Обоснование содержания авторского учебного пособия по математическому анализу для студентов-физиков Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Д.В. Ягодин. Роль инноваций в социальном развитии / Математика, физика, экономика и физико-математическое образование. Ч. 1: Материалы конференции «Чтения Ушинского» физико-математического факультета. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2006. С. 159-165.

4. Д.В. Ягодин. Экономика постиндустриальной сферы // Ярославский педагогический вестник.

2005. № 1. С. 92-95.

5. Закон Российской Федерации «Об образовании». 11-е изд. М.:Ось-89, 2006.

6. И.В. Богданов. Методика расчёта суммарного объёма знаний // Инновации в образовании.

2006. №5. С. 20-25.

7. Инновационный менеджмент: Концепции, многоуровневые стратегии и механизмы инновационного развития: Учеб. пособие / Под ред. В.М. Аньшина, А.А. Дагаева. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Дело, 2006.

8. Инновационный менеджмент: Учебное пособие / М.: КНОРУС, 2005.

9. Колесникова И.А. Педагогическое проектирование: Учеб. пособие для высш. учеб. заведений / И.А. Колесникова, М.П. Горчакова-Сибирская / Под ред. И. А. Колесниковой. М.: Издательский центр «Академия», 2005.

10. Концепция государственной инновационной политики Российской Федерации на 2002-2005 годы / Инновации. 2002. №4. С. 3-10.

11. Медынский В.Г. Инновационный менеджмент: Учебник. М.: ИНФРА-М, 2005.

12. Подластый И. П. Педагогика. Новый курс: учеб. для студ. высш. учеб. заведений: в 2 кн. М.: ВЛАДОС, 2004. Кн. 1. Общие основы. Процесс обучения.

13. Фатхутдинов Р.А. Инновационный менеджмент: Учебник, 4-е изд. СПб., 2003.

14. Федеральный закон «О науке и государственной научно-технической политике». М.: Ось-89, 2001.

15. Чекмарев В.В. Система экономических отношений в сфере образования: Научная монография. Кострома: Изд-во КГУ им. Н.А. Некрасова, 1998.

16. Ягодин Д.В., Россиина Н.С. Экономика отрасли: Учебно-методическое пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2006.

В.Ф. ЧАПЛЫГИН Особенности учебного пособия по математическому анализу для студентов-физиков классических университетов

Основными источниками информации для студента являются лекция и практическое занятие (устные источники информации), а также учебник, учебное пособие и задачник (письменные источники). Именно из них сту-

дент получает первоначальные математические знания и приобретает первоначальные навыки практической деятельности. В каком отношении они находятся? Какое место занимает в этом ряду учебное пособие?

Задача образовательного процесса состоит в том, чтобы способствовать приобретению и усвоению знаний студентами. Знание

- это интеллектуальный продукт, а не просто информация, заложенная в память. Отсюда следует, что главное состоит в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность обучающегося. При изучении математики такой привычный термин, как «передача знаний», абсолютно не приемлем, поскольку речь может идти лишь о приобретении знаний самим студентом и выработке соответствующих умений и навыков. К сожалению, зачастую студент формально, механически воспринимает информацию и просто запоминает ее. Между тем даже такие поборники строгости, как Н. Бурбаки, признавали: «Уразумения существа математики, именно этого не может дать логический формализм, взятый сам по себе».

Предназначение лекции состоит не в пересказе учебника, она скорее должна трансформировать его содержание, а не транслировать его. Лектор должен выделять принципиально важные моменты, акцентировать внимание слушателей на тех вопросах, которым студент может не придать значения, объяснять так называемые «тонкие» места и особо останавливаться на рассуждениях, являющихся традиционно трудными для понимания. Можно сказать, что чтение лекции должно быть рельефным, а не ровным. Однако возможности лектора ограничены временными рамками, и даже опытный лектор не в состоянии дать все, что он считает нужным. Кроме того, работа в аудитории должна сопровождаться самостоятельной работой студента, и помочь в ней призвано учебное пособие. Ниже пойдет речь о пособии по математическому анализу для студентов-физиков, которым автор читал эту дисциплину в течение 35 лет.

Студенты-физики изучают математический анализ одной и нескольких переменных всего один год, на первом курсе. Понятно, что они сталкиваются с огромными трудностями, связанными со сложностью изучаемого материала, его большим объемом и высокой концентрацией изложения. Уровень школьной

подготовки оставляет желать лучшего. Многие выпускники школ имеют весьма поверхностное представление о вещественном числе, слабо владеют функциональной символикой, не знают свойства функций (четность, периодичность, композицию) и их графиков и т.д. Отчасти низкий уровень подготовки школьников обусловлен объективными причинами, поскольку изучение в средней школе элементов математического анализа нельзя поставить на строгую логическую основу без теории действительных чисел, понятия предела последовательности и функции, непрерывности функции. Представления вчерашних учеников о производной, дифференциале, интеграле, будучи лишенными строгого логического обоснования, являются формальными и мешают им вникать в суть этих понятий на том уровне, который присущ университетскому образованию. Студентов приходится переучивать, переубеждать, показывать логические пробелы в рассуждениях, выявлять несовершенство их представлений.

Каким же должно быть учебное пособие? Одна из разновидностей учебных пособий дает краткое изложение теоретического материала с небольшим количеством примеров, в основном иллюстративного характера. Другая разновидность нацелена в основном на помощь студентам в решении задач. Представляется, однако, целесообразным ставить перед учебным пособием более серьезную педагогическую задачу - помочь студенту выявить и осознать степень усвоения им изучаемого материала. Такое пособие прежде всего адресовано думающему, серьезному студенту, желающему глубоко и сознательно усвоить математический анализ. Оно не будет кратким изложением учебника, не будет дублировать лекцию, а будет ее продолжением. Можно указать близкие по духу книги [1, 2] под редакцией В.Ф. Бутузова и [3, 4] под редакцией В. А. Садовничего. По мнению автора, достоинства этих книг могут быть усилены, если изложить теоретический материала менее подробно и уменьшить количество стандартных задач, предложив вместо этого другие задачи, дающие студенту пищу для размышления, будящие его мысли и сомнения, заставляющие его задавать вопрос «почему?».

Первое, что должен усвоить студент, □ это определения основных понятий, ибо от их понимания зависит успех в изучении матема-

тического анализа. Если студент правильно формулирует определение, но не может привести пример, его иллюстрирующий, не может объяснить, что оно теряет, если упустит какое-либо условие или заменит его другим, то это означает, что он не понимает определения. Важность правильного введения определений подчеркивает известный французский математик М. Фреше: «Если что-нибудь действительно необходимо, так это - уничтожение догматического метода: не давать никаких определений, не указав, как они возникли, для чего они нужны, как они применяются». То же самое относится и к теоремам. Если студент правильно формулирует теорему и безошибочно воспроизводит доказательство, но не видит область применения теоремы, следствия из нее, существенность условий, их роль, то нельзя говорить, что он ее понимает. В силу этого потенциальный автор пособия вынужден ставить перед собой серьезную цель: уделить особое внимание задачам теоретического содержания и контрольным вопросам, размышляя над которыми студент сможет выяснить, правильно ли им понято определение или теорема. В частности, естественно предложить ошибочные утверждения, которые необходимо опровергнуть с помощью контрпримеров. Разумеется, в пособии необходимо привести формулировки определений и теорем с подробными комментариями и примерами, однако доказательства целесообразно воспроизводить лишь в тех случаях, когда они отличаются от общепринятых.

Очевидно, что в пособие для студентов-физиков необходимо включить основные разделы курса математического анализа: теорию вещественного числа, числовые последовательности, предел числовой последовательности и функции; непрерывные функции и их свойства, производную, дифференциал, свойства дифференцируемых функций; числовые и функциональные ряды; неопределенный и определенный интегралы, функции нескольких переменных, их дифференцирование и интегрирование.

Для того, чтобы дать более конкретное представление об авторском опыте преподавания и о сформированной на базе этого опыта педагогической философии, приведем краткое содержание и наиболее выразительные задачи двух разделов: «Непрерывные функции» и «Дифференцируемые функции и их свойства».

В разделе «Непрерывные функции» естественно сформулировать различные определения непрерывности функции в точке, провести подробный анализ основного предельного соотношения lim f (x) = f (x0), вы-

X—— Xq

яснить причины его нарушения. Естественно также доказать равносильность определений, их применение к доказательству непрерывности элементарных функций (sin x, ax, |х| и некоторых других).

Обсуждая теорему о непрерывности композиции непрерывных функций, естественно привести пример, показывающий, что непрерывность внутренней функции не является необходимым условием. Так, если fx)=x2, а x(t)=1 в рациональных и x(t)=-1 в иррациональных точках, то функция f(x(t)) =1 для всех t и, следовательно, непрерывна, а внутренняя функция x(t) разрывна всюду. Разумеется, читателю нужно предложить построить аналогичный пример самим.

Теорему о непрерывности обратной функции целесообразно проиллюстрировать, применив ее к доказательству непрерывности

функции n4x для любого натурального п, а также логарифмической и обратных тригонометрических и гиперболических функций.

Примеры вообще должны играть важную роль. Так, на примерах можно показать, как используется непрерывность при вычислении пределов. Необходимо также привести примеры на применение известных пределов:

, sin x ,

1. lim-----= 1,

x—0 x

2. lim (1 + X) X = е ,

X——0

3. to=1,

X—0 X

примером служит функция ф(х)=

4. lim

= 1,

X2 - 2

опре-

деленная на множестве рациональных чисел отрезка [1; 2]. На этом множестве функция непрерывна, так как если гп ^г0 при п^<х> (где гп и г0 рациональны), то ф(гп) ^ф(г0). Однако теоремы Вейерштрасса, Больцано-Коши, Кантора, описывающие свойства функций, непрерывных на отрезке, не выполняются.

В пособии обязательно должны быть контрольные вопросы. Предложим некоторые из них, являющиеся, по мнению автора, нестандартными.

1) Может ли сумма, разность, произведение функций, разрывных в точке х0, являться функцией, непрерывной в этой точке?

2) В какой точке функция г х, если х рационально,

является не-

- х, если х иррационально

прерывной?

3) При каких значениях а и Ь функция

f(X)=

f(X)=

x + 3, если х < 0,

2

ax + b, если 0 < x < 1,

непрерывна на

4

если х > 1

всей числовой прямой?

4) Тот же вопрос для функции

f(X)=

- 2 sinX, если х <-:

П

cos X, если х >—.

2

х^0 X

5 (1 + х)“-1

5. пт------------= а.

х^0 X

Особую роль играют, образно говоря, «экзотические» функции. Примером может служить функция, непрерывная во всех иррациональных точках и разрывная в рациональных. Она может быть определена следующим образом: если х - рациональное число, равное

— (дробь несократимая), то ^х)= —, а если х

п п

- иррациональное число, то Дх)=0. Другим

Предполагается построить графики функций при найденных значениях а и b.

5) Как доопределить функцию

fx)=x sin — (x?0) в точке х=0, чтобы она была непрерывной в этой точке?

6) Тот же вопрос для функции

ф(х)=1-СС5£ (x^q).

x

7) Докажите, что уравнение х5-3х-1=0 имеет хотя бы один корень на интервале (1;

2).

8) Докажите, что если функция f(x) непрерывна на всей оси, то функция

f(X)=

—с, если f (х) < —с, f (х), если\ f (х)| < с, с, если f (х) > с

1

X

2

1

X

е -1

непрерывна для любого положительного с. Возьмите конкретную функцию _Дх) и постройте графики для нее самой и для функции /с(х) для различных значений с> 0.

9) Исследовать на непрерывность и построить графики функций:

а) у= Пт —1— (х >0);

п^х 1 + хп

б) у= Пт ^ 1 + х2п ;

в) y= lim cos

n—TO

2n

X;

г) y= lim

ln(1 + eXt)

1 1п(1 + в1)

Естественно, что в разделе «Дифференцируемые функции и их свойства» предусматривается работа с определениями производной и дифференциала. Приводятся примеры функций, не имеющих производной в одной или нескольких точках (эти точки можно задать конкретно) и бесконечном множестве точек. В качестве упражнения студентам предлагается самостоятельное конструирование подобных примеров.

При рассмотрении теорем Ферма, Рол-ля, Коши, Лопиталя, формулы Тейлора целесообразно обсудить их геометрическую интерпретацию, область применения. В частности, важно показать, что если хотя бы одно условие теоремы нарушается, то можно привести пример функции, для которой заключение теоремы не выполняется. Вместе с тем важно обратить внимание на то обстоятельство, что даже при невыполнении всех условий теоремы существуют функции, для которых заключение теоремы является верным. Этот факт достаточно показать на примере теоремы Ролля, а для теорем Лагранжа и Лопиталя студенты могут сделать это самостоятельно. Работа такого рода призвана помочь студентам выяснить соотношения между необходимыми и достаточными условиями теоремы и понять специфику утверждений, являющихся критериями.

При обсуждении вопросов, связанных с необходимыми и достаточными условиями экстремума, отметим два момента. Что касается необходимых условий, то студены часто находит лишь точки, в которых производная существует и равна 0, однако забывают о точках, где производная отсутствует, хотя в них также возможен экстремум. Достаточные условия известны студентам в трех видах. Пер-

вое достаточное условие предполагает существование 5>0 такого, что для левой 5-окрестности точки x0, то есть для хе( x0- 5, x0), производная имеет один знак, а для правой 5-окрестности точки x0, т.е. для хе( x0, x0+ 5), производная имеет другой знак. В этом случае x0 является точкой экстремума. Интересен вопрос, верно ли обратное утверждение, а именно: если x0 - точка экстремума, то существует такое 5>0, что в левой и правой окрестностях точки x0 производная имеет разные знаки? Приведем пример, показывающий, что это не так. Рассмотрим функцию fx)=1-

x2 ^2 + sin—j , если xA), f(0)=1. Очевидно, что

х=0 - точка максимума и fr(0)=0, что легко проверить по определению. Для xA) производная f' (х)=-4х-2х sin — + cos — . Совершенно

x x

очевидно, что ^(х) в сколь угодно малой односторонней окрестности точки х=0 принимает значения разных знаков. Для самостоятельного рассмотрения студентам можно

предложить функцию fx)=x4 ( 2 + sin— |, если

хА0, и Д0)=0, которая имеет абсолютный (глобальный) минимум в точке х=0, но в любой односторонней окрестности нуля производная принимает как положительные, та и отрицательные значения. Эти два примера показывают, что если х0 - точка максимума функции У(х), то функция может и не быть монотонно возрастающей в некоторой левой окрестности точки х0 и, аналогично, не быть монотонно убывающей в некоторой правой окрестности точки х0.

Приведем некоторые задачи и контрольные вопросы.

1) В каких точках функция не имеет производной:

а) у= |в1п х|; б) у=в1п|х|; в) у=х3(х2-1)( х2-4)2|; г)

у=

X + 2, если х <-1,

2

2

2X - 4, если х > 2.

если -1 < X < 2,

Существует ли у этих функций экстре -мум в точке 0?

2) Найти экстремумы функций:

а) у= | х|еИ|; б) у= 3 (х +1)2

в) у= ^-Г ; г)

у=

^(х +1)2 -

3/с

х -1)2

В каждой из этих задач предполагается схематично построить график исследуемой функции.

3)

Ах)=

Доказать,

если х ф 0,

что функции

и

ф(х)=

0, если х = 0

1

хв х , если х А 0, имеют в точке х=0 произ-0, если х = 0 водные любого порядка, и все они равны нулю в этой точке, но т(х) имеет в точке х=0 минимум, а ф(х) экстремума в точке х=0 не имеет. Построить графики этих функций.

4) Докажите, что функция У(х)= х2, если х рационально,

имеет производ-

- х2, если х иррационально ную лишь в точке х=0.

5) Существует ли производная функции

3

у= |х| 2 в точке х=0? А в остальных точках?

6) При каких значениях а функция у= | х|а имеет производную в точке х=0?

7) Приведите примеры двух функций, не имеющих производных в некоторой точке, таких, что их произведение дифференцируемо в этой точке.

8) Приведите примеры функций, разрывных в одной или нескольких точках (и даже на всей числовой оси), квадраты которых имеют производную в любой точке.

9) Верна ли теорема Коши для функций Дх)=х2, g(x)= х3 на отрезке [-1; 1]?

10) Докажите теорему Лагранжа как следствие теоремы Коши.

Библиографический список

1. Математический анализ в вопросах и задачах / Под ред. В.Ф. Бутузова. М.: Высшая школа, 1984. 480 с.

2. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных / Под ред. В.Ф. Бутузова. М.: Высшая школа, 1988. 288 с.

3. Задачи и упражнения по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. М.: МГУ, 1988, 416 с.

4. Математический анализ в задачах и упражнениях/ Под ред. В. А. Садовничего. М.: МГУ, 1991, 352 с.

5. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967. 251 с.

Г.И. ХУДЯКОВА

К изучению понятия эластичности в курсе математического анализа для студентов экономических специальностей

Попытка дать экономическую интерпретацию производной функции сталкивается с тем, что студент первого курса не владеет еще в достаточной степени понятиями экономической теории, и ему достаточно сложно воспринимать такие понятия, как предельная полезность, предельные издержки, предельная склонность к потреблению и накоплению. Поэтому имеет смысл использовать более абстрактные термины для того, чтобы выяснить экономический смысл производной, термины «усилия» и «результат». Пусть непрерывная функция у=/(х) описывает зависимость между затраченными в экономической деятельности усилиями х и результатом этих усилий у. Тогда отношение — есть средняя эффектив-Ах

ность усилий, прилагаемых на уровне х, а

предел Пт аУ = у'(х) можно рассматривать

Ах^0 Ах

как предельную эффективность экономического процесса У(х) на уровне усилий х. И только после такой достаточно абстрактной интерпретации понятия производной можно привести следующие конкретные примеры.

- Если функция у=/(х) описывает зависимость затрат у на производство продукции от объема выпускаемой продукции х, то производная у = /'(х) представляет собой предельные издержки производства при объеме производства х.

- Если функция у=/(х) описывает зависимость полезности у блага от объема потребленного человеком блага х, то производная у = /'(х) представляет собой предельную полезность этого блага при уровне его потребления х.

- Если функция у=/(х) описывает зависимость общей выручки у от объема продаж х, то производная у = /'(х) представляет собой предельную выручку при уровне продаж х.

Поскольку при описании динамики экономических процессов удобнее пользоваться не абсолютными приращениями аргумента и

1

2

х

Є