Аппроксимационная производная как многозначное отображение Текст научной статьи по специальности «Математика»

АППРОКСИМАЦИОННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

21

АППРОКСИМАЦИОННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ КАК МНОГОЗНАЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

С, И. Бигильдеев

Челябинский государственный университет

Исследуются свойства аипроксимационнои производной функции одного действительного переменного [1, 2]. Основное внимание уделено вопросу существования предельных значений производной и её связи с другими обобщёнными производными [3, 4].

1. Задача аппроксимации

Пусть функция f(x) осуществляет отображение некоторого отрезка [с, d] числовой оси R в R Относительно функции f(x) будем предполагать, что она суммируема с квадратом на [с, d\ по конечной мере Лебега ц.

Зафиксируем точку xq из внутренности отрезка [с, ci]. Под pr(s) будем понимать неотрица!«льную функцию из Li, заданную в некоторой окрестности начала координат и удовлетворяющую следующим условиям:

• pr(s) > 0 Для s 6 и Pr(s) = 0 для s fir, где Г2Г — множество точек из рассматриваемой окрестности; г — радиус наименьшего шара В, = [—г, г], содержащего Ог;

• ц{Пг) ф 0.

При этом будем предполагать, что г настолько мало, что шар Вг(хо) = + ВГ содержится в отрезке [c;rf].

Следуя работе [1], рассмотрим задачу локальной линейной аппроксимации функции f(xо + s) в шаре Вг с весовой функцией рТ.

[f(x0 + s) - а0 ~ ais]2pr(s)ds = / [f(x0 + ь) - а0 - ais]2pr(6)ds -+ min (1) J J «»."i

вг

Решением данной задачи являются числа (1q, ai. удовлетворяющие следующей системе уравнений:

где Су = / рг{ь)<1я. а — Цгг^ ||(' — положительно определённая матри-Пг

ца Грама [5], составленная из функций х/рТС6)«; а1 — (ао,аО, у1 —

(7о> 71). Ъ ~ I /(хо + з)а3рг(8)Н8 — момент порядка $ функции /(ж).

пг

Следовательно, а — а -у. 1о есть а о =--:-

det а

-сЧоТо + ^ooTi j , 2

-—-, где det <т = <7ц<г00 - сг{0.

det а

22

С. И. БИГИЛЬДЕБВ

Учитывая выражения для моментов jo, ji, аппроксимационную производную a i = ai(pr( )) представим в следующем виде:

ai = J f(x0 + g)-0"1^^00-Pr (s)<fe = J f(xо + s)~~~ipr(s)ds, (2)

П,

<Г 10

где sr — -.

coo

Учитывая, что для функции /(ж) = —С — const аппроксимационная производная равна нулю, выражение (2) представим в виде:

«г = / №о + s) - = [ Í&+1.l=Çqr(.)d.,

J det <r J s — sr

Пг íír

, , <T00(s - Sr )2

где qr(s) = ---pr(s) > 0.

Поскольку

j qr(s)ds = J(s2 - 2ssr - sr)pr(s)ds =

nr nr

""00 f O - -2 i ^00 r <T?on ,

-7—- crn - 2<rl0Sr - ÍV^OO = y—- o-ií--= i« !

déte - detcr ¡roo

то функцию qr(s) можно интерпретировать как плотность распределения некоторой случайной величины г) в шаре Вг. И если как в [1] функцию pr(s) задавать в виде плотности распределения случайной величины то r¡ будет функцией от этой случайной величины

В силу важности для дальнейших рассуждений полученный результат сформулируем в виде леммы.

Лемма 1. Для любой неотрицательной функции pr(s) из L-¿ с носителем в области Ог с fi(Qr) 0 решение задачи аппроксимации (1) даёт линейная функция, коэффициент которой при первой степени не зависимо от выбора числа С является средним значением конечно-разностных отношений

f(xо + s) - С s - fifia Qr, где s г = f spr(s)ds/ f pr(s)ds. nr Qr

Следствие. Для случайной величины х с математическим ожиданием х, распределенной в окрестности рассматриваемой точки хо, аппроксимацион-

fix) - /(*)

ная производная является средним значением конечно-разностных-

X — X

производных аппроксимируемой функции.

АППРОКСИМАЦИОННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

23

Доказательство Пусть функция pr(s) является плотностью распределения случайной величины £ в шаре Вг Тогда sr в формулировке леммы будет средним значением случайной величины £ Выбирая в качестве числа С значение функции / в точке Xq + sT, конечно-разнос хные отношения (3) можем записать в виде

f(xо + s) - f(xо + âr) х0 + s - (х0 + sr)

Таким образом, формулировка следствия дана для случайной величины £ + хо В дальнейшем по аналогии с центрированной случайной величиной весовые функции pr(s), у которых момент первого порядка равен нулю будем называть центрированными Для таких функций а = ( ^ ^ I и

V 0 "и /

s2

?r(s) = —Pr(s) с 11

ЛЕММА 2 Каковы бы ни были числя /? 6 (0,1), Ь > 1 и множества Г2+ с П [—г, 0]) ф 0, /<(ПГ+ П [0, г]) ф 0 при Уг > 0 найдется центрированная весовая функция рг(з) € ¿2 на С и О" ф 0) такая, что будет

выполнено равенство-

I |б |4рг(«)^ |4Рг(«№« (4)

Пгп[-г 0] Пг

Доказательство Пусть

{Ci, если л 6 Î2+ П [0,c*if]

1, если s G П [—а2'',0]

0, в противном случае

где аь«2 € (0,1]

Постоянную С1 подберем из условия равенства нулю момента первого по рядка функции pr(s)

/ S£/S+ /

C'i s ds = 0

n;n[-«2r o] a+n[o,cr,r)

Следовательно,

J ь ds n-n[-«2r 0]

7 '¡d7>

П+П[0 a,r]

24 СИ БИГИЛЬДЕЕВ

В результате получим

] М*Рг(в)йв I и6^

ПгП[-гО] П~Г|[-«2г 0]

Пг / + С! I /

п;п[-о2г0) \п^п[0л,г) )

и1 -г 0 1 ь Г О*!

и>(«*1, а2),

/ *ь<г'

где Ф(а, £>) = °п'уг1 ^ , -07 = {« € [0 г] е П7}

ОП(0 пг]

В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега как функции множе ства Ф(«, Ю) является непрерывной функцией ог а н<! полуинтервале (0,1] Покажем, что Ф(а, О) —> 0 при а —> 0 Для этого в иите! ралах Лебега, задающих функцию Ф, осуществим линейную замену переменных Тогда будем иметь

/ 8Чь

*<«»> = (Ч

6п[0 г]

Но учитывая, что ьь < 5 для « < 1 отношение интегралов в выражении (5) не превосходи I 3 Поэтому Ф(а, О) < а6-1 1 —► 0 при а —>• О

В игоге непрерывная а а (0, 1] х (0,1] функция и)(«1,а2) —1■ 0 при <*] = 1 »2 0 и ш(а1,а2) ~* 1 при «2 = 1, «1 —► 0 Следовательно, каково бы ни было число 0 6 (0,1) найдутся такие значения а^ € (0,1] и а*2 6 (0 1], чаю

^(а1>а2) = Р

Следствие 1 Для числа 6 = 2 соотношение (4) принимает вид

J Я, («)<Ь = ¡3

Следствие 2 Каковы бы ни были числа /? £ (0,1), в € (—г, г) и множества О7, с /¿(07 П [в — г, в]) ф 0, П [л, я + г]) ф 0 при Ут > 0, найдется

весовая функция рг(в) £ наГ2г С 0+и07 (/'(^г) Ф 0) со средним значением ёг, равным в, такая, что будет выполнено равенство

J дг(&)(18 - р

АППРОКСИМАЦИОННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

25

Доказательство. Достаточно заметить, что

„ м = zhî.p is) - Jâ^JiïliifL. ¡a)

qr(S) det <r P,4S) ~ J (s- sr)ipr(s)ds ■ (6j

nr

2. Липшицевы в точке функции

Пусть {рг( )} — семейство весовых функций, определенных в начале первого раздела Предположим, что соответствующие этим функциям шары Вт образуют систему вложенных шаров {Вг} с центром в нуле Тогда при г -+ 0 ц(Пг) <ц{Вг) — О

Рассмотрим точечно-множественное отображение /<\ сопоставляющее каждой точке ха £ (с; с/) множество предельных значений а,1(рг( ))| для

всевозможных семейств функций {рг( )} из ¿2-

Теорема 1. Для того, чтобы на системе весовых функций {рг(•)} С ¿2 ал-ярок ситшиоппая производная а\(рг( )) оставалась конечной при г —» 0 достаточно, чтобы существовала окрестность нуля и число С такие, что конечно- ь разностное отношение (3) в зависимости от я было ограниченной функцией в' этой окрестности почти всюду (п в ).

Доказательство Пусть система функций )} С ¿2 такова, что ЧЬ <

/(^о + *)-С

< L при всех достаточно

+оо и С £ R для которых vrai sup

s 6 Br S - Sr

малых положительных г

Здесь и в дальнешем приставка vrai означает, что имеется в виду существенный супремум, значение которого не зависит от значений функции на любом подмножестве нулевой меры [6].

В этом случае для любой функции рт{ь) из этой системы с областью Пг С В г будем иметь

ЫрЛ)) \< J ~ С qr(s)ds < L J qr(s)d8 = L <+оо

Г!г Пг

Для того, чтобы описать множество функций, предельные значения аппрок-симационных производных которых конечны, нам понадобится понятие функции липшицевой в точке.

Функция /(¡с) удовлетворяет условию Липшица на некотором множестве, если для любых двух точек х^, Х2 этого множества выполняется неравенство

I/(*i)-/(*2)|<£|*i-*2|. (7)

26

С, И. БИГИЛЬДЕЕВ

Если константу L можно подобрать для всех точек некоторой окрестности точки хо, то функцию f(x) называют локально липшицевой (с постоянной L) в окрестности xq (или вблизи хо) [3]. Функцию f(x) будем называть липшицевой в точке хо, если существует такая окрестность этой точки, что условие (7) будет выполняться для данной точки Xq и любой другой точки из окрестности. Понятно, что в этом случае величина константы Липшица L будет зависеть от выбора окрестности. Причём меньшей окрестности будет соответствовать и меньшая константа L. Предельное значение этих констант, полученное в результате пересечения всех окрестностей точки будем называть константой Липшица в точке xq и обозначать L(xq).

Так же как из выполнения условия Липшица на множестве следует липши-цевость функции вблизи каждой внутренней точки множества, так и из липши-цевости вблизи точки следует липшицевость функции в самой точке. Обратное же не верно. Например, функция f(x) = х ■ sin(l/х) при х ф 0 и /(0) = 0 является липшицевой в точке х — 0 с константой ¿(0) = 1. Липшицевой вблизи нуля она не является, так как в сколь угодно малой окрестности нуля найдут-2 2

ся точки Xi = ————— и ж2 = .., ■ _, , для которых неравенство (7) будет (4 к + 1)тг (4 к + 5)тг

нарушено при сколь угодно большой константе L.

Очевидно, что из липшицевости в точке следует непрерывность функции в точке. В то же время она не гарантирует непрерывности в окрестности как локальная липшицевость. Например, функция f(x) —\х\, если х — рациональное и f(x) — ¡х|, если х — иррациональное является липшицевой в нуле с константой ¿(0) = 1 и разрывна во всех точках кроме нуля. С другой стороны, не всякая непрерывная функция является липшицевой в точке. Так /(х) — \J\x\ в точке х = 0 таковой не является.

В общем случае для липшицевости функции в точке необходимо и достаточно, чтобы верхняя /* и нижняя /» производные Лини [3] в»этой точке были конечны. То есть, чтобы /*(хо) = lim sup ^^—<-foo и

О X — Хо

f*(xo) = lim infMzi(f£)>_00. При этом Llxa) = тахШ/*|, |Д|}. А х-+х0 Х — Xq

если функция дифференцируема, то L(tq) будет равна модулю производной функции в этой точке.

Теорема 1 имеет два очевидных следствия.

Следствие 1. Для того, чтобы множество предельных значений анлроксима-

ционной производной | Нт «](Рг( ))| функции / для систем центрированных

весовых функций из ¿2 было ограничено достаточно, чтобы аппроксимируемая функция была эквивалентна [7] липшицевой функции в точке, в которой вычисляется производная.

Доказательство. Утверждение следует из того, что значения агшрокси-мационных производных для эквивалентных функций совпадают.

АППРОКСИМАЦИОННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

27

Следствие 2 Для того, чтобы аппроксимационная производная на любых весовых функциях из L-À в пределе оставалась конечной достаточно, чтобы аппроксимируемая функция была эквивалентна липшицевой функции вблизи точки, в которой вычисляется производная.

Доказательство. Достаточно заметить, что для каждой функции pr(s)

Вт-

Приведённые выше утверждения не дают представления о структуре множества предельных значений аппроксимационной производной липшицевых функций. Прежде всего определим это множество для липшицевых в точке функций. При этом будем рассматривать только системы центрированных весовых функций. Множество предельных значений аппроксимационной производной но. таких системах весовых функций обозначим •{ lim aj >

lr-*o J с

Сначала предположим, что функция f(x) в точке жо непрерывна и имеет конечные правую и левую производные. Тогда для центрированной функции pr(s) из формулы (3) получим:

/ f{xо + s) - f(x0)

ai = / —1----——qr(s)ds.

j s

nr

Из множества QT выделим множество Q'r неотрицательных значений переменной s и разобьём интеграл на два:

ff(x0+s)-f{xо) / /(х0 +s)-Дж0) , w ai =----qr(s)ds + / -—-qr(s)ds.

n;

Так как функция f(x) имеет конечные левую f'(xo-) и правую /'(жо+) производные, то для Ve > 0 Зг > О такое, что

ГМ _ £ < < /'(жо+) + е V, € (0, г),

Г(хо-) - £ < l&LtAzlM < Г(хо-) + е Ys 6 (-г; 0).

Поэтому в силу свойств функции qr(s) при любых г < г будем иметь.

[f(x0+)-e]ßr < j <

n

- < [f'{xo+) + e]ßr,

[f'{x о-)-,1(1-4.) < J <

< [f'{xo-) + e]{l-ßr),

где 8r = / qr(s)ds и 1 > /?к > 0.

К

Следовательно, для Vr £ (0; г)

loi - ßrf'ix0+) - (1 - ßr)f(xo-)| < e.

28

С. И. БИГИЛЬДЕЕВ

Выделим из множества значений {/?г} последовательность {/?,-,}, сходящуюся при 7*j —> 0 к числу /? £ [0,1]. Тогда при е —► О

ai -/?/'(*о+)+ (1-/?)/'(*,,-).

За счёт выбора системы функций {рг( )} можем в качестве предельного значения /3 получить любое число от 0 до 1. Для этого достаточно взять последовательность чисел /Зг 6 (0; 1), сходящуюся к числу /3 при г —» 0. Тогда в силу следствия 1 из леммы 2 для каждого числа Д. при любом сколь угод но малом г > 0 найдётся центрированная функция pr(s) € L-z, для которой / qr(s)ds - f)r. П'г

В итоге мы получили следующее утверждение.

Теорема 2 Если функция f(x) в точке хо непрерывна и имеет конечные правую /'(жо+) и левую f'(xо—) производные, то множество предельных значений аппроксимационной производной ■! lim a-t !> в точке Го для центрирован-

Lr-»0 J с

ных весовых функций из L2 есть отрезок, совпадающий с выпуклой оболочкой conv{f'(xо-); /'(*<>+)}

Следствие 1. Если f(x) £ С(хо), af'(xo-), существенные значения верхнего Ad и нижнего правых производных чисел конечны, то

<lirn аЛ = conv{f'(x0-), Ad, Ad}

чг—>0 J с

Дока 5ателбство. Пусть между числами

4 г f{x0+s)~ f{x0) . . f{x0 +s) - f{x0)

Ad — lim vrai sup -, Xd — nm vrai inf----—-— и

j—+o s +0 s

f'(xQ — } выполняются следующие соотношения. Xd < /'(xq—) < Ad, A d < A Рассмотрим две системы множеств:

D+ = {D?}, D-={D;}, f(xQ +s) - f(x0)

где

0 < r < 1, D+

s > 0 :

DZ

s < 0 :

f(x0 + s) - f(x0)

f'{x 0-)

< r

< r

Так как в определении числа А^ берутся во внимание только множества ненулевой меры, то /<(!>+ П [0;г]) ф 0 и П [0; г]) ф 0 для Уг > 0. От-

метим также, что является системой вложенных множеств, то есть для г 1 < 7*2 С , а О" — система стягивающихся к нулю отрезков.

АППРОКСИМАЦИОННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

29

s

/(•со + s) -/ы

s f(x0+s) - Л«о)

В результате, для любой системы центрированных функций {рг( )} с ¿2 получим, что для Ve > О 3г* < е такое, что при Vr £ (0,7-*]

<Л5Н±^!1< лиг

для s £ D+ П fir, /'(го-) - е < ¿¿ZLJJ^LIZLL < /'(*„_)+е

для 5 £ П i2r,

mm{Ad, /'(го-)} - £ < ; < Ad + е

s

для s £ П, \ (D~ U D+)

(8)

Следовательно,

<4 <j8r/'(*o-) + (l -^P)Ad + e < Лd + e,

где Д. = f qr(s)ds, 1 > рг > О пгп£>7

Таким образом, < lim ai > С (—оо,Л<Л lr-»o J с

Но в силу следствия 1 из леммы 2 можно выбрать на направлениях D+ и D~ последовательность центрированных весовых функций {рг( )} С ¿2 такую, что при г —<■ 0 получим ai равным любому числу из отрезка [/'(жо—). Ad] Аналогично, рассматривая пределы для f(x о-) и Ad, получим, что

< lim a 1 > С [Ad, +оо) Причем для любого числа из отрезка [А<г, /'(®о—)] чак-1г-»0 ) с

же найдется система центрированных весовых функций, на которой предельное значение ai будет ему равно

Следовательно в данном случае

{hm ai} = [Ad, Ad]

lr-»0 J с

Если Ad = A„, то утверждение следствия практически совпадает с утвер ждением теоремы

Если f'(xо—) < Ad < Ad, то из соотношений (8) сразу получим оценку для значений ai и сверху и снизу

/'(«о-) - е < А /Ч*о-) + (1 - /?r)Ad - £ < «i < Arf + е

и, как следствие, выполнение равенства

{hm аЛ = [/'(*<,-), Ad] —О ) с

В случае, когда Ad < Ad < f'(x0—) достаточно рассмотреть предел функции /(жо + я) - f{xо)

—1----—- при s —> — 0 и предел этой функции по направлению

Ad

<г

30

С. И. БИГИЛЬДЕЕВ

Следствие 2. Если функция эквивалентна липшицевой функции f(x) в точке xq, то множество предельных значений аппроксимационной производной в этой точке для центрированных весовых функций из L2 совпадает с выпуклой оболочкой существенных значений верхней vrai f*(x0) и нижней vrai /»(х'о) производных Дини функции /(ж).

Доказательство. Поскольку для фиксированных хо, числа г и весовой функции значения аппроксимационной производной эквивалентных функций совпадают, то необходимо построить множество предельных значений аппроксимационной производной •( lim a\ > функции fix). Так как f(x) липшицева

Ii—>0 J с

в точке хо, то существенные значения ее верхних левого А3 и правого Л^ и нижних левого \д и правого Ad производных чисел конечны.

Аналогично доказательству следствия 1, здесь можем доказать, что

{ lim аЛ = conv{ki\ Xd; Ад; АЛ.

1г—»0 j с

Но

■ r*f \ I- ■ /fco + «) - /(®о) , 1 vrai f (ж0) = lim vrai sup -= maxjAj, АЛ,

s—>0 S

• , /• v • • , f(xo + s)-f(x0) . . vrai jAx0) — 11m vrai ml - = rrun-iAd, АЛ.

7 s—0 S

Следовательно, < lim ai > = [vrai /» ; vrai f*]. v.r—»0 S с

3. Аппроксимационная и другие производные

Сначала рассмотрим случай, когда аппроксимационная производная вычисляется на центрированных весовых функциях.

Тогда для дифференцируемой в точке хо функции f(x) имеем

{lim «Л ={f'(x0)}.

lr-»0 i с

В случае выпуклой функции множество предельных значений аппроксимационной производной будет совпадать с субдифференциалом этой функции, о чём свидетельствует теорема 2.

Локально липшицевы функции подробно рассмотрены в работе [3]. Функции этого класса в ней исследуются с помощью обобщённой производной Кларка df, которая для функции одной переменной является множеством чисел таких, что

АППРОКСИМАЦИОННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

31

fix + Щ - fix) lim sup - для всех v £ R.

X-+X0 1 (9)

t — +0

По теореме Радемахера локально липшицева функция дифференцируема п.в. в некоторой окрестности точки, вблизи которой она липшицева. Производная df представляет собой выпуклую оболочку пределов всех сходящихся последовательностей {/'(ж,)}, для которых множество последовательностей {ж,} не содержится ни в каком множестве нулевой меры, хг —> хо и в каждой из точек х, функция дифференцируема [3]

Поскольку для функции такого типа предельные значения аппроксимацион-ной производной на центрированных весовых функциях являются только выпуклой оболочкой производных Дини, то для локально липшицевой функции

< lim си > С дf. Причём здесь может быть строгое включение. Например, 1г—О J с

функция f(x) = з;2sin( 1/ж) при х ф 0 и /(0) = 0 удовлетворяет условию Липшица вблизи нуля и df — [— 1; 1] В то же время множество предельных значений аппроксимационной производной в нуле для центрированных весовых функций здесь будет состоять из одного нуля, так как /'(0) =- 0, Совпадение же обобщённой производной df с обычной производной гарантируется только при наличии строгой дифференцируемости функции [3].

Если попытаться вычислить производную df для функции липшицевой только в точке, то можем получить всю числовую ось. Например, так будет с непрерывно дифференцируемой всюду кроме нуля функцией fix) — х -sin(l/ж) при х ф 0 и ДО) - 0 в точке х — 0 В то же время производные Дини здесь конечны и равны 1 и — 1

Й, наконец, в классе функций эквивалентных [7] липшицевым в точке, когда и производные Дини могут оказаться бесконечными, аппроксимационная производная н \ центрированных весовых функциях остаётся конечной числовой характеристикой, отражающей поведение функции без учёта её значений на множестве нулевой меры.

Если аппроксимационная производная вычисляется на произвольной системе весовых функций ич Li, то для локально липшицевых функций обобщённая

производная df будет совпадать с {lim аД. Об этом свидетельствует следу-

1г—>0 J

ющая теорема

Теорема 3 Если функция f(x) является локально липшицевой вблизи точки Х{), то множество предельных шачений аппроксимационной производной jlim «i| этой функции в точке х0 для весовых функций из Li совпадает с обобщённой производной Кларка.

Доказательство. Прежде всего убедимся, что {l™ «1} Я df,какова бы ни была система функций {pr( )} С" ¿2-

32

С. И. БИГИЛЬДБЕВ

В силу определения (9) для локально липшипевой функции получим

df = [dr, df+],

где Ôf~ = lim inf ¿ÛJzZÎEi, Ô/+ = lim sup X —i> ZO X —► xo

y —> x о y -* x 0

Следовательно, для Ve > 0 3r > О такое, что

дГ-е< MzM<ô/+ + e

у-х

для Уж, !/ 6 î'o +

Для любой весовой функции pr(s) £ L2 с г < f в силу леммы 1 имеем

/ f(xo + s) - f(x0 4 sr) , л, аг= ------qr(s)ds,

S — Sr

fir

где sr G Br, qr(s) > 0 и / qr(s)ds = 1.

nr

Поэтому для Уе > 0 3r > О такое, что для Уг < г ¿>Г - 6< «i(Pr())<ö/f +е. то есть /lim «j !• С [ö/~; ¡9/+].

чГ—»0 )

Для того, чтобы убедиться, что указанные множества совпадают, представим df в виде выпуклой оболочки с>ществениых предельных значений производных данной функции:

df~ = lim /'(ж), Ö/+= lim /'(ж), xexa+D- xg*o+D +

где D~ и £И — соответствующие направления. Тогда для Уе > 0 3г такое, что

df- - £ < /'(ж) < df- +£ дляж€жо + D-, |ж-ж0|<г df + - е < f'(x) <dfh + е для х е ж0 D4 , |ж-ж0|<г.

(Ю)

Зафиксируем любые две ючки из интервала (жо — г; Жо + г), которые удовлетворяют условиям (10) Обозначим их соответственно х~ — х0 + и

,+ -

жо + . Для этих точек найдутся числа 6 > 0 и 6+ > 0 такие, что

Vs, s - sr < 6Г

V«,

si I <5+

f'(*7)

f'(4) -

/(ж0 + s) - /(ж0 + Sr )

s — sr

f(x0+s) -f(xo + 8+)

S — Sr

< £ < 6.

(И) (12)

Пусть 6r ~ min{<5r , r - \sT |, r - |s+|}.

АППРОКСИМАЦИОННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

33

Каждому значению «г из отрезка с концевыми точками и поставим в соответствие отрезок Пг(«г) — (¿v — 5г; «г + ¿г] с Вг и функцию

Тогда в силу (6) и свойств функции qr(s) получим:

в!(рг(- ЯГ)) = [ + *) - К'О + *г) (Д-Дг)2рг(я,яг)

Г ' Г ] в - «Г /(« - 5г)2рг(в,

в-3 /

= / Я*0 + «)(« - «гКч.

9г- — 6г

Следовательно, Я1(рг('.^г)) является абсолютно непрерывной функцией переменной вг и поэтому принимает все промежуточные значения от а\(рг( , я")) до Я1(рг(-, когда «г меняется от ь~ до При £ 0 в силу (10), (11), (12)

«НрЛ ,А'Г)) <Э/~> а,(рг( ,«+)) -» 3/+,

а при соответствующем выборе точек вг

«1(Рг( .«г)) ->• где /) — любое число из отрезка [д/~ ; 5/+]

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Батухтин В.Д., Майборода Л.А. Оптимизация разрывных функций. М. Наука, 1984

[2] КАТКОВНИК В.Я Непараметрическая идентификация и сглаживание данных. М.: Наука, 1985

[3] Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ М.. Наука, 1988.

[4] Демьянов В.Ф , Васильев Л.В Недифференцируемая оптимизация М Наука, 1981.

[5] гантмахер Ф.Р. Теория матриц М.: Наука, 1988

[6] Данфорд Н., Шварц Дж Линейные операторы Общая теория Т.1, М.: Изд-во иностр лит , 1962.

[7] Колмогоров А.Н., Фомин С В.. Элементы теории функций и функционального анализа М.; Наука: 1989.