К изучению понятия эластичности в курсе математического анализа для студентов экономических специальностей Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

а) у= | х|е'И|; б) у= 3 (х +1)2

в) у= ^х-Г ; г)

У=

3(х +1)2 -

3/с

х -1)2

В каждой из этих задач предполагается схематично построить график исследуемой функции.

3)

fx)=

Доказать,

если х ф 0,

что функции

и

ф(х)=

0, если х = 0

1

хе х , если X Ф 0, имеют в точке х=0 произ-0, если х = 0 водные любого порядка, и все они равны нулю в этой точке, но _Дх) имеет в точке х=0 минимум, а ф(х) экстремума в точке х=0 не имеет. Построить графики этих функций.

4) Докажите, что функция ^х)= х2, если х рационально,

имеет производ-

- х2, если х иррационально ную лишь в точке х=0.

5) Существует ли производная функции

3

у= X 2 в точке х=0? А в остальных точках?

6) При каких значениях а функция у= | х|а имеет производную в точке х=0?

7) Приведите примеры двух функций, не имеющих производных в некоторой точке, таких, что их произведение дифференцируемо в этой точке.

8) Приведите примеры функций, разрывных в одной или нескольких точках (и даже на всей числовой оси), квадраты которых имеют производную в любой точке.

9) Верна ли теорема Коши для функций Дх)=х2, g(x)= х3 на отрезке [-1; 1]?

10) Докажите теорему Лагранжа как следствие теоремы Коши.

Библиографический список

1. Математический анализ в вопросах и задачах / Под ред. В.Ф. Бутузова. М.: Высшая школа, 1984. 480 с.

2. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных / Под ред. В.Ф. Бутузова. М.: Высшая школа, 1988. 288 с.

3. Задачи и упражнения по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. М.: МГУ, 1988, 416 с.

4. Математический анализ в задачах и упражнениях/ Под ред. В. А. Садовничего. М.: МГУ, 1991, 352 с.

5. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967. 251 с.

Г.И. ХУДЯКОВА

К изучению понятия эластичности в курсе математического анализа для студентов экономических специальностей

Попытка дать экономическую интерпретацию производной функции сталкивается с тем, что студент первого курса не владеет еще в достаточной степени понятиями экономической теории, и ему достаточно сложно воспринимать такие понятия, как предельная полезность, предельные издержки, предельная склонность к потреблению и накоплению. Поэтому имеет смысл использовать более абстрактные термины для того, чтобы выяснить экономический смысл производной, термины «усилия» и «результат». Пусть непрерывная функция y=f(x) описывает зависимость между затраченными в экономической деятельности усилиями x и результатом этих усилий y. Тогда отношение — есть средняя эффектив-Ах

ность усилий, прилагаемых на уровне x, а

предел lim АУ = f'(х) можно рассматривать

Ах^о Ах

как предельную эффективность экономического процесса f(x) на уровне усилий х. И только после такой достаточно абстрактной интерпретации понятия производной можно привести следующие конкретные примеры.

- Если функция y=f(x) описывает зависимость затрат y на производство продукции от объема выпускаемой продукции x, то производная y = f'(x) представляет собой предельные издержки производства при объеме производства x.

- Если функция y=f(x) описывает зависимость полезности y блага от объема потребленного человеком блага x, то производная y = f'(x) представляет собой предельную полезность этого блага при уровне его потребления x.

- Если функция y=f(x) описывает зависимость общей выручки y от объема продаж x, то производная y = f'(x) представляет собой предельную выручку при уровне продаж x.

Поскольку при описании динамики экономических процессов удобнее пользоваться не абсолютными приращениями аргумента и

1

2

х

e

функции, а их относительными приращениями, то при анализе экономических явлений методами дифференциального исчисления предпочитают использовать не производную функции, а эластичность функции. Поэтому в курсе математического анализа для студентов экономических специальностей должно найтись место для введения понятия эластичности функции, изучения ее свойств и примеров использования этого понятия в экономической теории.

Понятие эластичности широко используется в экономической теории при анализе зависимости спроса от доходов покупателей и цены на товар.

Определение. Эластичностью функции Ех (у) называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при Ах ^ 0, то есть

Дуу

Ex (у) = lim

'у

Ay x x Ay x dy,

W 150- у Ax у ¿5? Ax у dx

x

Ex (у) = - • у' •

у

(1)

Экономический смысл эластичности -это процентное приращение величины показателя, обусловленное увеличением величины на 1%.

Отмечаются следующие свойства эластичности:

- Она является безразмерной величиной.

- Эластичность произведения двух дифференцируемых функций равна сумме эластичностей этих функций, то есть

Ех №) = Ех О) + Ех (У)-

- Эластичность частного двух дифференцируемых функций равна разности эластичностей этих функций, то есть

Ех Ги) = Ех (и) - Ех (V).

После введения понятия эластичности и изучения ее свойств целесообразно остановиться на некоторых функциях, используемых при моделировании экономических процессов, и эластичностях этих функций. Основополагающими факторами, влияющими на коммерческую деятельность в условиях рыночной экономики, являются спрос и предложение товара на рынке. Именно соотношениями между спросом В и предложением

определяются равновесие, дефицит или перепроизводство благ. На величины D и S одновременно влияют множество факторов (цена на товар, доход потребителя и т. д.). При математическом моделировании анализ явления будет более простым и наглядным, если выделять и описывать влияние на спрос и предложение каждого фактора в отдельности. Рассмотрим, например, зависимость спроса D от цены p.

Требования к функции спроса D диктуются следующими экономическими соображениями.

- Закон понижающего спроса (потребитель склонен покупать больше товара по низким ценам и меньше - по высоким) требует монотонного убывания функции.

- С уменьшением цены p спрос D на товар либо неограниченно растет, либо ограничен сверху.

- Либо существует предельная цена, при которой товар уже не пользуется спросом, либо спрос отличен от нуля при сколь угодно высокой цене товара.

Можно предложить различные варианты моделей спроса, удовлетворяющие различным комбинациям указанных экономических требований. Студентам можно предложить три модели.

Линейная модель

D(p) = b0 - kp, где b0 > 0, к > o

характерна тем, что спрос равномерно снижается с ростом цены и существует некоторая предельная цена, начиная с которой спрос на данный товар полностью отсутствует (Рис. 1а).

Экспоненциальная модель D(p) = ae ~bx, где a > 0, b > 0 характерна тем, что спрос сильнее падает в области малых цен, чем в области больших, и существует некоторый предельный спрос даже при нулевой цене на данный товар (Рис. 1б).

Гиперболическая модель к

D(p) = — , где а > 0,

Р

характерна тем, что спрос сильнее падает в области малых цен, чем в области больших, и при неограниченном уменьшении цены спрос становится бесконечно большим (Рис. 1в).

а)

Рис. 1

Ер (П) =

После изучения свойств соответствующих функций и построения их графиков можно обсудить, для какого рода товаров применяется каждая из этих моделей.

Эластичность спроса относительно цены Ер (В) показывает, на сколько процентов

изменится спрос В на данный товар, если цена на него р возрастет на 1%. Согласно формуле (1), имеем

р 'В В ёр

Поскольку функция спроса В является убывающей, то показатель Ер (В) будет всегда отрицательной величиной. Поэтому на практике в качестве показателя ценовой эластичности используют функцию

р 'В В ёр

которая всегда принимает положительные значения.

Затем можно определить эластичности Ер (В) функций в трех рассмотренных моделях спроса относительно цены.

В линейной модели

'р = (0 - кр) = -к , ар

тогда по формуле (1)

Ер (В) = - кр

Ер (П) = -

(2)

Ъо - ^Р

и с учетом (2)

Ер (П) =

кр

Ъоо - кР

В экспоненциальной модели

— = (аеы йр

(ае Ъх ) = -аЪе

Ъх

тогда с учетом (2) имеем

р • аЪ~

ер (В) = ^~ъ^ = ръ •

ае

В гиперболической модели йБ ( к ^ а к

'р У р ' ) Р'

Тогда по формуле (1) и с учетом (2) эластичность равна

р • ра ак

Ер (П) =

„а+1

= а.

кр

В экспоненциальной модели получили, что эластичность спроса относительно цены прямо пропорционально зависит от цены на товар. В гиперболической модели эластичность является постоянной величиной.

Далее можно построить графики зависимости эластичности от величины цены для рассмотренных функций спроса (Рис. 2).

Направлением для дальнейшего изучения применения и использования понятия эластичности в экономических исследованиях может быть рассмотрение функции предложения относительно цены, функции спроса относительно дохода и изучение эластичностей этих функций.

а)

б)

Рис. 2

2. А.Н.Колесников. Краткий курс математики Библиографическии список для экономистов. М., 1999.

1. М.С.Красс, Б.П.Чупрынов. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М., 2003.