CC BY
14
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА ДАННЫХ
УДК 621.372.823:537.622.6
doi: 10.18101/2304-5728-2016-2-85-90
О Г. Б. Итигилов, Д. Ш. Ширапов, В. И. Сажин
Уравнения Гельмгольца электромагнитных волн в гиперболически намагниченных гиротпропных эллиптических волноводах
Получены обобщенные уравнения Гельмгольца электромагнитных волн в регулярных волноводах с ортогональными формами поперечного сечения, заполненных намагниченным ферритом (гиротропной средой). Рассматривается один из двух случаев поперечного намагничивания феррита, когда направление распространение электромагнитной волны и направление внешнего намагничивающего постоянного магнитного поля перпендикулярны, а именно - нормальное намагничивание. Математической основой является модифицированный метод инвариантных преобразований, позволяющий легко осуществить переход к любому регулярному волноводу с прямолинейной и криволинейной ортогональной формой поперечного сечения: прямоугольному, круглому, эллиптическому. На базе полученных выражений впервые выведены уравнения Гельмгольца для наименее исследованных гиротропных эллиптических волноводов при нормальном (гиперболическом) намагничивании. Представленные уравнения Гельмгольца позволяют поставить и решить краевую задачу эллиптического волновода при гиперболическом намагничивании с дальнейшим получением дисперсионного уравнения.
Ключевые слова: произвольное намагничивание, тензор магнитной проницаемости феррита, поперечные компоненты электромагнитной волны, коэффициенты Ламэ, символы Кристоффеля.
О G. B.Itigilov, D. Sh. Shirapov, V. I. Sazhin
Helmholtz equations of electromagnetic waves in hyperbolic the magnetized gyrotropic elliptic wave guides
The generalized equations of Helmholtz of electromagnetic waves in the regular wave guides with orthogonal forms of a transverse section filled with the magnetized ferrite (the gyrotropic environment) are received. One of two cases of cross magnetization of ferrite when the direction distribution of electromagnetic wave and the direction of the outside magnetizing constant magnetic field are perpendicular is considered, namely - normal magnetization. A mathematical basis is the modified method of invariant conversions allowing to realize easily transition to any regular wave guide with the rectilinear and curvilinear orthogonal form of a transverse section: rectangular, round, elliptic.
On the basis of the received expressions Helmholtz equations for the least probed gyrotropic elliptic wave guides for the first time are removed in case of normal (hyperbolic) magnetization. The provided Helmholtz equations allow to deliver and solve a boundary value problem of an elliptic wave guide in case of hyperbolic magnetization with further receiving the dispersing equation.
Keywords: the arbitrary magnetization, tensor of magnetic conductivity of ferrite, cross components of an electromagnetic wave, coefficients of Lame, symbols of Christoffel.
Введение
При разработке различных приборов сверхвысокочастотного диапазона (гираторы, циркуляторы, фазовращатели, ослабители и другие) широко применяются намагниченные ферриты [1, 2]. Феррит при этом может быть намагничен продольно, когда направления распространения электромагнитной волны и намагниченности феррита совпадают, или поперечно, когда они перпендикулярны. В большинстве случаев рассматриваются гиротропные волноводы с круглой и прямоугольной формой поперечного сечения [1-3]. В указанных и в других работах анализ гиротроп-ных эллиптических волноводах носит фрагментарный характер или ограничиваются изотропным случаем.
Целью настоящей работы является получение уравнений Гельмгольца НЕ и ЕН волн гиротропного волновода с ортогональной формой поперечного сечения при нормальном намагничивании и на их основе переход к гиротропному эллиптическому волноводу при гиперболическом (нормальном) намагничивании.
1. Уравнения Гельмгольца НЕ-волн
В [4] было получено общее выражение, позволяющие вывести уравнения Гельмгольца НЕ-волны для гиротропного волновода с ортогональной формой поперечного сечения при произвольном намагничивании:
AnHz + A22HZ +jy{S1H1 + S2H2 ) - jco 2slHl - jco 2smH2 +
®V33 Hz =0.
(1)
где AU=51V1=^-
K
( Я 2 1 ^
■я 1
,81 = —
A )d(ii h y dqi
д
+ Г
A22 = <52V2 =7J
- Г1 - Г2 1 12 1 22
Л
5 • Л 1
¿>9 = —
( Я ^ 1
5 ■ -1 • V, =—-
- + г
- 1 ^ 12 " 2.1 - > "2 ~ , Т г * 12 ' 1 1 я '
дq2 )дЧ2 Ь2{дд2 ) к1дц1
Н3 = Ну - продольная, Н1шН2 - поперечные компоненты магнитного поля; / - мнимая единица; у - постоянная распространения; /?1. И2 - коэффициенты Ламэ; ,42 ~ обобщенные поперечные координаты; Г\2,
Г 21 - символы Кристоффеля; со - циклическая частота; е — диэлектрическая проницаемость феррита, 1,т,ц33 - компоненты тензора
магнитной проницаемости феррита.
Тензор магнитной проницаемости феррита при произвольном намагничивании можно записать в виде [5]:
у" 11 jk Я
|И= - Зк ^22 }т > (2)
А - ]т ц33
где ¡и^ 1, /¿22, Ц33 ,к,1,т - компоненты тензора.
При нормальном намагничивании компоненты тензора магнитной проницаемости феррита примут вид:
/"11 = И\\', /"22 = /"зз =М', к = 1 = 0; МФО. (3)
Тогда выражение (1) с учетом условий (3) примет вид:
Апнг +&22нг + 82Н2 ) - /со 2етН2 + а2еуН2 =0. (4)
Поперечные компоненты электромагнитных волн в гиротропных волноводах с ортогональной формой поперечного сечения при нормальном намагничивании имеет вид [4]:
_11 . 9 \viEz + У2+-7 \Н2
Ь2 1 7 ' И )
е2 = _11 2 Е2 - М>1Л
а { 7 1
Я1 = 4{ Л,
а1 { 7
(5)
У9 +■
м> ет
Н,
где V. =
1 8
И, дд,
1=1,2; 1'.\. Е2 - поперечные компоненты электрического
продольная компонента электрического поля;
поля; Еъ = Е2
2 2 2 2 2 2 а =м> ещ-у ; Ь =м> ец- у .
Подставив в формулу (4) выражения для поперечных компонент Ну и Н2 из системы (5) получим уравнение Гельмгольца НЕ-волн для гиротропных волноводов с ортогональной формой поперечного сечения при нормальном намагничивании:
/"II Ъ1
——А пН2 +Д??Я
И а
2211!
> 2 2 у о -а
ац а2
АпЕг
V
соет
2 т Г с +-у- '
1 ^ 12
н7 =
(6)
И
2 2
2 2 М ~т 2 л где с = со s--у ; Д
12 = <51V2 =-
1 д д
/л к]к2 <3^ <3<?2
Коэффициенты Ламэ, символы Кристоффеля, дифференциальные операторы 1-го и П-го порядков для эллиптических волноводов имеют вид [4]:
15 15
% =её; к-, =к7 = 1; V, =--;У7 =--;
еа Од еа Оср
8 =— д 1 ed
_ Sh2%
W^Ld2
\
1 ( д
О 2 =-
ed
sin 2 ср дер 2 d:
\
1 _ 2 _ Sin2(p 2 _Г1 _ ЗЩ 1 12 - 1 22 - > 1 21 -1 11-
(7)
2dz
д2 1 ;2 ' 22 - 22
2dz
'■_ __l__
n~^2d2^W
где Е, , q2 = (р, q3 = Z - координатные линии эллиптической системы координат; е - фокус эллипса; d2 = с И2 с; - cos2 ср .
Подставив выражение (7) в формулу (6) получим уравнение Гельмгольца НЕ-волн гиротропного эллиптического волновода при гиперболическом намагничивании:
И\\ b2 82Hz м а2 д%2
д2Н
и п 7 2 12
+-+ е d
2 т sin 2 (р
дер'
\
У-
И 2 ed'
Hz =
у Ъ2 -а2 д2Е2
w ц
д^дер
ed
wsm dEz
(8)
И
где
2 2 2 2 2 а = со ец\i - у = со £ш\-у ;
lZ I II I
b = со £Ц22 ~У =а 81и~У ^
2 2 2 2 М ~т с = со е1-
И
2. Уравнения Гельмгольца ЕН-волн
Общие выражения, позволяющие вывести уравнения Гельмгольца ЕН-волны для гиротропного волновода с ортогональной формой поперечного сечения при произвольном намагничивании [4]:
МАА + М22А22Ег +]у{ИлАЕ1 +М2232Е2) + со(^1тб1 -ц22152)Н2 +
+уксо(-1Н1 -тН2 - ][хъъН2 ) - со 2е (к2 - /л11ц22}Е2 + (9)
+/ю (1к8х + тк82) ,Н2 = 0.
Выражение (9) для случая нормального намагничивания с учетом условий (3) примет вид:
¡и^АпЕ2 + цА22Е2 + ]у^,51Е1 + цд2Е2^ + соц^тд^Н 2 + со2е/и^/иЕ2 =0. (10)
Подставив в формулу (10) выражения для поперечных компонент Е1 и Е2 из системы (5) получим уравнение Гельмгольца ЕН-волн для гиро-тропных волноводов с ортогональной формой поперечного сечения при нормальном намагничивании:
AnEz +^ТЛ22Ez +b2Ez = — b 2 А12hz ~(om8xHz. (11)
a cos a
Подставив выражение (7) в формулу (11) получим уравнение Гельмгольца ЕН-волн гиротропного эллиптического волновода при гиперболическом намагничивании:
'^+bl^_ + b2e2d2E = ^Ъ2-а2 d2Hz _ д%2 а2 дер2 (os а2 д^дер
(1Z)
- comed
f _д_ shl§} di; + 2d2
Н,
Заключение
Впервые получены для гиротропных эллиптических волноводов при гиперболическом намагничивании уравнения Гельмгольца для НЕ-волны (8) и ЕН-волны (12). Полученные уравнения позволяют поставить и решить краевую задачу с последующим выводом дисперсионных уравнений для анализа особенностей распространения электромагнитных волн в указанных волноводах. Результаты дисперсионного анализа имеют большой практический интерес для построения различных приборов сверхвысокочастотного диапазона.
Литература
1. Микаэлян А. Л. Теория и применение ферритов на сверхвысоких частотах. — Л.: Госэнергоиздат, 1963. — 664 с.
2. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. — М.: Физматлит, 1994. — 464 с.
3. Раевский С. Б., Седаков А. Ю., Титаренко А. А. Метод электродинамического расчета прямоугольных закрытых волноводов с произвольным анизотропным заполнением // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2012. — Т. 15, №3. — С.14 - 21.
4. Итигилов Г. Б. Математическое моделирование распространения электромагнитных волн в ограниченных гиротропных областях произвольной формы // Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Бурятский государственный университет. — Улан-Удэ, 2014,— 146 с.
5. Неганов В. А., Нефедов Е. И., Яровой Г. П. Современные методы проектирования линий передач и резонаторов сверх- и крайневысоких частот. — М.: Педагогика-Пресс, 1998. — 328 с.
References
1. Mikaelyan A. L. The theory and application of ferrite at microwave frequencies. — M.-L.: State Power Press, 1963. — 664 s.
2. Gurevich A. G., Melkov G. A. Magnetic of fluctuation and waves. — M.: Fizmatlit, 1994. — 464 s.
3. Rajevski S. В., Sedakov A. Yu., Titarenko A. A. Electrodynamic method of calculating the rectangular closed waveguides with arbitrary anisotropic filling // Physics of wave processes and radio engineering systems. — 2012. — T. 15, No. 3, — S. 14-21.
4. Itigilov G. B. Mathematical model operation of propagation of electromagnetic waves in restricted gyrotropic areas of the arbitrary form // Dissertation for the degree of candidate of technical sciences. — Buryat State University. — Ulan-Ude, 2014. — 146 p.
5. Neganov V. A., Nefedov E. I., Yarovoi G. P. Modern methods of designing of lines of transfers and resonators microwave and optical frequencies. — M.: Pedagogika-Press, 1998. — 328 s.
Итпгплов Гарма Борисович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электронные вычислительные системы» Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, e-mail: gablz@mail.ru.
Ширстов Дашадондок Шагдарович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Электронные вычислительные системы» Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, e-mail: shir48@mail.ru.
Сажгт Виктор Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Радиофизика и радиоэлектроника» Иркутского государственного университета, e-mail: sazhin@physdep.isu.ru.
Itigilov Garma Borisovich, PhD in Engineering, associate professor of the department "Electronic computer systems" of East Siberian State University of Technology and Management.
Shirapov Dashadondok Shagdarovich, DSc in Physics and Mathematics, Professor, head of the department "Electronic computer systems" of East Siberian State University of Technology and Management.
Sazhin Victor Ivanovich, DSc in Physics and Mathematics, Professor, head of the department "Radiophysics and radio electronics" of Irkutsk State Univer-
