CC BY
2
Владикавказский математический журнал 2023, Том 25, Выпуск 3, С. 59-75
УДК 517.5
DOI 10.46698/ z5526-4462-9472-g
ОБРАЩЕНИЕ ОПЕРАТОРА СВЕРТКИ, АССОЦИИРОВАННОГО СО СФЕРИЧЕСКИМИ СРЕДНИМИ
Н. П. Волчкова1, Вит. В. Волчков2
1 Донецкий национальный технический университет, Россия, 283000, Донецк, ул. Артема, 58; 2 Донецкий государственный университет, Россия, 283001, Донецк, ул. Университетская, 24 E-mail: volna936@gmail.com, volchkova.n.p@gmail.com, v.volchkov@donnu.ru
Памяти Лоуренса Зальцмана (09.06.194 3-31.05.2022) посвящается
Аннотация. Очевидным свойством произвольной ненулевой гладкой антипериодической функции является отсутствие соответствующего периода у ее производной. Другими словами, если r — фиксированное положительное число и на вещественной оси f (x + r) + f (x — r) = 0 и f' (x + r) — f '(x — r) = 0, то f = 0. Этот факт допускает нетривиальные обобщения на многомерные пространства. Одним из общих методов для таких обобщений является следующая теорема Брауна — Шрейбера — Тейлора о спектральном анализе: любое ненулевое подпространство u в C(rn), инвариантное относительно всех движений r™, содержит радиальную функцию вида (Л|аз|)1 2" J^_1(Л|х|), где Л — некоторое комплексное число, Jv — функция Бесселя первого рода порядка v. В частности, если функция f е C 1(rn) и ее нормальная производная имеют нулевые интегралы по всем сферам фиксированного радиуса r в rn, то f = 0. В терминах сверток это означает инъективность оператора pf = (f * Дхг, f * ar), f е C(rn), где Д — оператор Лапласа, \г — индикатор шара Br = {x е rn : |x| < r}, ar — поверхностная дельта-функция, сосредоточенная на сфере Sr = {x е rn : |x| = r}. В данной работе изучается задача об обращении оператора p на классе распределений. Получена новая формула восстановления распределения f е d'(rn) по известным сверткам f * Дхг и f * ar .В работе используются методы гармонического анализа, а также теории целых и специальных функций. Ключевым шагом в доказательстве основного результата является разложение дельта-функции Дирака по системе радиальных распределений с носителями в Вг, биортогональной к некоторой системе сферических функций. Подобный подход можно использовать для обращения других операторов свертки с радиальными распределениями из e'(rn).
Ключевые слова: радиальные распределения, периодичность в среднем, преобразование Помпейю, формулы обращения.
AMS Subject Classification: 44A35, 42A85.
Образец цитирования: Волчков а Н. П., Волчков Вит. В. Обращение оператора свертки, ассоциированного со сферическими средними // Владикавк. мат. журн.—2023.—Т. 25, вып. 3.—С. 59-75. DOI: 10.46698/z5526-4462-9472-g.
1. Введение
Задача о восстановлении функции по ее сферическим средним восходит к Г. Минков-скому [1], П. Функу [2] и И. Радону [3]. В последнем разделе указанной статьи И. Радона содержится, в частности, следующее утверждение.
© 2023 Волчкова Н. П., Волчков Вит. В.
Предложение 1. Пусть г > 0 фиксировано, Л — произвольный положительный нуль функции Бесселя ,1о. Тогда при любом к € Ъ функция
У (Ал/ж2 +у2\ ( х + гу
л/ж2 +У2 )
имеет нулевые интегралы по всем окружностям радиуса г в М2.
Аналогичные примеры, связанные с нулями функции Бесселя .] и_^, можно построить и для сферических средних в Мп при п ^ 2. Отсюда видно, что знание средних функции / € С (Мп) по всем сферам одного радиуса недостаточно для однозначного восстановления /. В дальнейшем изучением класса функций / € С(Мп), имеющих нулевые интегралы по всем сферам фиксированного радиуса в Мп, занимались многие авторы (см. [4-9] и библиографию к этим работам). Весьма общий метод для его исследования был разработан Л. Брауном, Б. М. Шрейбером и Б. А. Тейлором [10]. Они доказали, что любое ненулевое подпространство и в С (Мп), инвариантное относительно всех движений Мга, содержит радиальную функцию 1^._!(Л|ж|), где Л — некоторое комплексное число, |х| — евклидова норма вектора х € Мп,
I = ^ес.
Эта теорема о спектральном анализе влечет, в частности, следующий результат.
Теорема 1. Пусть г > 0 фиксировано, Бг(х) = {у € Мп : |у — х| = г} — сфера
А.
дп
радиуса г с центром в точке х € Мга, йо — элемент площади на Бг{х) и означает
&>№=( I /¿а, I |/ес^м™),
\ С С '
дифференцирование по внешней нормали к Бг (х). Тогда оператор
-.1(мп) (1)
д И I
Яг (х) Яг (х)
является инъективным.
Оператор Р можно интерпретировать как преобразование Помпейю, ассоциированное с распределениями Д%г и аг, где А — оператор Лапласа, Хг — индикатор шара Вг = {х € Мп : 1x1 < г}, аг — поверхностная дельта-функция, сосредоточенная на сфере Бг = Б (0), т. е.
(аг ,<р) = ! уЛа, у € С(Мп)
(см. [4, §3], а также равенства (22) ниже). В работе [11] анонсирован следующий результат, дающий формулу обращения для оператора Р.
Теорема 2 [11]. Пусть п ^ 2, шп-1 — площадь единичной сферы в Мп, 9о(х) = — [ ¡Па, = — / 1¡еС1(Шп)-
Шпп-1 .] Шп-1 } дИ
Я1(х) Ях(х)
1) Если п = 2д, ц € М, то справедливо разложение / в виде суммы сверток
/ = А1 * д1 + Ао * до,
в котором Ао, А\ — распределения с носителями в шаре |х| ^ 1, определяемые как обратные преобразования Фурье
Ао (х) = а оШ), А1(ж) = а!(|^|),
где 1
= 7г2(2д — 3)!!
^ = тг2(2 а- 1)!! 1118 " ,
7Г
N — функция Неймана порядка д.
2) Если п = 2д + 1, д € М, то имеет место представление / в виде
/ = В1 * д1 + Во * до, в котором распределения Во, В1 определяются равенствами
Во{х) = Р 6(р - 1), В1{х) = Я 6(р - 1),
где Р и Я — некоторые дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами порядка не выше п, 5(р — 1) — функционал, соответствующий массе, равномерно распределенной по сфере с плотностью единица.
Другие подходы к обращению операторов типа (1) развиты в [12, 13]. Целью данной работы является нахождение новой формулы восстановления функции / по сферическим средним из (1). В отличие от [11—13], наши конструкции основаны на идеях, предложенных в [8, 14]. Формулировка основного результата приводится в § 2 (см. теорему 3 ниже). В § 3 содержатся необходимые вспомогательные утверждения. Доказательство теоремы 3 получено в § 4.
2. Формулировка основного результата
Далее, как обычно, Сп — п-мерное комплексное пространство с эрмитовым скалярным произведением
п
= С = (Сь - - - , Сп), <? = (?!,.. •
3=1
@'(Мп) и Е'(Мп) — пространства распределений и распределений с компактными носителями на Мп соответственно.
Преобразованием Фурье — Лапласа распределения Т € Е'(Мп) является целая функция
Т(С) = (Т, ( € Сп При этом Т растет на Мп не быстрее полинома и
(Т,ф) = (Т,ф ), ф € У(Мп), (2)
где У (Мп) — пространство Шварца быстро убывающих функций из Сте(Мп) (см. [15, гл. 7]).
Если Т1,Т2 € &'(Мп) и хотя бы одно из этих распределений имеет компактный носитель, то их свертка Т * Т2 является распределением в &'(Мп), действующим по правилу
(Т1 * Т2,у) = <Т2(у), (ВД,у(х + у))>, у € &(Мп), (3)
где &(Мп) — пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций на Мп. Для Т1,Т2 € Е'(Мп) справедлива формула Бореля
ТГ*Т2 = Т1 Т2. (4)
Пусть Е'(Мп) — пространство радиальных (инвариантных относительно вращений пространства Мп) распределений из Е'(Мп), п ^ 2. Простейшим примером распределения из класса Е'(Мп) является дельта-функция Дирака 5 с носителем в нуле. Сферическое преобразование распределения Т € Е'(Мп) определяется равенством
Т(х) = (Ту), х € С, где ух — сферическая функция в Мп, т. е.
г-1т (п\
.2/ 2
(см. [16, гл. 4]). Функция ух однозначно определяется следующими условиями:
1) ух радиальная и ух (0) = 1;
2) ух удовлетворяет дифференциальному уравнению
Д(ух) + х2ух = 0. (5)
Отметим, что Т — четная целая функция экспоненциального типа и преобразование Фурье Т выражается через Т по формуле
ПС) = Vе? + ••• + <2), С € Сп. (6)
Кроме того,
р(Д)Т(х) = р(—х2)Т(х) (р — алгебраический многочлен). (7)
Множество всех нулей функции Т, лежащих в полуплоскости И,е х ^ 0 и не принадлежащих отрицательной части мнимой оси, обозначим ,2+(Т). Пусть
Кг = ДХг •
Для Т = Хг, Т = кг или Т = аг имеем (см. [9, ч. 2, гл. 3, ф. (3.90)] и (7))
Хг{х) = {2ж)^гпЦ{гх), кг(х) = -х2Хг^), аг{х) = {2ж)^гп~1Ц ^{гх). (8) Отсюда и из формулы
IV (х) = —х1^+1(х) (9)
(см. [17, гл. 7, п. 7.2.8, ф. (51)]) находим
х'Лх) = ~(^гп+2хЦ+1(гх), а'г(х) = -(2тг )%гп+1хЦ(гх). (10)
Используя хорошо известные свойства нулей функций Бесселя (см., например, [17, гл. 7, п. 7.9]), можно получить соответствующую информацию о множествах ,+ (хг), ,+ (Щг) и ,+(Щг). В частности, все нули %г и <гг являются простыми, принадлежат К\{0} и
ЗДг) =
Л1 Л2
,+( ) = \ 0
Л1 Л2
, Г У1 У2 = ^ — ,—
I г г
(11)
где
1,3,
{7V,] }^=1 — последовательность всех положительных нулей функции (V > —1), занумерованных в порядке возрастания. Поскольку функции <1^-1 и не имеют общих нулей на М\{0}, то корректно определены функции
= —
Ц-гШ) Ь_1(Лг)
Хг(х), Л € ,+(щ),
1 1а-1(р\х\) _
яр(х) =--х \ Хг(х), Ц € ЗГ+{аг).
г у2 Ц{уг)
Пусть
3 = 1
к т Ь
3=1
г )
т
п + 5
Нг = рг (А) кг, Пг = Рг (А)аг. Тогда в силу формулы (7) имеем
Н (г) = рг (—г2)яг (г), щ г(г) = Рг (—г2)аг (г), г г г г г
ЦЦ_ Щ2 Щт г г г
причем все нули Жг и щг на С\{0} являются простыми. Кроме того,
,+ (Н) П ,+ ( щг) = 0. Для Л € ,+(Жг) (соответственно, у € ,+(щг)) положим
Нгл = рг (А) кгл ( П ? = Рг (А)а?), если Л € ,+( щг) (у € )), и
Нл = дг>л(А) к ( П £ = ЯгАА)°г),
если рг (—Л2) = 0 (Рг (—у2) = 0), где
Рг (г)
дг,л(г) = —
г + Л2
— о
г + у2
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
г
4
Основным результатом данной работы является Теорема 3. Пусть / € &'(Мп), п ^ 2. Тогда
f= Е , (рг(А)Рг(А)((/ * (Тг) * Хг)Рг(А)((/ * кг) * П?)
r) (0)iiP
+ У" V" __=__(21)
х (Рг(А) ((/ * аг) * Н/) — Рг(А) ((/ * Кг) * ОД ),
где ряд (21) сходится безусловно в пространстве &'(Мп).
Используя формулу Грина и определение свертки, нетрудно получить равенства
(/*кг)(ж) = У |(/*<7Г)(Ж)= I /еС^М"). (22)
Яг(х) Яг(х)
Таким образом, теорема 3 дает новую формулу восстановления функции / по указанным сферическим средним (см. (12), (14)-(16), (18)-(20)). Относительно других результатов, связанных с обращением оператора сферического среднего, см. [18-27].
3. Вспомогательные утверждения
Приведем сначала свойства функций Iv, которые потребуются в дальнейшем. Лемма 1. 1) При v > — z € С имеет место неравенство
e|Im z|
< ¥йуТТ)' (23)
2) Если v € R, то
1 e|Im z|
\Iv(z)\~ — —-г, Im х —>■ оо. (24)
v 27Г z 2
3) Пусть v > — 1. Тогда
Ъ,з + +°(j) > З^оо. (25)
Кроме того,
lim |l,+i(7,j)| = (26)
j ^^о ~
< 1) Из интегрального представления Пуассона [17, гл. 7, п. 7.12, ф. (8)] имеем
1
Iu(z) = ,-тт / cos(-uz)(l —v2Y 2 du.
0
Отсюда получаем
1
о1 — V г 1
21—V 1/1 14 |Tm z| e|Im z| ^--В - v + - e1 1 =-
+ V2' 2У 2T(i/ + l)'
что и требовалось.
2) Из асимптотического разложения бесселевых функций [17, гл. 7, п. 7.13.1, ф. (3)] следует равенство
р2__if / KV 7Г\ /elIm2A\
Iv{z) = у -z v 2 I cos —-— "4 } ^ j j ' -г oo, -7г < arg z < 7г. (27)
Учитывая, что
e|im w|
|cos«;|<~—-—, Im № oo,
из (27) получаем (24).
3) Асимптотика (25) для нулей IV хорошо известна (см., например, [8, гл. 7, ф. (7.9)]). Тогда
cos (juj ~Y~l)=COS " \ + ° (j)) = ° ' j ^ Отсюда следует, что
/ nv п\
= 1.
lim
Используя это соотношение и равенство
nv п Т ~ 4
X / \ /2 / . ( тгг/ ТТЛ /e\Imz\ \ \
1г/+1(-г) = \j-z 2 I sin ^ —-— — J + ОI 11, z оо, -7Г < arg Z < 7Г
(см. (27)), приходим к (26). >
Следствие 1. Для любого r > 0
^ —J-- < +оо, ^ ^- < +оо. (28)
AeZ+(Hf)\{о} 1Н '(А)1 ^+(пг)
< Используя (14), (8) и (10), находим
Н'(А) = p(-А2)й;(А) - 2АрГ(-А2)Йг(А) = (2тг)%гп\рг(—\2) (V2A2b+1(rA) - 21« (гЛ)) - 2\р'г{-\2)кг{\).
Теперь из (11) и (15) имеем
v 1 = V 1 1 ул
Этот ряд сравним со сходящимся рядом
£
¿=1 • 2
(см. (12), (25) и (26)). Отсюда получаем сходимость первого ряда в (28). Сходимость второго ряда в (28) доказывается аналогично. >
Лемма 2. Пусть д : С — С — четная целая функция и д(А) = 0 для некоторого А € С. Тогда
Ад(г)
г2- А2
^ тах |д(()|, г € С, |С-*|<2
(29)
где при г = ±А левая часть в (29) доопределена по непрерывности. < Имеем
2А д(г) < +
г2-X2 г — А г + А г-А г + А
Оценим первое слагаемое в правой части (30). Если |г — А| > 1, то
д(г)
г - А
< |д(г)| < , ™ах |д(С)|.
(30)
(31)
Пусть \г — А| ^ 1. Тогда применяя принцип максимума модуля к целой функции получаем
д(г)
г - А
^ тах К-АК1
д(С)
С — а
= тах |д(()|.
|С-Л|=11 У 71
Учитывая, что окружность — А| = 1 содержится в круге — г| ^ 2, приходим к оценке
д(г)
г - А
^ тах I д (С)1, |С-*К2
(32)
которая справедлива для всех г € С (см. (31)). Аналогично,
д(г)
г + А
^ тах |д(()|, г € С, |С-*К2
(33)
поскольку д(—А) = 0. Из (32), (33) и (30) следует требуемое утверждение. > Лемма 3. Имеют место равенства
Д(хЛ) + А2кЛ = —кг, А € ),
Д(о£) + = —, ^ € ^+(<тг).
< Для любой функции у € &(Мга) имеем
<Д(кгЛ) + А2кгл, у) = <кЛ, (Д + А2)у>
(34)
(35)
1п_1(Л|ж|) 9 [ I«_ 1 (Л|ж|) 2 -(А(р)(х)с1х - А / -р--——(р(х)с1х.
Ь_!(ЛГ)
Ь_1(Лг)
1
Применим к первому интегралу формулу Грина
J(ьАи — иАь) (1х = J ~
О дО
(см., например, [28, гл. 5, § 21, п. 2]). Тогда
о * v Г / 1»_1(Л|ж|)\
(А(кгл) + АЧЛ^> = " J А I ^ j ф) dx
loisir ^ 2 '
Sr
Отсюда и из (5), (36) следует, что
/ I mir)
dn у 1"_1(Лг) I дп
г д /ь_!(ли)\
(А (^) + АЧл^> = / Ы*)1г (ÎM^l - ^ КИ
9 /Ь_1(Л|ж|)'
Теперь используя формулу
d x
-№|)) = /<(|,|), n = R
ч о ч * о Г 1« ( л Ж )
(Д(хгл) + АЧЛ, р) = -Л2 J ф) |ж| YT^y da{x) - {AXr, Ч>)
и равенство (9), находим
^ , Х2„А Х2 у 15(Л|Ж|)
, Ь(Аг) Г
= ь2 1(Дг) J Ф) Л(т{х) - (АХг, <р).
Поскольку А € ,2+ ), то учитывая соотношение (8), получаем (34). В случае сферических средних подобным образом имеем
<ДЮ + ^ ,у> = (Д + )у>
1 г Ь-iCmN) . , , , 1 г
=--2 / т ( \ ^ ~ ~ / т /■ N
ГЦ2 J Ц [рг) Г J Ia(/xr)
1 f д ^t-i^N) Y^w™ , 1 [,п(„\д (Ц-^\Х\У
-<p(x) dx
/ \ -i 1 f , , д /If_1(/х|ж|)\
dX + V^J [ Ц(Рг) ) da{x)
Г ¡Л2 J \ In(pr) I rfl2
S,
1 f / \ i 1 f , s д (Ц-î(^N)
ф) dx = —5 / ф)т~ -2i—7—г— ¿а(ж)
J I ™(//r) r/x2 J dn \ I"(//r) y
Sr
1 /■ , „ ,
] ^^ Ь (//г) ^^ = ~ У ^^ ^^ =
Тем самым равенство (35) также доказано. >
Замечание 1. Из (7) и инъективности сферического преобразования следует, что для распределений и,Т € Е'(Кп) и ( € ,+ (Т)
Аи + (2и = -Т & [/(*) = (37)
Поэтому соотношения (34) и (35) влекут равенства
= ^(г) = деЭД. (38)
г2 — Л2 г2 — у2
Лемма 4. Пусть Л € ,+(Н), у € ,+( щг). Тогда
= ВД = (39)
< Формулы в (39) легко следуют из (7) и замечания 1. Действительно, если Л € ,+ ( Щг), то в силу (18), (7), (38) и (14) имеем
г2 — Л2 г2 — Л2' Аналогично, если рг(—Л2) = 0, то
г2 — Л2 г2 — Л2
(см. (19), (20), (7) и (14)). Подобным образом получаем и второе равенство в (39). > Лемма 5. Пусть
= — Ж^, Хе^+(ж)\{0}, хг° = -2^А)Хг, (40)
ЖГ'(Х) у ; Жг " (0)
Ф м = ^^ (пг). (41)
Тогда
= £ Ф? = ¿, (42)
ле,+(нг) )
где ряды в (42) сходятся безусловно в пространстве @'(Мп).
< Для произвольной функции ^ € ^(Кп) определим функцию ф € У (Кп) равенством
Ш = I Лх, у е Г\
К"
Пусть Л € ,+ (Н)\{0}. Тогда (см. (2), (6) и (39))
{Х$,<р) = = (X?, ф) = [ ф(х)Хх(\х\)<1х = - [ ф(х) <1х.
нг (л) ^ |х|
Используя это представление и лемму 2, получаем
- [ Щх)\ тах \ЖГ(()\(1х.
1Х п |Нг'(Л)| У К-ММ1
I г V Л К"
Из (14), (8) и (23) имеем
тах \Ж{()\ = (2тг)^гга тах |(|2\рЛ-(2) |\Ц К) |
— п — п 2г
ТГ2Г |С|2к(-С2)| -ег|1тС| < ж2ге тах |С|2|рг(-С2)|.
"Г (1 + 1) 1С-ИК214 |т ц " Г(§ + 1)|С-ИК214 |т ц
Поэтому
л \| / 2-л"2гпе2т Г 2| 2
ХД^ | <
/ |ф(х)| ШЕХ К|2|рг( —С2)|^х. (43)
J К-МК2
Это неравенство и следствие 1 показывают, что первый ряд в (42) сходится безусловно в пространстве & (Мга) к некоторому распределению / с носителем в Вг. По лемме 4 для сферического преобразования этого распределения справедливо равенство
/(«)= £ = £ * (44)
~ Н '(Л) г2 — Л2 н (0)г2
ле,+(нг) ле,+(нт)\{о} Нг (Л) Нг (0)г
При этом, если £ € ,+ (НТ)\{0}, то
/(С) = -3— Иш 4Щ = 1 и /(°) = Ит ^^ = (45)
Далее, поскольку /(г) — 1 и НТ(г) являются четными целыми функциями экспоненциального типа, то в силу (45) их отношение
вд =
нг (г)
является целой функцией не выше первого порядка (см. [29, гл. 1, §9, следствие из теоремы 12]). При 1т г = ±И,ег, г = 0 она оценивается следующим образом:
|Л(*)|<тШт+ 1
<
Е 1 ' 1 1
Н ' (Л) V г — Л г + Л ле,+(нт)\{о} г (Л)
Н (г)| |Н (г)|
1
+ т-^-;-+
Нг"(0)||г|2 |Нг (г)! 1/1 1 \ 2 1
± / 1 1 \ ^
ле,+ (Н)\{о} 1 г 1 1 г 1 У|
2 лД ^12 1 ^ —— > ——--1--—--1--
Из этой оценки и соотношений (28), (24) видно, что
lim h(z) = 0. (46)
Im z=±Re z
Тогда по принципу Фрагмена — Линделёфа функция h ограничена на C. Теперь из (46) и теоремы Лиувилля следует, что h = 0. Отсюда f = 1, т. е. f = Аналогично получаем, что второй ряд в (42) сходится безусловно в пространстве D'(Rn) к дельта-функции Таким образом, лемма 5 доказана. >
Лемма 6. Пусть А € Z+(H)\{0}, ß € Z+(Qr). Тогда
4Aß
И -Р >лг * =
Кроме того,
(А2 - ß2) Xх * Ф^ = Т.-(Пг * Jt?rx - * ty) ■ (47)
V ' r Hr' (А) 0r' (ß) V ' J
X°r * Ф^ = —^---(Ъг * (pr(A)xr) + ^ * • (48)
r r „H ''(0)0 '(ßU V
< Из (39), (37), (40) и (41) имеем
2 а ____
(А + А2) (Хгл) = -Жг, А € iF+pfr)\{0}, (49)
V 1 V ' Hr' (А)
(Д + /л2)(Ф = (50)
0r (ß)
Из (49), (41) и перестановочности оператора дифференцирования со сверткой получаем
(А + А2) (Хгх * Ф?) = -Жг * ОД
Hr ' (А) 0r' (ß) r
Аналогично, из (50) следует, что
— (А + /л2) (Хгх * Ф?) = _ 4Л/!-ПГ*^ГА.
У г ^ Нг' (А)ОД М г
Складывая два последних равенства, приходим к соотношению (47). Подобным образом находим
о \
А = -
Hr '' (0)'
-А * Ф£) = ;-* ОД
4ß
0)Q/(ß)
откуда следует (48). >
Докажем, что
4. Доказательство теоремы 3
£ ХГЛ * Фу = ¿,
ле^+(нг) уе^+(п г)
(51)
где ряд (51) сходится безусловно в пространстве &'(Мга). Пусть у € &(Кга), ф € ^(Мга) и у = ф. Для А € )\{0}, ^ € ,2+( Ог) имеем (см. (4) и доказательство оценки (43))
(хгЛ * Фу,у | = кхгл * Фу,ф)| = |(хгл * Фу,ф| =
ф(ж)Хгл(|ж|)Фу(|ж|) ^ж
4
<
|Н '(А)Ог(^)| 8пгаг2га-1е4г
|ж|2 — А2 |ж|2 —
/ |ф(ж)|„та^ К|2Ы-С2)1 таХ |рг( —С2)| 7 К-|х|к2 К-МК2
Аналогично (см. (14), (8)),
х0 * Фу, У | =
4
Нг '' (О)ОГ (^)|
|ж|2 |ж|2 —
4(2тг)2^
<
|Н'' (О)о г (^)|
8пп Г2п-1е2г
^ж
— У |^(ж)||рг(-|ж|2)|^тах<2|Рг(-С2)|^
Отсюда и из (28) следует, что
£ I £ X * Фу, у
< оо.
ле^+(Нг) \уе^+(пг)
Значит (см., например, [30, гл. 1, теорема 1.24]), ряд в (51) сходится безусловно в пространстве &'(Мга). При этом (см. (3), (42))
£ £ (Хгл * Фу,у) = £ I £ (Фу(у), (Хгл(ж),у(ж + у)))
ле^+(нг) уе^+(п г)
ле^+(нг) \уе^+(пг) (хгл(ж),у(ж)) = у(0),
ле^+(нг)
что доказывает (51).
Сворачивая обе части (51) с / и учитывая раздельную непрерывность свертывания / € ^'(Мга) с д € Е'(Мга), (47), (48) и (17), находим
/ = У" ~ 4 ~-(7 * * ('Рг(А)Хг) +
^+(Пг) .Л (52)
Наконец, используя (52), (13) и коммутативность оператора свертки с оператором дифференцирования, приходим к формуле (21). Таким образом, теорема 3 доказана.
Литература
1. Minkowski H. Uber die Körper konstanter Breite // Mat. Sbornik.—1904.—Vol. 25.—P. 505-508. (in Russian).
2. Funk P. Uber Flächen mit lauter geschlossenen geodatishen linien // Math. Annal.—1913.—Vol. 74.— P. 278-300. DOI: 10.1007/BF01456044.
3. Radon J. Über die bestimmung von funktionen durch ihre integralwerte längs gewisser mannigfaltigkeiten // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Nat. Kl.—1917.—Vol. 69.—P. 262277.
4. Беренстейн К. А., Струппа Д. Комплексный анализ и уравнения в свертках // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления.—М.: ВИНИТИ, 1989.—T. 54.—C. 5-111.
5. Zalcman L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem // Approximation by Solutions of Partial Differential Equations.—Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1992.—P. 185-194. DOI: 10.1007/978-94-0112436-2-17.
6. Zalcman L. Supplementary bibliography to "A bibliographic survey of the Pompeiu problem" // Contemp. Math. Radon Transform and Tomography.—2001.—Vol. 278.—P. 69-74. DOI: 10.1090/conm/278/04595.
7. Volchkov V. V. Integral Geometry and Convolution Equations.—Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2003.— 454 p. DOI: 10.1007/978-94-010-0023-9.
8. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces and the Heisenberg Group.—London: Springer, 2009.—672 p. DOI: 10.1007/978-1-84882-533-8.
9. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces.—Basel: Birkhauser, 2013.—592 p. DOI: 10.1007/978-3-0348-0572-8.
10. Brown L., Schreiber B. M., Taylor B. A. Spectral synthesis and the Pompeiu problem // Ann. Inst. Fourier, Grenoble.—1973.—Vol. 23, № 3.—P. 125-154. DOI: 10.5802/aif.474.
11. Икромов И. А. Восстановление функции по сферическим средним // Успехи мат. наук.—1987.— Т. 42, вып. 5(257).—С. 211-212.
12. Berenstein C. A., Gay R., Yger A. Inversion of the local Pompeiu transform // J. Analyse Math.— 1990.—Vol. 54, № 1.—P. 259-287. DOI: 10.1007/bf02796152.
13. Helgason S. Integral Geometry and Radon Transforms.—New York: Springer, 2010.—301 p. DOI: 10.1007/978-1-4419-6055-9.
14. Волчкова Н. П., Волчков Вит. В. Проблема деконволюции для индикаторов отрезков // Мат. заметки СВФУ.—2019.—Т. 26, вып. 3.—С. 3-14. DOI: 10.25587/SVFU.2019.47.12.001.
15. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, Т. I.— М: Мир, 1986.—461 c.
16. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ.—М.: Мир, 1987.—735 с.
17. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, Т. 2.—М.: Наука, 1974.—296 с.
18. El Harchaoui M. Inversion de la transformation de Pompeiu locale dans les espaces hyperboliques reel et complexe (Cas de deux boules) // J. Anal. Math.—1995.—Vol. 67, № 1.—P. 1-37. DOI: 10.1007/BF02787785.
19. Berkani M., El Harchaoui M., Gay R. Inversion de la transformation de Pompeiu locale dans l'espace hyperbolique quaternique — Cas des deux boules // J. Complex Variables.—2000.—Vol. 43, № 1.—P. 2957. DOI: 10.1080/17476930008815300.
20. Волчков Вит. В., Волчкова Н. П. Обращение локального преобразования Помпейю на кватерни-онном гиперболическом пространстве // Докл. РАН.—2001.—Т. 379, № 5.—С. 587-590.
21. Волчков Вит. В., Волчкова Н. П. Теоремы об обращении локального преобразования Помпейю на кватернионном гиперболическом пространстве // Алгебра и анализ.—2003.—Т. 15, вып. 5.—С. 169197.
22. Volchkov Vit. V. On functions with given spherical means on symmetric spaces // J. Math. Sci.—2011.— Vol. 175, № 4.—P. 402-412. DOI: 10.1007/s10958-011-0354-2.
23. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Inversion of the local Pompeiu transformation on Riemannian symmetric spaces of rank one // J. Math. Sci.—2011.—Vol. 179, № 2.—P. 328-343. DOI: 10.1007/s10958-011-0597-y.
24. Волчков B. B., Волчков Вит. В. Сферические средние на двухточечно-однородных пространствах и их приложения // Изв. РАН. Сер. матем.—2013.—Т. 77, № 2.—С. 3-34. DOI: 10.4213/im7956.
25. Rubin B. Reconstruction of functions on the sphere from their integrals over hyperplane sections // Anal. Math. Phys.—2019.—Vol. 9, № 4.—P. 1627-1664. DOI: 10.1007/s13324-019-00290-1.
26. Salman Y. Recovering functions defined on the unit sphere by integration on a special family of sub-spheres // Anal. Math. Phys.—2017.—Vol. 7, № 2.—P. 165-185. DOI: 10.1007/s13324-016-0135-7.
27. Hielscher R., Quellmalz M. Reconstructing a function on the sphere from its means along vertical slices // Inverse Probl. Imaging.—2016.—Vol. 10, № 3.—P. 711-739. DOI: 10.3934/ipi.2016018.
28. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики.—М.: Физматлит, 2008.— 400 c.
29. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.—М.: Издательская группа URSS, 2022.—632 с.
30. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ, Т. 2.—М.: Юрайт-Издат, 2013.—357 c.
Статья поступила 7 августа, 2022 г.
ВолчковА Наталья Петровна
Донецкий национальный технический университет,
заведующая кафедрой высшей математики им. В. В. Пака
РОССИЯ, 283000, Донецк, ул. Артема, 58
E-mail: volna936@gmail.com, volchkova.n.p@gmail.com
https://orcid.org/0000-0001-6193-2782
Волчков Виталий Владимирович
Донецкий государственный университет,
заведующий кафедрой математического анализа
и дифференциальных уравнений
РОССИЯ, 283001, Донецк, ул. Университетская, 24
E-mail: v.volchkov@donnu.ru
https://orcid.org/0000-0003-4274-0034
Vladikavkaz Mathematical Journal 2023, Volume 25, Issue 3, P. 59-75
INVERSION OF A CONVOLUTION OPERATOR ASSOCIATED WITH SPHERICAL MEANS
Volchkova, N. P.1 and Volchkov, Vit. V.2
1 Donetsk National Technical University, 58 Artyoma St., Donetsk 283000, Russia;
2 Donetsk State University, 24 Universitetskaya St., Donetsk 283001, Russia E-mail: volna936@gmail.com, volchkova.n.p@gmail.com, v.volchkov@donnu.ru
Abstract. An obvious property of an arbitrary nonzero smooth antiperiodic function is that its derivative has no corresponding period. In other words, if r is a fixed positive number, f (x + r) + f (x — r) = 0 and f' (x + r) — f' (x — r) =0 on the real axis, then f = 0. This fact admits non-trivial generalizations to multidimensional spaces. One general method for such generalizations is the following Brown-Schreiber-Taylor theorem on spectral analysis: any non-zero subspace U in C(Rn) invariant under all motions of Rn contains
for some a £ c, the radial function (alxl)1 2 ja_i(a|x|), where Jv is the Bessel function of the first kind of order v. In particular, if a function f £ Cx(rn) and its normal derivative have zero integrals over all spheres of fixed radius r in rn, then f = 0. In terms of convolution, this means that the operator pf = (f * Axr, f * ar), f £ C (rn), is injective, where A is the Laplace operator, xr is the indicator of the ball Br = {x £ rn : |x| < r}, ar is the surface delta function centered on the sphere Sr = {x £ rn : |x| = r}. In this paper, we study the inversion problem for the operator p on the class of distributions. A new formula for reconstruction a distribution f £ d'(rn) from known convolutions f * Axr and f * ar is obtained. The paper uses the methods of harmonic analysis, as well as the theory of entire and special functions. The key step in the proof of the main result is the expansion of the Dirac delta function in terms of a system of radial distributions supported in Br, biorthogonal to some system of spherical functions. A similar approach can be used to invert other convolution operators with radial distributions in e'(rn).
Keywords: radial distributions, mean periodicity, Pompeiu transform, inversion formulas.
AMS Subject Classification: 44A35, 42A85.
For citation: Volchkova, N. P. and Volchkov, Vit. V. Inversion of a Convolution Operator Associated with Spherical Means, Vladikavkaz Math. j., 2023, vol. 25, no. 3, pp. 59-75 (in Russian). DOI: 10.46698/z5526-4462-9472-g.
References
1. Minkowski, H. Über die Körper konstanter Breite, Gesammelte Abhandlungen, 1911, vol. 2, pp. 277-279. (in German).
2. Funk, P. Über Flachen mit Lauter Geschlossenen Geodätishen Linien, Mathematische Annalen, 1913, vol. 74, pp. 278-300. DOI: 10.1007/BF01456044.
3. Radon, J. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Nat. Kl., 1917, vol. 69, pp. 262-277.
4. Berenstein, C. A. and Struppa, D. C. Complex Analysis and Convolution Equations, Several Complex Variables, V, Encyclopedia of Mathematical Sciences, vol. 54, New York, Springer-Verlag, 1993, pp. 1108. DOI: 10.1007/978-3-642-58011-6- 1.
5. Zalcman, L. A Bibliographic Survey of the Pompeiu Problem, Approximation by Solutions of Partial Differential Equations, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1992, pp. 185-194. DOI: 10.1007/97894-011-2436-2-17.
6. Zalcman, L. Supplementary Bibliography to "A Bibliographic Survey of the Pompeiu Problem", Contemporary Mathematics, Radon Transform and Tomography, 2001, vol. 278, pp. 69-74. DOI: 10.1090/conm/278/04595.
7. Volchkov, V. V. Integral Geometry and Convolution Equations, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 2003, 454 p. DOI: 10.1007/978-94-010-0023-9.
8. Volchkov, V. V. and Volchkov, Vit. V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces and the Heisenberg Group, London, Springer, 2009, 672 p. DOI: 10.1007/978-1-84882-533-8.
9. Volchkov, V. V. and Volchkov, Vit. V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces, Basel, Birkhäauser, 2013, 592 p. DOI: 10.1007/978-3-0348-0572-8.
10. Brown, L., Schreiber, B. M. and Taylor, B. A. Spectral Synthesis and the Pompeiu Problem, Annales de l'Institut Fourier, Grenoble, 1973, vol. 23, no. 3, pp. 125-154. DOI: 10.5802/aif.474.
11. Ikromov, I. A. Recovering a Function from its Spherical Means, Russian Mathematical Surveys, 1987, vol. 42, no. 5, pp. 169-170. DOI: 10.1070/RM1987v042n05ABEH001476.
12. Berenstein, C. A., Gay, R. and Yger, A. Inversion of the Local Pompeiu Transform, Journal d'Analyse Mathématique, 1990, vol. 54, no. 1, pp. 259-287. DOI: 10.1007/bf02796152.
13. Helgason, S. Integral Geometry and Radon Transforms, New York, Springer, 2010, 301 p. DOI: 10.1007/978-1-4419-6055-9.
14. Volchkova, N. P. and Volchkov, Vit. V. Deconvolution Problem for Indicators of Segments, Mathematical Notes of NEFU, 2019, vol. 26, no. 3, pp. 3-14. DOI: 10.25587/SVFÜ.2019.47.12.001. (in Russian).
15. Hörmander, L. The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Vol. I., New York, Springer-Verlag, 2003, 440 p. DOI: 10.1007/978-3-642-61497-2.
16. Helgason, S. Groups and Geometric Analysis, New York, Academic Press, 1984, 667 p. URL: http: //books.google.com/books?vid=ISBN978-1-4704-1310-1.
17. Erdélyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F. and Tricomi, F.G. Higher Transcendental Functions (Bateman Manuscript Project), Vol. II, New York, McGraw-Hill, 1953, 302 p. URL: https://resolver.caltech.edu/CaltechAÜTHORS:20140123-104529738.
18. El Harchaoui, M. Inversion de la Transformation de Pompéiu Locale Dans les Espaces Hyperboliques REel et Complexe (Cas de deux boules), Journal d'Analyse Mathématique, 1995, vol. 67, no. 1, pp. 1-37. DOI: 10.1007/BF02787785.
19. Berkani, M., El Harchaoui, M. and Gay, R. Inversion de la Transformation de Pompeiu locale Dans l'espace Hyperbolique Quaternique — Cas des deux boules, Complex Variables, 2000, vol. 43, no. 1, pp. 29-57. DOI: 10.1080/17476930008815300.
20. Volchkov, Vit. V. and Volchkova, N. P. Inversion of the Local Pompeiu Transform on the Quaternion Hyperbolic Space, Doklady Mathematics, 2001, vol. 64, no. 1, pp. 90-93. https://zbmath.org/1041.43005.
21. Volchkov, Vit. V. and Volchkova, N. P. Inversion Theorems for the Local Pompeiu Transformation in the Quaternion Hyperbolic Space, St. Petersburg Mathematical Journal, 2004, vol. 15, no. 5, pp. 753-771. DOI: 10.1090/S1061-0022-04-00830-1.
22. Volchkov, Vit. V. On Functions with Given Spherical Means on Symmetric Spaces, Journal of Mathematical Sciences, 2011, vol. 175, no. 4, pp. 402-412. DOI: 10.1007/s10958-011-0354-2.
23. Volchkov, V. V. and Volchkov, Vit. V. Inversion of the Local Pompeiu Transformation on Riemannian Symmetric Spaces of Rank One, Journal of Mathematical Sciences, 2011, vol. 179, no. 2, pp. 328-343. DOI: 10.1007/s10958-011-0597-y.
24. Volchkov, V. V. and Volchkov, Vit. V. Spherical Means on Two-Point Homogeneous Spaces and Applications, Izvestiya: Mathematics, 2013, vol. 77, no. 2, pp. 223-252. DOI: 10.1070/IM2013v077n02ABEH002634.
25. Rubin, B. Reconstruction of Functions on the Sphere from Their Integrals Over Hyperplane Sections, Analysis and Mathematical Physics, 2019, vol. 9, no. 4, pp. 1627-1664. DOI: 10.1007/s13324-019-00290-1.
26. Salman, Y. Recovering Functions Defined on the Unit Sphere by Integration on a Special Family of Sub-Spheres, Analysis and Mathematical Physics, 2017, vol. 7, no. 2, pp. 165-185. DOI: 10.1007/s13324-016-0135-7.
27. Hielscher, R. and Quellmalz, M. Reconstructing an Function on the Sphere from its Means Along Vertical Slices, Inverse Problems and Imaging, 2016, vol. 10, no. 3, pp. 711-739. DOI: 10.3934/ipi.2016018.
28. Vladimirov, V. S. and Zharinov, V. V. Uravneniya matematicheskoj fiziki [Equations of Mathematical Pphysics], Moscow, Fizmatlit, 2008, 400 p. (in Russian).
29. Levin, B. Ya. Raspredelenie kornej celyh funkcij [Distribution of Roots of Entire Functions], Moscow, URSS, 2022, 632 p. (in Russian).
30. Ilyin, V. A., Sadovnichiy, V. A. and Sendov, Bl. Kh. Matematicheskij analiz [Mathematical Analysis], Vol. II, Moscow, Yurayt-Izdat, 2013, 357 p. (in Russian).
Received August 7, 2022
Natalia P. Volchkova
Donetsk National Technical University,
58 Artyoma St., Donetsk 283000, Russia,
Head of the Department of Higher Mathematics named after V. V. Pak E-mail: volna936@gmail.com, volchkova.n.p@gmail.com https://orcid.org/0000-0001-6193-2782
Vitaliy V. Volchkov Donetsk State University,
24 Universitetskaya St., Donetsk 283001, Russia,
Head of the Department of Mathematical Analysis and Differential Equations
E-mail: v.volchkov@donnu.ru
https://orcid.org/0000-0003-4274-0034
