CC BY
18
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА ДАННЫХ
УДК 621.372.823:537.622.6
doi: 10.18101/2304-5728-2017-4-42-47
УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ГИРОТРОПНЫХ ВОЛНОВОДАХ ПРИ КАСАТЕЛЬНОМ НАМАГНИЧИВАНИИ
© Итигилов Гарма Борисович
кандидат технических наук, доцент,
Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления 670013, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40В E-mail: [email protected]
О Ширапов Дашадондок Шагдарович
доктор физико-математических наук, профессор,
Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления 670013, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40В E-mail: [email protected]
© Аиахии Владимир Дмитриевич
доктор технических наук, профессор Бурятский государственный университет 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а E-mail: [email protected]
Получены обобщенные уравнения Гельмгольца гибридных волн в регулярных гиротропных волноводах с ортогональными формами поперечного сечения при касательном намагничивании. Полученные уравнения инварианты относительно преобразования координат. Это позволяет легко получить уравнения Гельмгольца для конкретных типов волноводов с ортогональными формами поперечного сечения: прямоугольным, круглым, эллиптическим. Представлен переход к гиротропному эллиптическому волноводу при касательном (эллиптическом) намагничивании.
Ключевые слова: касательное намагничивание; тензор магнитной проницаемости феррита; уравнения Гельмгольца; коэффициенты Ламэ; символы Кристоффеля; эллиптический гиротропный волновод.
Введение
В технике сверхвысоких частот получили широкое распространение магнитные материалы, называемые ферритами. Это обстоятельство привело к развитию электродинамики гиротропных и анизотропных сред, которая является научной основой построения весьма разнообразных устройств в самых различных областях техники высоких частот [1]. При этом в основном рассматриваются случаи прямоугольного и круглого волноводов с продольно-намагниченным ферритом, на основе которых разраба-
тываются ферритовые устройства фарадеевского типа [2, 3,4].
В технике сверхвысоких частот также используются гиротропные волноводы с поперечно-намагниченным ферритом [2, 5]. В этих и в других работах мало или совсем не рассматриваются гиротропные эллиптические волноводы [см., например, 6], которые имеют определенные преимущества перед круглыми [7].
Целью настоящей работы является получение уравнений Гельмгольца НЕ и ЕН волн гиротропного волновода с ортогональной формой поперечного сечения при касательном намагничивании и на их основе переход к гиротропному эллиптическому волноводу при касательном (эллиптическом) намагничивании.
1. Уравнения Гельмгольца для гибридных волн типа НЕ
Ранее в работе [8] было получено общее выражение, позволяющие вывести уравнения Гельмгольца НЕ-волны для гиротропного волновода с ортогональной формой поперечного сечения при произвольном намагничивании:
А\Иу. +А22ИУ. +32Н2)-]Ю2£1Н1 - ¡со2етН2 + + со 2ец33Н2 = О,
(1)
где
(
— + Г2 -Г1
- 21 1 11 дд1
\
д
+ Г
А2 =<5 2^2 ="у
дд2
-Г1 -Г2
1 12 1 22
\
дд2
5'-'У
п2
(
дд2
Л
К
К дЧг
Н3 = Ну — продольная, Н ] и Н2 — поперечные компоненты магнитного поля; / — мнимая единица; у — постоянная распространения; /?1. /?2 — коэффициенты Ламэ; д1, д2 — обобщенные поперечные координаты; Г\2, Г21 — символы Кристоффеля; со — циклическая частота; е — диэлектрическая проницаемость феррита, I, т, ¡и33 — компоненты тензора магнитной проницаемости феррита.
Тензор магнитной проницаемости феррита при произвольном намагничивании имеет вид [9]:
у" 11 # Я
|И= - Зк 1*22 ]'т ' (2)
А - № ^зз _ где цп,ц22,¡и33,к,1,т — компоненты тензора.
Существует два случая поперечного намагничивания, когда постоянное внешнее намагничивающее поле Н0 параллельно одному из двух поперечных координатных линий. При касательном намагничивании компоненты тензора магнитной проницаемости феррита примут вид [9]:
/"22 = И\\', Ии = Мзз к = т = 0; 1ф0 . (3)
С учетом (3) формула (1) для касательного намагничивания примет вид:
ЛиН2 + Л22Н 2 + ]у(д1Н1 +82Н2)~ ]'(02е1Н1 +а2е]иН2 = 0. (4) Поперечные компоненты электромагнитных волн в гиротропных волноводах с ортогональной формой поперечного сечения при касательном намагничивании имеет вид [4]:
V2#z 1,
У
а
Т7 1
V У
Л
я.
« Г
VI +
(5)
Я,
где , Е2 — поперечные компоненты электрического поля; Е3 = Ег — продольная компонента электрического поля; а2=со2ец — у2;
г. 2 2 2
о =а> ец^ - у .
Подставив выражения для поперечных компонент Ну и Н2 из системы (5) в формулу (4), получим уравнение Гельмгольца гибридных НЕволн для гиротропных волноводов с ортогональной формой поперечного сечения при касательном намагничивании:
л и а л и (2
ЛиНг +— ТтАцНг + с + X И ъ2 \
.Ш
и К
2 Л
Н2 =
у Ъ2-а2 л г ^ 1 «г
---2—АпЕг + ®е-У2Е2,
соц а ¡и
(6)
2
где с = о) £
2^2-12
-X2; А12 =3^2 =■
1 д д
ц к]к2 <3^ <3<?2
Коэффициенты Ламэ , символы Кристоффеля Г\2 и /';, , дифференциальные операторы 1-го <5г, Уг и П-го порядков Л,,, Л22, А12д.та эллиптических волноводов имеют вид [8]:
1 а 1 а
\ =hn = ed; h-, =h7 =1;V, =--;V9 =--;
1 A D Z, 1 £ 7 ^
ed 8g ed Sep
1 ed
f
_ Sh2%
\
•л
ed
(
1 _ 2 _ Sin2(p 2 _ rl
1 \2 — 1 22 — „ ,2 ' 1 21 ~ 1 \\ ~
sin 2 w
- +-7Г-
8<p 2d2
Sh2%
\
(7)
4i=-
l
2d
d2
2d/
e2d2 8%
=
8 8
2 ' 22
i r __i___
e2d2 8(p2 ' 12 ~ e2d2 8£
где E, , q2 = (p, = Z — координатные линии эллиптической системы координат; е — фокус эллипса; d2 = ch2^ - cos2 <р .
Подставив выражение (7) в формулу (6) получим уравнение Гельмгольца НЕ-волн гиротропного эллиптического волновода при эллиптическом намагничивании:
82Н1 8%2
И\\ Ъ2 8 Н /л а2 8ср2
.2 „2 Я2,
(
■ + е d'
9 I sh2Е с +у ^
\
/л 2 ed:
Hz =
у Ъ2 -а2 8 Ez I ,
= —-----— + we —ed
w ju
a
8£,8cp
И
6EZ 8cp
(8)
2. Уравнения Гельмгольца для гибридных волн типа ЕН
В работе [8] были получены общие выражения, позволяющие вывести уравнения Гельмгольца ЕН-волны для гиротропного волновода с ортогональной формой поперечного сечения при произвольном намагничивании:
1ЧА\Ег + ^22А22Е2 +ММ1АЕ1 + И2282Е2) + а(Нит8\ ~^22152)Нг + + ука>(-1Н1 -тН2 - /ЦЪЪН2) - со2 е{к2 - ]ии]и22^Е2 + ](о{^к8х + тк32).Н2 =0.
(9)
Для случая касательного намагничивания формула (9) с учетом условий (3) примет вид:
¡иАиЕг +/и11А22Ег + ]у(]л81Е1 +Ццб2Е2)-а>Цц1б2Н2 +со2£^Е2 =0.
(10)
Подставив выражения для поперечных компонент Е1 и Е2 из системы (5) в формулу (10) получим уравнение Гельмгольца гибридных ЕН-волн для гиротропных волноводов с ортогональной формой поперечного сечения при касательном намагничивании:
2 7.2 2
у о -а
TTAi EZ + ^22EZ + ^EZ =■
b cos
-AnHz -col82Hz.
(11)
Подставив выражение (7) в формулу (11) получим уравнение Гельм-гольца ЕН-волн гиротропного эллиптического волновода при эллиптическом намагничивании:
а2 82Е2 82Е2 2 2 ~ у Ь2 - а2 д2Н2
1' 1 '-а е с! Е7 =
Ь2 д£2 дер2 Z eos а2 д£да>
\ л (12>
, , 8 sin 2ср - colea
дер 2 d
2
Hz.
Заключение
Получены уравнения Гельмгольца гибридных волн типа НЕ (6) и ЕН (11) обобщенного гиротропного волновода с ортогональной формой поперечного сечения при касательном намагничивании.
На основе уравнений (6) и (11) получены новые уравнения Гельмгольца гибридных волн НЕ (8) и ЕН (12) для эллиптического гиротропного волновода при эллиптическом намагничивании.
Последующее решение краевых задач для уравнений (8) и (12) позволят исследовать физику распространения электромагнитных волн в таких устройствах СВЧ как вентиля и управляемые фазовращатели, построенные на основе поперечно-намагниченных гиротропных эллиптических волноводов и учесть особенности распространения электромагнитных волн в них на практике.
Литература
1. Сул Г., Уокер Л. Вопросы волноводного распространения электромагнитных волн в гиротропных средах: пер. с англ. М. 1955. 192 с.
2. Микаэлян А. Л. Теория и применение ферритов на сверхвысоких частотах. Л.: Госэнергоиздат, 1963. 664 с.
3. Агалаков А. Н., Раевский С. Б., Титаренко А. А. О решении краевых задач для волноводов с анизотропным заполнением // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. Т. 53, № 7. С. 11131123.
4. Особенности построения фазированных антенных решеток миллиметрового диапазона волн для РЛС зенитно-артиллерийского комплекса малой дальности / Шевцов О. Ю. [и др.] // Известия Российской академии ракетных и артиллерийских наук. 2010. № 65. С. 61-69.
5. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. 464 с.
6. Гончаренко А. М., Карпенко В. А. Основы теории оптических волноводов. Изд. 2-е, испр. М.: Едиториал УРСС, 2004. 240 с.
7. Ефимов И. Е., Шермина Г. А. Волноводные линии передачи. М.: Связь, 1979. 232 с.
8. Итигилов Г. Б. Математическое моделирование распространения электромагнитных волн в ограниченных гиротропных областях произвольной формы: дис... канд. техн. наук / Бурятский государственный университет. Улан-Удэ, 2014. 146 с.
9. Неганов В. А., Нефедов Е. И., Яровой Г. П. Современные методы проектирования линий передач и резонаторов сверх- и крайневысоких частот. М.: Педагогика-Пресс, 1998. 328 с.:ил.
HELMHOLTZ EQUATIONS OF ELECTROMAGNETIC WAVES IN GYROTROPIC WAVE CONDUCTOR DURING TANGENT MAGNETIZATION
Garma B. Itigilov
Cand. Sci. (Engineering), A/Prof.,
East-Siberian State University of Technology and Management, 40v Klyuchevskaya St., Ulan-Ude 670013, Russia E-mail: [email protected]
Dashadondok Sh. Shirapov Dr. Sci. (Phys. and Math.), Prof.,
East Siberian State University of Technology and Management, 40v Klyuchevskaya St., Ulan-Ude 670013, Russia E-mail: [email protected]
Vladimir D. Anakhin
Dr. Sci. (Engineering), Prof.,
Buryat State University, 24a Smolina St., Ulan-Ude 670000, Russia E-mail: [email protected]
The generalized Helmholtz equations of hybrid waves in regular gyrotropic wave conductors with orthogonal forms of cross section are received during tangent magnetization. The received equations are invariant relatively to transformation of coordinates. It allows us to receive easily Helmholtz equations for concrete types of wave conductors with orthogonal forms of cross section: rectangular, round, elliptic. Transition to a gyrotropic elliptic wave conductor during tangent (elliptic) magnetization is presented.
Keywords: tangent magnetization; tensor of ferrite magnetic permeability; the Helmholtz equation; Lame coefficients; Christoffel symbols; elliptic gyrotropic wave conductor.
