теплота фазового перехода первой компоненты бинарной газовой смеси; K^s , K%Ts и KD>s - коэффициенты (внешнего и внутреннего) теплового и диффузионного скольжений, зависящие от коэффициентов аккомодации тангенциального импульса и энергии. Они определяются методами кинетической теории газов и могут быть взяты из [9,10]. Уравнение конвективной диффузии (1) позволяет дать полное решение задачи о распределении концентраций в системе частица-внешняя среда, в силу соотношения C1e + C2e = 1. Здесь C1e = n1e/ne, C2e = U2e/ne.

В качестве граничных условий на поверхности капли взяты: непроницаемость для радиального потока второго компонента бинарной газовой среды (3); непрерывность радиального потока первой компоненты бинарной газовой смеси, испытывающий фазовый переход (4); равенство разности касательных составляющих внешней и внутренней скоростей сумме теплового (внешнего и внутреннего) и диффузионного скольжений, пропорциональных соотвественно коэффициентам K^s, K%Ts и K^s (5); непрерывность касательных

составляющих тензора напряжений (6); непрерывность температуры (7); непрерывность потока тепла с учётом тепла, затрачиваемого на фазовый переход (8); выражение для концентрации молекул первой компоненты газовой смеси, испытывающей фазовый переход с учётом зависимости насыщенной концентрации от температуры (9). Граничные условия на бесконечности приняты в (10), а конечность физических величин учтена в (11).

В задаче имеется малый параметр е = Я\ЧС1е\. Поэтому решение уравнений гидродинамики и тепло- массопереноса ищем в виде:

ие(у, в) = ие(0) + є^(1), иі(у,0) = Иі(0) + єИі(1),

Ре(у, в) = Ре(0) + єРе

(1)

Рі{у, в) = Р(0) + єРг

(1)

(12)

(13)

te (у, в) = у) + е • й1\у, в) , и (у, в) = 40) (у) + е • *(1) (у, в) ,

С\е{у,в) = С£\у) + е • С1(1)(у,0) . Подставляя (12 - 14) в систему газодинаминамических уравнений (1) а) решение уравнений гидродинамики -

ие(у,в) = и — + и 008 в(— + — ), ирв(у, в)

у2 V у у6

(14)

(2), получаем:

и ■ в I А 2 А 1

-и 8Ш вУ - 2у6

Ре(у,в) = Рек + ^ 008 в— 2,

Ну2

игг(у,в) = и 008в (А3 + А4у2), иЄ(у,в) = —и 8Іпв (А3 + 2—4у2)

Р,(у,в) = Ро + 10А4у2 ^

СОв в

решение уравнении тепло- массопереноса имеет вид

40) = 1 + —, 4° = Д) + Н2 3

у

У У

3Л Т + / — ^у — - /Фоdy,

3Лі Тек у ] у у и

11

Здесь

(0)

— , =008 Л Г

у е у2

М1

008 в < у +--------- + ^2

у2

+ (1) ^ О і НЗ1 і ^1 ^ і 1

Ц = 008 в < ^1 у +-----------------——---- +------- +-----

І ' 1у ЗЛіТек у2 3у2 3

А2 А1

+ ^1 \ 2у " "4у3

А2 —1 ї 1

2у — 4у3/ і’

У У

у Щ Ау — ~2 хМу

у2 у2

11

4 1 1

Го = ІЯ — 1, ІЯ = Те/Тек, V = 3пН3, Зо = V ЦііїУ, З = V

г = 008 в, М1 = — 1 — ^2 Г ~2--------------4- ) + С*8

Г + (А2 А1 Г1+Ч т — т

Мо = — С1ек, С* = С, ^ = Го во, во = реСре°12 , ^ = Мо,

дТі

Ле

у = т/Е, в1 = РгСр%л^12, х = — 1 + в1^(Аз + А4у2), По = / —оАу,

Г - НЗ1 ПП Пет1т2 . А1 Л , ЛЛ А2 Л Ле . .

Гі = літк+' В12Рдкгї + тЧ1 + лг^; —тЧ1 — лгг1+

Н2Ш1Ш2 (А2 А1

+ Ь В 12 * ^2 — + —

реТекЛг5 V 2 4

Лг

5 = 1 + 2^ + 2С* Ь В12

2

П2Ш1Ш2

реТекЛг

—п = — (2П + 1)Е2у I ф,в)Рп(св8в)^в) .

2ЛгТе<

1

Постоянные интегрирования Ат (т = 1, 2,..., 5), В0, В1, входящие в выражения для полей температур, относительных концентраций, массовой скорости и давления, определяются из граничных условий на поверхности частицы (3 - 9). В частности, для коэффициента А2 имеем

где

А2 = ——

3 1 + 2^е/3^г_________є Г /5К 1 + 4^е/5^г\

2 1 + Уе/Уг и (1 + Це/^г)\ V 1 8 1 + Уе/Уг )

+

+

12

К

ПІШ1 /1 + уе + Ре_

реп2еЕ\2 уг р1г

3 — 2С*Г* + ( 2С

: ^1Ле

Ке

КТ8

Ре

Еія

К

— т( ! + 2 Л

1 да

Т3 Еіз + 3Л діг + К°3 С Е

Лг5

1 + 4уе/5уг 1 + Уе/Уг

В12

Кз

*

Г1

иЛ Ие2Ш1Ш2

Лг5 + 12 и2 РеТекЛг 5

2

+ 3Ь В12ПеШ1Ш2

ЕЗ1

Л г Те 5

ре Тек Лг5

Средняя температура поверхности капли Ts определяется из следующего выражения:

ТЯ = Теж +

1

4пЕЛе

дг дУ + ЬВ12 (С1ек — Cs).

У

реЛе

Сила же, действующая на каплю, определяется интегрированием тензора напряжений по её поверхности, и в сферической системе координат находится по формуле [7,8]

= АпЯ^е и А2пх . (15)

Выражение (15) позволяет оценивать общую силу, которая действует на крупную испаряющуюся каплю сферической формы в бинарной газовой смеси во внешнем заданном поле градиента концентрации с учетом движения среды. При этом внутри капли имеются неравномерно распределённые по её объёму тепловые источники. Конвективные члены в уравнении диффузии влияют на движение в поле градиента концентрации. Это может иметь большое значение в практических приложениях, например, при описании движения испаряющихся капель в диффузионных полях. Поскольку задача решается при малых относительных перепадах температуры, то вклад движения может составить не более 10%.

Чтобы оценить, какой вклад в силу диффузиофореза оказывает влияние движения среды (учет конвективных членов в уравнении теплопроводности и диффузии), необходимо конкретизировать природу тепловых источников. В этом случае выражения для .]0 и ,11 находятся в явном виде. В настоящее время достаточно хорошо разработаны численные методы, позволяющие решить задачу Ми внутри частицы [5,6].

Литература

1. Галоян В.С. Динамика капель в неоднородных вязких средах / В.С. Галоян, Ю.И. Яла-мов. - Ереван: Луйс,1985. - 208 с.

2. Вальтберг А.Ю. Теоретические основы охраны атмосферного воздуха от загрязнения промышленными аэрозолями / А.Ю. Вальтберг, П.М. Исянов, Ю.И. Яламов. - СПб.: Нииогаз-фильтр,1993. - 236 с.

3. Дерягин Б.В., Яламов Ю.И. Теория движения капель растворов в диффундирующей бинарной газовой смеси // ДАН СССР. - 1967. - 175;1. - С.59-62.

4. Щукин Е.Р. Избранные вопросы физики аэрозолей: учеб. пособие для студ. и асп. / Е.Р. Щукин, Ю.И. Яламов, З.Л. Шулиманова. - М.: МПУ,1992. - 298 с.

5. Борен К. Поглощение и рассеяние света малыми частицами / К. Борен, Д. Хафмен. -М.: МИР, 1986. - 660 с.

6. Пришивалко А.П. Распределение энергии внутри светорассеивающих частиц / А.П. Пришивалко, Л.Г. Астафьева. - Мн., 1974. - 288 с.

7. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Л.Д.Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука,1986. - 736 с.

8. Хаппель Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж.Хаппель, Г. Бреннер. - М.: Мир, 1960. - 630 с.

9. Яламов Ю.И., Юшканов А.А. Диффузионное скольжение бинарной газовой смеси вдоль искривленной поверхности // ДАН СССР. - 1977. - 237;2. - С.303-306.

10. Яламов Ю.И., Поддоскин А.Б., Юшканов А.А. О граничных условиях при обтекании неоднородно нагретым газом сферической поверхности малой кривизны // ДАН СССР. - 1980. - 254;2. - С.1047-1050.

INFLUENCE OF MEDIUM MOVEMENT ON DIFFUSIOPHORESIS OF LARGE VAPOR DROP OF SPHERICAL FORM IN VISCOUS GASEOUS MEDIUM

K.S. Ryazanov

Belgorod State University Studencheskaya St.,14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: [email protected]

It is found the analytic solution of the stationary movement problem at small Reinolds numbers corresponding to large vapor drop of spherical form which is in the gas binary mixture when the concentration gradient exists. It is supposed that the average temperature of the particle surface differs negligibly from the temperature of the surrounding gas medium. During the solving of the equation system of gas dynamics analytic expressions of the force and the velocity of diffusiophoresis are obtained with the account of the medium movement influence.

Key words: diffusiophoresis, Hadamar-Rybchinskii problem.