ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ОБОБЩЁННО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Math-Net.Ru

Н. П. Волчкова, Вит. В. Волчков, Характеризация обобщённо-периодических векторных полей на гиперболическом пространстве, Челяб. физ.-матем. журн., 2022, том 7, выпуск 2, 139-151

001: https://doi.org/10.47475/2500-0101-2022-17201

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 94.29.16.195

6 сентября 2022 г., 19:12:53

МАТЕМАТИКА

Челябинский физико-математический журнал. 2022. Т. 7, вып. 2. С. 139-151.

УДК 517.588 Б01: 10.47475/2500-0101-2022-17201

ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ОБОБЩЁННО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Н. П. Волчкова1, Вит. В. Волчков2

1 Донецкий национальный технический университет, Донецк 2Донецкий национальный университет, Донецк а [email protected]

Изучаются векторные поля с нулевым потоком через сферы фиксированного радиуса в шаре на вещественном гиперболическом пространстве. Получено описание таких полей в виде рядов по специальным функциям.

Ключевые слова: векторное поле, гиперболическое пространство, нулевое сферическое среднее, сферическая гармоника, гипергеометрический ряд Горна.

Введение

Одним из хорошо известных критериев Т-периодичности непрерывной функции f на вещественной оси является постоянство интегралов от f по всем отрезкам длины Т на К, т. е. условие

рх+Т рТ

/ f Шу = f Шу, X е К. (1)

о х ио

Согласно теории рядов Фурье всякую Т-периодическую функцию f е С1 (К) можно разложить в абсолютно и равномерно сходящийся тригонометрический ряд

т.е. представить f в виде суммы константы а0/2 и последовательности периодических функций {^}т=1, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям

„ Ч / ч 4 П ^^ . , , _

^ (X) + -Т2 fm (X) = 0.

Естественным аналогом условия (1) в многомерном случае является постоянство интегралов от функции по всем шарам фиксированного радиуса. Близкий класс функций получается, если здесь заменить шары на сферы фиксированного радиуса. Эти классы, а также различные их аналоги и обобщения активно изучались в течение последних пятидесяти лет в работах Ф. Йона, Д. Дельсарта, Д. Смита, Л. Зальцмана, К. А. Беренстейна и других авторов (см. [1-24]). Отметим, что

доказательство ряда из полученных результатов существенно опирается на описание указанных классов в виде рядов Фурье по сферическим гармоникам и другим специальным функциям [11; 12; 17-22; 24].

Гораздо менее изученным является случай векторных полей. Если рассматривать / Е С 1(К) как векторное поле в К, то условие

/ (— -1) -/ (— +Т) = 0

означает, что / имеет нулевой поток через любую нульмерную сферу радиуса Т/2. Таким образом, равенство (2) даёт представление для полей с нулевым потоком через все сферы радиуса Т/2 в К. Нетривиальные обобщения этого факта на векторные поля в евклидовых пространствах получены в работах [5; 25]. При этом остаётся совершенно неисследованным случай неевклидовых пространств, в частности пространств постоянной кривизны. Целью данной работы является характериза-ция векторных полей, имеющих нулевой поток через все сферы фиксированного радиуса на вещественном гиперболическом пространстве Нп(К).

1. Формулировка основного результата

Пусть Кп — евклидово пространство размерности п > 2 с евклидовой нормой | • |, Вп = (т € Кп : |т| < 1} — открытый единичный шар в Кп со стандартной структурой многообразия и с римановой структурой, задаваемой формулой

«•»> = <г-ж|зр • (3)

где £ и п — произвольные касательные векторы в точке т Е Вп. Здесь через (£, п) обозначено каноническое скалярное произведение в Кп. Это риманово многообразие называют моделью Пуанкаре вещественного гиперболического пространства Нп (К) (см., например, [26, раздел IV]).

Группа Мёбиуса М(Вп) действует транзитивно на Вп посредством конформных отображений. Мёбиусовы преобразования являются движениями в модели Пуанкаре вещественного гиперболического пространства, реализованного на шаре Вп. Гиперболическая метрика d на этом пространстве определяется равенством

1 1 + 1т1

d(0, ж) = - 1п ——7—7, т € Вп,

2 1 — |т|

и условием инвариантности относительно группы М(Вп). Геодезический шар

Вд = (т € Вп : d(0,x) <Я} (Я> 0)

(соответственно, геодезическая сфера = (т € Вп : d(0,т) = Я}) совпадает с открытым евклидовым шаром (соответственно, евклидовой сферой) радиуса Ш Я с центром в нуле. Гиперболические эквиваленты элемента объёма dт и элемента площади /а в Кп определяются равенствами

* = (1 — | — |2)п' ^ = (1 — | — |2)п-1 • (4)

Гиперболическая дивергенция divh гладкого векторного поля А : Вд ^ Сп связана с евклидовой дивергенцией dive соотношением

^ И

й^А = (1 — |т|2)ndiVe

(1 — | — |2)п

Поле A £ C 1(Br) называется соленоидальным, если divhí = 0.

При фиксированном r > 0 и R > r обозначим через Vr (Br) множество всех непрерывных векторных полей A : Br í Cn, имеющих нулевой поток через все геодезические сферы радиуса r, лежащие в Br, т. е.

Vr(BR) = {~Á £ C(Br) : / (A, dah = 0 Уд £ M(Bn) : gSr С Br),

L JgSr J

где

ñh = (i -ixi2)^n, (6)

а ~ñt — евклидов единичный вектор внешней нормали к соответствующей гладкой поверхности. Описание гладких полей класса Vr(Br), приведённое ниже, опирается на свойства рядов Фурье по сферическим гармоникам и свойства некоторых специальных функций.

Пусть, как обычно, Г — гамма-функция, (а) = а(а + 1)... (а + j — 1) — символ Похгаммера, F(a, b; c; z) — гипергеометрическая функция Гаусса, т. е.

F(a,b; c; z) = ¿ (jf-zj, |z| < 1 (7)

>j\u)j j j=0 (c

(см. [27, гл. 2, п. 2.1.1]). Обозначим N(r) — множество положительных корней А э-гс/2

уравнения P-(.^+1)/2(ch 2r) = 0, где

Г+т) ^ ' ("<■<+ "

есть функция Лежандра первого рода [27, гл. 3, § 3.2]. Отметим, что множество N (г) имеет вид N (г) = {А1, А2,...}, причём Х^ ~ п]/г, ] ^ то (см. [28, лемма 7]).

Пусть §п-1 — единичная сфера из Кп с центром в нуле, Нагт(к) — пространство сферических гармоник степени к на §п-1. Пространство Ь2(Бп-1) является прямой суммой попарно ортогональных пространств Нагт(к), к = 0, -,... (см., например, [29, гл. 4, § 2]). Обозначим ¿к — размерность Нагт(к), {У1(к)}¡= 1 — фиксированный ортонормированный базис в Нагт(к). Для точки х £ Кп положим р = |х|, а = х/|х|, х = 0. Функция Упродолжается до однородного гармонического многочлена степени к в Мп по формуле У^(к)(х) = ркУг(к(а). Всякой локально суммируемой в BR функции f соответствует ряд Фурье вида

те /!к

f (х) = ЕЕ ^(Р^^), (8)

к=0 1=1

где

fk,l(р) =

Всюду в дальнейшем А £ С, V = V(А) = -—-. При к £ Z+, р £ [0, Г)

обозначим

Нх,к(р) = рк(- - р2)пНх,к(р), (10)

где

п

fk,i(p)= I f (pa)Yl{k)(a)da. (9)

те (v + k)j (v +1 — 2) p2j

Hx,k(p) = £--4 ( y f (n — v,j + ;j +1 + ;p2) . (11)

j=0 (2j + k + n) (k + 2) j! V 2 2 1

Этот ряд сходится абсолютно и равномерно на любом отрезке, лежащем в промежутке [0; 1) (см. доказательство леммы 7 ниже).

Основным результатом данной работы является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть r > 0, r < R < A : — Cn — векторное поле класса C

Для того, чтобы выполнялось включение АА е Иг (Вд), необходимо и достаточно, чтобы

А (ж) = (1 — |ж |2 )пВ(ж)— + — ( ж), ж е (12)

где ~С — соленоидальное векторное поле класса В — скалярное поле, коэффи-циент,ы Фурье которого представимы рядами

Вм (Р)= ^ 7м,л Рк(р), 0 < р< Ш Д, (13)

лем (г)

в которых константы 7&,г,л убывают быстрее любой фиксированной степени Л при Л А то.

Из следствия 1 ниже видно, что ряд (13) можно почленно дифференцировать на [0,1) любое число раз. Отметим также, что функции Ял,^ выражаются через гипергеометрический ряд Горна двух переменных (см. [30, введение; 31, гл. 4, § 4.1, п. 4.1.1]).

2. Вспомогательные утверждения

Лемма 1. Пусть V — ограниченная область в Нга(Е) с гладкой границей дТ>, с1 V = V и дV. Если ~К е С 1(с1 V), -то

divh^Adxh = / (—, г-) dah.

J h A dXh v dV

Доказательство. В силу равенств (3), (4) и (6) имеем

f — — , _ f (A, rife) da _ f -П) J( A, -h) dah = J (1 - |X|2)2 (1 - |x|2)n-1 = / (1 -|x|2)n da.

dD dD dD

Используя теперь формулу Гаусса — Остроградского в Rn и формулы (4), (5), получаем

/а,-A dah = / d,dx = / diVhAU.

dD D D

Таким образом, лемма 1 доказана. □

Лемма 2. Пусть f G Cи

F(x) = J] X тт-(x).

Тогда коэффициенты Фурье функций f и Т по сферическим гармоникам связаны соотношением

(р) = рД,г(р), 0 < р< Ш Д. (14)

Доказательство. Из определения коэффициентов Фурье и функции Т имеем

*м(р)= У Т(ра)!^(а)Ла = I £ ^7(ра)1^Ла. (15)

§п-1 §п-1 = 1

С другой стороны, дифференцируя равенство (9) по р, получаем

(р)= / £ (ра)а^- (16)

Сравнивая формулы (15) и (16), приходим к соотношению (14). □

Лемма 3. Пусть В е С1(ВД), А(ж) = (1 — |ж|2)пВ(ж)А. Тогда

(1 — |ж|2)-п(а1у^А )(ж) = пВ(ж) + £ ж,- ддВ- (ж). (17)

3=1 3

Доказательство. В силу (5) имеем

п Я

(1 — |ж|2)-п(а^А )(ж) = а1Уе(В(ж)^ж) = £ — (В(ж)ж,) =

3 = 1 3

= £ (В(ж)+жз (ж)) =пВ(ж) + £ жз (ж),

3=1 V 3 / 3=1 3

что и требовалось. □

Лемма 4. Пусть А е С2(ВД) и

А (ж) = (1 — |ж|2)пВ(ж)А, (18)

где

1 —V

В(ж) = 1 (^А )(^ж) ^ а

В(ж) У (1 — ¿2 |ж|2)п ^

0

Тогда

= л. (19)

Кроме того,

1

(а1у^А )м (¿р)

ВМ (р) I )%р2р))я<Я-1 к е 2+, 1 < 1 < 4. (20)

0

Доказательство. Для краткости положим

. (ж) = А )(ж)

7 (ж) (1 — |ж|2)п .

Используя (17) и формулу

п д л

£ ж3 — (7 (¿ж)) = (7 (¿ж))

3 = 1 3

находим

1 1

(1 -|x|2 )-n(divhiB )(x) = n f (tx)tn-1dt + tn-1 E Xj — (f (tx))dt

J

• j dxj 3 = 1

0 0 1 1 = п^ f (гх)гп-1аг + ! гп И (f (гх))аг. 00

Преобразуя последнее слагаемое с помощью интегрирования по частям, получаем

1 1

(1 - |x|2)-n(divhiB)(x) = n I f (tx)tn-1dt + tn f (tx) - n I f (tx)tn-1dt = f (x)

1

n1

0 0

т.е. равенство (19) доказано.

Далее, используя (9) и теорему Фубини, имеем

BM (р)= B(pa)Yl{k)(a)da = f (tpa)tn-1dtYl(k) (a)da

§n-l §n-l 0

1

J tn-J f (tPa)Yi (a)d&dt = J tn-1fk,i(tp)dt.

0 Sn-l 0

Отсюда следует равенство (20). □

Лемма 5. Пусть a,b £ C, Re b > 1, p0 £ (0,1). Тогда

max |F(a, b; b + 1; p2)| < |b|(1 - p2)-max{Rea,0}, (21)

pe[0,po]

max pe[0,Po]

d

—F(a, b; b + 1; p2)

< 2p01a||b|(1 - p2)-max{Rea+1'0}. (22)

Доказательство. В силу интегрального представления Эйлера гипергеометрической функции при И,е с > И,е Ь > 0 имеем

1

^ , ч Г(с) ггь-1(- - Ь)с-Ь-1 ,

^(п'Ъ; С ^' = Г(Ь)Г(е - Ъ)! (Г - 4 *

0

(см. [27, гл. 2, п. 2.1.3, формула (10)]). В частности, если И,еЪ > 0, 0 < р < Г, то

1

FЪь р2) = / гь-1(- - 1р2)-*&. (23)

0

Отсюда нетрудно получить оценку (21). Оценка (22) следует из (21) и следующей формулы дифференцирования гипергеометрической функции:

а пЪ

—F(п, Ъ; с; г) = —F(п + Г, Ъ + Г; с + Г; г) (24)

аг с

(см. [27, гл. 2, п. 2.1.2, формула (7)]). □

1

1

Для Л е С, к е р е [0,1) положим

Ч*(р) = ^р*(1 — р2ГР (и + к, V +1 — 2; П + к; р2) , (25)

(п/2)* V ' 2 2

(Л) =

в е имеет место оценка

где, как и выше, V = V(Л) = ^(гЛ+п — 1). Если Л е (0, +то), то при любых р0 е (0,1),

max ре[о,Ро]

Л5

^ йл,*(р)

0(Л5), Л А то (26)

(см. [28, лемма 2]). Отметим также равенство

(С + (Л2 + (п — 1)2)/Л)(йм (р)^(* V)) = 0,

-I

где /Л — тождественный оператор, С — оператор Лапласа — Бельтрами на Нп т. е.

-ы2)п V (а- ы2>2-п д

С = (! — | ж | 2)п £ £ О1 — | ж | 2)2-п

3=1 3 3

(см. [28, § 2, формула (9)]).

При фиксированном г > 0 и Д > г обозначим через V (Вд) множество функций 7 е ¿1сс(Вд), для которых

У 7(ж)Лж^ = 0

дВг

при всех д е М(Вп), таких, что д(йВг) С Вд. Следующий результат получен В. В. Волчковым (см. [28, лемма 14 и теорема 3]).

Теорема 2. 1) Пусть 7 е Д1ос(Вд) и каждый коэффициент ряда (8) имеет вид

Л,г(р)= £ см,л йл,* (р), 0 <р< Ш Д, (27)

лем (г)

где см,л е С ^ £ |см,л| < то. Тогда 7 е V(Вд). лем (г)

2) Пусть в > п + 3 и 7 е V (Вд) П С5(Вд). Тогда при |к — 1|< в — п — 3 и всех 1 < 1 < 4 имеет место равенство (27), где с^,л = 0(Лп-5) при Л А то.

Лемма 6. Имеет место интегральное представление

1

(п/2)* 1/ 1 — р2\ " 1

Нл,* (р) = / ^ — ¿2р2 у ^л,* (¿р) 0 < р < 1.

о

Доказательство. Из (25) и (7) следует, что

1

2п

йл,* (¿р)

(п/2)*/ / 1 — р2 * , , 1,

(V)* У — ¿2р2 0

1

р*(1 — р2)п / ¿*+п-1(1 — ¿2р2ГпР (V + к, V + 1 — 2; 2 + к; ¿2р2) 4

рк (г - р2)п гк+п-1 (г - г2р2^и-п

те (v + к)у (v +- - п)

(- - г2р2у-п^-—-2-3 г2 р2 аг.

3=0

(2 + , 3!

В силу признака Вейерштрасса указанный ряд сходится равномерно по г на отрезке [0, Г]. Поэтому после его почленного интегрирования и замены переменной г = л/й в интеграле приходим к равенству

(п/2)к

(V)к У V- - г2р2

- - р

2п

!гх,к (гр) гп-1аг

рк (- - р2)пе

(v + к)з (V + - - п)

£ 2з! (п + к)<

3 р23 и'+4Р-1(1 - ир2)"-пёи.

Используя теперь (23), (11) и (10), получаем

□

Следствие 1. Если А £ (0, +то), то при любых р0 £ (0,1), 5 £ Z+ справедлива оценка

' " 0(А;-к), А ^ то. (29)

тах ре[0,Ро|

арр; Нл,к(р)

1

1

1

Доказательство. Дифференцируя (28) с применением формулы Лейбница, имеем

^ ( ) = (п/2)к ^ 5!

Пх'к(р) (V)к ^ ш\(в - т)!

^ 'к т=0 у '

ар

Учитывая, что

гт+п-1 Ор)

ар;

- - р 1 - г2р2

2п

аг.

Г(г + а)

= ^1 + 0^, | < п

Г(г + в)

(см. [27, гл. 1, § 1.18, формула (4)]), отсюда и из (26) получаем требуемое. Лемма 7. Имеет место равенство

(30) □

рк(1 - р2)п [рИ'хк(р) + (п + к)ИХк(р)]

Доказательство. В силу асимптотики (30)

(п/2)к

(v )к

йл,к (р).

(V + к)з (V + 1 - 2)

3! (п + к) . (23 + к + п)

Г' п + к

2

Г (V + к) Г (V + 1 - 2

п

У-1тл-2, 3 ^ +то.

Отсюда и из леммы 5 видно, что ряд (11) и ряд, полученный из него почленным дифференцированием, сходятся равномерно на отрезке [0,р0] при любом р0 < 1. Поэтому, используя (24) и теорему о дифференцировании функционального ряда, находим

рИ'л ,к(р) + (п + к)Ил,к (р) =

1

^ (V + к)3 (V +1 — п) р23 , , , , , ,

^ V 2/3 ■ к + п . к + п 2\

£-.,(п )-— Р п — ^3 + —; 3 + р2 +

3=0 3 42 +к) 3 2 2

(п — м. , , к + п • , о , к + п „2

\

+ —-ТЛ— Р п — V + 1,3 + 1 + ——; 3 + 2 + ——; р

• _1_ _1_ к + п у J 2 2

Выражение с гипергеометрическими функциями в скобках преобразуется с помощью формулы

аг

Р (а, 6; с; г) +--Р (а + 1,6 +1; с +1; г) = Р (а, 6 +1; с; г)

с

(см. [31, гл. 7, § 5, п. 2, формула (16)]). При этом получаем

рЯл , *(р) + (п + к) Ял , * (р) =

^ + к)3 ( +1 ~ 2) 3 3 ( . , к + п . 1 к + п 2

= £-,(п Л 3 Р п — ^з + 1 + —; 3 + 1 + ; р2

3=0 П 2+ Ч 3 2 2

Поскольку Р (а, 6; 6; г) = (1 — г) а (см. [27, гл. 2, § 2.8, п. 2, формула (1)]), последнее соотношение можно записать в виде

~ + к)3 + 1 — 2) р

рЯл,* (р) + (п + к) Ял,* (р) = (1 — рГп £ - 4 2 73

3=0 3!( п + к) 3

Теперь требуемое утверждение следует из (7) и (25). □

3. Доказательство теоремы 1

Пусть АА е Иг (Вд) П Сте(Вд). Тогда по лемме 1 гиперболическая дивергенция поля А принадлежит классу V (Вд) П Сте(Вд). Поэтому её коэффициенты Фурье имеют вид

(а1у^А)*,г(р) = £ см>л,*(р), 0 < р< Ш Д, (31)

лем (г)

где с*,г,л е С и с*,г,л = О(Л-5) при Л А то для любого в > 0 (см. второе утверждение в теореме 2). Положим

АС = АА АВ

, где векторное поле В определяется равенством (18). В силу соотношений (31), (26), (28) и леммы 4 поле А является соленоидальным и

1

[ ¿п-1 \ (V

0

(1 — ¿2р2)п ^ ^ -,г,л (п/2)

^ к ' лем(г) лем(г) ^ ' '

к

При этом коэффициенты 7* г л = ( )* с* г л ведут себя как О (Л при Л А то для

(п/2)*

любого в > 0 (см. (30)). Тем самым необходимость в теореме 1 доказана.

Наоборот, пусть А £ Сте(BR) и имеют место разложения (12), (13). Тогда (см. соотношения (17), (14), (29) и лемму 7)

(а^ )к,1 (р) = (- - р2)п (рВ ,1 (р) + пвк,1(р)) = = (- - р2)п Е 7к,1,лрк(рИ'лк(р) + (п + к)Их,к(р))= Е ^кмЬлк(р).

лем(г) лем(г) ( )к

Это разложение и теорема 2 показывают, что £ У(BR). Учитывая, что

= 0, отсюда и из леммы 1 заключаем, что ~АА £ V (BR). Таким образом, теорема 1 доказана.

Список литературы

1. UngarP. Freak theorem about functions on a sphere // Journal of the London Mathematical Society. 1954. Vol. 29, iss. 2. P. 100-103.

2. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными. М. : Иностр. лит., 1958.

3. DelsarteJ. Note sur une propriete nouvelle des fonctions harmoniques // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. Paris Ser. A-B. 1958. Vol. 246. P. 1358-1360.

4. Schneider R. Functions on a sphere with vanishing integrals over certain subspheres // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1969. Vol. 26. P. 381-384.

5. Smith J. Harmonic analysis of scalar and vector fields in Rn // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1972. Vol. 72. P. 403-416.

6. Беренстейн К. А., Струппа Д. К. Комплексный анализ и уравнения в свёртках // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. проблемы математики. Фундамент. направления. 1989. Т. 54. С. 5-111.

7. Berenstein К. A., GayR., YgerA. Inversion of the local Pompeiu transform // Journal d'Analyse Mathematique. 1990. Vol. 54. P. 259-287.

8. Zalcman L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem. In book : Approximation by Solutions of Partial DifferentialEquations. Dordrecht : Kluwer, 1992. P. 185-194.

9. NetukaI. Mean value property and harmonic functions. In book : Classical and Modern Potential Theory and Applications. Dordrecht : Kluwer, 1994. P. 359-398.

10. ThangaveluS. Spherical means and CR functions on the Heisenberg group // Journal d'Analyse Mathematique. 1994. Vol. 63. P. 255-286.

11. Волчков В. В. Окончательный вариант локальной теоремы о двух радиусах // Мат. сб. 1995. Т. 186, вып. 6. С. 15-34.

12. Волчков В. В. Решение проблемы носителя для некоторых классов функций // Мат. сб. 1997. Т. 188, вып. 9. С. 13-30.

13. BerkaniM., ElHarchaouiM., GayR. Inversion de la transformation de Pompeiu locale dans l'espace hyperbolique quaternique — Cas des deux boules // Journal of Complex Variables. 2000. Vol. 43. P. 29-57.

14. Волчков Вит. В., ВолчковаН. П. Обращение локального преобразования Пом-пейю на кватернионном гиперболическом пространстве // Докл. Акад. наук. 2001. Т. 379, № 5. С. 587-590.

15. Zalcman L. Supplementary bibliography to "A bibliographic survey of the Pompeiu problem"// Contempemporery Mathematics. Radon Transform and Tomography. 2001. Vol. 278. P. 69-74.

16. Волчков Вит. В., ВолчковаН. П. Теоремы об обращении локального преобразования Помпейю на кватернионном гиперболическом пространстве // Алгебра и анализ. 2003. Т. 15, вып. 5. С. 169-197.

17. VolchkovV. V. Integral Geometry and Convolution Equations. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 2003.

18. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces and the Heisenberg Group. London : Springer-Verlag, 2009.

19. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces. Basel : Birkhäuser, 2013.

20. Волчков Вит. В., ВолчковаН.П. Проблема устранимости для функций с нулевыми шаровыми средними // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58, № 3. С. 543-552.

21. Волчков В. В., Волчков Вит. В. Интерполяционные задачи для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса // Докл. Акад. наук. 2020. Т. 490, № 1. С. 20-23.

22. Волчков В. В., Волчков Вит. В. Непрерывное периодическое в среднем продолжение функций с отрезка // Докл. Акад. наук. 2021. Т. 496. С. 21-25.

23. Волчков В. В., Волчков Вит. В. Непрерывное продолжение функций с отрезка до функций в Rn с нулевыми шаровыми средними // Изв. вузов. Математика. 2021. № 3. С. 3-14.

24. ВолчковаН.П., Волчков Вит. В., ИщенкоН. А. Стирание особенностей функций с нулевыми интегралами по кругам // Владикавказ. мат. журн. 2021. Т. 23, № 2. С. 19-33.

25. Волчков Вит. В., ВолчковаН. П. Векторные поля с нулевым потоком через сферы фиксированного радиуса // Владикавказ. мат. журн. 2018. Т. 20, № 4. С. 20-34.

26. Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве. М : Мир, 1986.

27. БейтменГ., ЭрдейиА. Высшие трансцендентные функции. Т. 1, 2. М. : Наука, 1973, 1974.

28. Волчков В. В. Окончательный вариант локальной теоремы о двух радиусах на гиперболических пространствах // Изв. РАН. Сер. мат. 2001. Т. 65, № 2. С. 3-26.

29. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М. : Мир, 1974.

30. Гельфанд И. М., Граев М. И., РетахВ. С. Общие гипергеометрические системы уравнений и ряды гипергеометрического типа // Успехи мат. наук. 1992. Т. 47, вып. 4 (286). С. 3-82.

31. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М. : Наука, 1991.

Поступила в 'редакцию 03.02.2022. После переработки 11.04.2022.

Сведения об авторах

Волчкова Наталья Петровна, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующая кафедрой высшей математики им. В. В. Пака, Донецкий национальный технический университет, Донецк; e-mail: [email protected].

Волчков Виталий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа и дифференциальных уравнений, Донецкий национальный университет, Донецк; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2022. Vol. 7, iss. 2. P. 139-151.

DOI: 10.47475/2500-0101-2022-17201

CHARACTERIZATION OF GENERALIZED PERIODIC VECTOR FIELDS ON HYPERBOLIC SPACE

N.P. Volchkova1, Vit.V. Volchkov2

1 Donetsk National Technical University, Donetsk 2Donetsk National University, Donetsk [email protected]

We study vector fields which have zero flux through every sphere of fixed radius in a ball on a real hyperbolic space. For fields in such classes a description in the form of a series in special functions is obtained.

Keywords: vector field, hyperbolic space, zero spherical mean, spherical harmonic, Horn hypergeometric series.

References

1. UngarP. Freak theorem about functions on a sphere. Journal of the London Mathematical Society, 1954, vol. 29, no. 2, pp. 100-103.

2. JohnF. Plane Waves and Spherical Means Applied to Partial Differential Equations. New York, Dover Publ., 2013.

3. Delsarte J. Note sur une propriete nouvelle des fonctions harmoniques. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Paris Sér. A-B, 1958, vol. 246, pp. 1358-1360.

4. Schneider R. Functions on a sphere with vanishing integrals over certain subspheres. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1969, vol. 26, pp. 381-384.

5. Smith J.D. Harmonic analysis of scalar and vector fields in Rn. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1972, vol. 72, pp. 403-416.

6. Berenstein C.A., StruppaD.C. Complex analysis and convolution equations. Several complex variables. Vol.: Complex analysis in partial differential equations and mathematical physics. Berlin. Springer-Verlag, 1993. Pp. 1-108.

7. Berenstein C.A., Gay R., Yger A. Inversion of the local Pompeiu transform. Journal d'Analyse Mathématique, 1990, vol. 54, pp. 259-287.

8. Zalcman L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem. Approximation by Solutions of Partial Differential Equations, Dordrecht, Kluwer, 1992. Pp. 185-194.

9. NetukaI. Mean value property and harmonic functions. Classical and Modern Potential Theory and Applications. Dordrecht, Kluwer, 1994. Pp. 359-398.

10. ThangaveluS. Spherical means and CR functions on the Heisenberg group. Journal d'Analyse Mathématique, 1994, vol. 63, pp. 255-286.

11. Volchkov V.V. A definitive version of the local two-radii theorem. Sbornik Mathematics, 1995, vol. 186, no. 6, pp. 783-802.

12. Volchkov V.V. Solution of the support problem for several function classes. Sbornik Mathematics, 1997, vol. 188, no. 9, pp. 1279-1294.

13. BerkaniM., El Harchaoui M., GayR. Inversion de la transformation de Pompeiu locale dans l'espace hyperbolique quaternique — Cas des deux boules. Journal of Complex Variables, 2000, vol. 43, pp. 29-57.

14. Volchkov Vit.V., Volchkova N.P. Inversion of the local Pompeiu transform on the quaternion hyperbolic space. Doklady Mathematics, 2001, vol. 64, no. 1, pp. 90-93.

15. Zalcman L. Supplementary bibliography to "A bibliographic survey of the Pompeiu problem". Contemporary Mathematics. Radon Transform and Tomography, 2001, vol. 278, pp. 69-74.

16. Volchkov Vit.V., Volchkova N.P. Inversion theorems for the local Pompeiu transformation in the quaternion hyperbolic space. St. Petersburg Mathematical Journal, 2004, vol. 15, no. 5, pp. 753-771.

17. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. Dordrecht, Kluwer, 2003.

18. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces and the Heisenberg Group. London, Springer, 2009.

19. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces. Basel, Birkhauser, 2013.

20. Volchkov Vit.V., Volchkova N.P. The removability problem for functions with zero spherical means. Siberian Mathematical Journal, 2017, vol. 58, no. 3, pp. 419-426.

21. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Interpolation problems for functions with zero integrals over balls of fixed radius. Doklady Mathematics, 2020, vol. 101, no. 1, pp. 16-19.

22. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Continuous mean periodic extension of functions from an interval. Doklady Mathematics, 2021, vol. 103, no. 1, pp. 14-18.

23. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Continuous extension of functions from a segment to functions in Rn with zero ball means. Russian Mathematics, 2021, vol. 65, no. 3, pp. 1-11.

24. Volchkov Vit.V., Volchkova N.P. Vector fields with zero flux through spheres of fixed radius. Vladikavkazskiy Matematicheskiy Zhurnal [Vladikavkaz Mathematical Journal], 2018, vol. 20, no. 4, pp. 20-34. (In Russ.).

25. Volchkova N.P., Volchkov Vit.V., IschenkoN.A. Erasing od singularities of functions with zero integrals over disks, Vladikavkazskiy Matematicheskiy Zhurnal [Vladikavkaz Mathematical Journal], 2021, vol. 23, no. 2, pp. 19-33. (In Russ.).

26. Ahlfors L. Mobius Transformations in Several Dimensions, Minneapolis, University of Minnesota, 1981.

27. BatemanH., ErdelyiA. Higher Transcendental Functions, Vols. I, II. New York, McGraw-Hill, 1953.

28. Volchkov V.V. A definitive version of the local two-radii theorem on hyperbolic spaces. Izvestiya Mathematics, 2001, vol. 65, no. 2, pp. 207-229.

29. Stein E., Weiss G. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. New Jersey, Princeton University Press, 1971.

30. Gel'fand I.M., GraevM.I., RetakhV.S. General hypergeometric systems of equations and series of hypergeometric type. Russian Mathematical Surveys, 1992, vol. 47, no. 4, pp. 1-88.

31. Vilenkin N.Ja. Special Functions and the Theory of Group Representations. Rhode Island : AMS, 1968.

Article received 03.02.2022.

Corrections received 11.04.2022.