CC BY
13Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2020. Том 27, № 4
УДК 517.95
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ
С. Г. Пятков, М. В. Уварова, Т. В. Пронькина
Аннотация. Рассматривается вопрос о корректности в пространствах Соболева обратной задачи определения функции источника для квазилинейной параболической системы второго порядка. Главная часть оператора линейна. В качестве условий переопределения рассматриваются интегральные условия переопределения. Показано, что в случае не более чем линейного роста нелинейного слагаемого по своим аргументам решение существует и единственно в целом по времени и задача корректна в классах Соболева. Условия на данные задачи минимальны.
Б01: 10.255877SVFU.2020.45.71.004
Ключевые слова: параболическая система, обратная задача, функция источника, конвекция-диффузия, тепломассоперенос.
§ 1. Введение
Рассматривается вопрос об определении вместе с решением правой части специального вида в параболических уравнениях и системах. Пусть G — область в Rn с границей Г класса C2 и Q = (0, T) х G. Параболическая система имеет вид
m
Lu = ut + A(t,x,D)u = f (x,t,u, Vu)+^ fi(t,x)qi(t), (t,x) G Q, (1)
i=1
где A — эллиптический оператор вида
n
A(t,x,D)u = - aij (t,x)uXjXj, i,j=1
aij — (r0 х r0)-матрицы, u — вектор длины r0 и q(t) = (q1(t), q2(t),. .., qm(t)) — неизвестные функции, подлежащие определению вместе с решением u. Система (1) дополняется начальными и граничными условиями
u|t=o = uo, Buis = g, S =(0,T) х Г, (2)
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 18— 01-00620)
(g 2020 Пятков С. Г., Уварова М. В., Пронькина Т. В.
где
п
Ви ^^ ^г х)иХ1 + х)и
г=1
или Ви = и и 7г(£,ж), а(Ь,х) — матрицы-функции размера го х го. Условия переопределения записываются в виде
J(и, ^¿(х)} ¿х = ~фг(Ь), г = 1, 2, ... ,т, (3)
о
где скобки (•, •} обозначают скалярное произведение в СГ0, ^¿(х) — вектор-функция и ^¿(Ь) — функция, условия на которые уточним ниже. Обратная задача состоит в нахождении решения и уравнения (1) и функций дг(Ь) (г = 1, 2, . . . , т) по данным (2), (3).
Проблемы подобного вида возникают во многих областях (см. [1,2]) при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и т. д. Сошлемся на работы [3-10], где рассматривались обратные задачи об определении коэффициентов уравнения, зависящих от переменной Ь, с условием переопределения (3) в случае т = 1 в линейном параболическом уравнении. Имеются примеры задач об одновременном определении коэффициентов и правой части по интегральным условиям типа (3) (см., например, [11], п = 1). Соответственно примеры линейных обратных задач об определении правой части для параболических уравнений второго порядка имеются в [12-16]. Отметим работы [17,18], где т > 1 и рассмотрены многомерные задачи об определении правой части указанного выше вида и задачи об одновременном определении правой части и коэффициентов по условиям переопределения вида (3) в линейном параболическом уравнении. Среди работ, посвященных квазилинейным задачам, выделим фундаментальные результаты, представленные в монографии [14], где рассматривались обратные задачи для квазилинейных операторно-дифференциальных уравнений первого порядка, в класс которых включается и задача (1)-(3). Получена локальная по времени теорема существования и единственности решений непрерывно дифференцируемых по времени в классическом смысле (см. § 6.6). Единственная проблема, что при таком подходе условия гладкости и структурные ограничения на нелинейное слагаемое оказались завышенными. Глобальная по времени классическая разрешимость задачи (1)-(3) в пространствах Гельдера для общего нелинейного уравнения в случае п = 1 с интегральным условием переопределения
1
/и(Ь'Х) ¿Х = ^ о
и не более чем линейного роста нелинейного слагаемого по и, иХ была доказана в работе Каннона [19]. Аналогичный результат в одномерном случае может быть найден в [20] для некоторого специального интегрального условия переопределения.
Таким образом, аналоги наших результатов в модельных ситуациях в литературе имеются. Настоящая работа может послужить лишь некоторым дополнением к уже полученным результатам. В отличие от вышеуказанных работ мы рассматриваем случай пространств Соболева (Ьр-теория) и минимальные условия гладкости на нелинейное слагаемое, допускающее, в частности, особенности по пространственным переменным или временной переменной. Как и в случае работ [19, 20], результат является глобальным по времени при условии не более чем линейного роста функции / по и, У и. Схема доказательства может быть использована и для построения численных алгоритмов решения подобных задач (что, собственно говоря, подтверждается численными экспериментами). Полученные результаты аналогичны приведенным в работе [21] в случае точечных условий переопределения.
Опишем содержание работы. В § 2 приведены определения и обозначения, в § 3 описаны условия на данные задачи и сформулированы основные результаты. В § 4 приведено их доказательство.
§ 2. Определения, обозначения и вспомогательные результаты
Пусть Е — банахово пространство. Символом Ьр(О; Е) (О — область в Мп)
обозначим пространство сильно измеримых функций, определенных на О со
значениями в Е, наделенное нормой 11||и(х)||£||г ,о> (см. [22]). Мы также ис-
11 о-;
пользуем пространства Гёльдера Са{С\Е) и пространства Соболева ~\¥р{С\ Е) (см. определения в [22-24]). Если Е = С (Е = М) или Е = Сп (Е = Мп), то последнее пространство обозначаем через Wp(Q). Аналогично используем обозначения Т¥р(0) и Са{С) вместо Игр{С] Е) и Са{С; Е). Таким образом, включение и £ ]№р(С) (или и £ Са(С)) для данной вектор-функции и = (их, 112, ■ ■ ■, и означает, что каждая из ее компонент щ принадлежит Шр(С) (или Са(С)). В этом случае норма вектора есть просто сумма норм координат. То же самое соглашение принимаем для матриц-функций. Для интервала J = (0,Т) положим
Wp's(Q) = Wrp (.]; Ьр(О)) П Ьр(,7; Wps(G)), Wrps(S) = w; (.]; Ьр(Т)) П Ьр(3; Wps(Г)).
Аналогично определяем пространство Гёльдера СГ,1>{С1).
Фиксируем р > п+2. Это условие не очень существенно. Однако в этом случае условия на коэффициенты и сама формулировка результатов упрощаются. Пусть Ог С О — некоторые подобласти с границами класса С1. Предположим, что
ъ € (С), зирр С Щ з = \,2,...,т, 1 /р + 1/д = 1,
_____ (4)
£С{С)Г\Ьоо{1д,Т-С80{Ск)), к = 1,2,... ,ш, т„(теС1/2Д(5)!
где во < 1/р — постоянная, которая может быть как угодно малой, и г,^ = 1, 2,..., п.
Пусть L — параболический оператор и выполнено условие Лопатинского. Сформулируем эти условия. Рассмотрим матрицу
n
A(t,x,£) = -J2 aij(t,x)b j (£ G Rn)
и предположим, что найдется постоянная > 0 такая, что корни полинома det (A(t, x, i£) + pE = 0 (E — единичная матрица) удовлетворяют условию
< -5i|£|2 V£ G Rn V(x, t) G Q. (5)
Пусть Bou = u в случае условий Дирихле в (2) и
n
Bou = Yj dxj u j=i
в противном случае. Условие Лопатинского может быть сформулировано следующим образом: для любой точки (to, xo) G S и операторов A(x,t, D) и Bo(x,t, D), записанных в локальной системе координат y в этой точке (ось yn направлена по нормали к S и оси y1,..., yn-1 лежат в касательной плоскости в точке (xo, to)), система
(XE + A(xo ,to,i£,dyn ))v(z )=0, Bo(xo ,to,4',dyn )v(0) = hj, (6)
где = (^i,..., ^n-i), yn G R+, имеет единственное решение из C(R+), ограниченное на бесконечности при всех G Rn-1, | arg X| < п/2 и hj G C таких, что l£'l + |X| = 0. Также предполагаем, что uo(x) G Wp2-2/p(G), g G Wk0'2k0 (S), B(x, 0)uo(x)|r = g(x, 0) Vx G T, Г G C2,
(7)
где ko = 1 — l/2p в случае условия Дирихле и ko = 1/2 — l/2p в противном случае. Пусть QT = (0, т) х G.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (4)—(7) и f G Lp(QT), т G (0,T]. Тогда существует единственное решение u G Wp1,2(QT) задачи
Lu = ut + Au = f, u|t=o = uo(x), Buls = g. Если g = 0, то решение удовлетворяет оценке
IMIW2(QT) < C(\\f II Lp(QT) + lluo У (G) ),
где постоянная c не зависит от f, решения u и т G (0, T].
Основное утверждение теоремы содержится, например, в теореме 10.4 работы [25]. Доказательство оценки может быть найдено в [26] (см. теоремы 1, 2).
§ 3. Формулировка основных результатов
Предположим, что
fk (t,x) G LTO(0,T; Lp(G)), k = 1,...,m. (8)
Опишем свойства вектор-функции f (t,x,u, Vu). Рассмотрим функцию f (t,x, u,p), где u = (u1,u2,. .. ,ur0) — вектор длины ro и p — вектор длины nro, состоящий из векторов p = (p1,p2,... ,pn) длины ro, pi = (pi1, . . . ,pir0). Набор векторов (u,p) можно отождествить с точкой в пространстве R(n+1)r°. Пусть Br — шар радиуса R с центром в нуле в R(n+1)r°.
Условие (Л). Функция /(г,х,и,р) непрерывна по параметрам (и,р) € ^(п+1)г0 как функция со значениями в Ьр((). Более того, найдутся функции Ф1(г,х),Ф2(г,х) € Ьр(0 такие, что
/(г,х,и1,р1) - /(г,х,и2,р2)\ < |Ф 1 х)||и1 - и2| + |Ф2(4,х)||р1 - р2| для всех (и1,р1), (и2,р2) и п. в. (г,х) € ((.
Для данных переопределения из (3) будем считать, что
ф (г) € ^р1(0,Т), ф, (0) = / Ых),Рз) йх, 3 = 1, 2,... ,т. (9)
о
Рассмотрим матрицу Во размера т х т, с элементами Ь^ = /о(/з,фг) йх. Потребуем, чтобы существовала постоянная ¿о > 0 такая, что
| ¿е! В| > 50 при почти всех г € (0,Т). (10)
Сформулируем основной результат работы.
Теорема 2. Пусть условия (А), (4)—(7), (8)—(10) выполнены. Тогда существует единственное решение и € Wp1'2(Q), € Ьр(0, Т), 3 = 1, 2,... ,т, задачи
(1)-(3).
Если рост функции / по аргументам и, У и произволен, то имеет место локальная теорема существования. Условие роста и гладкости (А) заменяется в этом случае следующим условием.
Условие (В). Функция /(г, х, и,р) непрерывна по параметрами,р € М("+1)г как функция со значениями в Ьр(() и для любого К > 0 найдутся функции Ф1(г,х),Ф2(г,х) € Ьр(0 такие, что
/(г,х,и1,р1) - /(г,х,и2,р2)| < |Ф1(г,х)||и1 -и2| + |Ф2(г,х)||р1 -р2| для всех (и1, р1), (и2, р2) € Вд и п. в. (г, х) € (.
При указанных условиях теорема 2 примет следующий вид.
Теорема 3. Пусть условия (В), (4)-(7), (8)-(10) выполнены. Тогда найдется число то < Т такое, что на промежутке [0, то] существует единственное решение задачи (1)-(3) такое, что и € Wp1'2(QT0), д, € Ьр(0, т0), 3 = 1, 2,... ,т.
§ 4. Доказательство основных результатов
В этом параграфе докажем основные результаты работы. Из условия (А) легко вытекает следующее утверждение
Лемма 1. При выполнении условия (А) справедлива оценка
II-Уи2)||ЬР(Т1,Т2-ЬР(С)) < С1К -И2||С([Т11Т2];С1(С)), где постоянная с не зависят от т1 ,т2, 0 < т1 < т2 < Т и функций и1,и2 € Wp1'2(Qтl,T2), (т!,т2 = (Т1,Т2) х С.
Доказательство теоремы 2. Рассмотрим вначале прямую задачу
т
Ьи = щ + А(г, х, о)и = /(х, г,и, Уи) + /г(г,х)д{(г), (г,х) € (,
u|t=o = uo, = g, S =(0,T) x Г.
Поскольку понадобится ряд оценок, используемых при доказательстве разрешимости этой задачи, для удобства приведем набросок доказательства ее разрешимости, в принципе этот результат известен (см. например, [27]). Отметим, что имеет место вложение (см. лемму 3.3 в [25] или теорему 1.9 в [28])
Wp'2(Q) С Ca/2,a(Q), a < 2 — (п + 2)/р, (И)
причем оно компактно при a < 2 — (n + 2)/p (это следует, например, из теоремы 5.2 в [24]). Используя теорему 1, построим функцию Ф как решение задачи
+ A(t,x,D^ = 0, Ф|4=о = uo, ВФ|Я = g,
и сделаем замену переменных u = v + Ф в (1). Придем к задаче
m
Lv = vt + A(t, x, D)v = f (t, x, v + Ф, Vv + УФ) + ^ /¿(t, x)q(t), (12)
i=1
v|t=o =0, Bv|s = 0, (13)
y'(v,^i(x)} dx = ^¿(t) = ^ — J (Ф, ^ (x)} dx, i = 1, 2,..., m. (14)
G G
Рассмотрим задачу (12), (13). Согласно теореме 1 можно сказать, что ее решение v G Wp'^Q) — это решение уравнения
m
v = Ro(v), Ro(v) = L-1f (t,x,v + Ф, Vv + VФ)+ L-1go, go = ^ /¿(t,x)gi(t).
¿=1
(15)
Пусть пространство Ho,T состоит из функций u G Wp'2(QT), удовлетворяющих однородным краевым и начальным данным (13). Норма в нем совпадает с нормой пространства Wp1'2(QT). Положим VTbT2 = Lp(r1, т2; Lp(G)). Получим оценки. В силу теоремы 1 и леммы 1 имеем
НДоЫ - ДоЫНяо.т < Collai -W2||C([0IT];C1(G))- (16)
Используя теоремы вложения (см. теорему 4.6.1 в [22]) и интерполяционные неравенства, а также формулу Ньютона — Лейбница, получаем
ll^ll G([0,r];G1(G)) ^ C2\\V\\c{{0,T];Wp + n/p+E°{G))
- C3^v^C([o'T];Wp2-2/P(G))^v^C-([<o'T];Lp(G))
- c3yvyC([o'T];wr2/p(G))"vtyi;[QT)т(1-[)(1-1/p) - C4||v|k,Tтв, (17)
где eo G (0,1 — (n + 2)/p), в = (p + n + peo)/(2p — 2), в = (1 — в)(1 — 1/p) и постоянные c не зависят от т и v. Очевидно, что это выполнено для постоянных C2, C3. Можем считать, что постоянная вложения Ho,t С C([0, т]; Wp2 2/p(G)) (теорема III 4.10.2 в [27]) не зависит от т. Действительно, продолжим v G Ho,T четным образом (относительно точки т) на промежуток [0, 2т] и далее нулем
на весь промежуток [0,Т]. Продолжение обозначим тем же символом. Имеем неравенство
1М1с([0,т]-Ж2р-2/Р(0)) < Мс({0,ПЖ2р-2/г(0)) < СМно,т < 2с|М|яо,т .
Здесь с — постоянная вложения Но,т С С([0, Т]; Жр 2/р(0)), которая не зависит от т. Следовательно, постоянная С4 также не зависит от т. Как следствие, из (16) имеем
||ЯоЫ - Л0(^2)Уяо,т < С5Тв IV! - У2Цио,т , (18)
где постоянная С5 не зависит от т £ (0,Т]. Следовательно, если возьмем С5т^ = 1/2, то оператор Но сжимающий и понятно, что он будет переводить шар Вд = {V £ Н0 т : |Н|#0 < Н, Н = 2||Но(0)||яо,т} в себя при всех т < т0, т. е. уравнение (15) имеет единственное решение из Но,т. Покажем, что решение продол-жимо на весь промежуток [0, Т]. Предположим, что доказана разрешимость уравнения (15) на промежутке [0, М]. Покажем, что уравнение разрешимо и на промежутке [0, М + т] с т < то. Построим функцию
( ) Г v(í,x) при Ь <М,
,Х) = \ v(2M - Ь,х) при Ь £ [М, ш1п(Т, М + т)].
Сделаем замену V = v1 + го Получим уравнение
VI = Нх(гх), Нх(гх)= Ь-1(/(Ь,х,гг + го + Ф, + Уго + УФ) - Ьго + до), (19)
где VI — неизвестная функция, которую мы ищем в классе функций равных нулю при Ь < М, и этим же свойством обладает выражение в скобках в правой части в (19). Пусть V1 £ Но,м+т, г = 1, 2, обладают тем же свойством, т. е. обращаются в нуль при < М. Как и ранее, приходим к неравенству
- Нх^Цщм+г < О^1 - V2
I С([М,М+т] ;С1 (С))'
где Со та же постоянная, что получена в неравенстве (16). Далее, как и при получении оценки (18), имеем
||Н1 (V1) - Н^2)||яо,м+т < С5тв||V1 - v2||яо,м, С5тв < 1/2, т < то.
Из этого неравенства вытекает, что уравнение (19) имеет единственное решение из класса 5 = £ Но,м+т : Vl = 0 при Ь < М, ^^Яо^х < 2||Н1(0)||яо,т} при т < то, поскольку оператор Н1 переводит множество 5 в себя и сжимающий. Поскольку интервал разрешимости не уменьшается, можно сказать, что уравнение (15) имеет решение на всем промежутке [0, Т].
Перейдем к разрешимости обратной задачи. Прежде всего нам нужны некоторые оценки для решений прямой задачи. Пусть ^ = (^1,... ,д'т), г = 1, 2, — две различные вектор-функции и V1, V2 — соответствующие решения задачи (12), (13), т. е.
т
IV = 4 + А(Ь,х,Пу = /(Ь+ Ф, Уvj + УФ)+£ МЬ,х)д{ (Ь), 3 = 1, 2, (20)
V |*=о = 0, |я = 0. (21)
Вычитая эти уравнения при 3 = 1, 2, получим
т
Ыю = ю + А(г, х, = Д^1, V2) + до, до = ^ /*(*, хК91 - 9?)
г=1
й(«1, V2) = /(г,х, V1 + ф, V«1 + уф) - /(г, х, V2 + ф, V«2 + уф), =о
Возьмем т = то. Тогда
ю|г=о = 0, Вю^ = 0, ю = V1 — V2.
ю = Ы-1(Д(^1, V2) + до), (22)
Как и в оценке (16), имеем
НЬ-^Д^УНдоЖ. ^соЦт;1-«2!!^^^ +С1Ы|у0,х. (23)
где постоянные е^ не зависят от т (см. теорему 1 и лемму 1). Используя условие на функции /, получим
|Уо,т < с2191 — 92|Ьр(о,г), (24)
где постоянная с2 равна шах^ ||/г||ьте(о,т;ьР(о)). Из оценок (23), (17) выводим
||Ы-1(Д(У V2) + до)||но,т < С5тв— ^Няо.т + С1 с^Ц^ — йНмо.т). (25)
Поскольку С5тв < 1/2, используя эту оценку правой части в равенстве (22), получим
— ^Няо.т < 2С1С2||91 -йНмо.т). (26)
Далее повторяем рассуждения из доказательства существования решений прямой задачи. Построим функцию
( х) при г < т,
юо(г, х) = <
[ ю(2т — г, х) при г € [т, шш(Т, 2т)].
Сделав замену ю = + юо, получим уравнение
Ю1 = Ы-1(Д(^У)+ до — Ыюо). (27)
Отметим, что = 0 при г < М и тем же свойством обладает выражение в скобках в правой части в (27). Как и ранее, при выводе оценок (24), (25), приходим к неравенству
||Ы-1(Д(^1, V2)+ до — Ыюо)||яо,2т
< СоЦ«1 -^2||с([г,2г];С1(С)) +С1С2||?1 ~ Ь II Ьр (т,2т) + Сб|К||н0,2т-
Воспользуемся представлением ю = V1 — V2 = + юо. При этом обращается в нуль при г < то. Используя рассуждения из доказательства оценки (17) и оценку (26), а также вложение (11), получим
НЬ-^ЖУ,«2) +до - Ьад0)||я0,2т < СоИ^Ис^т^т]^1^)) +Со1К||С([т12т];С1(С)) + С1С2 ||91 — (ЫУт^т) + С611 юо 11 Но, 2 т < С5т в 11 ю 111 Но, 2 т + С71|91 — (Уь^о^т).
Используя равенство (27), приходим к оценке
1Ы|яо,2т < 2c7||q1 - Ы\ьр(0,2т), которая с учетом оценки (26) дает оценку
llv1 - V2|ho,2t < cs||qi || Lp (0,2T ). (28)
Далее рассуждения проводятся по индукции. Предположим, что на [0, кт] оценка вида (28)
||v1 - v2|Ho,feT < c9||qi q2 \ Lp(0,kT)
уже получена, и покажем ее наличие на промежутке [0, max((k + 1)т, T]. Очевидно, что рассуждения, используемые при получении оценки (28), остаются справедливыми и в этом случае, и их опустим. Окончательно придем к оценке
Hv1 - v2||Ho,T < C9||qi — 921Lp(0,T). (29)
Отметим, что из этой оценки вытекает также оценка
|v1 — v2||Ho,T < C9||q1 — 92||Lp(0,T) VT < T. (30)
Чтобы ее получить, необходимо применить оценку (29) к вектор-функциям q^, равным нулю при t > т.
Пусть v £ Ho,T. Умножив уравнение (12) на вектор-функцию pj скалярно и проинтегрировав результат по G, придем к системе
фjt + J{Av(t,x),ipj) dx = J(f (t,x, (v + Ф)(^ x), V(v + &)(t,x)),pj) dx G G
m ,,
+ E (fi(t,x),Vj) dxqt(t), (31)
1=1 G
где j = 1,... ,m. Эта система может быть переписана в виде Bq = ф + R(q), где
j-е координаты векторов ф и R(q) совпадают с %fjjt и f (Av(t, x) — f (t, x, v(t, x) +
G
<^(t, x), Vv(t, x)+VФ(t, x)), pj) dx соответственно. В оператор R входит функция v = v(q), которая определяется через функцию q как решение задачи (12), (13). Таким образом, приходим к системе
q = В-1ф + B-1R(q), (32)
где оператор B-1R(q) : Lp(0,T) ^ Lp(0,T) ограничен. Получим некоторые оценки. С одной стороны, имеем
||B-1R(q)||Lp(o,T) < c||R(g)||Lp(o,T), |B-1R(q1) — B-1R(q2)|Lp(0,T) < c|R(q1) — R(q2)||Lp(0,T),
(R(q1) — R(q2))j = J(A(v1 — v2)(t, x), pj) dx G
— J((f (t, x, (v1 + Ф)(t, x), V(v1 + Ф)(t, x)),Pj)
G
— (f (t, x, (v2 + Ф)(^ x), V(v2 + Ф)(^ x)),pj) dx, (33)
где V1 — решения соответствующих задач (20), (21). Из леммы 1 вытекает оценка
У ((/(г, х, (V1 + ф)(г, х), уу + ф)(г, х)), >
— (/(г, х, (V2 + Ф)(г, х), У(-2 + Ф)(г, х)), > ¿х
Ьр(т1,Т2)
< еН-1 - V21
'сап.т^счс))' 0 < Т! < т2 < Т, (34) где постоянная с не зависит от т1, т2. Рассмотрим
J = У (А(^1 — у2)(г,х),<^-> ¿х . о
Сюда входят слагаемые вида
/т „
(аи(V1 — ^2)хкхг, ^> ¿х = ^ / (а&г (V1 — -у2)^, , ^> ¿х.
о ^'=1о3
Для каждого из слагаемых ^ в силу неравенства Минковского имеем
141 < к-1 — у2)
)хкхг (Оз)||акг^"И^1 (о3), в1 < ^
где ак, — сопряженная матрица. Справедливо неравенство
2
(^ — V-||^р-«1 (03) < с||у — - ^^ (03).
(35)
При р = 2 оно вытекает из замечания 12.8 в [29]. В общем случае оно может быть доказано следующим образом. Отображение дХк принадлежит пространству Ы^р1^),Ыр(О5-)) П¿(¿р(О,-), Wp-1(Оj)) и, значит, д*к € ¿^(О,-)^-1(О^-)) в силу равенств
^(О,-),Ыр(О5-))1-в р = Wpe(Gj), (Ыр(О5-), Wp-1(Оj))1-, р = Wpe-1(Оj)
(см., например, [22]). Кроме того, в силу теорем о точечных мультипликаторах (см., например, теорему 3.3.2, с. 198 в [30])
Кг^"И<1 (о3) < е|У ^ (о3) < ^
(36)
где постоянная с зависит от норм элементов матрицы а*к1 в Ьсю(^,Т\С31{С^)). Из оценок (35), (36) вытекает неравенство
|Ьр(т1,т2) < е|у1 — ^^(•п.т,;*^ (О)).
(37)
Оценки (34), (37) и представление (33) гарантируют оценку |В-1Д(91) — В-1 Д(92)||Мт1,т2)
< ^(Ц«1 - «2|1Мг1,Т2;Иучс)) + И1'1 - ^Исат^ьсчс»)' (38)
где постоянная С1 не зависит от т1, т2. Используя интерполяционные неравенства (см. [22]) и формулу Ньютона — Лейбница, получим
II 1 2|| ^ || 1 21| 1-31 /2 и 1 2|| «1/2
^ - v Ьр^т-ЖГ^ (О)) < С2^ - V I|Lp(0,т■Wр(G))I|v - V ^Ьр^т)
< С2т- V2|я,
о,т '
где постоянная с2 не зависит от т. Из этого неравенства и оценок (38) и (17) вытекает оценка
|В-1НЙ1) - В-1НЙ2)|ьр(о,т) < Сзтв1 ||v1 - v2||яо,т, в1 = шп(31/2,Р). (39)
Если еще используем оценку (30), то получим неравенство
|В-1НЙ1) - В-1НЙ2)|Ьр(0,т) < С4тв11|?1 -ЬИьр(,о,т).
Выберем параметр то такой что С4тв = 1/2. Тогда уравнение (32) имеет единственное решение в шаре ||д||ьр(о,т) < 2||В-1^||ьр(о,т) при всех т < то. Продолжим по индукции. Далее положим т = то. Предположим, что построено решение уравнения (32) на промежутке [0,кт]. Покажем, что оно продолжимо на промежуток [0, шш(Т, (к + 1)т]. Положим
" (Ь) = / 4(ь) пРи Ь < kт,
4о( ) = \ 0 при Ь £ [кт, шш(Т, (к + 1)т]= I.
Сделаем заменуд = д1 +|0 в (32). Вектор д1 неизвестен, и естественным образом считаем, что он равен нулю при Ь < кт. Приходим к уравнению
41 = В-1^ + В-1Н(Ь +до) -до = НкШ, Нк : Ьр(Т) ^ Ьр(Т). (40) Как и выше, оценим выражение
Нк(д1) - Нк(д2)
= / (A(v■ - ^н^) -1(,х>+ф(í,x),yvl(í,x) + уфМ)
О
+ /(Ь, х, v2(t, х) + Ф(Ь, х), Уv2(t, х) + УФ(Ь, x)),(pj) в,х,
где v1,v2 — решения задач (20), (21), а в качестве координат векторов дj = (д{,... ,д-^п) берутся величины ^ = д^ + д0^, д0 - координаты вектора д0 а д3и координаты вектора д1 при 3 = 1 и вектора д2 при 3 = 2. Считаем, что все координаты д3и обращаются в нуль при Ь < кт. Тогда функции V1 совпадают при Ь < кт. В силу неравенства (38) имеем
Над1) - Пк{д2)\\Ьр(1) < СхС!«1 + II«1 -и2|1с(/;СЧС)))-
Постоянная С1 та же, что и в (38). Отметим, что по построению V1 = V2 при Ь < кт. Как и при выводе оценки (39), получим аналог этой оценки
||Нк(д1) - Нк(д2)Цьр(1) < Сзтв1 ||v1 - v2|яо,min(т,(k+l)т) (41)
с той же постоянной С3. Далее используем оценку (30), которая в нашем случае запишется в виде
llv1 - v2||Ho,„in(T,(fe+i)T) < c9|lq1 -q2|lM0,min(T,(k+1)T)) • (42)
Оценки (41), (42) влекут оценку
НВД1) - Rk(q2)llM/) < С4Тв1 llq1 -q2|Lp(i),
которая в силу выбора т влечет, что уравнение (40) имеет решение q1 £ Lp(0, min(T, (k + 1)т), равное нулю при t < кт, вектор q = q1 + qo будет решением уравнения (32) на [0, min(T, (к+1)т)]. Таким образом, уравнение (40) разрешимо на [0,T]. Построим функцию v как решение задачи (12), (13) и покажем, что условие (14) выполняется. У нас выполняются равенства (31), (32). Умножив уравнение (12) на вектор-функцию ^ скалярно и проинтегрировав результат по G, приходим к системе
tpjt + J(Av(t,x),<^} dx = J(/(t, x, (v + Ф)(4, x), V(v + Ф)(^ x)), ) dx
G G
m „ „
+ У^ / (/¿(i,x),^j} dxq(t), <J?(t) = / (v(i,x),^j} dx.
(v(t, x)
G G
Вычитая эти равенства из равенств (31), получим = i/jt для всех j. В силу условий согласования -г/j (0) = 0 и
£(0) = / (v(0,x),^j} dx = 0.
G
Отсюда получим
I ) ¿х = 'фj(£),
G
что и требовалось.
Замечание. Результаты переносятся без изменений на случай эллиптического оператора А высокого порядка 2т. Нелинейное слагаемое будет зависеть от и и всех производных до порядка 2т — 1, а условие на р будет иметь вид р > п + 2т. Так же, по видимому, условия на нелинейное слагаемое / можно ослабить до непрерывности по переменным и, grad и, но теорема единственности при этом теряется.
Доказательство теоремы 3. Пусть выполнены условия теоремы 3. Возьмем К = 211 гло 11 с?1С с?) - Построим вспомогательную функцию ф (и, р) £ С(5'о(11^Г1+1'Г0) такую, что г(и,р) = 1 в Вд и ^(и,р) = 0 при (и,р) € М("+1)г° \ В2я, и рассмотрим вспомогательную задачу с функцией ^(и,р)/(¿,х,и,р) = /(£, х, и,р) вместо функции /х, и,р) в (1). По условию (В) полученная функция удовлетворяет условиям (А). Следовательно, по теореме 2 задача (1)-(3) имеет решение (и,д). С другой стороны, ввиду непрерывности по времени найдется промежуток [0, то], на котором < Д. На этом промежутке /(¿,х,и, Уи)
совпадает с /(¿, х, и, Уи). Следовательно, построенная функция (и,д) является решением искомой задачи в .
ЛИТЕРАТУРА
1. Marchuk G. I. Mathematical models in environmental problems. Amsterdam: Elsevier Sci. Publ., 1986. (Stud. Math. Appl.; V. 16).
2. Ozisik M. N., Orlande H. R. B. Inverse heat transfer. New York: Taylor & Francis, 2000.
3. Iskenderov A. D., Akhundov A. Ya. Inverse problems for a linear system of parabolic equations // Dokl. Math. 2009. V. 79, N 1. P. 73-75.
4. Ismailov M. I., Kanca F. Inverse problem of finding the time-dependent coefficient of heat equation from integral overdetermination condition data // Inverse Probl. Sci. Eng. 2012. V. 20, N 24. P. 463-476.
5. Ivanchov M. I. Inverse problem of simultaneous determination of two coefficients in a parabolic equation // Ukr. Math. J. 2000. V. 52, N 3. P. 379-387.
6. Jing Li, Youjun Xu. An inverse coefficient problem with nonlinear parabolic equation // J. Appl. Math. Comput. 2010. V. 34, P. 195-206.
7. Kamynin V. L., Franchini E. An inverse problem for a higher-order parabolic equation // Math. Notes. 1998. V. 64, N 5. P. 590-599.
8. Камынин В. Л. Обратная задача определения младшего коэффициента в параболическом уравнении при условии интегрального наблюдения // Мат. заметки. 2013. Т. 94, вып. 2. С. 207-217.
9. Kerimov N. B., Ismailov M. I. An inverse coefficient problem for the heat equation in the case of nonlocal boundary conditions // J. Math. Anal. Appl. 2012. N 396. P. 546-554.
10. Кожанов А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2005. Т. 45, № 12. C. 2168-2184.
11. Hussein, M. S., Lesnic D. Simultaneous determination of time-dependent coefficients and heat source // Int. J. Comput. Methods Eng. Sci. Mech. 2016. V. 17, N 5-6. P. 401-411.
12. Vasin I. A., Kamynin V. L. On the asymptotic behavior of solutions to inverse problems for parabolic equations // Sib. Math. J. 1997. V. 38, N 4. P. 647-662.
13. Ivanchov M. Inverse problems for equation of parabolic type. Lviv: WNTL Publ., 2003. (Math. Stud., Monogr. Ser.; V. 10).
14. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, 1999.
15. Hazanee A., Lesnic D., Ismailov M. I., Kerimov N. B. Inverse time-dependent source problems for the heat equation with nonlocal boundary conditions // Appl. Math. Comput. 2019. V. 346. P. 800-815.
16. Прилепко А. И., Орловский В. В. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики. II // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, № 4. С. 694-701.
17. Пятков С. Г., Сафонов Е. И. О некоторых классах линейных обратных задач для параболических систем уравнений // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. 2014. Вып. 35, № 12. С. 73-74.
18. Пятков С. Г., Сафонов Е. И. О некоторых классах линейных обратных задач для параболических систем уравнений // Сиб. электрон. мат. изв. 2014. Т. 11. C. 777-799.
19. Cannon J. R. A class of non-linear non-classical parabolic equations //J. Differ. Equ. 1989. V. 79. P. 266-288.
20. Lin Y. An inverse problem for a class of quasilinear parabolic equations // SIAM J. Math. Anal. V. 22, N 1. P. 146-156.
21. Pyatkov S. G., Rotko V. V. Inverse problems with pointwise overdetermination for some quasilinear parabolic systems // Sib. Adv. Math. 2020. V. 30, N 2. P. 124-142.
22. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.
23. Denk R., Hieber M., Pruss J. Optimal Lp — Lq-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data // Math. Z. 2007. Bd 257, Heft 1. S. 193-224.
24. Amann H. Compact embeddings of vector-valued Sobolev and Besov spaces // Glasnik Mat. Ser. III. 2000. V. 35, N 1. P. 161-177.
25. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
26. Pyatkov S. G., Rotko V. V. On some parabolic inverse problems with the pointwise overdetermination // AIP Conf. Proc. 2017. V. 1907. 020008.
27. Amann H. Linear and quasilinear parabolic problems. I. Basel, etc.: Birkhauser-Verl., 1995. (Monogr. Math.; V. 89).
28. Успенский С. В., Демиденко Г. В., Перепелкин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука, 1984.
29. Lions J. L., Magenes E. Non-homogeneous boundary value problems and applications. Berlin; Heildelberg; New York: Springer-Verl., 1972. V. 1.
30. Triebel H. Theory of function spaces. Basel: Birkhauser-Verl., 1983.
Поступила в редакцию 17 августа 2020 г. После доработки 22 октября 2020 г. Принята к публикации 29 ноября 2020 г.
Пятков Сергей Григорьевич
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Акад. Коптюга, 4, Новосибирск 630090; Югорский государственный университет, ул. Чехова, 16, Ханты-Мансийск 628012 [email protected]. ru, [email protected]
Уварова Матрена Владимировна Югорский гос. университет, ул. Чехова, 16, Ханты-Мансийск 628012 m_uvaro va@ugr asu. ru
Пронькина Татьяна Васильевна Югорский гос. университет, ул. Чехова, 16, Ханты-Мансийск 628012 [email protected]
Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2020. Том 27, № 4
UDC 517.95
INVERSE PROBLEMS FOR A QUASILINEAR
PARABOLIC SYSTEM WITH INTEGRAL
OVERDETERMINATION CONDITIONS
S. G. Pyatkov, M. V. Uvarova, and T. V. Pronkina
Abstract: The question of well-posedness in Sobolev spaces of inverse problems of recovering the source in a quasilinear parabolic system of the second order is examined. The main part of the operator is linear. The integral overdetermination conditions are considered. It is shown that in the case of at most linear growth of the nonlinear summand in its arguments, there exists a unique solution to this problem globally in time and the problem itself is well-posed in the Sobolev classes. The conditions on the data are sharp.
DOI: 10.25587/SVFU.2020.45.71.004
Keywords: parabolic system, inverse problem, source function, convection-diffusion, heat and mass transfer.
REFERENCES
1. Marchuk G. I., Mathematical Models in Environmental Problems, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam (1986) (Stud. Math. Appl.; vol. 16).
2. Ozisik M. N. and Orlande H. R. B., Inverse Heat Transfer, Taylor & Francis, New York (2000).
3. Iskenderov A. D. and Akhundov A. Ya., "Inverse problems for a linear system of parabolic equations," Dokl. Math., 79, No. 1, 73-75 (2009).
4. Ismailov M. I. and Kanca F., "Inverse problem of finding the time-dependent coefficient of heat equation from integral overdetermination condition data," Inverse Probl. Sci. Eng., 20, No. 24, 463-476 (2012).
5. Ivanchov M. I., "Inverse problem of simulataneous determination of two coefficients in a parabolic equation," Ukr. Math. J., 52, No. 3, 379-387 (2000).
6. Jing Li and Youjun Xu, "An inverse coefficient problem with nonlinear parabolic equation," J. Appl. Math. Comput., 34, 195-206 (2010).
7. Kamynin V. L. and Franchini E., "An inverse problem for a higher-order parabolic equation," Math. Notes, 64, No. 5, 590-599 (1998).
© 2020 S. G. Pyatkov, M. V. Uvarova, and T. V. Pronkina
8. Kamynin V. L., "The inverse problem of determining the lower-order coefficient in parabolic equations with integral observation," Math. Notes, 94, No. 2, 205—213 (2013).
9. Kerimov N. B. and Ismailov M. I., "An inverse coefficient problem for the heat equation in the case of nonlocal boundary conditions," J. Math. Anal. Appl., No. 396, 546—554 (2012).
10. Kozhanov A. I., "Parabolic equations with an unknown time-dependent coefficient," Comput. Math. Math. Phys., 45, No. 12, 2085-2101 (2005).
11. Hussein M. S. and Lesnic D., "Simultaneous determination of time-dependent coefficients and heat source," Int. J. Comput. Methods Eng. Sci. Mech., 17, No. 5-6, 401-411 (2016).
12. Vasin I. A. and Kamynin V. L., "On the asymptotic behavior of solutions to inverse problems for parabolic equations," Sib. Math. J., 38, No. 4, 647-662 (1997).
13. Ivanchov M., Inverse Problems for Equation of Parabolic Type, WNTL Publ., Lviv (2003) (Math. Stud., Monogr. Ser.; vol. 10).
14. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., and Vasin I. A., Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, Marcel Dekker, New York (1999).
15. Hazanee A., Lesnic D., Ismailov M. I., and Kerimov N. B., "Inverse time-dependent source problems for the heat equation with nonlocal boundary conditions," Appl. Math. Comput., 346, 800-815 (2019).
16. Prilepko A. I. and Orlovskij D. G., "Determination of a parameter in an evolution equation and inverse problems of mathematical physics, II," Differ. Equ, 21, 472-477 (1985).
17. Pyatkov S. G. and Safonov E. I., "On some classes of linear inverse problems for parabolic systems of equations [in Russian]," Vestn. Belgorod Gos. Univ., 35, No. 7, 61-75 (2014).
18. Pyatkov S. G. and Safonov E. I., "On some classes of linear inverse problems for parabolic systems of equations," Sib. Electron. Math. Rep., 11, 777-799 (2014).
19. Cannon J. R., "A class of non-linear non-classical parabolic equations," J. Differ. Equ., 79, 266-288 (1989).
20. Lin Y., "An inverse problem for a class of quasilinear parabolic equations," SIAM J. Math. Anal., 22, No. 1, 146-156 (1991).
21. Pyatkov S. G. and Rotko V. V., "Inverse problems with pointwise overdetermination for some quasilinear parabolic systems," Sib. Adv. Math., 30, No. 2, 124-142 (2020).
22. Triebel H., Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, Deutscher Verl. Wissenschaften, Berlin (1978).
23. Denk R., Hieber M., and Pruss J., "Optimal Lp — Lqestimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data," Math. Z., 257, No. 1, 193-224 (2007).
24. Amann H., "Compact embeddings of vector-valued Sobolev and Besov spaces," Glasnik Mat., Ser. III, 35, No. 1, 161-177 (2000).
25. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., and Ural'tseva N. N., Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1967) (Transl. Math. Monogr.; vol. 23).
26. Pyatkov S. G. and Rotko V. V., "On some parabolic inverse problems with the pointwise overdetermination," in: AIP Conf. Proc., 1907, No. 1, 020008 (2017).
27. Amann H., Linear and Quasilinear Parabolic Problems, I, Birkhauser-Verl., Basel (1995) (Monogr. Math.; vol. 89).
28. Uspenskii S. V., Demidenko G. V., and Perepelkin V. G., Embedding Theorems and Their Applications to Differential Equations [in Russian], Nauka, Novosibirsk (1984).
29. Lions J. L. and Magenes E., Non-homogeneous Boundary Value problems and Applications, vol. 1, Springer-Verl., Berlin; Heildelberg; New York (1972).
30. Triebel H., Theory of Function Spaces, Birkhauser-Verl., Basel (1983).
Submitted August 17, 2020 Revised October 22, 2020 Accepted November 29, 2020
Sergey G. Pyatkov Sobolev Institute of Mathematics, 4 Koptyug Avenue, Novosibirsk 630090, Russia; Yugra State University,
16 Chekhov Street, Khanty-Mansyisk 628012, Russia [email protected]. ru; [email protected]
Matrena V. Uvarova Yugra State University,
16 Chekhov Street, Khanty-Mansyisk 628012, Russia m_uvaro va@ugr asu. ru
Tat'yana V. Pronkina Yugra State University,
16 Chekhov Street, Khanty-Mansyisk 628012, Russia [email protected]
