Обратные задачи динамической геодезии со свободной границей Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 528.202:551.24:521.282 В.Ф. Канушин, И.Г. Ганагина СГГ А, Новосибирск

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

Природные геодинамические, а также техногенные явления по-разному влияют на результаты геодезических измерений, либо непосредственно через изменения положения пунктов на земной поверхности или опосредовано через временные изменения гравитационного поля, поскольку большинство геодезических измерений зависят от направления или модуля вектора силы тяжести. Кроме того системы координат, используемые для описания положения пунктов земной поверхности нестабильны: начала координат и направление осей земной системы координат изменяются в зависимости от действия эндогенных и экзогенных геодинамических процессов; таким образом, в координатах точек на земной поверхности проявляются дополнительные временные вариации.

Путём регистрации временных изменений результатов геодезических измерений можно исследовать пространственно-временную структуру геодинамических процессов. Основным геодезическим вкладом в геодинамические исследования является контроль в сфере мониторинга временных вариаций гравитационного поля и смещения пунктов на поверхности Земли относительно выбранной системы координат. В принципе, строгий четырёхмерный подход к этой проблеме ведёт к постановке пространственно-временной краевой или начально-краевой задачи с зависящими от времени граничными данными, требующей описания всех динамических процессов, являющихся результатом антагонистического действия процессов двух видов, вызванных эндогенными и экзогенными силами.

Так как эти процессы крайне сложны и недостаточно изучены, то решение пространственно-временной задачи представляется далеко не простым и однозначным. Большинство предлагаемых в геодезической литературе (1), (2) подходов к решению этой задачи основаны на сведении четырёхмерной задачи к временной последовательности трёхмерных краевых задач. Допуская, что граничные данные в некоторую дискретную эпоху заданы на деформируемую краевую поверхность, ставится и решается обычная, не зависящая от времени краевая задача для любой эпохи, Такой конечно-разностный метод, в котором учитывается линейная аппроксимация кинематического поведения краевой поверхности, формально схож с классическими не зависящими от времени краевыми задачами. В зависимости от типа краевых данных и предположений относительно кинематического поведения краевой поверхности формулируются различные типы зависящих от времени краевых задач. Например, если известна геометрия краевой поверхности на любую эпоху, а неизвестным является

изменение потенциала силы тяжести и его дериват, то возникает так называемая фиксированная краевая задача. Если временные вариации краевой поверхности неизвестны, а известны лишь на этой поверхности временные изменения гравитационного потенциала, а также модуля и направления силы тяжести, то возникает обратная краевая задача динамической геодезии со свободной краевой поверхностью. Эта поверхность изменяет свою форму и положение в пространстве (X, Y, Ъ) со временем ^ т. е.

Е(х,у,ад = з, (1)

Каждому моменту t в трёхмерном пространстве (X, Y, Ъ) соответствует своя поверхность Б,. Пусть две поверхности So(X, Y, Ъ, о) и Si(X, Y, Ъ, й)

согласованы между собой тем, что любая точка Ро € So(X, Y, Ъ, to) связаны с точкой Pi € Si(X, Y, Ъ, й) и пусть в результате геодинамических процессов масса перераспределится так, что ни геометрия поверхностей So и Si, ни потенциала силы тяжести Wo и Wi в точках Ро и Р^ отнесённая к эпохам tо и

й, не совпадают. Разность между геоцентрическими радиусами-векторами г0 = ОРо и г = Opi представляет собой вектор смещения (рис. 1).

8г(р -Ро,^ -^ -го(Ро,1о) (2)

Рис. 1. Определение вектора смещения 8г = Р0Рі

Этот вектор можно записать в виде

8г =

Х1 - Х0 Уі - Уо 21 - 20

Разность между значениями потенциалов Wo и Wi в тех же точках Ро(Х, У, Ъ) и Р^Х, Y, Ъ)

AW(P1 - Po,t! - to) = W1(P1,t1) - Wo(Po,to)

(4)

временная вариация потенциала силы тяжести.

Так как вектор силы тяжести равен g = gradW,

То разность

Sg = gl(pl,tl) - gо(pо,tо) = gradW

(5)

(6)

- разность временной вариации силы тяжести.

Если разности 5W и 5g получены из повторных нивелировок и гравиметрических измерений в точках Рое (X, У, Ъ, to) и Pie (X, У, Ъ, й) и отнесена к поверхности So(X, У, Ъ, to), то возможно вследствие малости этих величин в сравнении с абсолютными координатами и параметрами гравитационного поля, то возникает зависимая от времени обратная краевая задача динамической геодезии со свободной границей для определения вектора смещения 5г и изменения потенциала силы тяжести 5W во внешнем пространстве по граничным условиям 5W(Po, to) и 5g(Po, to) на поверхности So(X, У, Ъ, to).

Эта задача имеет внешнее сходство с краевой геодезической задачей М.С. Молоденского (1), (3).

Таким образом, разнообразие формулировок, зависящей от времени обратной краевой задачи обусловлено тем, что в настоящее время ещё не разработана общая концепция решения задач динамической геодезии.

1. Постановка проблемы динамической геодезии, как решение геодевической краевой задачи М.С.Молоденского с краевыми условиями и граничной поверхностью, изменяющимися во времени. Отчет о НИР (промежуточный), руководитель Бузук В.В. NTP.0196.00012360, HHB.N 02. 97.0005664,СГГА, Новосибирск,1997. - 49с.

2. Неск В. Time - Dependent Geodetic Boundary Value Problems. Proc. Int.Symp. Figure and Dynamiok of the Earth, Moon, and Planets Prague, 1988, - p. 195-225.

3. Молоденский М.С», Еримеев В.Ф., Юркина М.И.Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли // Труды ЦНИИРАиК, вып. 131, 1960. - 251 с.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

© В.Ф. Канушин, И.Г. Ганагина, 2006