CC BY
30
631.363.2.66-94
ОБРАЗОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ ТРЕЩИН В ЗЕРНЕ ПРИ ЕГО ДВИЖЕНИИ ПО САМОТЕЧНОМУ ТРУБОПРОВОДУ
Е.В. СЕМЕНОВ, Л.А. ГЛЕБОВ, М.М. ТУХВАТУЛЛИН
Российская экономическая академия им. Г.В. Плеханова Московский государственный университет пищевых производств Всероссийский научно-исследовательский институт зерна
Цель работы - постановка и решение задачи оценки прочности зерновки, движущейся по самотечному каналу, при ударном взаимодействии ее с препятствием. Предполагая, что ударный импульс на отдельную зерновку задан или может быть рассчитан, оценку прочности зерновки проводили с точки зрения развития в ней трещины в результате действия удара.
Пусть поток зерна движется вниз по самотеку^ под действием силы тяжести и сил трения о стенки канала, и пусть на пути потока имеются технологические препятствия, например, в виде уступов.
Движение зерносмеси по наклонному каналу, конструктивно выполненному’ в виде трубы кругового или прямоугольного сечения, проходит в делом в условиях незначительного трения зерна о стенки канала, а также внутреннего трения между слоями зерна в самом потоке зерносмеси [1]. Поэтому с небольшой погрешно-стью скорость зерновки, движущейся под действием силы тяжести вниз по 'самотеку, может быть рассчитана по формуле Торричелли
V = ' 2<?!1.
(1)
где V- скорость зерновки: я - ускорение свободного падения: И - высота падения частицы из состояния покоя.
Если, например, зерновка встречает препятствие в віще поперечного уступа, то она в результате действия на нее ударного импульса почти мгновенно изменяет направление скорости в проекции на нормаль к препятствию на противоположное.
Нарис. 1 показаны возможные положения зерновки при соударении ее с выступом на поверхности само-
V
V
"\
точного трубопровода, что может привести к развитию в ней перемещений поверхности трещины типа нормального отрыва или поперечного сдвига (рис. 2).
Поскольку зерно с невысокой влажностью ведет себя (условно) как хрупкое упругое тело, то можно пользоваться современной концепцией хрупкого разрушения тела от развившихся или вновь появляющихся трещин в результате силового динамического воздействия на него. При этом с целью упрощения задачи, связанной с моделированием процесса разрушения, в качестве тел используют пластины, безграничное тело или другое, считая траекторию движения трещины прямолинейной. Поскольку исходными характеристиками механики разрушения являются коэффициенты интенсивности напряжений (КИН), то сначала решают проблему расчета зависимости КИН по времени для фиксированной трещины, а затем ту же проблему - по времени и скорости распространения нестационарной трещины. После этого на основе зависимости поверхностной энергии от скорости развития дефекта устанавливают закон роста трещины при нестационарном режиме.
Исходя из зависимости Гриффитса, выражающей условие баланса энергии, подводимой к телу извне, и энергии, затрачиваемой на образование трещины, в простейшем случае трещины сферической формы описываются уравнением [2]
- 2(уЕ/К)1''2 или 2у = <ГЩ2Е),
(2)
Рис. 1
где с - напряжение; у - удельная поверхностная энергия разрушения; Е - модуль упругости тела; 7? - радиус сферы.
.66-94
штию I нор-).
/X
'''-А
г
ист се-I поль-іруше-іятре-
ІСТВЯЯ
вязан-ачест-ю или грямо-иками
ЇНТЄН-
тпро-а фик-ю вре-ирной эверх-уста-арном
ющей вне. и [НЫ, в >юпи-
(2)
ізрушг-
Очевидно, что при других формах трещин получают аналогичную структурную зависимость между напряжением, параметрами у, £ и размером трещины.
Выражения КИН в задаче о распространении прямолинейной трещины 0 <х < / ((),у = 0 (рис, 2) с переменной скоростью при нормальном отрыве или поперечном сдвиге под действием произвольных нагрузок имеют вид [2]
КА
і(0і=о — л) (2 /' / (/ - х, / — х/а і) скіЧ >
г
(5)
Кі{С) = (1 -у/ак)І{\ -\>И)
1/2
(7)
где значения параметра /? табулированы [2].
Принимая во внимание, что процесс развития трещины заканчивается, когда скорость развития дефекта у = 0, иучитывая, что Нш,,_>оМ^(-!/'-')= 1, по предельному значению коэффициентов АТ,- (у) получают
Ит у^0К1 (у) = 5а + (1 - 8я)Нт ^сМХ-Щ = 8,з +
+ (1-5,3)=1.
Таким образом, задача определения КИН сводится к вычислению интегралов (5). Не нарушая общности постановки задачи, можно считать, что ударная нагрузка приложена в точке х = х0, т. е. нагрузка имеет вид дЪ(х)Н(1), где 8(х) - дельта-функция Дирака [3]; #(/) -функция Хевисайда, причем
8(х) =
О при х ^ х0 со при X = Х„
0 при/< О
1 при / > О
и тогда согласно (6) К і (/)у=0 = {2/[л(х - хе)]}172*?'-
В таком случае, если поместить начало координат в точку приложения ударного импульса, т. е. полагать
х0 = 0, то
Кі( Оу=о= [2/(тіх)]!/у.
(8)
К\ (*> у) — лІІЦ 'к (—1/л^)(1 — у/ад)/'(1 — \/ау)П х
агг
ґ-х/а2) б/хЛ/х; (3)
Кп (і, у) = 40рк)М*(г\1у){\ - у/ад)/( 1 - у/а2)У2 х
а21
-х/«]) й/х/л/х; (4)
где Л/ХгО - отличная от нуля аналитическая функция; аь а2, ад - соответственно скорость продольных, поперечных волн и волн Рэлея; где $ - удельные ударные нагрузки. .
С учетом того, что величины
зависят лишь от текущей длины трещины и не зависят от скорости ее распространения, они представляют собой КИН для стационарной трещины с вершиной в точке х = /. Кроме того, выявлено, что вместо формул (3), (4) имеет место соотношение [2]
К,(1,у) = К1(у)К1{1\=о, ■ (6)
где К, (V) = 5/3(1 - у/а2)т + (1 - &ъУМ*{-Щ{ 1 - х/ая (1 - у/о,)ш/[( 1 -- - у/а2)1/2]; 8] = 1, если / =/; б*, = 0, если / Ф], / = 1, 2, 3.
Помимо этого, поскольку 0 < у < ал, то входящая в (6) функция К/у), определяемая по (6), с небольшой погрешностью может быть аппроксимирована зависимостью
В предположении, что развитие трещины происходит под действием динамических, в том числе ударных нагрузок, по аналогии с (2) имеют энергетическое соотношение [2, 4]
2у = у2 [5,^(0 + 82Гп2(/)]/[2ца22Л,(8182)], (10)
где ц - параметр Ламе; Л.(5ь 62) = 4 8162 - (1 + й22)2; 5и2 = 1 - а1>22; С1.2 = VIа\:2, Кь К„ вычисляют согласно (3), (4).
Соотношение (10) применяют для определения зависимости скорости распространения трещины от времени.
Предполагают, что зерновка имеет форму, приближающуюся к кубической, а поверхность препятствия -к плоскости. Причем может произойти прямой удар или с отклонением от прямого на некоторый угол а. При ударе препятствие сообщает зерновке ударный импульс Р = тууД(1 4- к), где т - масса частицы, ууд -скорость частицы в момент соударения с препятствием, к — коэффициент восстановления. Пусть удар прямой, т. е. а = 0 [5].
Принимая во внимание, что расчет длины трещины и критической скорости разрушения следует проводить, когда скорость развития трещины равна нулю, определяют значения входящих в энергетическое соотношение (10) коэффициентов, зависящих от V при у -» 0. Тогда коэффициентами при К\, Кц являются = Нт^оП - (г/а1,2)2]1/2 = 1. Кроме того,
= ИіЦ,_
Л.(5,А)
: Ит^о
т--(1+80
г / \ 2 ~ Ґ ^2 / 2П“1
1- V 1- —
{a^J 1 2) _
2 а1(а*-а:)
Таким образом, в предположении, что V 0, энергетическое соотношение (10) принимает вид
2у =
а?[к1(0+к£(0] 4ц(яі2 ~аг)
(11)
Поскольку а{-1а-? = 2(1 - у>/(1 - 2у), где V - коэффициент Пуассона [4], то вместо (11) получают
_а" [*/(о+А;ц(о] _ (1~уЯкг (о+^ц со]
2У 4ц (1-ої/о*) ~2М-
• (12)
Поэтому энергетическое соотношение (12) имеет следующую структурную форму:
2 у ~ (1 - уЖЦ12/(2 ц) = (1 - уХ^/Стисц). (13)
Пусть длина трещины х = Ь. Тогда на основе (13) ПО Л У ЧсЦОТ
£ = (1-у)(9’')2/(2 71цу). (14)
Если х - время действия ударного импульса частицы продукта при ее контакте с препятствием, то удельное значение ударной нагрузки может быть рассчитано по формуле
д' = Р/(Ь-1-т) = т(1 + к)ууд/ф-1-х), (15)
где и — приведенный размер частицы, принимаемой, например, за прямоугольный параллелепипед сечением в виде квадрата со стороной Ъ и высотой 1, массой т = ЬМ-р = Ь р. Тогда вследствие (14), (15) имеют
/ Г 2 \2
ь_ 1-У РЬ Ууд
' 2т1(1у^ х у
или Ь = [(1 - у)/(2 лцу)][?и(1 + к)\’1(Ьг)\1, (16)
где для сокращения записи полагали V = Ууд.
Как видно из формулы (16), длина трещины растет пропорционально квадрату скорости соударения частицы с препятствием и обратно пропорционально квадрату времени ударного импульс а. ...
Если предполагать, что частица разрушается при условии, когда длина трещины достигнет размеров частицы, т. е. должно выполняться равенство Ь = Ь, то согласно (16) имеют формулу для расчета критической скорости соударения частицы с одним препятствием, при развитии в ней от удара напряжения нормального отрыва или поперечного сдвига:
рШ-, („)
р-1-(1 + *) V С1-у)Ь
Учитывая, что ц = £У[2(1+у)], формуле (17) можно придать вид
V, т___________ _ Т___ Г~п£у
* р-1-(1+*)У(1-у2)Ь р(1+к)]1(1-у2)д'
Не нарушая общности постановки задачи, будем считать, что частица последовательно соударяется с «-препятствиями с одной и той же скоростью V в момент соударения. Предполагая, что время ударного импульса х при этом не изменяется, и полагая в формуле (16) Ь = Ъ/п, будем иметь Ъ/п = [(1 - у)/(2лцу)] х х [т (1+&) у/(Ьт)]2, откуда
т I (]9)
т(к + 1) ]1 «(] — у) 1-(к + 1)р ^ пЪ(1—у‘' )
Из сопоставления формул (18), (19) вытекает, что между значениями критической скорости при встрече частицы с одним препятствием уки критической скоро-
сти у„ = у при встрече частицы с «-препятствиями имеется очевидная зависимость: у„ = укА/и. Иначе говоря, чтобы зерновка не разрушилась полностью при последовательном ударе об г?-препятствия, она должна иметь в 1 /л/я раз меньшее рассчитанное значение критической скорости, чем та частица, которая разрушилась бы от удара лишь об одно препятствие. Учитывая, что полученное по (19) выражение скорости частицы зависит от большого числа параметров, целесообразно перейти к безразмерной скорости у' = (у-1-р/т)[6/(£у)]ш = {п/[п( 1 - У2)}}ш/(к+ 1). Тогда, принимая V = 0,25, получают
V' = [1,83/(Ш)]Л/я. (20)
Пусть к- 0,5; п = 1, тогда в силу (20) у' = 1,22. Если (условно) р = 1300 кг/м3, х = 10‘3с, Ъ = 2-10'3 м, Е= 10й Па, у = 0,3 Дж/м2, то на основе (20) будем иметь [6] у' = (у-\-рк)[Ь/(Еу)]т = у-1300-[ 2-10'3/(10и-0,3)]1/2/10‘3 = 0,34 у = 1,22, откуда получают у = 1,22/0,34 = 3,56 м/с. Иначе говоря, в рамках принятой постановки задачи, при однократном соударении частицы с препятствием при скорости в 3,56 м/с может произойти ее разрушение. Зависимость числа препятствий от безразмерной скорости и от величины коэффициента восстановления для различных значений критической безразмерной
скорости приведены на рис. 3 (у': — 1; ....2;-----5).Из
анализа формулы (20) и рис. 3 вытекает, что вместе с ростом скорости частицы и коэффициента восстановления к (при всех остальных фиксированных параметрах процесса) число «безопасных», без разрушения частицы, соударений ее с препятствиями уменьшается.
Однако если в качестве материала лотка выбирать такой, у которого относительно меньшее значение коэффициента восстановления (например, вместо стали брать полимерное покрытие), то количество неразру-
3
2
1
0 0,2 0.4 0.6 0.8 1
Рис. 3
МИ ИМЄ-
говоря, іпосле-Ідолжна шекри-вруши-итывая, истицы образно іІ(Еу)]т ),25, по-
| (20)
12. Если Е= 10й
!Ъ[6]
)]1/2/10'3 1,56 м/с. задачи, тствием азруше-імерной овления змерной -3). Из
ІМЄСТЄ с этанов-гарамет-іушения |шается. ыбирать ;ние ко-X) стали юразру-
шающих препятствий, регламентирующих зерновой поток, также можно увеличивать. В свою очередь, если И - разность высот между двумя соседними препятствиями, то в пренебрежении силами сопротивления движению частицы, согласно формуле (1), в простейшем случае И = Уг2/^) = 3,562/(2'9,8) = 0,64 м, т. е. в рамках поставки задачи неразрушающее действие препятствий на зерновку имеет место лишь при разности высот между ними порядка полуметра.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рекомендации по использованию полимерных материалов в транспортном и технологическом оборудовании при обработке и пе-
реработке зерна / М.М. Тухватуллин, Д.И. Торолов и др. - М.: Мин-сельхоз РФ, 2000. - 76 с.
2. Партон В.З., Борисковскнй В.Г. Динамика хрупкого разрушения. - М.: Машиностроение, 1988. - 240 с.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. - М.: Наука, 1986. - 544 с.
4. Нартон В.Ч., Борисковскнй В.Г. Динамическая механика разрушения. - М.: Машиностроение, 1985. - 264 с.
5. Гернет М.М. Курс теоретической механики. - М.: Высш. школа, 1987. - 344 с.
6. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. - М.: Наука, 1970. - 568 с.
Кафедра механики
Кафедра хранения и переработки зерна
Поступила 12.03.03 2.
66.041.453:664.001.57
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВАКУУМ-СУБЛИМАЦИОННОЙ СУШКИ , ; ПИЩЕВЫХ ПРОДУКТОВ В ПОЛЕ СВЧ
влаги, в зоне выхода продукта из экструдера создается
И.Т. КРЕТОВ, А,И. ШАШКИН, С.В. ШАХОВ,
В.Б. ЧЕРНЫХ, А.С. БЕЛОЗЕРЦЕВ
Воронежская государственная технологическая академия
В настоящее время сублимационная сушка является одним из наиболее прогрессивных видов консервирования пищевых продуктов. В работе [1] было предложено использовать для вакуум-сублимационного обезвоживания пищевых продуктов энергию сверхвысокочастотного (СВЧ) поля. Характер СВЧ нагрева позволяет резко интенсифицировать процессы тепло- и массообмена, так как прогрев продукта происходит по всему объему' и градиенты температуры и влажности совпадают по направлению. Для предотвращения перегрева внутренних слоев продукта его предлагалось вводить в сублимационную камеру методом экструзии, увеличивая тем самым площадь поверхности сублимации за счет образования пористой высокоразвитой структуры экструдата.
Цель настоящего исследования - разработка математической модели тепло- и массообменных процессов, протекающих в продукте при его обработке данным способом.
На рисунке представлен общий вид установки, реализующей предлагаемый способ получения сублимированных пищевых продуктов. Исходный продукт подается в загрузочное устройство предварительно включенного экструдера 1. В целях предотвращения замерзания продукта в формующей матрице экструдера экструдат вводится в сублимационную камеру 2 через насадку 3, канал которой выполнен в форме сопла Лаваля. В этом случае в кольцевом зазоре между жгутом продукта и насадкой в его узкой части создастся гидравлическое сопротивление потоку' паров и некон-денсирующихся газов. Таким образом, за счет паров, образующихся в результате интенсивного испарения
паровой затвор, здесь устанавливается давление выше тройной точки, что предотвращает замерзание продукта. Далее полученный жгут продукта перемещается в зону с давлением ниже тройной точки устройства 3, где наряду с испарительным замораживанием продукт подвергается сублимационной сушке в зоне действия источников СВЧ энергии (магнетронов) 4 с окончательным образованием высокоразвитой равномерно распределенной пористой структуры за счет интенсивного испарения и сублимирования влаги. Высушенный жгут продукта подается в делительно-упаковочное устройство 5 и выгружается из установки посредством шлюзового затвора 6.
Прежде чем сформулировать мате маги че с ку ю модель рассмотренного процесса, сделаем несколько общих замечаний.
Во-первых, для установившегося режима работы сушилки данный процесс можно считать стационарным.
Во-вторых, с точки зрения моделирования тепло- и массообмена, происходящего в этом процессе, принципиальное значение имеет то, что содержащаяся в продукте влага переходит из жидкого состояния в твердое и наоборот. По мере перемещения продукта вдоль сублимационной камеры содержащаяся в нем влага сначала находится в жидкой фазе, затем замораживается. В дальнейшем продукт может разморозиться под действием диэлектрического нагрева и снова заморозиться. В связи с этим при продольном рассмотрении жгута продукта будемусловно различать участки с незамороженным продуктом, с замороженным продуктом и с продуктом, находящимся в смешанном (переходном) состоянии (при замораживании или размораживании). Сформулируем математическую модель процесса, рассмотрев отдельно каждый из этих случаев.
