ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА НЕЙМАНА НА НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 2 (2020). С. 10-20.

УДК 517.5

ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА НЕЙМАНА НА НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

в.в. волчков, вит. в. волчков

Аннотация. Изучение переопределенных граничных задач для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных было инициировано Д. Серрином в 1971 г. В своей работе он установил свойство радиальной симметрии для решений некоторой переопределенной задачи Пуассона. Помимо значительного самостоятельного интереса, задачи такого типа имеют важные приложения в теории потенциала, интегральной геометрии, гидродинамике, электростатике и теории капиллярности. Как правило, их решение основано на принципе максимума, лемме Хопфа об угловой граничной точке и методе движения гиперплоскостей, введенным А.Д. Александровым для изучения некоторых геометрических проблем, связанных с характеризацией сфер. Среди других, более современных методов, не использующих принцип максимума в рассматриваемых задачах, отметим метод двойственности, метод объемной производной, а также интегральный метод.

В данной статье рассматривается переопределенная задача Неймана для уравнения Лапласа А/ = 0 на плоских неограниченных областях. Показано, что при определенных условиях (см. теорему 2.1 в § 1) такая задача разрешима только для внешности круга. Отличительной особенностью теоремы 2.1 является то, что в ней впервые в подобных задачах получено точное условие на рост / на бесконечности. Кроме того, как видно из теоремы 2.2 в § 2, другие условия в теореме 2.1 также необходимы. В отличие от работ предшественников, доказательство теоремы 2.1 использует некоторые граничные свойства конформных отображений, теорему В.И. Смирнова о функциях класса Нр и теорему Фейера-Рисса о неотрицательных тригонометрических полиномах.

Ключевые слова: переопределенные задачи, задача Неймана, гармонические функции, граничное поведение.

Mathematics Subject Classification: 31А05

1. Введение

В 1971 г. Д. Серрин инициировал [1] изучение переопределенных граничных задач для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных. Впоследствии выяснилось, что, помимо значительного самостоятельного интереса, такие задачи имеют важные приложения в теории потенциала [2], интегральной геометрии [3], [4], гидродинамике [5], электростатике [6], [7] и теории капиллярности [8], [9]. Например, известная проблема Помпейю, до сих пор не решенная в полном объеме, при достаточно общих условиях сводится к переопределенной граничной задаче для уравнения Гельмгольца [4], [10],

[11]. Более того, именно изучение подобных задач позволило получить наиболее глубокие результаты о регулярности границы множеств, рассматриваемых в проблеме Помпейю [3],

[12], [13]. По поводу результатов, связанных с примыкающей к данному кругу вопросов старой гипотезы Шиффера, см. [14], [15] и библиографию к этим работам.

V.V. VOLCHKOV, VlT.V. volchkov,overdetermined NEUMANN boundary value problem in unbounded domains.

© Волчков B.B., Волчков Вит.В. 2020.

Поступила 30 октября 2019 г.

Классический результат Д. Серрииа [1] устанавливает свойство радиальной симметрии для решений следующей переопределенной задачи Пуассона,

Пусть Q - ограниченная обл асть в Rn, п ^ 2 с границей dQ класс а С2, для которой существует функция / е C2(Q), удовлетворяющая уравнению Пуассона

А/ = -1 в Q (1.1)

и граничным условиям

df

f = 0, ^ = const на dQ. (1.2)

J дп v ;

Тогда, как показано в [1], Q - шар и f раднально симметрична. В [1] также отмечено, что подобное утверждение сохраняет силу и для некоторых других уравнений, обобщающих (1.1), если вместе с (1.2) выполняется условие

f > 0 в Q. (1.3)

Теорема Д. Серрина получила дальнейшее развитие и уточнение в разных направлениях (см. обзор [16] с обширной библиографией).

Во-первых, в ряде работ уточнялись условия теоремы Д. Серрина, связанные с гладкостью границы Q и решения f.

Во-вторых, рассматривались подобные задачи для других уравнений (в том числе и нелинейных) и других граничных условий.

В-третьих, изучались аналоги теоремы Д. Серрина для других типов областей (проколотых, кольцевых, неограниченных). При этом в случае неограниченной области к условиям (1.2), (1.3) добавлялось условие на поведение функции f на бесконечности. Например, в работе [17] требуется, чтобы f стремилась к пулю па бесконечности, а в [8], [18] дополнительно предполагается, что этому же условию удовлетворяют все частные производные от f первого порядка.

Доказательство основных результатов в большинстве из цитированных выше работ основано на принципе максимума, лемме Хопфа об угловой граничной точке и методе движения гиперплоскостей, введенным А.Д. Александровым для решения некоторых геометрических проблем, связанных с характеризацией сфер (см. [16], [19], [20]). Среди других, более современных методов, не использующих принцип максимума в рассматриваемых задачах, отметим метод двойственности [21], метод объемной производной [22], а также интегральный метод [23].

В данной статье рассматривается переопределенная задача Неймана для уравнения Лапласа А/ = 0 на плоских неограниченных областях. Показано, что при определенных условиях (см. теорему 2.1 в § 1) такая задача разрешима только для внешности круга. Отличительной особенностью теоремы 2.1 является то, что в ней впервые в подобных задачах получено точное условие на рост f на бесконечности. Кроме того, как видно из теоремы 2.2 в § 2, другие условия в теореме 2.1 также необходимы. В отличие от работ предшественников, доказательство теоремы 2.1 использует некоторые граничные свойства конформных отображений, теорему В.И. Смирнова о функциях класса Нр и теорему Фейера-Рисса о неотрицательных тригонометрических полиномах.

2. Формулировки основных результатов

Пусть Г - замкнутая гладкая жорданова кривая в комплекеной плоскости С @ - огра-

" " - д

ниченная область в С с границей Г & = Си Г. Как обычно, символом — будем обозначать

оп

оператор дифференцирования в направлении внешней (по отношению к С) нормали к Г. Сформулируем основные результаты данной работы.

Теорема 2.1. Предположим, что существует функция ¡, непрерывная в С\С и гармоническая в С \ С, удовлетворяющая следующим условиям:

1, f = 0 на, Г;

2, ^ = I на Г; оп

3, ¡(г) = о(|г|2) при г ^ ж.

Тогда, область С является, кругом, и при этом,

Л .-) = Я ь ^,

где х0, Я - центр и радиус круга С.

Доказательство теоремы 2,1 приводится в §3, Оно основано на применении конформного отображения внешности единичного круга на область С \ С. Это отображение позволяет свести исходную задачу для области С \ С к переопределенной краевой задаче для внешности круга, в которой основной трудностью является неоднородность граничного условия для нормальной производной. Для изучения этого условия потребовались некоторые тонкие результаты о граничных свойствах функции, осуществляющей указанное выше конформное отображение, а также некоторые свойства классов Харди Нр в единичном круге (см, [24, гл. 9, 10]), Соответствующие вспомогательные конструкции и утверждения содержатся в §2, Отметим, что отсутствие подобной теории конформных отображений в многомерном случае оставляет открытым вопрос о существовании аналога теоремы 2,1 в пространстве Кга при п > 2,

Следующий результат показывает необходимость условий 1, 2 и точность условия 3 в теореме 2,1,

Теорема 2.2. Существуют отличная, от круга ограниченная область С С С с жор-дановой границей Г класса С^ и функции ¡\, ¡2, /3, принадлежащие Сте(С \ С) и га,рм,о-нические в С \ С, такие что: 1, /1 удовлетворяет условиям 1 и 3 теорем,ы, 2.1; 2 3

¡3(г) = О (И2) при г ^ ж. Доказательство теоремы 2,2 содержится в § 4,

3. Вспомогательные конструкции

Пусть А = (г 6 С : |г| > 1} и функция и непрерывна в А = (г 6 С : |г| ^ 1}, При любом фиксированном р ^ 1 функции и (рег1р) соответствует ряд Фурье

те

и (Рег<Р) = ^ ип(р)е1п(р, у 6 [0, 2ж\, (3.1)

п=—<х

1 Г2ж

ип(р) = — и (рег^ (3.2) ]о

Мр)| ^ тах Iи (р(3.3) ^€[0,2-^]

д2 д2

для любых п 6 р ^ 1, Пусть А = —— + —— - оператор Лапласа, Если и 6 С2(А), то

ох2 оу2

простые вычисления с использованием (3,2) показывают, что при любых р > 1, у 6 [0, 2^],

где

Из (3,2) следует, что

п Е Z выполнено равенство

1

(ип(р)егп^) = (<(р) + ^ - ^^(р)) е^ (3.5)

А (ип(р)ет^) = — (Au)(peü)em^-t)dt. (3.4)

Jо

Кроме того,

А (ип(р)ет= ( <(р) + ^ - ^ ип(р)\

По теореме Римана о конформном отображении существует единственная голоморфная в области А функция w = ф(г), которая отображает А конформно на область C \ G при условиях

ф(ж) = ж, ф'(ж) = а > 0. (3.6)

Первое условие в (3.6) показывает, что функция w = ф(г) точку z = ж переводит в точку w = ж, а второе условие означает, что

lim ^ = а > 0. (3.7)

^^^ z

Из условий (3.6) и (3.7) следует, что функция ф, являясь голоморфной в области А, имеет в точке z = ж простой полюс, и поэтому ее лорановекое разложение в А имеет вид

те

ф(z) = az + ^ фnz-n, а > 0. (3.8)

о

Согласно принципу соответствия границ при конформных отображениях функция ф может быть продолжена по непрерывности на множество А. Для этого продолжения мы сохраним обозначение w = ф(г).

Пусть D = {z Е C : |z| < 1} T = {z Е C : |z| = 1}. Как обычно, обозначим через НР(В>), р > 0 класс функций /, голоморфных в D и таких, что для каждой из них интеграл

п 2ж

/ \/(reiip) \ Р dip (3.9)

о

ограничен при 0 ^ г < 1 При z Е D положим

-п-1 " ' 1

h(z) = а - пфпг-п-1 = ф' . (3.10)

Отметим, что в силу однолистности ф функция к не имеет нулей в О. Далее нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения о свойствах функций к и ф.

Лемма 3.1. Функции к и 1/к принадлежат классу Нр(О) при всех р > 0.

Доказательство. Пусть Ь Е С. Обозначим через ¿(Ъ) расстояние от точки Ь до Г. Тогда при любом ^ Е О имеем

49 - 6

^ d(b) > 0.

Из этого неравенства и (3.8) следует, что существует постоянная с\ > 0, такая что

КЧЙ -ь)

> ci (3.11)

при всех z Е D, Кроме того, го (3.8) и определения ф получаем, что

- ь)

<с2, z Е D, (3.12)

где с2 > 0 те зависит от z. Далее, при z £ D из (3,10) находим

где

h(z) = -^ - bj Л'(z), (3.13)

\(z) = ^- ) - b

Учитывая оценки (3.11) и (3.12), при любых р > 0 т £ [0,1) из (3.13) получаем

Vih(rе г^)\р + |h(rег^)\-р) dp <

I о

< с2р \X(relv)\pdp + с-2р |Л'(гe^)\-pdp. (3.14)

2 о i о

Функция Л отображает круг D конформно и однолистно на некоторую ограниченную область с гладкой жордановой границей. По теореме Линделёфа (см. [24, гл. 10, § 1, теорема 4]), при надлежащем выборе ветви аргумента функции argЛ'(г) и argl^'(z) могут быть продолжены до непрерывных функций на D, Отсюда следует (см. [24, гл. 10, § 1, теорема 5]), что функции Л и 1/Л принадлежит классу Нр(D) при любом р > 0. Таким

получаем утверждение леммы 3.1. □

Следствие 3.1. Функция h имеет почти всюду на T конечные предельные значения по некасательным путям, образующие граничную функцию h(ег1р), p £ (0, 2ж). При этом, h(eiip) £ Lp(0, 2тт) для любо го р> 0 и

h(e%v) = 0 для почти всех p £ (0, 2тг). (3.15)

Доказательство. Утверждение о существовании указанной предельной функции h(e%v) и ее принадлежности классу Lp(0, 2п) следует из леммы 3.1 и хорошо известного аналогичного свойства для любой функции класса HP(D) (см., например, [24, гл. 9, § 4]). Применяя данное свойство к функции 1/h и используя лемму 3.1, получим (3.15). □

Следствие 3.2. Пусть a,ß £ Си, \а\ ^ \ß \ > 0. Тогда, функция

h( )

hi(z)

(а + ßz)2

принадлежит классу НР(В) при всех 0 < р <

Доказательство. Сначала предположим, что 1 = |а|, В этом случае а + /г = /(г — ег1) при некотором 7 € [0, 2ж]. Пусть 0 < р < Выберем д > 1 так, чтобы др < Используя неравенство Гельдера и лемму 3.1, для любого г £ [0,1) имеем

/ | Н\(т ег*) \ Р<р = \Цгег^)\Р \/(г ег* — )\-2р <р ^ ио ио

9-1 1

г2ж „„ \ —9-/ г2ж " -

о

где постоянная с > 0 те зависит от г. Поскольку

| h(r егV) \ dpj " (fQ \ß (г - e%1) I 2Рд^У <

^c (iT11 -r e 1 -2pq q,

1 - rei[v-l) I ^ 1 - cos( p -7)

и pq < из (3,16) получаем требуемое утверждение. В случае |а| > Iß| > 0 утверждение очевидно в силу леммы 3.1 и неравенства

|а + ßz| ^ |а| - |ß|, z Е D.

□

Лемма 3.2. Для почти всех (по мере Лебега) Е [0, 2ж] имеет .место равенство

lim Ц((1 + ф*) = lim »> »>, (з.17)

где оба предела существуют и конечны.

Доказательство. Из соотношения (3.10) имеем

ф' ((1 + ф= h ((1+е)-1 е-г^)

для любых е > 0, Ф Е [0, 2ж\. Отсюда и из следствия 3.1 вытекает существование конечного предела в левой части равенства (3.17) для почти всех (р Е [0, 2п]. По теореме о среднем для таких (р выполнено равенство

Г 1+е

J Ф' (Ре iv)dp = £ф' (£ е*)

для любого £ > 0 и некоторого £ Е (1,1 + е), зависящего от е. Следовательно, существует конечный предел

1 f 1+% liml ^ (peгlp)dp, е^+0 £ J i

который равен пределу в левой части равенства (3.17). Поскольку

f HV (р е*)4р = * ((1+£)е ? »',

J i е

отсюда получаем утверждение леммы 3.2. □

Лемма 3.3. Для почти всех <р Е (0, 2^) существует 5 = 8(ф) > 0, такое что при любом, £ Е (0, 6(<р)) круг

K£,v = {ге C : ^-ф(е^) -£ег^ф'(е*)\ ^ ^\ф'(е^)|} (3.18)

не пересекается с Г.

Доказательство. Предположим, что для некоторого <р Е (0, 2п) существует последовательность {£j}°==1 положительных чисел такая, что lim£j = 0 и при любом j круг К£.,г,

пересекается с Г. Обозначим через ^ одну из точек полуннтервала [0, 2-к), для которой ф(e%Vj) Е KSj >1р П Г. Тогда имеем

\ ф(е) - ф(ег*) - £^ф'(ег^)\ ^ -j- \ф'(ег^)\ . (3.19)

Из этого неравенства и однолистности заключаем, что <pj ^ <р при j ^ ж.

Далее, функция ф(егЬ) абсолютно непрерывна на [0, 2^\ и для почти всех t Е [0, 2^\ выполнено равенство

d

-ф(е*) = г е*ф' (е*) (3.20)

(см. [24, гл. 10, § 1, теорема 1]).

Предположим теперь, что ф'(е%v) = 0 и

ф(ег(р) - ф(ei<fj) = гф'(elv)e- щ) + о(<р - щ) при j ^ ж. (3.21)

Из следствия 3,1 и равенства (3,20) следует, что эти требования выполняются для почти всех р Е (0, 2ж). Сопоставляя (3,21) и (3,19) и учитывая, что ф'(егр) = 0, приходим к неравенству

1 £] + К( - (з) + о((р - ру) 1 ^ 2 ПРИ ^ ждение леммы 3,3, □

Лемма 3.4. Пусть функция f гармонична в круге К = {( Е C : — £0| < т} и

М = sup If ( с ек

Тогда, при любом, ( Е К имеет .место оценка

М = sup If (0| < (3.22)

С ек

IПО - /(Со)1 ^ Щ^Т!. (3.23)

г — К — 40 1

Доказательство. Из условия леммы получаем, что функция т(г) = ¡(гг + £0) гармонична в О и |т(г)| ^ М для любого г Е О, Отсюда следует (см., например, [24, гл. 9, § 2, следствие 2]), что почти всюду па Т функция т имеет некасательные конечные предельные значения. Как обычно, сохраним обозначение т(егЬ) для соответствующей предельной функции, определенной почти всюду на Т. Тогда из (3.22) имеем |т(ег4)| ^ М. Кроме того, для любого г = регр, 0 ^ р < 1 выполнена формула Пуассона

1 п 2тг ^

т(г) - т(0) = - т(е V рп cos(n(р - г))сИ (3.24)

^ о П=1

(см. [24, гл. 9, § 2, теорема 3]). Интеграл справа не превосходит выражения

1 /%(е')£ рпм < ^

поэтому оценка (3.23) следует из (3.24). □

Лемма 3.5. Для почти всех р Е (0, 2ж) выполнено следующее утверждение: если, f гармонична в С\С, непрерывна в С\С, и существует производная т£ (Ф(егр))? то

,1Ш ./ШО+Фгр)) ,{Це,гр)) = 02 " .

е^+0 £ 0ПУ ' 1 1

Доказательство. Из следствия 3.1 и леммы 3.2 вытекает, что для почти всех р Е (0, 2п) существует отличный от нуля конечный предел в левой части равенства (3.17) и

ф((1 + £)е гр)=ф(егр)+£ егрф' (егр) + о(е) при +0. (3.25)

Следовательно, для таких р точка ф((1 + £)егр) содержится в круге К£рР (см. (3.18)) при всех достаточно малых £ > 0. Применим теперь лемму 3.4, полагая

Со = ф(егр) +еегрф'(егр), г = ^ |ф'(егр)| , С = ф((1 + фгр),

где £ Е (0,6(р)) - достаточно мало. Поскольку круг К£рР содержится в круге

3

?гР\I -и I г,1,'(РгР\

{zE C : |z| ф(егр) \+¡5(р)\ф'(егр) | }

2

существует константа Мр, те зависящая от £, такая что

sup |/| ^ Мр для всех £ E (0, <5(р)). к

Тогда из (3,25) и леммы 3,4 получаем

f (ф((1 + e)ег^)) — ¡(ф(еlv) + ее г1рф'(ег^)) = о(е) при e ^ +0. (3.26)

Далее, из определения нормальной производной имеем

д_1 (ф(егп) = lim Щеiip) + £е*ф(е*)) — ¡(ф(е*)) дп^ ' Дто е|ф'(е^)| .

Из этого равенства и соотношения (3.26) следует утверждение леммы 3.5. □

4. Доказательство теоремы 1 Пусть функция f удовлетворяет условиям теоремы 1. Докажем, что G - круг и

m = R in ^,

где го, R - центр и радиус круга G.

Рассмотрим функцию u(z) = /(ф(г)), ще ф - функция, определенная в § 2. Из условия теоремы 1 получаем, что u гармонична в области А и непрерывна в А, при этом

u(e%if) = 0 для любого p G [0, 2ц]. (4.1)

Кроме того, из условия 3 теоремы 1 и равенства (3.8) следует, что

u(z) = о (|z|2) при z ^ +œ. (4.2)

При любом фиксированном p ^ 1 функции u(pe%v) соответствует ряд Фурье (3.1), в котором функции un(р) являются непрерывными на [1, +œ) (см. (3.2)). Из гармоничности u и соотношения (3.4) получаем, что функции un(p)emtp являются гармоническими в А при п

uo(p) = ао + Ьо inр, un(p) = апрп + Ьпр-п при п = 0,

где p ^ 1 и ап, Ьп - комплексные постоянные. Из равенств (4.1) и (3.2) следует, что un(1) = 0, откуда

а0 = 0 и ап + Ьп = 0 при п = 0. (4.3)

Далее, из (3.3) и (4.2) получаем

un(p) = о(р2) при р ^ +œ.

Последнее равенство означает, что ап = 0 и Ь-п = 0 при п ^ 2. Сопоставляя это с (4.3), приходим к выводу, что при |z| ^ 1

u(z) = b0 in |z| + а1 ^z — + а-1 ^--z^j , (4.4)

где черта означает знак комплексного сопряжения. Из этого равенства находим

lim u ») — u (в») = ьо + 2а 1 е- — 2а_iе-

£—+0 £

для любого p G [0, 2ц]. Отсюда и из леммы 3.5 заключаем, что

Ьо + 2 аге-гv — 2а-i elv = |h(e^)| (4.5)

для почти всех p G [0, 2ц],

По теореме Фейера-Рисса (см. [25, приложение 5]) неотрицательный тригонометрический полином в левой части равенства (4.5) можно представить в виде

Ьо + 2а1 e-iv — 2а-1 év = |а + ße^|2, p G [0, 2ц], (4.6)

где комплексные постоянные a,ß таковы, что

а + ßz = 0 при z G D. (4.7)

Докажем, что 3 = 0, Предположим противное, тогда из (4,7) имеем |а| ^ |/1 > 0, Применяя лемму 3,1 и следствие 3,2, отсюда заключаем, что функции

= , Ш= 1

(а + )2' 1ц(г)

принадлежат классу Нр (О) при р £ (0,1/4), Кроме того, из (4,5) и (4,7) следует, что

|Лх(е * )| = Ые *)| = 1

для почти всех <р £ (0, 2тг). В силу теоремы В.И. Смирнова (см. [24, гл. 9, § 4, теорема 4]), это означает, что |h1(z)| = 1 при всех г £ О. Следовательно, Ъ(г) = 7(а2 + 2 а/г + 32^2), где 7 £ С, |7| = 1. Учитывая (3.10), отсюда получаем 3 = 0, что противоречит нашему предположению. Данное рассуждение и формулы (4.5) и (4.6) показывают, что 3 = а1 = а-1 = 0 и |h(eгlp)| = Ь0 для почти всех <р £ (0, 2ц). Как и выше, отсюда и из теоремы В.И. Смирнова заключаем, что Ъ - тождественная константа. Учитывая (3.10) и (3.8), имеем Ъ(£) = а в О и ф(г) = аг + ф0 в А, Таким образом, полагая Я = а иг0 = ф0, приходим к утверждению теоремы 2.1.

5. Доказательство теоремы 2

Очевидно, при любом достаточно малом е £ (0,1) выполнено неравенство

21

3 + < — # (5-1)

Рассмотрим функцию

А£ = [г £ С : |г| > 1 — е]. 21

Ф(г) = --" а;— 271? • --£ А-. (5'2)

Для любых г1, г2 £ Ае имеем оценки

3

|^ > (1 — е)2, \z-2 + (г^)-1 + г-2 | -^. (5.3)

1 2 (1 — )2

Кроме того, из (5.2) находим

Ф(*1) — Ф(^2) = (^ — ^2^1 + ^ (2 + (^-2 + (*2*2)-1 + ) .

Учитывая неравенства (5.1) и (5.3), из последнего соотношения заключаем, что Ф(г1) = Ф(г2) при г1 = г2. Таким образом, Ф однолистна в области Ае. Положим

Ф(А) = [г£ С :г = Ф(С),С £ А,],

и обозначим через д обратную к Ф функцию, действующую из Ф(Ае) на Ае. Из формулы (5.2) следует, что при любом г £ Ае выполнены неравенства

N — ^77^7 —о», / -ля < |Ф(^)| < N + ^77^7 + 1

3(1 — е) 27(1 — е)я 1 1Л 1 1 3(1 — е) 27(1 — £)я'

2 1 2 1

|г| — - 27(1—^ < |9 ( <|г| + 3(12—?) + 27(1^ (5'4)

при всех г £ Ф(Ае), Положим теперь

С = С \ Ф(А), где Ф(А) = [х£ С :г = Ф«),< £ А].

В силу однолистности Ф множество С является ограниченной областью с гладкой жорда-новой границей Г = {г Е С : г = Ф(С), ( Е Т}, Кроме того, поскольку

8 44

Ф(1) = -ф(-1) = __ и ф(, ) = -ф(-) = __,,

С

Рассмотрим функции

Л = 1п|9|. ¡2 = ^1п 1д\- ^е^) ■ ¡3 ^Ч^Н* (92 - £

Из определения д следует, что д голоморфна в Ф(Ае) и не обращается в нуль. Отсюда получаем, что функции /2, /3 являются гармоническнмп в С \ С и принадлежат классу С\ С) Используя также (5,4), приходим к выводу, что функции ¡2, /3 удовлетворяют всем требованиям теоремы 2,2,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. J. Serrin A symmetry problem in potential theory // Arch. Rational Anal. Mech. 43:1, 304-318 (1971).

2. L.E. Payne, G.A. Philippin On two free boundary problems in potential theory //J. Math. Anal. Appl. 161:2, 332-342 (1991).

3. C.A. Berenstein, M. Shahshahani Harmonic analysis and the Pompeiu problem // Amer. J. Math. 105:5, 1217-1229 (1983).

4. V.V. Volchkov Integral Geometry and Convolution Equations, Kluwer, Dordrecht (2003).

5. R.L. Fosdick, J. Serrin Rectilinear steady flow of simple fluids // Proc. R. Soc. Lond. A. 332:1590, 311-333 (1973).

6. G.A. Philippin On a free boundary problem in Electrostatics // Math. Meth. Appl. Sci. 12:5, 387-392 (1990).

7. O. Mendez, W. Reichel Electrostatic characterization of spheres // Forum Math. 12:2, 223-245 (2000).

8. B. Sirakov Symmetry for exterior elliptic problems and two conjectures in potential theory // Ann. Inst. Henri Poincaré, Anal, non Linéaire. 18:2, 135-156 (2001).

9. W. Reichel Radial symmetry for an electrostatic, a capillarity and some fully nonlinear over determined problems on exterior domains / / Z. Anal. Anwendungen. 15:3, 619-635 (1996).

10. L. Zalcman A bibliographic survey of the Pompeiu problem // Approximation by solutions of partial differential equations (ed. Fuglede B. et. al), Kluwer, Dordrecht, 185-194 (1992).

11. V.V. Volchkov, Vit.V. Volchkov Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces, Birkhâuser, Basel (2013).

12. S.A. Williams Analyticity of the boundary for Lipschitz domains without the Pompeiu property // Indiana Univ. Math. J. 30:3, 357-369 (1981).

13. L.A. Caffarelli, L. Karp, H. Shahgholian Regularity of a free boundary with application to the Pompeiu, problem // Ann. of Math. 151:2, 269-292 (2000).

14. C.A. Berenstein, P. Yang An over determined Neumann problem in the unit disk / / Adv. in Math. 44:1, 1-17 (1982).

15. N.B. Willms, G.M.L. Gladwell Saddle points and over determined problems for the Helmholtz equation // Z. Angew Math. Phvs. 45:1, 1-26 (1994).

16. P.W. Schaefer On nonstandard over determined boundary value problems / / Nonlinear Analysis. 47:4, 2203-2212 (2001).

17. N. Garofalo, E. Sartori Symmetry in exterior boundary value problems for quasilinear elliptic equations via blow-up and a priori estimates // Adv. Diff. Eqs. 4:2, 137-161 (1999).

18. W. Reichel Radial symmetry for elliptic boundary-value problems on exterior domains // Arch. Rational Mech. Anal. 137:6, 381-394 (1997).

19. G.A. Philippin Applications of the maximum principle to a variety of problems involving elliptic differential equations // Pitman Res. Notes Math. Ser. 175, 34-48 (1988).

20. A.D. Alexandrov A characteristic property of the spheres // Ann. Mat. Рига Appl. 58:1, 303-315 (1962).

21. L.E. Payne, P.W. Schaefer Duality theorems in some over determined problems / / Math. Methods in the Appl. Sciences. 11:6, 805-819 (1989).

22. M. Choulli, A. Henrot Use of the domain derivative to prove symmetry results in partial differential equations // Math. Nachr. 192:1, 91-103 (1998).

23. B. Brandolini, C. Nitsch, P. Salani, C. Trombetti Serrin type overdetermined problems: an alternative proof // Arch. Rational Mech. Anal. 190:2, 267-280 (2008).

24. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

25. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.

Валерий Владимирович Волчков, Донецкий национальный университет, ул. Университетская, 24, 283001, г. Донецк

E-mail: valeriyvolchkov@gmail.com

Виталий Владимирович Волчков, Донецкий национальный университет, ул. Университетская, 24, 283001, г. Донецк E-mail: volna936@gmail. com