Обратная задача по определению коэффициента при старшей производной в квазилинейном уравнении параболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.946

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ КОЭФФИЦИЕНТА ПРИ СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ В КВАЗИЛИНЕЙНОМ УРАВНЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

INVERSE PROBLEM OF DETERMINING THE COEFFICIENT OF THE HIGHEST DERIVATIVE IN A QUASI-LINEAR PARABOLIC EQUATION

Волков Владимир Матвеевич, доцент, e-mail: [email protected]

Volkov Vladimir M., Associate Professor Волкова Екатерина Анатольевна, доцент, e-mail: [email protected]

Volkova Ekaterina A., Associate Professor

Кузбасский государственный технический университет имени Т.Ф.Горбачева, 650000, Россия, г. Кемерово, ул. Весенняя, 28

Т. F. Gorbachev Kuzbass State Technical University, 28 street Vesennyaya, Kemerovo, 6650000, Russian Federation

Аннотация: Рассмотрена обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа. Определяемый коэффициент зависит от решения прямой задачи и пространственной переменной. Доказана теорема единственности и приведена оценка устойчивости.

Abstract: The inverse problem is considered for a quasi-linear equation of the parabolic type. Defined rate depends on the solution of the direct problem and the spatial variable. We prove the uniqueness theorem and give an estimate of stability.

Ключевые слова: Обратная задача, краевая задача, принцип максимума, теорема единственности, оценка устойчивости.

Keywords: Inverse problem, boundary problem, principle of the maximum, uniqueness theorem, estimate of stability.

Рассмотрим в области 1){Т,Xq ) = {xq < X < CO, 0 < t < T} для уравнения

ut={<j(u,x)-ux) (1)

краевую задачу

t=0 и

= qj{x - х0 ), х0 < х < оо, (2)

y/(t),0<t<T, (3)

^—х0

и пусть относительно ограниченного решения этой задачи известна в точке Х=Хо функция

Ur\

х =f(t,x0),0<t<T. (4)

Теперь предположим, что Хо изменяется от нуля до бесконечности, тогда наша задача состоит в определении функции по известной функции ).

Определение. Будем говорить, что функция принадлежит классу функций

Ор! ,я2 ] х [0,оо)), если ст{и,х) £ С3'2 (IX ,К2 ] X [0,оо))и с((- оо.оо) X [о.оо)) и выполнены

следующие условия

|cr^(w,x)| < J3, 0< V < ст(и,х)< ¡л.

Лемма 1

Пусть (p{t) - непрерывная функция при 0 < t < Т

' ( 1 ^

тах\ф[1\ < тахшиЛ

О<?<?/ гдепо-

Тогда для любого /], 0 < ^ <7^ справедливо неравенство о<?<?;

стоянная С1 зависит от С и 7".

Доказательство данной леммы получается с помощью однократного применения итерационного метода и ссылки на лемму Гронуолла-Белмана.

Лемма 2. Пусть на отрезке ] задана функция (т(и,Х) , принадлежащая множеству функ-

ций, имеющих(/г+1) непрерывно дифференцируемую производную, а также удовлетворяющих неравен-

дка(и)

а/

< /3 < 00, к = 2,п +1 ■

Тогда задача дифференцирования до П - го порядка устойчива, то есть, если Iсг[ (и) — (и )| < £,

причем

дк<г{(и)

ди

< р,к = 2,п + Ц = \,2,

то

а1; (и)-а1; (и)

< С£, к = 1,77.

Доказательство леммы приведено в [1].

1+а

Лемма 3. Пусть функции <р(х) <Е Н2+а ([0,оо)), у/^) £ Я 2 ([О, Г])

(р{х) > 0, ф'(х) < 0,0 < х < со,

удовлетворяют условиям

у/'(х)>ах >0,0<?<Г.

Тогда для классического ограниченного решения задачи (1) - (3) справедлива оценка

О < и(хл)< о < ? < Т, х0 < х < 00.

Доказательство леммы 3, как и двух ниже приведенных лемм в аналогичной постановке задачи, приведено в [2].

Лемма 4. В предположениях леммы 3 существует точка Х^ < 00 , такая, что в области

О(Т,Х0 + Х| ) выполнено неравенство и{х< ^(О)-

Лемма 5. При выполнении условий предыдущих лемм и условий

1 + Г'

в области

/(ц)бЯ 2 ([0,Г]),/(/,х0)<-а2 <0

{хд Т} для решения задачи (1) - (3) справедлива оценка

(х,/)< -с < 0.

и„

Перейдем к формулировке и доказательству теоремы единственности и устойчивости для обратной задачи.

1+—

Теорема. Пусть функции <р(х) £ Н2+а ([0,оо)), у/^) £ С2 ([0,Г]), /(/,Х0 ) £ Н + 2 ([0,Г]) при любом фиксированном Хд и удовлетворяют условиям

(р{х) > 0, (р'{х) < 0, 0 < X < 00 , (5)

>0,0<?<7\

(6)

f(t,x0)<-а2 <0,0<t<T,0<xQ<co, (7)

где G1 и - строго положительные постоянные, а также условиям согласования

^(0) = cp(0),f(0,x0)=cp'(0), (8)

Тогда решение обратной задачи единственно и устойчиво в классе функций ,R~, ] х [0,оо)) и

совпадающих между собой в области 0 < U < 0 < X < 00.

Доказательство. Предположим, что существуют два решения задачи (1) - (4) (сГ| (щ,х),щ {x,t)) и {сГ| {щ,х),щ (х,/)}, причём сг, (щ ,х) е , Ло ] х [0,°о)) и

cr2(w2,x)e Q([i?1,i?2]x t^'00))- Положим v = щ -и2, а(и,х) = al(u,x)-<J2(u,x),

fit >х0 >х0

,Х0). Тогда для V и (j(u2,x) получим следующую задачу

4=0 = х0 ^ л: < 00, = о, О < t < Т, f(t,x0),0<t<T,

х х=л

где

A(*.t)=-fW

UlY г ' щ -щ щ+щ \ , "А 1 - 1 - s + -L——,х ids-

-1

2 2

Сделаем в полученной задаче замену переменных X — Xq = Tj, t = t, тогда

= (щ,г? + х0)vl7+A(?i + x0,t)-v + cr(u2,r] + x0)u2ll) ,

v|,=0 = о, 0 < T] < 00, v\^0 = o,o<t<T,

(9) (Ю) (П) (12)

После чётного продолжения и^Т] + Х0,?), и2{г/ + А{т] + Х0,?), (7\ (щ ,Г] + Х0) по Г]

при Г]<0 , решение задачи (9), (10), (12) выписывается в виде

t 00

•>(r/,t) =

О О

expj ( с-'/} 2 j> + expj ( с + 1

1 ^(U^ + Xq) [ 4(i-r;

2yJ^(t - г )а1(щ,^ + х о)

+

t со

\dA\

expj 1

4 (t-A (wj.J + Xo)]

t-A)< -\ Щ.у + x oJ

ос,

ехр<

4(i-r)cr1(^(r),x0)J

ехр<

(п - у)2

2У1^-т)ет1{щ{т),х о)

J^J

4(/ - Я)о"| (к,, j + х0)

2 - А )(7Х (их, у + х0)

— х

где

х0(у,ОД,г)й?у}7(г,хо>/г, 0</7<оо,0<г<7\

функция О^у г) удовлетворяет условиям

д£"дтг

<

п+2

-+т

■ ■ ехр\ - с——¡>, п,т = ОД,... Л - т

(13)

(Л - т)~ 2

Используя условие (11), получим уравнение для определения Сг(и,Х)

? оо

о о

ехр г- 1

4(7 - г) мД^Г^ + Хо)

У (щ(£,т),£ + х о)

+

+

? 00 \с1Л\

}

4(1-Л К (у,Д),.у + х0)|

2,14 Г-Л)(

дд

(14)

где для функции , Хд ) справедлива оценка

|И/,Х0)| < С 7(^(4 0<^<Г,0<Х<оо. (15)

Здесь постоянная с зависит от свойств задачи (1) - (4), а также как степенная функция от Т.

Преобразуем уравнение (14) интегрированием по частям по переменной ¿^ , а также переходим в полученном уравнении от переменных к новым переменным г), что возможно в силу справедливости приведённых выше лемм, по формулам Т = Т, £ = у/ ' (и2 («^ + Хд ,'г)), и используем условие при г^ £ [0,^/"(0)], приведём уравнение к виду

+

t 00 \<а\

ехр< 1

4(/ - г) м^^Д^ + Хо)

\ (мД^Д^ + Хо)

X в(у,0 Д,г)}-а(у/(т),х0 )■ /2(т,х0)с1т-

]йт)

о о

д

ехр< 1

- т} щ(

\ !к(г (щ ^о)

+

/ 00 + \йЛ\

ех/>| 1

4()-Я к («1

2 М

+

+

(у-^ЫА г)Д,г)}/у}ст((//(4 г) + Л-0 У^йь

= -у((,Х0 ),0<t<T,0<x<cc.

Ядро полученного уравнения имеет особенность — г) 2 , поэтому его можно свести к уравнению

Вольтера второго рода, применяя приём Абеля. Для этого умножим уравнение на (х — 2 5 проинтегрируем его в пределах от 0 до X, и меняя в получившемся интеграле порядок интегрирования, находим

Л Л

\а{у/{т),х(] )/2(г,х0 >/г|

1

1

[ - т)(71 (у/(т),х0 )

+

+

л ^

г —СО

ехр| _

("1 (у,Л),у + х0)

ск -

X X 7, т

■М-Г-!

0 *0

ехр< е2Ш г) 1

г>

\ 1я(1 -г) («1 + х0)

+

I 00

+ \с1Л\

О -00

ехр| 1

4(1-Л >1 («1 (уД), у + х0)| |

у Л), у + х0)

1+

+

<2д (у-^ЫЛ Л Я, т)^у\а(>//(.<>), т) + х0 У(*)с/:

'5 =

= -]^йж,0<х<Т,0<х0<оо.

О VХ-1

Ядро в первом слагаемом полученного уравнения имеет конечное значение, отличное от нуля, при Т = X

к-/2(х,х0)

[а^1/{х),х{])}

— .А >0-

Тогда, полагая

о

для Хд ) получим уравнение Вольтера второго рода, которое после оценки подынтегрально-

го выражения перейдет в неравенство

[о о Vх-т

+

-о

0<х<Г,0<х0 <оо,

(16)

где постоянная С зависит от свойств задачи (1) - (4) и величины Т, а

оМгЦ= max |ст0(^(г)),х0|-

0<Л'0<СО

О",

Применяя к неравенству (16) лемму 1, получим

Ia0(i//(x),x0)| < с|/(г,х0), 0 <х<Т, 0<х0<со.

И так, мы оценили первую первообразную от нужной нам функции Тогда, пользуясь лем-

мой 2 , мы получим оценку

|сг(^(х),х0)| < с|/(г,х0), 0 < X < Г, 0 < Х0 < оо,

которая дает оценку устойчивости и доказывает единственность рассматриваемой нами обратной задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лаврентьев М. М., Некорректные задачи для дифференциальных уравнений. - Новосибирск: НГУ, 1981.-75 с.

2. Волков В. М., Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа/ В сб.: Исследование корректности обратных задач и некоторых операторных уравнений, Новосибирск, 1981. - С. 27-36.

REFERENCIS

1. Lavrentev М.М., Incorrect problems for differential equations. - Novosibirsk: NGU, 1981. 75 p. (rus)

2. Volkov V.M., The inverse problem for quasi-linear equation of the parabolic type/ In book: Study to correctness of the inverse problems and some equations, Novosibirsk, 1981. p. 27-36. (rus)

Поступило в редакцию 16.09.2016 Received 16 September 2016