Обоснование плана выпуска продукции на основе анализа и прогнозирования рядов динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прогнозирование выпуска продукции

обоснование плана выпуска продукции на основе анализа и прогнозировании

рядов динамики

Т.О. ЧИТАЯ, кандидат экономических наук, доцент кафедры «Экономика и менеджмент» Волжского политехнического института Волгоградского государственного технического университета

В системе внутрифирменного планирования хозяйственной деятельности промышленного предприятия важное место отводится формированию обоснованного плана выпуска продукции. Оценка выполнения производственной программы включает анализ динамики натуральных показателей объемов производства по отдельным видам однородной продукции. В практической работе предприятий фактически не уделяется внимания созданию временных рядов технико-экономических индикаторов, построению адекватных математических моделей и их применению в краткосрочном прогнозировании. Воспроизведение поведения элементов временного ряда предполагает тщательный подбор класса эконометрических моделей, анализ их надежности и оценку состоятельности результатов прогнозных расчетов. Следует также учитывать широкие возможности применения статистического пакета программных продуктов, предназначенных для проведения предплановых расчетов и повышения степени обоснованности плановых значений показателей. Одним из слабых участков функционального управления промышленными предприятиями России является внутрифирменное планирование основных технико-экономических показателей, что чаще всего выражается в существенном расхождении между фактически достигнутыми и плановыми их уровнями.

В отечественной периодической печати редко встречаются публикации, посвященные обоснованию целесообразности и возможности использования эконометрических моделей воспроизведения поведения временных рядов объемных показателей производства на реально функционирующих предприятиях и создания на их основе системы автоматизированных расчетов, предпо-

лагающих корректировку плановых уровней показателей по мере пополнения и обновления базы данных.

В настоящей статье предлагается методика построения адекватной авторегрессионной модели динамики изменения объема производства шинной продукции и определения ее планового уровня для реально функционирующего предприятия на основе анализа одномерного стационарного временного ряда помесячной динамики, охватывающей 2003 — 2005 гг.

Методика построения эконометрической модели показателя объема производства в натуральном выражении на основе стационарного ряда

Теоретико-методической базой проведенного автором исследования послужили работы [1, с. 778 - 837; 2, с. 152 - 180; 3, с. 84 - 112]. Методика модельного воспроизведения стационарного временного ряда объема производства продукции и краткосрочного прогнозирования включает следующие этапы:

• предварительный обобщенный анализ временного ряда в целях построения адекватной модели поведения его членов;

• анализ сезонности временного ряда и его сезонная декомпозиция (десезонализация) в рамках аддитивной формы;

• выявление неслучайной составляющей десе-зонализированного ряда;

• установление стационарности десезонализи-рованного временного ряда и построение авторегрессионной модели;

• включение временного параметра и свободного члена в авторегрессионную модель;

• модельное воспроизведение фактического ряда с учетом коррекции сезонного компонента;

• краткосрочный точечный и интервальный прогнозы уровня ряда и оценка его точности.

ОБОБЩЕННЫЙ АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ ВРЕМЕННОГО РЯДА

Для представления временного ряда будем пользоваться обозначениями, используемыми в [1, с. 779], в соответствии с которыми он выглядит так:

х(1), х(2), х(К), (1)

где х (г) — значение анализируемого показателя в дискретный момент времени г (г = 1, 2, ...,N).

Для иллюстрации практической реализации методики автором сформирован и используется временной ряд месячных объемов производства всех выпускаемых видов шин в натуральном выражении на одном из шинных предприятий Волгоградского региона (рис. 1).

„ 300

§ о

250 200 5 150

Я

В юо

50

8

7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 Месяц

- Объем производства шин

таком случае он является стационарным). В частности, одним из них является критерий серий, основанный на медиане [1, с. 797]. Проведенный автором расчет в соответствии с критерием серий подтвердил стационарность анализируемого временного ряда, откуда следует целесообразность применения класса авторегрессионных моделей порядка р (в иностранной литературе такие модели обозначаются как Л^(р)-модели), имеющих следующий вид:

е (е) = £а. е (е - ])+5 (е),

(2)

]=1

--Среднемесячный объем

Рис. 1. Месячная динамика объема производства всех видов шин за период 2003 — 2005 гг.

Графический анализ исходного временного ряда свидетельствует о наличии сезонной составляющей с периодичностью в среднем в два месяца (в среднем через каждые два месяца наблюдаются пики спада и увеличения объемов производства). Визуальное наблюдение графика позволяет судить о стационарном характере временного ряда, так как его элементы колеблются вокруг среднемесячного объема производства за весь период наблюдения (среднее значение составило 217,5 тыс. шт.). Вместе с тем утверждение о стационарности ряда требует проверки с применением аналитических средств. С этой целью в специальной литературе по эконометрике используются р=зные крите-рии проверки гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда (в широком смысле в

где е (е) — временной ряд случайных остатков; 5 (1), 5 (2),... образуют так называемый белый шум.

Эмпирические значения случайных остатков е (е), обозначаемые в дальнейшем е(е), определяются после выделения неслучайной составляющей временного ряда (тренда). Пусть f (е) — функция тренда, тогда эмпирические значения этой функции будут обозначаться как/(е). Ряд, состоящий из элементов /(е), получается в результате сглаживания исходного временного ряда и(е) при известном явном аналитическом виде f (е). Оценки случайных остатков е (е) получаются из уравнений е(е) = и(е)-/(е) для всех е = 1, 2, ... N. После идентификации модели (2) приходим к ее записи в

л

явном виде для случайных остатков и (е)=е (е)+/(е). Подстановкой в это выражение идентифицированного авторегрессионного уравнения (2) будет получена окончательная математическая модель временного ряда и (е).

Установление степени сглаживающего полинома / (е) = Р0 + р1г+••■ + врер может производиться на основе применения метода последовательных разностей [1, с. 816 — 820]. Для этого рассчитываются величины:

Ф) =

1 п~\ -— £(нки (е ))2 п - ке~1

с

(3)

2к

где Нк х (г) =Н ( Н-1 х (г) - последовательная разность к-го порядка некоторого ряда чисел и(1), и(2), ..., и(п).

Например, последовательная разность первого порядка (Н (х (г)) рассчитывается так:

н и (е) = и (е) - и (е-1), е = 2, ..., п; второго порядка: н2 и (е)=Н(Н и(е)) = н и(е)-н и (е-1) = и (е) - 2 и (е-1)+ +и(е-2), е = 2, ...п; и.т.д.

Следует провести анализ поведения величины о(к) в зависимости от к . Если величина о(к)

к

как функция k будет демонстрировать явную тенденция к убыванию и стабилизируется при k = к, то значение степени полинома (р) будет определяться как р = 1с -1. Если же не обнаруживается тенденция сходимости значений функции

Л

о(&), а иногда имеет место их возрастание, то это может косвенно свидетельствовать о присутствии сезонных эффектов в исходном временном ряду. Для временного ряда объемов производства шин, иллюстрируемого с помощью рис. 1, было установлено, что:

о(1) = 344,8; о(2) = 341; о(3) = 379,7; о(4) = 397,8 ..., т.е. значения функции с увеличением параметра k возрастают и подтверждают наличие сезонного компонента. Забегая вперед, следует заметить, что для временного ряда, полученного после ис-

Л

ключения сезонного компонента, величины о(&) стабилизировались начиная со значения k = 3 . Действительно, для десезонализированного ряда установлена тенденция:

о(1) = 196,7; о(2) = 185,2; о(3) = 184,9;

о(4) = 184,3 ... Поэтому далее в качестве сглаживающей функции используется полином второго порядка.

СЕЗОННАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ ВРЕМЕННОГО РЯДА Будем исходить из предположения неизменности сезонных эффектов во времени и примем аддитивную форму их выявления. Методы исследования, основанные на неизменности амплитуды и формы сезонной волны, рассмотрены в работах [4, 5].

Последовательность расчетов для случая аддитивной сезонности может описываться в соответствии с [3, с. 86-87]:

• применение скользящей средней при четной длине интервала для временных рядов месячной динамики при определении новых их значений может производиться по формуле:

1 х (г - 6) + х (г - 5) + -■- + х (г) + -■- + х (г+ 5) +1 х (г+ 6) ; (4)

2 _2_; (4)

' (О =

12

рассчитываются отклонения (у (г)) фактических значений от уровней сглаженного ряда:

у (г)=х(г) - х'(г). (5)

определяются предварительные значения сезонной составляющей как средние значения из уровней у (г) для одноименных месяцев в соответствии с формулой :

У> =

1 к

тЕУ121+/ пРи г'=12' 6;

1=1 к

1 к

кЕУ121+^ пРи 1=7'8' 12,

(6)

где h — число целых периодов (циклов) во временном ряду, полученном на предыдущем шаге.

Таблица 1

Исходный и десезонализированный временные ряды объемов производства шин (тыс. шт.) и значения сезонного компонента

t х (г) 5 (г) хДСз (г) = х (г) - 5 (г)

1 1 193,8 -19,1 212,9

2 2 215,1 -8,8 223,9

3 3 185,4 -5,9 191,3

4 4 242,1 -6,7 248,8

5 5 213,3 -39,1 252,4

6 6 260,3 -20,1 280,4

7 7 243 1,7 241,3

8 8 254,8 18 236,8

9 9 256 22,6 233,4

10 10 256,1 20,7 235,4

11 11 229,6 8,8 220,8

12 12 254,4 28 226,4

13 1 210,1 -19,1 229,2

14 2 215,2 -8,8 224

15 3 214,3 -5,9 220,1

16 4 209 -6,7 215,7

17 5 164,3 -39,1 203,4

18 6 172,6 -20,1 192,7

19 7 207,9 1,7 206,2

20 8 227,5 18 209,5

21 9 235,4 22,6 212,8

22 10 230,4 20,7 209,7

23 11 229,9 8,8 221,1

24 12 240,2 28 212,2

25 1 185,1 -19,1 204,2

26 2 195,9 -8,8 204,7

27 3 199,9 -5,9 205,8

28 4 201,4 -6,7 208,1

29 5 179,8 -39,1 218,9

30 6 211,4 -20,1 231,5

31 7 167,9 1,7 166,2

32 8 215,7 18 197,7

33 9 229,3 22,6 206,7

34 10 228,2 20,7 207,5

35 11 224,1 8,8 215,3

36 12 231 28 203

Вновь полученный временной ряд с применением формулы скользящей средней (4) с членами х' (г) теряет по 6 уровней в начале и в конце ряда.

Поэтому Н для ряда с длиной в 36 мес равен двум, с длиной 48 мес — трем и т.д.; • осуществляется корректировка первоначальных значений сезонной составляющей по формуле:

Sí = у - у (.=1,2, ..., m), (7)

_ 1 „ где у =—> у. ; для рядов месячной динамики

ш ,=1 '

т =12 .

Фактический временной ряд объемов производства шин, сезонная компонента для каждого месяца с повторяющимся трехуровневым циклом и десезонализированный временной ряд (иДСз (е)) приводятся в табл. 1.

ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРЕНДА ДЛЯ ДЕСЕЗОНАЛИЗИРОВАННОГО РЯДА На этапе обобщенного анализа временного ряда производства шин было установлено, что для сглаживания десезонализированного ряда следует использовать полином 2-го порядка (параболу). Функция параболического тренда приобрела вид:

/(() = 0,0106е2-1,4269е + 239,05 . (8)

н в 300

о

а Ен 250

ев" И 200

н

Ч 150

О

я

п Я 100

о

& 50

а

<и А 0

ю

О

ПОСТРОЕНИЕ АВТОРЕГРЕССИОННОй МОДЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЛУЧАЙНЫХ ОСТАТКОВ Лучшую аппроксимацию к исследованию поведения десезоназилированного ряда объемов производства шин демонстрирует модель 2-го порядка, имеющая следующий общий вид:

е (е)=а:е (е-1)+а2е (е - 2) + 5 (е). (10) Целесообразность применения модели с временным лагом (запаздыванием), равным двум месяцам, подтверждается поведением автокорреляционной (АКФ) и частной автокорреляционной функций (ЧАКФ). В результате идентификации модели (10) получены оценки коэффициентов а1 и а2, соответствующие числам 0,259 и 0,049. Оценка дисперсии белого шума (5 (е)) составила 82 = 251,84. Окончательно авторегрессионная модель 2-го порядка получила вид:

е (е) = 0,259е (е -1) + 0,049е (е - 2) + 5 (е). (11) График функции (11) для статистических оценок случайных остатков е (е) , рассчитываемых по формуле е(е) = 0,259е(е -1)+0,049е(е - 2), иллюстрируется рис. 3.

е (е)

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34

Месяц

-Десезонализированный ряд

-График параболического тренда

Рис. 2. Графики десезонализированного ряда и параболического тренда

Графики десезонализированного ряда и сглаживающей параболической функции (8) приведены на рис. 2.

Модель временного ряда, включающая тренд и случайную составляющую, будет выглядеть так: и (е)=0,0106е2 -1,4269е+239,05 + е (е ^ е(е)=и (е) - 0,0106е2 +1,4269е - 239,05. (9)

Здесь ^ — уровни ряда случайных остатков, которые получены в результате вычитания из уровней исходного ряда трендовой составляющей.

Рис. 3. Десезонализированный временной ряд объемов производства шин, генерируемый авторегрессионной моделью второго порядка

Выборочные значения АКФ Г (т) при всех т = 1, 2, 3, 4, ... бесконечно убывают и приближаются к нулю. Для т = 1;5 график АКФ, соответствующий описываемому формулой (11) процессу, представлен с помощью рис. 3. Выборочные значения частной автокорреляционной функции (ЧАКФ) Г (т) = 0 при всех т = 3, 4, ... Это обстоятельство

част У ' * ' '

свидетельствует о правомерности подбора авторегрессионной модели с лагом т -1, при т > 3 .

С помощью коэффициентов авторегрессионной модели (11) можно установить стационарность исходного временного ряда. Действительно, согласно [1, с. 830], если для статистических

Л л /

оценок а; и а2 (их значения равны соответственно 0,259 и 0,049) выполняются условия

л 1

|а:| < 2,

л . I л I

а2 <1 - а:

(12)

то ряд является стационарным. Условия, задаваемые формулой (12) для выборочных значений коэффициентов модели (11), выполняются, поэтому анализируемый ряд является стационарным.

АВТОРЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЕСЕЗОНАЛИЗИРОВАННОГО

ВРЕМЕННОГО РЯДА ОБЪЕМОВ ПРОИЗВОДСТВА ШИН С ВРЕМЕННЫМ ПАРАМЕТРОМ И СВОБОДНЫМ ЧЛЕНОМ

ного ряда %ДСЗ(е) при е=3, 4,..., 36 и прогнозных их уровней хДСЗ (36+0) для краткосрочного периода с глубиной 0, (0 =1, 2, 3).

Графики десезонализированного ряда объемов производства шин и их статистических оценок, полученных на основе (14), приведены на рис. 5.

МОДЕЛьНОЕ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ ИСХОДНОГО ВРЕМЕННОГО РЯДА ОБъЕМОВ ПРОИЗВОДСТВА ШИН С ВОССТАНОВЛЕНИЕМ СЕЗОННОГО КОМПОНЕНТА

Подстановкой выражения (9) в автокоррелированных случайных остатках е (е) соответственно для е, (е-1), (е-2) в авторегрессионную модель (11) можно исключить из нее е (е), е (е -1), е (е - 2)и получить модель для воспроизведения членов де-сезонализированного ряда:

и (е)-0,0106 е2 + 1,4269е - 239,05 з з 0,259[ и (е -1)- 0,0106(е -1) 2+ 1,4269(е -1)-239,05] + + 0,049 [ и (е - 2) - 0,0106(е - 2)2 + 1,4269(е - 2)2 - 239,05]+5 (е).

(13)

После преобразований в формуле (13) окончательно получим:

иДСЗ (е) = 0,259 иДСЗ (е -1) + 0,049 иДСЗ (е - 2)+ + 0,0029е2 - 0,9798е + 164,9083+5 (е).

На основе формулы (14) можно получить статистические оценки членов десезонализирован-

н

а

о

Я н

и я

3 «1 Я

н и

4 о

И

т

О

а В

г

о

ю О

300 250 200 150 100 50

4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37

Месяц ■ Десезонализированный - В соответствии с формулой (14)

Для воспроизведения исходного временного ряда следует члены ряда иДСЗ (е) скорректировать на сезонный компонент S (е) в соответствии с их значениями, содержащимися в табл. 1. Статистические оценки исходного ряда и (е) могут быть получены с учетом выражения (14) по следующей формуле:

и (е)=иДСЗ (е)+S (е). (15)

Графический анализ исходного временного ряда и ряда, воспроизведенного с помощью формулы (15), свидетельствует о достаточно высоком уровне аппроксимации, а также о применимости этой модели для проведения прогнозных расчетов (рис. 6).

& с

300 250 200 150 100 50

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37

Месяц

- Временной ряд объемов производства шин

— Модельно-воспроизведенный ряд

■ ■ Краткосрочный точечный прогноз

Рис. 6. Исходный временной ряд объемов производства шин, моде льно-воспроизведенныйряд и краткосрочный точечный прогноз

- - - ■ Прогноз десезонализированного ряда

Рис. 5. Графики десезонализированного временного ряда объемов производства шин, ряда, полученного на основе модельных расчетов и точечного прогноза для 0 =1, 2, 3

КРАТКОСРОЧНЫЙ ТОЧЕЧНЫЙ И ИНТЕРВАЛЬНЫЙ ПРОГНОЗ ОБЪЕМА ПРОИЗВОДСТВА ШИН НА ПРЕДПРИЯТИИ Точечный прогноз выпуска всех видов производимых на предприятии шин с глубиной в три месяца составит:

х (37)=хДСз (37)+5 (1) = 195,8 -19,1 = 176,7;

х(38) = хДСз(38)+5(2)=192,5 -8,8=183,7;

х (39)=хДСз (39)+5 (3)=190,6 - 5,9 = 184,7.

Доверительные интервалы прогноза определяются отклонением их собственных значений

л

на величину ±г -80, где гр — представляет собой критическую границу Стьюдента с вероятностью ошибки р; — среднеквадратическое отклонение остатков белого шума (50 =15,8). При 5%-ном уровне ошибки гр = 2,03 . Следовательно, доверительные границы прогноза в соответствии с моде-

лью (14) для десозанилизированных членов ряда составят ± 2,03-15,8«±32,1 , а с учетом сезонного компонента для первого, второго и третьего месяцев прогнозного периода отклонения составят соответственно: ±13, ±23,3 и ±26,2 (табл. 2).

Ошибка прогноза определена как частное от деления отклонения на величину точечного прогноза. Как следует из данных табл. 2, ошибка прогноза во всех случаях не превышает 15%. Следовательно, точность краткосрочных прогнозных расчетов достаточно высока, что свидетельствует о возможности применения рассмотренной схемы анализа в практической работе планово-экономических подразделений промышленных предприятий. Расчетные процедуры реализованы на основе программного продукта, специально разработанного в соответствии с предложенной автором методикой.

Таблица 2

Точечный и интервальный прогнозы выпуска шин в январе, феврале и марте 2006 г., тыс. шт.

Прогнозный период, 2006 г. Прогнозное значение x (36+е) Нижний доверительный интервал Верхний доверительный интервал Ошибка прогноза (%)

Январь (36+1) 176,7 163,7 189,7 7,3

Февраль (36+2) 183,7 160,4 207 12,7

Март (36+3) 184,7 158,5 210,9 14,2

ЛИТЕРАТУРА

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. — М.: ЮНИТИ, 1998.

2. Статистическое моделирование и прогнозирование/ Под ред. А.Г. Гранберга. — М.: Финансы и статистика, 1990.

3. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования. — М.: ЮНИТИ — ДАНА, 2003.

4. Половников В.А. Анализ и прогнозирование транспортной работы морского флота. — М.: Транспорт, 1983.

5. Френкель А.А. Прогнозирование производительности труда: методы и модели. — М.: Экономика, 1989.