CC BY
2Всероссийская открытая научная конференция «Современные проблемы дистанционного зондирования, радиолокации, распространения и дифракции волн» - Муром 2024
УДК 53.089 DOI: 10.24412/2304-0297-2024-1-113-122
Общие и частные уравнения Гельмгольца гиротропных волноводов при нормальном намагничивании с учетом тепловых потерь
Г.Б. Итигилов1, Д.Ш. Ширапов1, В.А. Кравченко1
1 Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления
670013, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40В.
E-mail: [email protected]
Из обобщенных уравнений Гельмгольца гибридных НЕ- и ЕН- волн, учитывающих тепловые потери, для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном намагничивании [1], выведены общие уравнения Гельмгольца при нормальном намагничивании. Получены обобщенные и общие формулы поперечных компонент электромагнитного поля с учетом тепловых потерь для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном и нормальном намагничиваниях. Из общих формул поперечных компонент электромагнитного поля гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании найдены формулы поперечных компонент электромагнитного поля для нормально намагниченного гиротропного эллиптического волновода с учетом тепловых потерь. Из общих уравнений Гельмгольца НЕ- и ЕН- волн для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании и при известных поперечных компонентах электромагнитного поля для гиротропного эллиптического волновода при нормальном намагничивании определены уравнения Гельмгольца гибридных НЕ- и ЕН- волн гиротропного эллиптического волновода, учитывающие тепловые потери, при нормальном намагничивании.
Ключевые слова: Уравнения Гельмгольца, электромагнитные волны, гиротропный волновод, намагничивание, тепловые потери
General and partial Helmholtz equations of gyrotropic waveguides under normal magnetization taking into account heat losses
G.B. Itigilov1, D.Sh. Shirapov1, V.A. Kravchenko1
1East Siberian State University of Technology and Management
From the generalized Helmholtz equations of hybrid HE- and EH- waves, taking into account heat losses, for gyrotropic waveguides with orthogonally curved cross-section shapes under arbitrary magnetization [1], the general Helmholtz equations under normal magnetization are derived. Generalized and general formulas of the transverse components of the electromagnetic field are obtained, taking into account heat losses, for gyrotropic waveguides with orthogonally curved cross-section shapes under arbitrary and normal magnetization. From the general formulas of the transverse components of the electromagnetic field of gyrotropic waveguides with orthogonally curved cross-sectional shapes under normal magnetization, the formulas of the transverse components of the electromagnetic field for a normally magnetized gyrotropic elliptical waveguide are found, taking into account heat losses. From the general Helmholtz equations of НЕ- and EН- waves for gyrotropic waveguides with orthogonally curved cross-sectional shapes under normal magnetization and with known transverse components of the electromagnetic field for a gyrotropic elliptical waveguide under normal magnetization, the Helmholtz equations of hybrid НЕ- and E.Н- waves of a gyrotropic elliptical waveguide, taking into account heat losses under normal magnetization, are determined. Keywords: Helmholtz equations, electromagnetic waves, gyrotropic waveguide, magnetization, heat loss
Введение
В сверхвысокочастотных приборах, в том числе в гиротропных волноводах, используются ферриты [2, 3]. Из [4] следует, что в зависимости от материала изготовления в устройствах сверхвысоких частот тангенс угла диэлектрических потерь, например, для феррошпинели может принимать значения в диапазоне (2,5-25) 10-4. Поэтому в зависимости от материала изготовления феррита, в гиротропных волноводах, могут иметь место существенные тепловые потери, влияющие как на основные параметры гиротропных волноводов, так и на характеристики, распространяющихся в них электромагнитных волн. Отсюда следует необходимость проведения исследований влияния тепловых потерь в зависимости от материала изготовления феррита на упомянутые параметры гиротропных волноводов и характеристики, распространяющихся в них волн.
Необходимым условием проведения таких исследований является наличие частных уравнений Гельмгольца гибридных НЕ- и ЕН- электромагнитных волн для гиротропного эллиптического волновода при нормальном намагничивании с последующим определением граничных условий и решением краевой задачи.
Целью данной статьи являются получение:
1) учитывающих тепловые потери, общих уравнений Гельмгольца гибридных электромагнитных НЕ- и ЕН- волн гиротропных волноводов с произвольными ортогональными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании;
2) обобщенных и общих формул поперечных компонент электромагнитного поля с учетом тепловых потерь для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном и нормальном намагничиваниях;
3) частных формул поперечных компонент электромагнитного поля для нормально намагниченного гиротропного эллиптического волновода с учетом тепловых потерь;
4) частных уравнений Гельмгольца гибридных НЕ- и ЕН- электромагнитных волн для гиротропного эллиптического волновода, учитывающих тепловые потери, при нормальном намагничивании.
Общие уравнения Гельмгольца нормально намагниченных гиротропных волноводов с учетом тепловых потерь
Для устоявшегося во времени процесса без наведенных токов и зарядов система дифференциальных уравнений Максвелла имеет вид [2]:
rotH = jas' E,
rotE = - jaB, (1)
< _
divB = 0, divD = 0,
где H и E - напряженности магнитного и электрического полей соответственно;
B = jüH и D - магнитная и электрическая индукции соответственно;
j - мнимая единица;
s - абсолютная диэлектрическая проницаемость феррита;
a - циклическая частота монохроматического процесса;
s' = s - j—- комплексная диэлектрическая проницаемость феррита; тензор
a
магнитной проницаемости феррита
—А — Ат
А'
Ат
Мзз
где к =
аХмМо .
ом— а
Гн
Мо = 12,56 • 10 ' — — магнитная постоянная;
м
1»- е , _, ,^11 Кл
У = — = 1,76 -10 — — гиромагнитное отношение;
то кг
а
= Хм Н — угловая частота свободной прецессии магнитного момента;
Н0 — напряженность постоянного внешнего магнитного поля;
М0 — постоянная составляющая намагниченности.
В работе [1] решением системы дифференциальных уравнений (1) были получены обобщенные уравнения Гельмгольца гибридных НЕ- и ЕН- волн для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном намагничивании.
Для решения поставленных в данной статье задач воспользуемся вышеупомянутыми уравнениями. Из [1] следует обобщенное уравнение Гельмгольца гибридной НЕ- волны для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном намагничивании
^ Нг +Д22 Нг + ]у{51 Н Н2)—+ тН2 )+а2еМзз Нг = 0, где Н = Н2 - продольная;
Н и Н2 - поперечные компоненты магнитного поля;
у - постоянная распространения;
(3)
К
+ г 2
г- = г
п2 1
■Л + Г1
(
д
Л = 1,2;
К, К2- коэффициенты Ламэ [5];
д^, д2 - обобщенные поперечные координаты;
Ац = ^ = "~2" К
А22 = ^2V2 ^ п22
А + Г 2 — Г1 - + 1 21 1 11 дд!
\дЧ2
+ Г1 — Г 2
+ 1 12 1 22
А.
дЧ1;
д
дЧ2
Г12, Г 21 - символы Кристоффеля [6].
Коэффициенты Ламэ К, символы Кристоффеля Г2 и Г21, дифференциальные операторы 1-го порядка^, V1 и 2-го порядка Ах 13 А22, А12 для эллиптических волноводов имеют вид [7]:
h = h = pd; h = К = 1; V, = ———; V9 = ———;
1 2 ' 7 3 Z ' 1 j л с ' 2 1 ■"s '
pd og pd oq
(
8 =-7
o sh2g
л
pd ydg
■ +
2d2 у
;8,=Л
О sin 2q
Л
■ +
pdydq 2d
Г1 = Г2 = 1 12 1 22
a, =
1
sin 2q
2d2 :
o2
Г 2 Г1
Г21 Г11
2d2
; A„ =
1
o2
2; Д12 =
j__
-2 j2
p2d2 og2' 22 p2d2 oq2' p2d2 ogoq'
где p - фокусное расстояние эллипса;
d2 = ch2g- cos2 q; - поперечные координаты эллиптической системы
координат.
Обобщенное уравнение Гельмгольца гибридной ЕН- волны для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном намагничивании имеет вид [ 1]
^11A11Ez + ^22A 22EZ + -¡Г(^1181 E1 + ^2282 E2 )+°(^Um81 - ^22l82 )H z +
+ yko(-lH1 -mH2 - j^33Hz)-o2e'(k2 -^11^22)ez + jo(lk81 + mkS2).HZ = 0. где E3 = Ez - продольная, Ej и E2 - поперечные компоненты электрического поля.
Для гибридных НЕ- и ЕН- волн при нормальном намагничивании компоненты тензора магнитной проницаемости феррита (2) принимают вид [8]:
Ии =И\\'; ^22 =^33 =и; k = l = 0; m * 0 . (6)
Тогда с учетом (6) из (3) получим общее уравнение Гельмгольца гибридной НЕ- волны для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании
AnHz + A 22HZ + jy{S1 H1 + 82H2)- j'o2e 'mH2 + o2e^Hz = 0. (7)
Аналогично, с учетом (6) из (5) получим общее уравнение Гельмгольца гибридной ЕН-волны для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании
Ez + М22 E + jy{^\\8 E + /82 E2 m8 Hz + o2e' = 0 (8)
Обобщенные формулы поперечных компонент электромагнитного поля гиротропных волноводов с учетом тепловых потерь
Разлагая операторы гоШ и го1Е из системы (1) по осям координат, получим
V 2 Hz + J7H 2 = joe' E1; -(V 1Hz + jH ) = joe' E2;
81H2 - ^2H1 = joe' Ez.
V2Ez + JYE2 = -joB1 = -jo(^11H1 + jkH2 + jlHz ); V1 Ez + jE = joB2 = jo(- jkH1 + ^22H2 + jmH2 ); 81E2 - S2E1 = -joBz = -jo(- jlH1 - jmH2 + ^33Hz i
(9)
(10)
Из (9) и (10) выразим поперечные компоненты электрического поля. Для этого из первого уравнения (9) находим
H 2 = — (jas* E -V 2 Hz ).
(11)
jy
aS E -
U22aV 2 H 3
Подставив (11) во второе уравнение (10), получим
V Ez + ]уБ1 = ]а{— АкНх + м22Н2 + jmHz ) = а>Ш1 + АМ22<
У У
Откуда после соответствующих преобразований относительно Е будем иметь
- amH.
F - jy E = - b2
V Ez - akH +
M22a
. У
Л
V +am
H„
где
l2 2 i 2 b =a ^22£ -y
Далее, из второго уравнения (9) выразим
H1 = -—{jas' E2 +V1 Hz)
jy
(12)
(13)
(14)
Подставив (14) в первое уравнение (10) получим
2 ' 77
V2Ег + АуБ2 =—Аф{мпН1 + АШ2 + АНх) = а мае 2 + М аVxHz +аШ2 +а!Нг.
У У
Тогда после несложных преобразований относительно Е2, получим
F - У
E2 =--2
a
V 2 Ez - akH2 -
. y
V1 +al
H
(15)
где
2 2 i 2 a =a Hus-y .
(16)
Дальше из правых частей (12) и (15) исключим поперечные компоненты Нх и Н2, соответственно. Для этого подставляя (14) в (12) получим
Г.. т Л
F - jy Ej = - b
V Ez - akH +
М22< У
V2 +am
H,
JL b2
Vj Ez -ak - — (jas' E2 +Vj Hz )| +
jy
М22< У
V 2 +am
H
(17)
jyVj Ez ja2 ks'E2 akV x H3 j^22aV2 Hz jyamH
Подставив (11) в (15) имеем
F - jy
E2 =--2"
a
V 2 Ez -akH2 -
b2
Mia
y
V +al
H
JL
a2
f
V E z - a k
— (jas' Ej-V 2 Hz )|-v jy
í
Mia
y
\
V, +al
H
(18)
jfó 2 Ez , ja2 kSE1 akV 2 Hz , jMliaV1 Hz , jyalHz
-^--1--^---^--1--^--1--^-
a
a
a
a
a
Из формул (17) и (18) следует, что, подставляя одно уравнение в другое, можно получить поперечные компоненты электрического поля Е1 и Е2, выраженные через продольные компоненты электрического и магнитного полей. Поэтому, подставив в (17) выражение (18), получим
z
E—__ш_JV E +
E ab -a4s2 k2 Г*1 +
Г®М22 P2
Л
V + am
y a
,2 2
H -
ja2s' k
2•Ly z | l
as
(19)
где
-2 _ ,,2„i №ii№22 k .,2
p — as
№■22
y .
После подстановки в (18) формулы (17), будем иметь
E —__y_JV E -
E2 a2b2 -a4s'2 k2 Г 2E
№ g- V + al
y b2 1
jas k Hz + 7 2
У
b2
VEz +1 V + |Hz as'
(20)
(21)
где
g2 — aVAl^22 k2 - y2.
№i
(22)
Выражения (19) и (21) являются обобщенными формулами поперечных компонент электрического поля для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном намагничивании с учетом тепловых потерь.
Для определения поперечных компонент магнитного поля преобразуем (14)
H — - .1 {jas E2 + V Hz ) — - j — {jas 'E2 + V Hz ) — - + jVlHz. (23)
jy j jy y y
Далее, подставляя в (23) формулу (21), получим
Н =SE | jViHz
1 y 2 y
as
y
jyb2
2 7 2 4 |2 7 2
a b -as k
V E -
V 2Ez
2
0№ii g_ V + al y b
Hz +
ja 2s k
J
b2
Vi Ez +
+ | yV2 + am |Hz l as' J
К
+
jVi Hz
y
jyb2
2 2 4 2 2
a b -as k
as
y
V E -
V 2 Ez
22 a s №ii g
y2 b
V +
a2s'l
2 ' i
y
Hz +
ja 2s'k
b2
as
y f
+
Vi Ez +
V 2 +
a2s'm^
y
H
К
+
jVi Hz
У
В последнем выражении внесем в фигурную скобку 'Ш и тогда получим
y
H —
jyb7
i 27.2 4 |2 7 2
a b -as k
as
y
V E -
V 2Ez
^ 2 2 2 , тЛ
a №ii g v | a sl
2 7.2 i
V
y2b
y
27.2 4 |2 7 2
Hz + a b k Vi Hz +
J
y b
+
ja 2s'k
b2
as
y
Vi Ez +
V 2 +
a2s'm^
y
H
После соответствующих преобразований окончательно получим
2
a
<
<
Н = -
/уЬ2
ае
а2Ь2 — а4е '2 к2
V Е —
у 2Ег
V! +
а2е'Л
Н +
А®2 ке'
ае
Vl Ег +
V 2 +
а2е' т^
Н
. (24)
Для определения поперечной компоненты Н2, воспользуемся формулой (11), которую перепишем
Н = -1 С/ае' Е — VН ) = — Е + . (25)
/У У
Затем подставив в (25) формулу (19), получим
1 / . . „ „ „ ч ае ' „ /V 2 Нг
У
Н 2 = — {/ае ' Е1 — V 2 Нг )=-Е1
+ -
/У
ае У
/Уа
а Ь2 — а4е'2 к2
У
Vl Ег +
У
2
а«22 р _
22 ^V +ат
У а2 2
Л
Н —
/а2е к
а
V Е —
у 2 Ег
У
ае'
V1 + а/ IНг
+
/V 2 Нг У '
После внесения
2Н в фигурную скобку получим
У
Н =__АУУа_
2 а2Ь2 — а4е'2 к2
ае
У
Vl Ег +
í 2 ( 2 2 / 2 4 (2 /2
а е «22 Р а2Ь —ае к ^ - 22 —— V--V +
2 „2 У 2 2 2 У 2 +
2
а е т
У
а
Уа
У
Н г —
/а2е к
а
ае
У
V 2 Ег —
Vl +
а2еЧл
У
Н,
После компоновки и группировки последней формулы получим
Н =—-
/У
2 Т 2 4 |2 1
а Ь — аек
422
ае
У
Vl Ег +
V 2 +
а2е т^
У
Н г —
/а2 ке
ае
У
V 2 Ег —
2
Vl +
а е'/
У
Я,
(26)
Выражения (24) и (26) представляют обобщенные формулы поперечных компонент магнитного поля для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения, с регулярной продольной осью, совпадающей с осью Z декартовой системы координат, при произвольном намагничивании.
Общие и частные формулы поперечных компонент электромагнитного поля гиротропных волноводов с учетом тепловых потерь
В эллиптической системе координат при нормальном намагничивании направление внешнего магнитного поля совпадает с координатной осью р и элементы тензора магнитной проницаемости феррита (2) выражаются формулой (6). Поэтому (13), (16), (20) и (22) принимают вид
2 2 | 2 7 2 2 | 2
а = а «е у , Ь = а «е У ,
2 2 | 2 2 2 | 2 g = а е « — у , р = а е «у — у .
Откуда следует, что
2 2 2 I 2/2 2 2 I 2
а = р = а е м—у , Ь = g = а е « — у .
2 т 2 _ 2 _ 2 |
(27)
Подставив (6) и (27) в обобщенные формулы поперечных компонент электрического поля (19), (21) и в обобщенные формулы поперечных компонент магнитного поля (24), (26) получим общие формулы поперечных компонент электромагнитного поля для
2
Ь
У
У
У
У
2
а
гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании
Е = —£{V,Мч2 + тууг} = —^{V,Е },
е = —2Е -О* V,Н I
а
У
(28)
Н, = £V2Ег -V,Н
Ш 2 =- ЬУ {У V, Е^ +
(
V 2 +
со2е'тЛ'
У
НА-У ^ Ег +V тн;
где дифференциальные операторы 1-го порядка с учетом намагниченности при нормальном намагничивании имеют вид
Vт =V 2 + т у, Vт =V 2 +с2£'т
/ У
Для определения поперечных компонент электромагнитного поля гиротропного эллиптического волновода при нормальном намагничивании, подставим коэффициенты Ламэ в эллиптической системе координат из (4) в (28). Тогда получим
Е, =-У±-
4 Ь2 рй
Е =-2У—
ф а2 рй
дЕ; со/л, д4 у
д 7 т — + Рй~ У дф /
\
И
Н4=
4 а рй
и — ф ь 2 р
дЕ 2 / дН 2 дф у д4
7 дЕ дН.
у дф д4 /
(29)
сое' дЕ;
у д4
■ +
д с 7 т 7 --1--ра
дф у
\
Н
Уравнения Гельмгольца нормально намагниченного гиротропного эллиптического волноводов с учетом тепловых потерь
Для определения уравнения Гельмгольца гибридной НЕ- волны для гиротропного эллиптического волновода при нормальном намагничивании, подставим выражения для поперечных компонент Н4 = Н и Нф = Н2 из (29) в формулу (7) и с учетом (4), получим
/1 Ь2 д2Н7 д2Н 2 " " "Л
+ + Р й
2
/и а д4 дф
т 8го2 ф
Р2
к / 2ра у
Н2 =
у Ь 2 — а2 д2 Е т сое' т дЕ2 ' ~+ еа ~
(30)
со/и а д4дф /и д4
2 2 2 2 / — т 2 где р = с е ---у .
Далее, подставив выражения для поперечных компонент Е4 = Е1 и Еф = Е2 из (29)
в (8) и с учетом (4), получим уравнение Гельмгольца гибридной ЕН- волны для гиротропного эллиптического волновода при нормальном намагничивании
д2Еу Ь2 д2 Е , 2 2,2^ У Ь2 — а2 д2Н
-у +~т-у + Ь р й Е2 =—-----
дЕ а др ае' а дЕдр
Е , р л Е р (31)
— атрй
дЕ 2й
2
у
Ну.
Выводы
1. Из обобщенных уравнений Гельмгольца гибридных НЕ- (3) и ЕН- волн (5) для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном намагничивании, учитывающих тепловые потери [1], выведены общие уравнения Гельмгольца гибридных НЕ- (7) и ЕН- волн (8) для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании, учитывающие тепловые потери;
2. Получены обобщенные формулы поперечных компонент электрического (19), (21) и магнитного (24), (26) полей для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения, учитывающие тепловые потери, при произвольном намагничивании;
3. Из обобщенных формул поперечных компонент электрического (19), (21) и магнитного (24), (26) полей определены общие формулы поперечных компонент электромагнитного поля для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения, учитывающие тепловые потери, при нормальном намагничивании (28);
4. Из общих формул поперечных компонент электромагнитного поля (28) для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения найдены формулы поперечных компонент электромагнитного поля для гиротропного эллиптического волновода, учитывающие тепловые потери, при нормальном намагничивании (29);
5. Из общих уравнений Гельмгольца (7) и (8) с учетом поперечных компонент электромагнитного поля (29) определены частные уравнения Гельмгольца гибридных НЕ- (30) и ЕН- волн (31) для гиротропного эллиптического волновода при нормальном намагничивании, учитывающие тепловые потери.
Литература
1. Итигилов Г.Б., Ширапов Д.Ш., Кравченко В.А. Обобщенные, общие и частные уравнения Гельмгольца гиротропных волноводов // Радиотехника. 2023. Т. 87. № 12. С. 137-148. Б01: https://doi.org/10.18127/j00338486-202312-15
2. Микаэлян А.Л. Теория и применение ферритов на сверхвысоких частотах. -Л.: Госэнергоиздат, 1963. 664 с.
3. Гуревич А.Г., Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. -М.: Физматлит, 1994. 464 с.
4. Устинов А., Кочемасов В., Хасьянова Е. Ферритовые материалы для устройств СВЧ-электроники. Основные критерии выбора // СВЧ-электроника. 2015. №8. С.86-92.
5. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. -М.: Наука. 1967. 780 с.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука. 1973. 832 с.
7. Итигилов Г.Б., Ширапов Д.Ш. Математическое моделирование распространения электромагнитных волн в гиротропных волноводах // Улан-Удэ: Издательство ВосточноСибирского государственного университета технологий и управления. 2022. 154 с.
8. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Современные методы проектирования линий передач и резонаторов сверх- и крайне высоких частот. -М.: Педагогика-Пресс, 1998. 328с.
