ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЯДРА В ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ КОЛЕБАНИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2022. Том 29, № 4

УДК 517.958

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЯДРА В ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ КОЛЕБАНИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ Ж. Ш. Сафаров

Аннотация. Рассматривается интегро-дифференциальное уравнение гиперболического типа в ограниченной по переменной х области О = {(ж, 4) : 0 < х < I, 4 > 0}. Сначала исследуется прямая задача. Для прямой задачи исследуется обратная задача определения ядра интегрального члена интегро-дифференциального уравнения на основе имеющейся дополнительной информации о решении прямой задачи при х = 0. Интегральное уравнение, полученное относительно и(х, 4), трижды дифференцируется по 4, и решение данной задачи с использованием дополнительного условия сводится к решению системы интегральных уравнений относительно неизвестных функций. К этой системе применяется принцип сжатых отображений в пространстве непрерывных функций с весовыми нормами. Доказана теорема о глобальной однозначной разрешимости обратной задачи, и получена оценка условной устойчивости решения обратной задачи.

Б01: 10.25587/8УРи.2023.52.57.003

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, обратная задача, ядро интеграла, теорема Банаха.

1. Введение и постановка задачи

Исследование обратных задач определения ядра интегральных операторов в гиперболических интегро-дифференциальных уравнениях по некоторой информации о волновом поле играет важную роль при изучении строения и свойства среды. Обратные задачи для интегро-дифференциальных уравнений — это относительно новое и бурно развивающееся направление теории обратных задач. В работах [1-3] изучены одномерные обратные задачи для интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа. Коэффициентным обратным задачам посвящены работы [4-10]. В [11-14] и [15-17] исследованы обратные задачи об определении одномерного и многомерного ядра уравнения вязкоупругости соответственно. В [18,19] изучены обратные задачи об определении одномерного ядра для уравнений термовязкоупругости и электро-вязкоупругости. Работы [20, 21] посвящены исследованию обратных задач для интегро-дифференциального уравнения акустики. Обратные задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений рассмотрены в [22, 23]. Во всех этих работах данные прямой задачи представляют собой сингулярные обобщенные

© 2022 Сафаров Ж. Ш.

функции. В данной работе исследуется глобальная разрешимость обратной задачи для одного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа с распределенными источниками данных в ограниченной по переменной х области.

Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение <

пц — пхх = J ^(а)п(х, £ — а) ¿а, х £ (0,1), £ > 0, (1-1)

о

с начальными

Ч=о = 0, п^=о = 0 (1.2)

и граничными условиями

Пх|х=о = Пх|х=г = 0, £> 0. (1.3)

Здесь — заданная функция, 1 > 0 — некоторое фиксированное вещественное число. Нахождение функции п(х, £) из (1.1)—(1.3) при известной &(£) называется прямой задачей.

Обратная задача заключается в определении ядра &(£), £ > 0, интегрального члена интегро-дифференциального уравнения (1-1), если относительно решения задачи (1.1)—(1.3) известна дополнительная информация

п(0,£) = /(£), £ > 0, (1.4)

где /(£) — заданная функция.

Определение. Функция &(£) £ С[0, го) называется 'решением обратной задачи (1.1)—(1.4), если соответствующее ей решение прямой задачи (1.1)—(1.3) удовлетворяет условию (1.4).

2. Исследование прямой задачи

Сначала займемся исследованием прямой задачи (1.1)—(1.3), т. е. предполагаем функцию &(£) известной. Рассмотрим эту задачу в области О* = {(х,£) : 0 <х<1,0 <£< 21 — х}, состоящей из объединения областей Ох и О2, О* = и О2, где

Ох = {(х, £) : 0 < х < 1, 0 < £ < х}, О2 = {(х, £) : 0 < х < 1, х < £ < 21 — х}.

Лемма 1. Решение уравнения (1.1) при заданных начальных (1.2) и граничных (1.3) условиях тождественно равняется нулю в области т. е.

п(х, £) = 0,

в области О2 удовлетворяет следующему интегральному уравнению:

г-х ? т-25

п(х,£) = —— х) — J J У ^(а)п(£, —£ + т — а) ¿а^^т о о о

У У У &(а)п(£, —£ + 2т — £ + х — а) ¿а^т, (2.1)

¿—ж т—

где

Т

¥>(*) =1 ^

Доказательство леммы 1. В области волновой оператор —

Л

,

записываем в виде + — Л) и интегрируем равенство (1.1) вдоль

характеристики = 1 от точки (ж — 0) до точки (ж, 4):

("Т — "ж)(ж, 4) — ("Т — "ж)(ж — 0) = у у ¿(т — а)"(т — 4 + ж, а) ¿а^г,

о о

где (ж, 4) — любая точка, принадлежащая в

Если использовать данные (1.2), то последнее соотношение приобретает вид

Т т

("Т — "ж)|ж=г = J У ¿(т — а)"(т — 4 + 1,а) ¿а^г, 4 € (0,1). оо

Отсюда с учетом граничного условия (1.3) при ж = I находим

Т т Т1

"(¿,£) = УУ J ¿(т1 — а)и(т1 — т + 1,а) ооо

Сделаем замену переменных т1 на £ по формуле т1 —т+1 = £. Таким образом получим окончательный вид интегрального уравнения для и(1,4):

т г т—г+с

"(М) = // / * — 1+£ — а»"(£'а) <">

о г-т о

Теперь возвращаемся к уравнению (1.1) и интегрируем его по переменной £ (на плоскости переменных (£,т)) вдоль характеристики = 1 от точки

(ж — 0) до точки (ж, 4):

ж С+Т—ж

/ д д \ Г Г

( — — — ) и(х, I) = / / £;(£ + £ — ж — а)и(£, а) ¿ас?£.

ж —Т 0

Для получения интегрального уравнения относительно "(ж, 4) в области проинтегрируем последнее равенство вдоль характеристики = —1 от точ-

ки (ж, 4) до точки (1,4 + ж — I) и воспользуемся формулой (2.2):

т+ж—г г с+т—г

"(ж, 4)= У У У ¿(£ + т — I — а)"(£,а) о г-х о

Т ж+Т—т С+2т—ж—Т

У У У ¿(£ + 2т — ж — 4 — а)"(£, а) (ж, 4) €

Т+ж —г ж+Т —2т о

Тт

Полученное уравнение является однородным интегральным уравнением воль-терровского типа. Следовательно,

и(ж,:) = 0, (ж,:) е

Переходим в область

= {(ж, 4) : 0 < ж < I, ж < 4 < 21 - ж}.

В области _02, интегрируя уравнение (1.1) вдоль характеристики = —1,

получим равенство

I -2£+4

(щ + их)(0,4) = — J У ^(а)и(С, —С + 4 — а) о о

С учетом граничного условия (1.1) из этого равенства имеем

и(°,<) = ——///«*>«•—С + Т — а) (2.3)

о о о

Интегрированием уравнения (1.1), при условиях (1.2), (1.3) по характеристикам ¿ж/«: = —1 и = 1, используя формулу (2.3), получим уравнение (2.1) в

области ,02. □

Следующей нашей задачей является получение интегрального уравнения относительно неизвестной функции &(£), при этом и(ж, 4) тоже является неизвестной функцией. Имеется лишь дополнительная информация (1.4) о функции

и( ж, 4) .

Лемма 2. Решение обратной задачи (1.1)—(1.4) в области удовлетворяет следующему интегральному уравнению: 2

ад = -(/<%)+</>(3)И)

С1

2 2 £ — ^ I - (!,£,-^ I У к(а)ит(£,-£ + г-а)с1а(%, (2.4) о 0 0

где С1 = —^(0), С2 = —^'(0), С1 = 0.

Доказательство леммы 2. В уравнении (2.1) положим ж = 0 и воспользуемся условием (1.4):

t 5 т-2£

/(:) = и(0,:) = — — Ц У ^(а)и(С, —С + Т — а) «а«С«т. (2.5)

о о о

Заметим прежде всего, что

/ (0) = —^(0) = 0.

Дифференцируя по Ь уравнение (2.5), получим

/'(») = — / /«„)„(«, + ( — а) .а.«.

0 0

Отсюда следует, что

/ '(0) = —у'(0) = -^(0) = сь

Дифференцируя еще три раза по Ь уравнение (2.5) и разрешая полученное уравнение относительно к(Ь), приходим к уравнению (2.4). □

3. Теорема о разрешимости обратной задачи

Теорема 1. Пусть выполнены условия ^(Ь) е С3(0, 21), /(Ь) е С4(0, 21), /(0) = 0, /'(0) = С1, /''(0) = с2, С1 = 0. Тогда для любого 1 > 0 решение обратной задачи (1.1)-(1.4) существует, единственно и к(Ь) е С(0, 21).

Сначала заменим переменную интегрирования т на в по формуле Ь — т = в во внешнем интеграле последнего слагаемого в (2.1). Далее, дифференцируя его три раза по переменной Ь последовательно, получим

щ(ж, Ь) = — ^(Ь — ж) — J У к(а)и(«, —« + Ь — ж — а) ¿а^« 00

./ ./ ./ —« +'— 2в + ж — а) Л"*<А <3Л>

(а)

0 х-в 0

Ь)=—ж) Ч !к(аЫ« —«+Ь—ж—а) 00

¿-2/3 + ж Ж 2

+ С1 У У к(—2« + Ь — 2в + ж)^в 0 х-в х _2{+4_2/3+х

— / I I +Ь — 2в + ж — а) (3.2)

0 х-в

0 0

¿-я ¿-2 ¡3 + х

X 2

+ С1/ «, - х - 2£« + I к(-2£ + . - 2в + х) ^

0 0 х-в

х 2£+<-2/3+х

J У к(а)щш(£, -£ + 4 - 2в + ж - а) ¿а^в (3.3)

Уравнения (2.1), (3.1)—(3.3) и (2.4) определяют в А замкнутую систему интегральных уравнений относительно пяти неизвестных функций щ(ж, 4), «.¿(ж, 4), щ«(ж, 4), (ж, 4), к(4). Если в уравнении (3.3) выразить функцию щ«(ж, 4) через «¿¿¿(ж, 4) следующим образом:

иа(х,Ь)= -^-(х,т)йт — с2, (3.4)

и поставить в уравнение (3.3), то количество уравнений можно свести к минимуму, т. е. вместо пяти уравнений можно рассмотреть два уравнения (3.3) и (2.4) относительно двух неизвестных функций щ444(ж, 4), к(4). Далее по найденной функции щш(ж, 4) можно найти функцию и44(ж, 4) по формуле (3.4). Функции щ4(ж, 4) и щ(ж,£) находятся аналогичным образом:

, , [ дщ / ч , , ч [ ди

гыж,£) = / —— (ж, т) от — С1, шж,£) = / —(х,т)ат. } дт У дт

В дальнейшим будем считать,что в формуле (3.3) вместо функции щ44(ж, 4) поставлено выражение (3.4).Таким образом, уравнения (3.3) и (2.4) определяют в А замкнутую систему интегральных уравнений относительно двух неизвестных функций щш(ж, 4), к(4) и эту систему можно представить в виде операторного уравнения

Ад = д, (3.5)

в котором

5 = {51,52} = |иш(М) - - ж)ж, &(£)} ,

а оператор А определен на множестве функций д £ С(_02) и в соответствии с

равенствами (3.3) и (2.4) имеет вид A = (Ai, A2), где

t—x t — 2/3 + ж 2 Ж -2-

Aig = goi + Cij g2(t - x - 2£) d£ + c^ J g2(-2C + t - 2в + x)

0 x-в

V t — X — 2£ t — £ — X— Q:

g2(a)

0 0

T - С - x - a) + - 2£ - X - a)£

dTdad£

h^t-x-2£

x ' ^ -2C+t-2/3+x

+

g2(a) dad£ —

00

0 x-в

g2(a)

gi(C, - + t - 2в + x - a)

dad^de,

2

2c

A2g = go2-— / 92(t-20d£ ci

f t-2i

l!!g2{a)

00

9i(Z, -£ + t-a) + jg2(~2{ + t-a)£

dad£.

Пусть g0(x,t) = (g0i,g02), где

<701 = -r(t - X), go2 = -(/""(*) +

ci

Как в работе [21], обозначим через CV банахово пространство непрерывных функций, порожденных семейством весовых норм

||g|U = max{ sup |gi(x,t)e-rt|, sup |g2(t)e-CTt|}, a > 0. (x,t)eD2 te[0,2i]

Очевидно, что при a = 0 данное пространство совпадает с пространством непрерывных функций с обычной нормой. Эту норму будем обозначать далее через ||g||. В силу неравенства

e-<rt||g||<||g|U <||g||

нормы ||g||^ и ||g|| эквивалентны для любого фиксированного l G (0, го). Число a выберем позже. Пусть Q^(g0, |Ы|) := {g : ||g - g0|| < 11g01} ~ шар радиуса |Ы| с центром в точке g0 некоторого весового пространства CV (a > 0), в котором

I| g0 Н = mаx(|gol|, ||g02|).

Нетрудно заметить, что для Q^-(g0, ||g0||) имеет место оценка

||g|U < Ng0N- + ||g0| < 2|Ы|.

Пусть g(x,t) G (g0, ||g0||)- Покажем, что при подходящем выборе a > 0 оператор A переводит шар в шар, т. е. A G (g0, ||g0||). Напомним, что оператор называется сжимающим на множестве B(g0), если выполнены следующие два условия:

(1) если g G B(go), то Ag G B(go),

(2) если g1, g2 любые два элемента B(g0), то ||Agi — Ag2|| < p|gx — g2||, где p< 1.

Сначала проверим выполнение первого из этих условий. Для (x, t) G D2 имеют место оценки

||Aig — g0i| = sup |(Ai g — g0i)e-CTt| (i.tjeDj

sup

(x,t)eD2

+

ci У g2(t — x — 2£)e--(t-x-2«)e--(x+2«) d£ 0

c^ У g2(—2£ + t — 2в + x)e-CT(t+x-2«-2e)e-CT(2«+2e-x) d£d/3

t-2/3 + s ^ 2

0 x-e

~2~ t—x — 2^ t—^—X—Ct

g2(a)e

0 0 5 ci

gi(C,T — £ — x — а)е-ст(т-x-«-a) e-CT(t+x+0

_ - 2£ - Ж - a)£e-^-*-2i-a)e-«T(t+a:+2i-T)

drdad£

Vе t-x-2i

x -2-t — 24 — 2/3+x

+ c^ У У g2(a)e-ffae-ff(t-a dad£ 0

gi(£,t — £ — 2в+x — a)e-CT(t+x-«-2e-a) e--(«+2e-x)

g2(a)e

0 x-e 0

11 g0 ^ |__11 g01

< [ci + c2l + 4||go||((6 + c2)l + ci(21 + 1 ))Z]™ :=

a a

2

|A2g-g02|= sup |(A2g-g02)e-^| <-[C2+2i||g0||(4 + iCl)]

te[0,2i] ci a

Выбирая

a > a0 := max(ai, a2), получим, что A переводит шар Q^(g0, ||g0||) в шар Q^(g0, ||g0||).

Ы . 11g01

-a2,

-ста

a

Проверим выполнение второго условия. Пусть дк := (д^д^) и дк € В (до), к = 1, 2. Используя очевидное неравенство

- < ^ - д2||дЦе-^ + (д^Цд! - д'К^,

получим

У (Ад1 - Ад2)^ = «ир |(Ад! - Ад2)^-^

(х^)ей2

< + с21 + 8||д0||((6 + с2)1 + С1(21 + 1))г]1|д1~д2|и =:

2 ст ст

||(Ад! - Ад2)2||. = вир |(Ад! - Ад2^-^ [о,2г]

1

~ с 1

с2 + 4г||д0||(4 + 1сг)

ст ст

Следовательно, |Ад! - Ад2|| < р|д! - д2||, если I > 0 удовлетворяет условию

вг < Р< 1, г = 1, 2.

Пусть во := тах(в1,в2). Как следует из полученных оценок, если число ст выбрать из условия ст > тах(а0, в0), то оператор А сжимающий на ^^(д0, ||д0||). Тогда согласно принципу Банаха уравнение (3.5) имеет и притом единственное решение в ^^(д0, ||д0||) при любом фиксированном I > 0 [24]. Теорема 1 доказана. □

Замечание. До сих пор мы занимались решением обратной задачи в области О* С О = {0 < ж < I, г > 0}. Для того чтобы исследовать эту задачу в области О\О*, продолжаем разбивать область О, как в работе [25], в области О3, О4, О5,... следующим образом:

03 = {(ж, г) : 0 < ж < I, 21 - ж < г < ж + 21},

04 = {(ж, г) : 0 < ж < I, ж + 21 < г < 41 - ж},

05 = {(ж, г) : 0 < ж < I, 41 - ж < г < ж + 41},

и т. д.

Используя начальные данные (1.2), а также найденные значения и, их на отрезке г € (0, 21), ж = 0, можно вычислить значения и, их при ж = I, г € (I, 31). С этой целью проведем через интервал (I, 31) оси ж = I пучок характеристик дифференциального оператора д/дг + д/дж, а волновой оператор представим в виде (д/дг + д/дж)(д/дг - д/дж). Интегрируя уравнение (1.1) вдоль фиксированной характеристики пучка от одной точки границы области О3 до другой, найдем в точках ж = I, г € (I, 31) комбинацию и -их, которая в совокупности с граничным условием (1.2) при ж = I позволяет вычислить и,их при ж = I, г € (I, 31). После этого построим решение и(ж,г) внутри области О3, для этого будем действовать, как при при доказательстве леммы 1. Далее получаем соответствующее интегральное уравнение относительно функции к (г), воспользовавшись условием (1.4). В областях О4,О5,... поступаем аналогичным способом. Таким образом можно определить функцию к (г) для всех г > 0.

4. Оценка устойчивости решения обратной задачи

Пусть К(к0) — множество функций к(4) £ С[0, 21], удовлетворяющих при некотором 1 > 0 условию

||к||с[0,2г] < к0

с постоянной к0 > 0.

Теорема 2. Пусть к1^) £ К(к0), к2(4) £ К(к0) —два решения обратной задачи (1.1)—(1.4) с данными {/1, и {/2, ^2} соответственно. Тогда найдется такое положительное число С = С(к0, с1, с2,1), что выполняется неравенство

||к1(4) - к2(4)|с[0,21] < С{||/1 - /2 || С4 [0,21] + Н^1 - ^2|С3[0,21]}. (4.1) Для удобства записи введем обозначение: г>(ж,4) := щ444(ж, 4). Функцию г>(ж,4) будем искать в виде функционального ряда

«(ж, 4) ^ «„(ж „=0

где

г>о(ж, £) = — </?"(£ — ж) + ~ х)х + С1 J — х — 2£) ¿£

0

¿-а: . „, ¿-2^ + 3; -2-<-Х-2{ X -2-

+ С2 У У к(а) + с^ J к(-2£ + 4 - 20 + ж) ¿£¿0,

0 0 0 х—в

а функции г>„(ж,4) при п > 1 определим рекуррентными формулами

(ж,4) = £ (ж, 4), (4.2)

«„(ж, 4) = - J У У к(а)«„—1(£,т - £ - ж - а)

0 0 ^

¿-2/3 + ж

х -^ — —2/3+х

^У У У к(а)«„-1(£, -£ + 4 - 20 + ж - а)

0 х-в 0

Так как ^"(4) — ограниченная функция, то |<^"(4)| < Ф. Здесь Ф — некоторое положительное число. Из условия к(4) £ С[0, 21] следует, что г>„(ж, 4) являются непрерывными функциями в области _02 вместе с первыми и вторыми производными по ж и 4 для всех п > 1. Тогда для (ж, 4) £ _02 имеем

Ыж,4)| <

(р"{1-х)+ Ц-Щ-х)х + с 1 У к{Ь-х- 2£)й£

0

с^ у к(а) + с2 У J к(-2£ + 4 - 20 + ж) ¿£¿0

+

0 0 0 х-в

к0

<ф + у(с1 + с2г)4,

~~2~ Ь—х — 2£ t—£—x — a

J J У &(а)г>0(£,т — £ — х — а) 0 0 5

II J ^(а)«о(£, —£ + Ь — 2в + х — а) ¿а^в

+

0 х-в

< Ф/г0(2 + г)í + + с2г)£3-

6

Продолжая подобные вычисления, методом математической индукции найдем, что

I! 0 3п!

(2 + 0п(20п 1(с1 + С2г)п(2г)3п

п! 3п!

Так как ряд в (4.2) мажорируется сходящимся числовым рядом, он сходится равномерно и его сумма является непрерывной функцией в _02. Более того, имеет место оценка

Кх,Ь)| <5>„(х,Ь)|

п=0

< Е Н^® + СМ) =: (4.3)

п=0 ! ! '

Пусть V1, V2 —два решения задачи (1.1)—(1.3), соответствующие функциям и в дальнейшем будем обозначать, как в [26], разность двух функций, наименование которых отличается только цифрой сверху, той же самой буквой со знаком Например, к = V1 — V2, к = — Тогда из уравнений (3.3) и (2.4) нетрудно получить следующую систему:

^ ^ <-х-2С

у(х, £) = — ф"{1 — х) + — х)х + с\ / к{Ь — х — 2£)й£ + С1 / / к(а) ¿асК;

00

¿-2/3 + ж X 2

+ с^ J к(—2£ + Ь — 2в + х)

0 х—в

х— £ t—£—x — a

III ['1(а)к(£'Ь — £ — х — а)+ к(а)^2(£'Ь — £ — х — ^ ^ 0 5 0

х ' ^ -2£+-С-2/3+х

У У У [^1(а)к(£, —£ + Ь — 2в + х — а)

0 х-в

+ r(a)v2(£, —£ + t — 20 + x — a)] dad£d0, (4.4)

2 2" i —

ОД = —(7(4)(i)+^(3)(i))-— [k(t-2£)dt-- f f [к\а)Щ,-^+г-а) ci ci ci

0 0 0

+ r(a)v2(£, —£ + T — a)] dad£. (4.5)

Пусть

n(t) = max[ max |r(x, t)|, |r(t)|], t G [0, 21].

0<x<!

Используя уравнения (4.4), (4.5), находим |rr(x,t)| < 2Z(|fr(t)|c4[0,2I] + ||V^(t)||C3[0,2l])

t

2

+ (ci + (2ci + C2)1 + (M0 + k0)(21 + I2)) J n(a) da

0 t

2 2c 2

1ОД1 < -(||/(t)||c4o,2i] + ||V>(i)llc3[0,2i]) + [^fl + -(mo + Mj J r,(<x) da.

0

При оценивании |rr(x, t)| использована оценка |r(t)|. Из этих соотношений следует, что n(t) удовлетворяет интегральному неравенству

t

|n(t)|< 7(yfr(t)|c4[0,2i] + |№(t)||c3[0,2i]) + Mi У n(a) da,

0

в котором := max{ci + (2ci + c2)l + (po + k0)(2l + I2), ^-l + ^-(мо + и

7= max{2Z,f }.

Используя неравенство Гронуолла, получаем оценку

|n(t)| < 7(||/(t)||c4[0,2i] + ||^r(t)|c3[0,2i])exp(Mit), t G (0,21).

Если в последнем неравенстве обозначить 7 exp(^it) =: C, то получим неравенство (4.1).

Теорема 2 доказана. □

ЛИТЕРАТУРА

1. Дурдиев Д. К. Обратные задачи для сред с последействием. Ташкент: Турон-Икбол, 2014.

2. Сафаров Ж. Ш. Обратная задача для интегро-дифференциального гиперболического уравнения в ограниченной области // Узб. мат. журн. 2012. Т. 2. С. 117—124.

3. Сафаров Ж. Ш. Вопросы локальной разрешимости одной обратной задачи для интегро-дифференциального уравнения колебаний бесконечной струны // Узб. мат. журн. 2013. Т. 3. С. 100-106.

4. Дурдиев Д. К. Задача определения нестационарного потенциала в уравнении гиперболического типа // Теор. и мат. физика. 2008. Т. 156, № 2. С. 1154-1158.

5. Дурдиев Д. К. Обратная задача определения двух коэффициентов в одном интегро-дифференциальном волновом уравнении // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 3. С. 28-40.

6. Романов В. Г. Об определении коэффициентов в уравнениях вязкоупругости // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 3. С. 503-510.

7. Тотиева Ж. Д. Задача определения коэффициента теплового расширения уравнения термовязкоупругости // Сиб. электрон. мат. изв. 2017. Т. 14. С. 1108-1119.

8. Зарипов С. К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с логарифмической особенностью в ядре // Вестн. Самар. гос. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 21, № 2. С. 236248.

9. Тотиева Ж. Д. Одномерные обратные коэффициентные задачи анизотропного вязко-упругость // Сиб. электрон. мат. изв. 2019. Т. 16. С. 786-811.

10. Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Обратная задача для гиперболического интегро-диффе-ренциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами при младших производных // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. С. 1106-1127.

11. Романов В. Г. Проблема восстановления ядра для уравнения вязкоупругости // Докл. АН. 2012. Т. 446, № 1. С. 18-20.

12. Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача определения одномерного ядра уравнения вязкоупругости // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 2. С. 72-82.

13. Дурдиев Д. К., Сафаров Ж. Ш. Обратная задача определения одномерного ядра уравнения вязкоупругости в ограниченной области // Мат. заметки. 2015. Т. 97, вып. 6. С. 855-867.

14. Сафаров Ж. Ш. Одномерная обратная задача для уравнения вязкоупругости в ограниченной области // Журн. СВМО. 2015. Т. 17, № 3. С. 44-55.

Что такое СВМО??

15. Романов В. Г. Двумерная обратная задача для интегро-дифференциального уравнения электродинамики // Тр. МИАН. 2013. Т. 280, № 1. С. 151-157.

16. Романов В. Г. Двумерная обратная задача для уравнения вязкоупругости // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 53, № 6. С. 1128-1138.

17. Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача определения многомерного ядра уравнения вяз-коупругости // Владикавк. мат. журн. 2015. № 4. С. 18-43.

18. Дурдиев Д. К., Тотиева Ж. Д. Задача определения одномерного ядра уравнения элек-тровязкоупругости // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58, № 3. С. 427-444.

19. Тотиева Ж. Д., Дурдиев Д. К. Задача нахождения одномерного ядра уравнения термо-вязкоупругости // Мат. заметки. 2018. Т. 103, № 1. С. 118-132.

20. Сафаров Ж. Ш., Дурдиев Д. К. Обратная задача для интегро-дифференциального уравнения акустики // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54, № 1. С. 136-144.

21. Safarov J. Sh. Global solvability of the one-dimensional inverse problem for the integro-differential equation of acoustics // Журн. Сиб. фед. ун-та. 2018. T. 11, N 6. C. 753-763.

22. Дурдиев Д. К., Рахмонов А. А. Обратная задача для системы интегро- дифференциальных уравнений для волн SH в вязкоупругой пористой среде: глобальная разрешимость // Теор. и мат. физика. 2018. Т. 195, № 3. С. 923-937.

23. Дурдиев У. Д. Обратная задача для системы уравнений вязкоупругости в однородных анизотропных средах // Сиб. журн. индустр. математики. 2019. Т. 22, № 4. С. 26-32.

24. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

25. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

26. Сафаров Ж. Ш. Оценки устойчивости решений некоторых обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Ком-

пьютерные науки. 2014. № 3. С. 75-82.

Поступила в редакцию 14 .марта 2022 г.г. После доработки 5 ноября 2022 г. Принята к публикации 29 ноября 2022 г.

Сафаров Журабек Шакарович

Институт математики имени В. И. Романовского АН РУз, ул. Университетская, 46, Ташкент 100174, Узбекистан; Ташкентский университет информационных технологий имени Мухаммада ал-Хоразмий,

пр. Амира Тимура, 108, Ташкент 100200, Узбекистан 3.safarov65@mail.ги

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2022. Том 29, № 4

UDC 517.958

AN INVERSE PROBLEM OF DETERMINING THE KERNEL IN AN INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION OF VIBRATIONS OF A BOUNDED STRING J. S. Safarov

Abstract: We consider an integro-differential equation of hyperbolic type in the domain D = {(x,t) | 0 < x < l, t > 0} bounded in the variable x. The direct problem is investigated first. For the direct problem, the inverse problem of determining the kernel of the integral term of the integro-differential equation is studied on the basis of the available additional information about the solution of the direct problem for x = 0. Differentiating the obtained integral equation for u(x,t) three times with respect to t and using some additional condition, we reduce the solution of the inverse problem to solving a system of integral equations for unknown functions. The contraction mapping principle is applied to this system in the space of continuous functions with weighted norms. A theorem on the global unique solvability is proved. An estimate for the conditional stability of the solution to the inverse problem is also obtained.

DOI: 10.25587/SVFU.2023.52.57.003

Keywords: integro-differential equation, inverse problem, kernel of integral, Banach theorem.

REFERENCES

1. Durdiev D. K., Inverse Problems for Media with Aftereffect, Turon-Iqbol, Tashkent (2014).

2. Safarov J. Sh., "An inverse problem for an integro-differential hyperbolic equation in a bounded domain," Uzb. Math. J., 2, 117-124 (2012).

3. Safarov J. Sh., "Questions of local solvability of one inverse problem for the integro-differential equation of oscillation of an infinite string," Uzb. Math. J., 2, 100-106 (2013).

4. Durdiev D. K., "Problem of determining the nonstationary potential in a hyperbolic-type equation," Theor. Math. Phys., 156, No. 2, 1154-1158 (2008). DOI: https://doi.org/10.4213/tmf6242.

5. Durdiev D. K., "The inverse problem of determining two coefficients in one integro-differential wave equation," Sib. J. Ind. Math., 12, No. 3, 28-40 (2009).

6. Romanov V. G., "On the determination of the coefficients in the viscoelasticity equations," Sib. Math. J., 55, No. 3, 503-510 (2014).

7. Totieva Zh. D., "The problem of determining the coefficient of thermal expansion of the equation of thermoviscoelasticity [in Russian]," Sib. Electron. Mat. Izv., 14, 1108-1119 (2017). DOI: https://doi.org/10.4213/mzm10752

8. Zaripov S. K. "A construction of analog of Fredholm theorems for one class of model first-order integro-diferential equations with logarithmic singularity in the kernel [in Russian]," J. Samar.

Gos. Techn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 21, №. 2, 236-248 (2017). DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1515

9. Totieva Zh. D., "One-dimensional inverse coefficient problems of anisotropic viscoelasticity [in Russian]," Sib. Electron. Mat. Izv., 16, 786-811 (2019). DOI: https://doi.org/10.33048/semi.2019.16.053

© 2022 J. S. Safarov

10. Durdiev D. K. and Totieva Zh. D., "Inverse problem for a second-order hyperbolic integro-differential equation with variable coefficients for lower derivatives [in Russian]," Sib. Electron Mat. Izv., 17, 1106-1127 (2020). DOI: https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.084

11. Romanov V. G., "Problem of kernel recovering for the viscoelasticity equation," Dokl. Math., 86, No. 2, 608-610 (2012).

12. Durdiev D. K. and Totieva Zh. D., "The problem of determining the one-dimensional core of the equation of viscoelasticity," Sib. J. Ind. Math., 16, No. 2, 72-82 (2013).

13. Durdiev D. K. and Safarov Zh. Sh., "Inverse problem of determining the one-dimensional kernel of the viscoelasticity equation in a bounded domain," Math. Notes, 97, №. 6, 867-877 (2015). DOI: http://dx.doi.org/10.4213/mzm10659

14. Safarov J. Sh., "One-dimensional inverse problem for the equation of viscoelasticity in a bounded domain [in Russian]," Zhurn. SVMO, 17, No. 3, 44-55 (2015).

15. Romanov V. G., "A two-dimension inverse problem for an integro-differential equation of electrodynamics," Proc. Steklov Inst. Math., 280, No. 1, 151-157 (2013).

16. Romanov V. G., "A two-dimensional inverse problem for the viscoelasticity equation," Sib. Math. J., 53, №. 6, 1128-1138 (2017). DOI:doi:10.1134/S0037446612060171

17. Durdiev D. K. and Totieva Zh. D., "The problem of determining the multidimensional core of the equation of viscoelasticity," Vladikavk. Mat. Zh., 4, 18-43 (2015).

18. Durdiev D. K. and Totieva Zh. D., "The problem of determining the one- dimensional kernel of the electroviscoelasticity equation," Sib. Math. J., 58, №. 3, 427-444 (2017). DOI: https://doi.org/10.17377/semi.2017.14.094

19. Totieva Zh. D. and Durdiev D. K., "The problem of finding the one-dimensional kernel of the thermoviscoelasticity equation," Math. Notes, 103, No. 1, 118-132 (2018).

DOI: https://doi.org/10.17377/semi.2017.14.094

20. Safarov J. Sh. and Durdiev D. K., "Inverse problem for the integro-differential equation of acoustics," Differ. Equ., 54, №.1, 136-144 (2018). DOI: 10.1134/S0374064118010119

21. Safarov J. Sh., "Global solvability of the one-dimensional inverse problem for the integro-differential equation of acoustics," Zhurn. Sib. Fed. Univ., Mat., Fiz., 11, No. 6, 753-763 (2018). DOI: https://doi.org/10.17516/1997-1397-2018-11-6-753-763

22. Durdiev D. K. and Rakhmonov A. A., "Inverse problem for a system of integro-differential equations for SH waves in a visco-elastic porous medium: Global solvability," Theor. Math. Phys., 195, No. 3, 923-937 (2018). DOI: https://doi.org/10.4213/tmf9480

23. Durdiev U. D., "An inverse problem for a system of equations of viscoelasticity in homogeneous

anisotropic media," Sib. J. Ind. Math., 22, No. 4, 26-32 (2019). DOI: https://doi.org/10.33048/sibjim.2019.22.403

24. Kolmogorov A. N. and Fomin S. V., Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Nauka, Moscow (1976).

25. Romanov V. G., Inverse Problems of Mathematical Physics, Nauka, Moscow (1984).

26. Safarov J. Sh., "Estimates of the stability of solutions of some inverse problems for integro-differential equations," Vestn. Udmurt. Univ., Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 3, 75-82 (2014). http ://mi.mathnet.ru/rus/vuu/y2014/i3/p75

Submitted March 14, 2022 Revised November 5, 2022 Accepted November 29, 2022

J?Zhurabek Sh. Safarov Romanovsky Institute of Mathematics

of the Academy of Sciences of the Respublic of Uzbekistan, 46 Universitetskaya Street, Tashkent 100174, Uzbekistan; Al-Khwarizmi Tashkent University of Information Technologies, 108 Amir Timur Avenue, Tashkent 100200, Uzbekistan [email protected]