Обобщенные и общие уравнения Гельмгольца для гиротропных волноводов с учетом тепловых потерь Текст научной статьи по специальности «Математика»

Всероссийская открытая научная конференция «Современные проблемы дистанционного зондирования, радиолокации, распространения и дифракции волн» - Муром 2022

УДК 53.089 DOI: 10.24412/2304-0297-2022-1-61-66

Обобщенные и общие уравнения Гельмгольца для гиротропных волноводов с учетом тепловых потерь

Д.Ш. Ширапов, Г.Б. Итигилов, В.А. Кравченко

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления. 670013, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40В. E-mail: shir48@mail.ru

В работе [5] были получены обобщенные уравнения Гельмгольца НЕ- и ЕН- волн для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном намагничивании без учета потерь, из которых выводились общие уравнения Гельмгольца НЕ- и ЕН- волн для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при продольном [5], нормальном [6] и касательном [7] намагничиваниях. Так как электрическая проводимость феррита в гиротропных волноводах не равна нулю, то в них неизменно происходят тепловые потери.

В данной работе получены учитывающие тепловые потери обобщенные уравнения Гельмгольца НЕ- и ЕН- волн для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном намагничивании и соответствующие общие уравнения Гельмгольца НЕ- и ЕН- волн для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при продольном, нормальном и касательном намагничиваниях.

Generalized and general Helmholtz equations for gyrotropic waveguides taking into account heat losses

D.Sh. Shirapov, G.B. Itigilov, V.A. Kravchenko

Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Education east Siberian State University of Technology and Management

In [5] generalized Helmholtz equations of НЕ- and EН- waves were obtained for gyrotropic waveguides with orthogonally curved cross-section shapes with arbitrary magnetization without loss, from which general Helmholtz equations of НЕ- and EН- waves for gyrotropic waveguides with orthogonally curved cross-section shapes with longitudinal [5], normal [6] and tangential [7] magnetization were derived. Since the electrical conductivity of ferrite in gyrotropic waveguides is not zero, thermal losses invariably occur in them.

In this paper, taking into account heat losses, generalized Helmholtz equations of НЕ- and E^waves for gyrotropic waveguides with orthogonally curved cross-sectional shapes under arbitrary magnetization and corresponding general Helmholtz equations of HE- and EH-waves for gyrotropic waveguides with orthogonally curved cross-sectional shapes under longitudinal, normal and tangential magnetization are obtained.

1. Введение

При разработках сверхвысокочастотных приборов (фазовращателей, гираторов, ослабителей, циркуляторов и других) используются намагниченные ферриты [1, 2]. При этом феррит можно намагничивать вдоль направления распространения электромагнитной волны, а также перпендикулярно направлению распространения.

К настоящему времени достаточно хорошо изучены различные характеристики и параметры распространения электромагнитных волн только в продольно

намагниченных гиротропных прямоугольных и цилиндрических волноводах [1-4]. Одной из причин этого является отсутствие достаточно полных математических моделей распространения электромагнитных волн в гиротропных волноводах с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном намагничивании. К одним из таких работ относится [5], где для установившегося во времени процесса без наведенных токов и зарядов решением системы дифференциальных уравнений Максвелла [1] были получены обобщенные уравнения Гельмгольца для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном намагничивании без учета потерь в волноводах. Затем из этих обобщенных уравнений Гельмгольца были выведены общие уравнения Гельмгольца для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при продольном [5], нормальном [6] и касательном [7] намагничиваниях без учета потерь.

Известно, что электрическая проводимость феррита не равна нулю. Например, удельное электрическое сопротивление феррита железа Fe3Ö4 равно 510-5 Омм [8]. Поэтому в работе ставится задача вывода обобщенных уравнений Гельмгольца для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном намагничивании с учетом тепловых потерь, а также соответствующих общих уравнений Гельмгольца при продольном, нормальном и касательном намагничиваниях.

2. Данные и обсуждение

Пусть электромагнитная волна в гиротропном волноводе с произвольной ортогональной формой поперечного сечения распространяется вдоль продольной координаты, совпадающей с осью Z декартовой системы координат. Тогда для устоявшегося во времени процесса без наведенных токов и зарядов для описания распространения электромагнитных волн в таком волноводе без учета потерь используется система дифференциальных уравнений Максвелла [1]

RotH = ja>sE,

RotE = - jaß,

e j ' (1) Divß = 0,

DivD = 0,

где H и E - напряженности магнитного и электрического полей;

j - мнимая единица;

ß = ßH и D - магнитная и электрическая индукции;

£ - абсолютная диэлектрическая проницаемость феррита;

ш - циклическая частота; ßii jk jl

~ = - jk /и22 jm - тензор магнитной проницаемости феррита;

- jl - jm ß33 _

k, l, m, ßu, ß22, ß33 - компоненты тензора магнитной проницаемости феррита при произвольном намагничивании;

(0(0 7

k = ßo —i—; Mo = 4л -10 Гн / м - магнитная постоянная; со 0 - а

Y = 1,76 • 1011 Кл / кг - гиромагнитное отношение;

(D0 = ju0YH0 - частота ферромагнитного резонанса;

am = JJ0YM0 - частота;

H0 - напряженность постоянного магнитного поля;

М0 - намагниченность насыщения феррита.

В случае, когда однородная удельная электрическая проводимость феррита а хоть мала, но не равна нулю, в гиротропных волноводах происходят тепловые потери, связанные с джоулевым нагревом. Тогда для устоявшегося во времени процесса с установившейся поляризацией и намагниченностью, при отсутствии свободных зарядов (плотность свободных зарядов стремится к нулю [9]) система уравнений Максвелла принимает вид

RotH = jas' Е

RotE = - jaB,

- (2) DivB = 0,

DivD = 0,

где S = s - j — - комплексная диэлектрическая проницаемость феррита. a

Из (2) следует, что тангенс угла диэлектрических потерь среды распространения электромагнитных волн tgS = — / as. Согласно данных из таблицы 1 [10] для феррита tgS не равен нулю и принимает для устройств СВЧ значения в диапазоне (2,5^25) • 10-4 в зависимости от материала изготовления. Так как значение tgS « 2,5 -103 достаточно большое, то в гиротропных волноводах имеет место ощутимые тепловые потери.

Из сравнения систем дифференциальных уравнений (1) и (2) следует, что их общий вид совпадает. Тогда согласно [11], общий вид решений системы уравнений (2) с учетом тепловых потерь также будет совпадать с общим видом решений системы уравнений (1) без потерь. Поэтому, общий вид обобщенных уравнений Гельмгольца для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном намагничивании с учетом тепловых потерь совпадает с общим видом обобщенных уравнений Гельмгольца полученных без потерь [5]. Единственное отличие - замена абсолютной диэлектрической проницаемости феррита е на комплексную диэлектрическую проницаемость s'.

Следовательно, обобщенное уравнение Гельмгольца НЕ-волны для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном намагничивании с учетом тепловых потерь, после замены е на s', в соответствующей формуле из [5] будет иметь вид

ЛuHг +Л 22HZ + j/S H1 +S2 H 2)- ja2s(¡Hi + mH 2 ) + а^^ззН2 = 0, (3)

а обобщенное уравнение Гельмгольца ЕН-волны

МАЛ +^22А 22Ег + Е1 +^2252 Е2 ~^22182 )Н г +

+ ука(-Н -тН2 -]^ъъН2)-а2£У(к2 -ММ22Е + ]а(к5х + тк32).Нг = 0,

где согласно [5] у - постоянная распространения;

( Е, Е, Е ) - компоненты напряженности электрического поля;

( Нх, Н2, Н г) - компоненты напряженности магнитного поля;

А„ =^1V1 — ■

1 {— л + Г 2 + Г 21 J ( 1 1

— - —-

Ы V дХ1 V дх1 J к

(

А 22 =^2 V 2 = ^

1 д „

V1 =--; V 2 =

Ы дхх

+ Г-'2

J

VI ^

V Ы2 ^2 J

кдх1 (

+ Г2 - Г1 + 1 21 1 11

ы

д

_д_

дх л

— + Г1 - Г 2

~ + 1 12 1 22 V дХ2 J

дх.,

_д_

Ы дх-, '

; *=т

Г2

Чдх1

Л

; 2 ы

(

\

— + Г12

ЧдХ2 J

Ы, Ы - коэффициенты Ламэ поперечных координатных осей;

Г1 =

1 дЫ , Г,,2, — —- символы Кристоффеля 2-го рода.

Ы дх2 Ы дхх

Согласно [11], вид общих уравнений Гельмгольца для гиротропных волноводов с произвольными ортогональными формами поперечного сечения с учетом тепловых потерь при продольном, нормальном и касательном намагничиваниях совпадает с видом общих уравнений Гельмгольца, полученных без учета потерь при продольном [5], нормальном [6] и касательном [7] намагничиваниях.

Поэтому общее уравнение Гельмгольца НЕ-волны для гиротропных волноводов с произвольными ортогональными формами поперечного сечения при продольном намагничивании с учетом тепловых потерь, после замены е на е', в соответствующей формуле из [5] будет иметь вид

А11Нг +А 22Нг +

V

2 , М\\ 2 о е М\\--у

М

\

к

Нг + ]уое'—Ег — 0, М

а общее уравнение Гельмгольца ЕН-волны

АПЕ, + А22Ег + (о2е'м±-У2Е -]укоМНг — 0,

М

(5)

(6)

где при продольном намагничивании в тензоре магнитной проницаемости феррита

М33 — М\\, Ми = Ми = М, I = т = 0, к Ф 0, м±_ =

М

М\ -М0, М —1 +

умМ0°0

2 2 о0 -о

Общее уравнение Гельмгольца НЕ-волны для гиротропных волноводов с произвольными ортогональными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании с учетом тепловых потерь, после замены е на е', в соответствующей формуле из [6] будет имееть вид

А Н + А22Щ + ]у(81Н1 + 82Н2 )-7®2е' тН2 + о2е' мЩ — 0, (7)

а общее уравнение Гельмгольца ЕН- волны

МцАп Е + мА22 Е + 7у(Мц^ Е + М^Е } + ®М\т8\Нх + о2еМ\\МЕ2 — 0, (8)

где при нормальном намагничивании в тензоре магнитной проницаемости феррита М\ 1 — М\\; М22 — Мзз — М ; к — I — 0; т Ф 0 .

Общее уравнение Гельмгольца НЕ-волны для гиротропных волноводов с произвольными ортогональными формами поперечного сечения при касательном намагничивании с учетом тепловых потерь, после замены е на е', в соответствующей формуле из [7] имеет вид

Дп Н + + Н + ^^ ) - ' Н + о>2£ ' ¿иН2 = 0, (9)

а общее уравнение Гельмгольца ЕЯ-волны

/лДп Е + цДцЕг + Е + Е = 0, (10)

где при касательном намагничивании в тензоре магнитной проницаемости феррита /л22 = /Л\\, Ми = М33 = М, к = т = 0, I ф 0 .

Основные выводы:

1. Получены обобщенные уравнения Гельмгольца НЕ- (3) и ЕН- волн (4) для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при произвольном намагничивании с учетом тепловых потерь;

2. Получены общие уравнения Гельмгольца (5) и (6) для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при продольном намагничивании с учетом тепловых потерь для НЕ- и ЕН- волн, соответственно;

3. Получены общие уравнения Гельмгольца НЕ- (7) и ЕН- волн (8) для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при нормальном намагничивании с учетом тепловых потерь;

4. Получены общие уравнения Гельмгольца (9) и (10) для гиротропных волноводов с ортогонально-криволинейными формами поперечного сечения при касательном намагничивании с учетом тепловых потерь для НЕ- и ЕН- волн, соответственно.

Литература

1. Микаэлян А.Л. Теория и применение ферритов на сверхвысоких частотах. Л.: Госэнергоиздат, 1963. 664 С.

2. Гуревич А.Г., Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. 464 С.

3. Лакс Б., Баттон К. Сверхвысочастотные ферриты и ферримагнетики. М.: Мир, 1965. 676 С.

4. Раевский С.Б., Седаков А.Ю., Титаренко А.А. Метод электродинамического расчета прямоугольных закрытых волноводов с произвольным анизотропным заполнением // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2012. Т.15. №3. С. 14-21.

5. Ширапов Д.Ш., Итигилов Г.Б. Обобщенные уравнения Гельмгольца гиротропных волноводов произвольной формы поперечного сечения // Материалы II Всероссийской научной конференции «Современные проблемы дистанционного зондирования, радиолокации, распространения и дифракции волн», г. Муром. 26-28 июня 2018 г. С. 209-219.

6. Ширапов Д.Ш., Итигилов Г.Б. Уравнения Гельмгольца гиротропных эллиптических волноводов при нормальном намагничивании // Материалы 74-ой Всероссийской конференции (с международным участием) «Радиоэлектронные устройства и системы для инфокоммуникационных технологий», Москва. 29-31 мая 2019 г. С. 18-21.

7. Ширапов Д.Ш., Итигилов Г.Б. Уравнения Гельмгольца гиротропных эллиптических волноводов при касательном намагничивании // Материалы Всероссийской открытой научной конференции «Современные проблемы

дистанционного зондирования, радиолокации, распространения и дифракции волн», г. Муром. 28-30 мая 2019 г. С. 710-713.

8. Петрова Л.Г., Потапов М.А., Чудина О.В. Электротехнические материалы. М.: МАДИ (ГТУ), 2008. 198 С.

9. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: ЛЕНАНД, 2014, 2019. 432 С.

10. Устинов А., Кочемасов В., Хасьянова Е. Ферритовые материалы для устройств СВЧ-электроники. Основные критерии выбора // СВЧ-электроника, 2015. №8. С.86-92.

11. Балошин Ю.А., Белов П.А., Краснок А.Е. Классическая электродинамика. Санкт-Петербург: Университет ИТМО, 2019. 109 С.