CC BY
197Математические методы и модели
УДК 336.743.22+330.43
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЦЕНЫ И ОЦЕНКА РИСКА ИНВЕСТИЦИЙ В ЗОЛОТО
Сергей Валентинович Арженовский,
доктор экономических наук, профессор кафедры математической статистики, эконометрики и актуарных расчетов,
Ростовский государственный экономический университет (РИНХ), Ростов-на-Дону, Российская Федерация sarzhenov@gmail.com
Предмет/тема. Исследуется динамика цены на рынке золота, являющегося резервным металлом для мировой экономики.
Цели/задачи. Цель - получение прогнозных оценок цены золота, риска инвестиций в золото, а также эконометрическое выявление факторов, влияющих на цену золота. Информационную базу исследования составили помесячные данные о цене за грамм золота и по ряду макроэкономических показателей: индексу Доу-Джонса, резервам монетарного золота России, курсу доллара, ставке рефинансирования Федеральной резервной системы, инфляции в США.
Методология. Использованы методы анализа тенденции, сезонности, а также выявления авторегрессионных закономерностей изолированного временного ряда. Для изучения многомерных временных рядов применялись эконометрические методы коинтеграции и векторное авторегрессионное моделирование.
результаты. Построена тренд-сезонная автокорреляционная модель для прогнозирования динамики цены на золото с учетом кризиса 2008 г. и векторная авторегрессионная модель с механизмом коррекции ошибок для многомерного временного ряда.
обсуждение/применение. Результаты могут быть использованы при принятии решения о включении золота в портфель активов. Индикаторы
цены золота могут использоваться при выявлении тенденции изменения цены на металл.
Выводы/значимость. Краткосрочный прогноз цены на золото по модели имеет среднюю относительную ошибку 3,8%. Эконометрически показано, что цена на золото значимо детерминируется биржевым индексом Доу-Джонса, резервами монетарного золота России, инфляцией в США и ставкой Федеральной резервной системы, а также долгосрочными рыночными механизмами корректировки цены. Получена оценка риска инвестиций в золото 11,98% на уровне надежности 0,99 для исследуемого временного периода.
Ключевые слова: золото, прогнозирование, векторная авторегрессия, риск инвестиций
Золото является основным активом на рынке, обеспечивающим функцию мировых денег и являющимся средством резервирования для субъектов экономики. Динамика цен на золото выступает в качестве индикатора, позволяющего, с одной стороны, оценить изменения рыночной конъюнктуры, с другой - риск инвестиций для инвестора [4, 6].
Целью работы являлось моделирование динамики и выявление факторов, определяющих цену золота, а также оценка риска инвестирования в металл.
В научной литературе имеется ряд публикаций, в которых предпринимались попытки решения указанной задачи. В работе [14] представлен обзор состояния рынка золота и перспектив его развития. Автором работы [3] рассмотрен дискуссионный вопрос о состоянии золотовалютных резервов России и роли в них золота. В статье [1] на ежедневных данных цен покупки золота ОАО «Сбербанк Рос-
1 300
1 600
1 400
1 200
1 000
800
600
400
II III I I I I 111 I I I I I I I I I I I I I I I III I I I I I I I I I I I III I I I I I I I I I I I III I I I I III I I I I I I I I 111 I I I I III I I
2007 2003 2009 2010 2011 2012
Рис. 1. Динамика цены за грамм золота в 2007-2013 гг., руб.
2013
сии» показано, что динамическии ряд цен имеет фрактальные своИства, и будущие значения цены зависят от колебаниИ в предыдущие моменты времени. Авторы работы [5] на основе ежемесячных и ежеквартальных цен на золото по данным Центрального банка Российской Федерации построили тренд-сезонные и адаптивные модели экспоненциального сглаживания для прогнозирования цены на золото. Средняя ошибка прогноза для лучшей (тренд-сезонной) модели не превысила 0,05%. При этом кризис 2008 г. никак не учитывался при моделировании. Подход к долгосрочному прогнозированию цены на золото методом наименьших квадратов с учетом волновой динамики развития экономики применялся в статьях [10, 11]. Также в своей работе К.Н. Зуев выявил, что существует неустойчивый рост превышения спроса на золото над предложением на фоне непрерывного на анализируемом автором периоде (1997-2013 гг.) роста цен на золото [7]. В свою очередь Е.А. Федорова и Ю.Г. Черепенникова на основе Garch-модели с переключением режимов показали взаимосвязь между изменением цены на золото и динамикой индекса РТС [13]. А М.А. Лин-кова применила в своей статье нейросетевые методы для изучения динамики индекса цены золота [8].
Однако количественного модельного анализа факторов, детерминирующих цену на золото, предпринято не было. Также открытым остается вопрос о риске инвестиций в золото, по крайней мере, об оценке величины этого риска на ретроспективных данных.
Воспользуемся в качестве информации для расчетов публикациями на сайте информационного портала Investfunds1, а также данных о цене золота, публикуемых Центральным банком Российской Федерации2. Временной ряд образует цена за грамм золота с января 2007 г. по октябрь 2013 г. ежемесячно (рис. 1).
Максимальная цена за грамм золота за исследуемый период была зафиксирована в сентябре 2012 г. на уровне 1 758,98 руб., минимальная - в августе 2007 г. на уровне 509,29 руб. Среднее значение цены за грамм золота составило 1 142,06 руб. До мирового финансового кризиса максимальный размах колебаний составлял 13,9 руб. за грамм золота. К концу 2009 г. максимальный размах колебаний зафиксирован на уровне 46,36 руб. за грамм золота, что свидетельствует о последствиях кризисных явлений в мировой экономике.
Для уровней временного ряда цены на золото построена тренд-сезонная модель. На первом этапе выделена сезонная компонента посредством процедуры Х-12 [2] эконометрического пакета прикладных программ Eviews. Обнаружена сезонность (рис. 2) с пилообразной динамикой с увеличивающимся со временем размахом колебаний с 31,90 руб. в 2007 г. до 64,83 руб. за грамм золота в 2013 г. Цена за грамм золота выше в первом квартале (январь, февраль, март) и в конце года (ноябрь, декабрь).
1 Группа компаний Cbonds. URL: http://www.investfunds.ru/.
2 Динамика учетных цен на драгоценные металлы. URL: http://wwwxbr.ru/hd_base/?Prt[d=metaU_base_new/.
120
80
40
40
-80
I III I I I I I I I I I I I I I I III II III I I I I I I I I I I I I I I I I I I I III I I I I I I I I I I I I I I I I I I I III I I I I I n I I I I I I I I
£007 2008 200Э 2010 2011 2012 2013
Рис. 2. Динамика сезонной компоненты цены за грамм золота в 2007-2013 гг, руб.
Такие колебания обусловлены циклами ежегодной деловой активности.
На втором этапе выделен тренд с учетом автокорреляции в остатках [16, 17] и включенной фиктивной переменной кризиса = 0 до декабря 2008 г. включительно и а? = 1, начиная с января 2009 г.). Получено уравнение для десезонализированного временного ряда (в квадратных скобках значения ¿-статистик):
zt = 797,53 - 29,86г + 1,38г2 - 0,01?3 +
краткосрочного прогноза на три месяца вперед получены с учетом оценок сезонной компоненты. Относительная ошибка прогнозных значений составила 3,8% в среднем.
Примененная методика может быть использована для построения прогнозов цены золота при пересчете модели по мере поступления новых данных по истечении очередного периода времени.
Далее выполнено исследование факторов, которые влияют на це-
[5,05]
[3,95]
[-4,57]
+1,04 ut-1 -
-2 +147,49 dt,
[-2,09] 0,26
[9,06] [ -2,24] [3,18]
R2 = 0,98, Е = 1 094,26, DW = 1,82, N = 82, где zt - временной ряд без сезонной компоненты;
г - время;
и - случайная величина остатков;
dt - фиктивная переменная кризиса 2008 г.;
R2 - коэффициент детерминации;
Е - значение критерия Фишера;
DW - статистика Дарбина - Уотсона;
N - число наблюдений.
Коэффициент при фиктивной переменной показывает, что цена за грамм золота после мирового финансового кризиса увеличилась в среднем на 147,49 руб. Ошибки последней модели не авто-коррелированы и их распределение близко к нормальному с нулевым математическим ожиданием. Это позволяет сделать вывод об адекватности подогнанной модели исходным данным и возможности использования ее для прогнозирования. Значения
нообразование золота. Стоит отметить одну из немногих публикаций, в которой автор выделяет биржевые и внебиржевые факторы, определяющие динамику цены на золото, и проводит концептуальный, подробный их анализ [9]. Выберем в качестве детерминант спот-курс доллара к рублю, ставку рефинансирования Федеральной резервной системы США, индекс Доу-Джонса, уровень инфляции в США, резервы монетарного золота в России. Выбор факторов, с одной стороны, определялся макроэкономическим содержанием с учетом статьи [9], с другой - доступностью ежемесячных данных для моделирования. Тестирование временных рядов указанных показателей на стационарность показало, что они оказались не стационарными, за исключением временного ряда ставки Федеральной резервной системы.
Переменные инфляции и ставки рефинансирования Федеральной резервной системы США выделены как экзогенные. Первая из них, очевидно, мало зависит от цены на золото, а вторая определяется директивно, исходя из макроэкономической ситуации. Для остальных переменных (курс доллара к рублю, индекс Доу-Джонса, резервы монетарного золота РФ по отношению к цене за грамм золота), предполагая их возможную эндогенность, выполнен тест на коинтеграцию временных рядов С. Йохан-сена [18] с учетом линейного детерминированного тренда и получено, что временные ряды являются коинтегрированными первого порядка на 5%-ном уровне значимости. Этот факт обосновывает
использование для моделирования зависимостей указанных временных рядов модели коррекции ошибок, которая в качестве фактора включает и переменную коинтеграции [15, 20]. Оценки модели коррекции ошибок c применением пакета прикладных программ Eviews приведены в таблице.
На основании информационного критерия Шварца выбрано оптимальное значение лагиро-ванных переменных k=1. Включена переменная коинтеграции: Z; = Goldt + 0,046 Djindext - 0,027 Rezervmg t + + 5,042 Usdru t, где Z; - переменная коинтеграции;
Gold t - цена за грамм золота;
Djindex t - индекс Доу-Джонса;
Rezerv_mgt - резервы монетарного золота РФ;
Usd_rut - курс доллара.
В уравнении для цены за грамм золота лаги-рованные первые разности цены за грамм золота, индекса Доу-Джонса и резервов монетарного золота РФ значимы, т.е. увеличение прироста индекса Доу-Джонса на один пункт в предыдущем месяце
приводит к увеличению прироста цены за грамм золота на 0,026 руб., а увеличение прироста резервов монетарного золота на одну тройскую унцию приводит к уменьшению прироста цены за грамм золота на 0,013 руб. Экзогенные факторы инфляции и ставки ФРС снижают прирост цены золота.
В уравнении для индекса Доу-Джонса лагиро-ванная первая разность цены за грамм золота значима, т.е. увеличение прироста цены за грамм золота на один рубль приводит к уменьшению прироста индекса Доу-Джонса на 3,886 п.
В уравнении для резервов монетарного золота лагированные на день первые разности цены за грамм золота и курса доллара значимы, т.е. увеличение прироста на 1 руб. цены за грамм золота приводит к увеличению прироста резервов монетарного золота на 23,876 тройских унций, а увеличение курса доллара на 1 руб. приводит к снижению прироста резервов монетарного золота на 990,203 унции.
В уравнении для курса доллара лагированная разность цены за грамм золота значима, т.е. уве-
Результаты идентификации векторной модели коррекции ошибок
Переменная AGold ADjindex ARezerv mg AUsd ru
z1 -0,345*** 2,753*** 4,369* -0,009***
[3,409] [3,021] [1,521] [-6,394]
AGold 11 0,671*** -3,886** 23,876*** 0,008***
[4,096] [-2,630] [5,130] [3,583]
ADjindex 1 0,026* -0,102 0,078 0,0003
[1,773] [-0,772] [0,187] [1,390]
ARezerv mg 1 -0,013*** 0,039 -0,558*** -0,0000
[3,368] [1,066] [-4,815] [-1,426]
AUsd ru 1 -5,700 5,257 -990,203*** 0,115
[0,701] [0,071] [-4,292] [0,933]
Константа 896,734*** -2701,966 3645,744 12,737***
[3,469] [-1,160] [0,497] [3,277]
Frs -17,359*** 26,506 -137,195 -0,308***
[-2,288] [0,489] [-0,805] [-3,399]
Infi -3,946*** 12,348 -13,707 -0,056***
[-3,430] [1,192] [-0,419] [-3,255]
Скорректированный R2 0,225 0,088 0,391 0,370
Стандартная ошибка 53,201 479,168 1509,575 0,799
F-статистика 4,281 2,089 8,274 7,646
Логарифмическая функции правдоподобия -427,227 -603,064 -694,867 -91,439
Критерий Акейка 10,880 15,276 17,571 2,485
Критерий Шварца 11,118 15,514 17,809 2,724
Логарифмическая функции правдоподобия -1 796,499
Критерий Акейка 45,812
Критерий Шварца 46,884
Примечание. Gold - цена за грамм золота; Djindex - индекс Доу-Джонса; Rezervmg - резервы монетарного золота РФ; Usdru -курс доллара; Frs - ставка рефинансирования ФРС; Infi - инфляция в США; Zj - переменная коинтеграции. В скобках указаны значения f-статистик. Уровни значимости: * - 10%, ** - 5%, *** - 1%.
Математические методы и модели
MathematicaCMethods and Models
-1
-2
-3
10 12 14 1Б 18 20 22 24 26 28 30
—Доходность --*- 1% -#-- 95% —*-- ЭЭ%
5%
Рис. 3. Значения ИАЯа на уровнях 1%, 5%, 95% и 99% для последних 30 наблюдений временного ряда доходностей золота
личение прироста цены за грамм золота на 1 руб. приводит к увеличению прироста курса доллара на 0,008 руб.
Можно заключить, что между ценой за грамм золота и индексом Доу-Джонса, ценой за грамм золота и резервами монетарного золота РФ существует асимметрия в тенденциях.
Переменная коинтеграции значима и имеет отрицательный знак в уравнении для золота, т.е. действуют долгосрочные рыночные механизмы корректировки цены золота.
Далее золото рассматривалось как инвестиционный актив, и была поставлена задача оценки риска вложений в этот актив [19]. Для решения задачи вычислен показатель ИаЯ значение которого определяет минимальные потери в доле а всех худших результатов [12]. При этом первые 50 имеющихся значений цены использовались для построения модели AR(1)-Gaгch(1, 1), а оставшиеся 30 наблюдений для тестирования ИаЯ. Значения ИЯа на уровнях 1%, 5%, 95% и 99% представлены на рис. 3.
Средняя доходность инвестиций в золото на протяжении изучаемого периода составляет 0,4% в год. С вероятностью 0,99 средние потери составят 11,98%, иначе - на 100 млн руб. инвестиций потери составят 11,98 млн руб.
Таким образом, выявлена сезонность временного ряда цены на золото, заключающаяся в относительно более высокой цене в конце и начале календарного года с ноября по март. Построено уравнение тренда, которое позволило выявить эффект последействия для де-сезонализированных уровней ряда цены. Прогнозирование по тренд-сезонной модели позволяет получить прогнозы с низкими значениями относительной ошибки. Показано, что цена на золото значимо детерминируется биржевым индексом Доу-Джонса, резервами монетарного золота России, инфляцией в США и ставкой Федеральной резервной системы, а также переменной коинтеграции (долгосрочными рыночными механизмами корректировки цены). Оценка риска инвестиций в золото дает значение 11,98% на уровне надежности 0,99 для исследуемого временного периода.
Список литературы
1. Александровская Ю.П. Использование фрактальных методов для анализа финансовых рядов // Вестник Казанского технологического университета. 2014. Т. 17. № 18. С. 257-261.
2. Вербик М. Путеводитель по современной эконометрике. М.: Научная книга, 2008. 616 с.
3. Волков Р.Г. Золото в золотовалютных резервах России: сколько его нужно? // Экономический анализ: теория и практика. 2013. № 28. С. 15-20.
4. Гаухман О.Л. Центральные банки на мировом рынке золота // Банковское дело. 2009. № 3. С. 60-64.
5. Голикова Л.А., Козина В.В. Возможности использования статистических методов для анализа и прогнозирования мировой цены золота // СевероВосточный научный журнал. 2012. № 2. С. 22-24.
6. Гусев К.Н. Золото возвращает утраченные позиции // Банковское дело. 2007. № 6. С. 44-46.
7. Зуев К.Н. Оценка влияния спроса и предложения на цену золота. URL: http://vestnik.kuzstu. ru/index.php?page=articles&id=2728.
8. Линкова М.А. Прогнозирование динамики индекса цены драгметаллов на примере золота // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2012. № 4. С. 197-204.
9. Миронов Д.И. Факторы, влияющие на цену золота // Бизнес в законе. 2011. № 2. С. 248-251.
10. Петросов А.А., Потемкина А.А. Долгосрочное прогнозирование цены золота // Горный журнал. 2013. № 12. С. 25-28.
11. Рудницкий А.Г., Рудницкая А.А. Детерминированный хаос и нелинейный прогноз динамики цен золота на рынках Польши, России и Украины // Экономика и предпринимательство. 2012. № 1. С. 17-25.
12. Фантаццини Д. Эконометрический анализ финансовых данных в задачах управления риском // Прикладная эконометрика. 2008. № 2. С. 91-137.
13. ФедороваЕ.А., ЧерепенниковаЮ.Г. Анализ зависимости цены на золото и индекса РТС для
российского рынка с выявлением кризисных периодов // Экономический анализ: теория и практика. 2012. № 44. С. 63-68.
14. Щеголева Н.Г., Хабаров В.И. Трансформация рынка золота и его перспективы // Финансы и кредит. 2012. № 25. С. 31-39.
15. Engle R.F., Granger C.W.J. Cointegration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing // Econometrica. 1987. Vol. 55. № 2. P. 251-276.
16. Green W.H. Econometric Analysis. Prentice Hall International, Inc., 2003. 193 p.
17. Hamilton J. Time Series Analysis. Princeton Univ. Pr., 1994. 816 p.
18. Johansen S. Estimation and Hypothesis Testing of Cointegration Vectors in Gaussian Vector Autoregressive Models // Econometrica. 1991. № 59. P. 1551-1580.
19. Jorion P. Financial Risk Manager Handbook. Wiley, 2007. 752 p.
20. Lbtkepohl H. New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Berlin: Springer-Verlag, 2005. 764 p.
Economic Analysis: Theory and Practice Mathematical Methods and Models
ISSN 2311-8725 (Online) ISSN 2073-039X (Print)
PRICE BEHAVIOR FORECASTING AND INVESTMENT IN GOLD RISK ASSESSMENT
Sergei V. ARZHENOVSKII Abstract
Subject The article studies the price behavior in the gold market as gold is a reserve metal for the world economy.
Objectives The purpose of the study is to obtain prediction estimates of gold price, to assess the risk of investing in gold, and to perform an econometric analysis to identify the factors having effect on the gold price. Methods The methodology base includes the analysis of trends, seasonality, and techniques to reveal autoregressive time series patterns of an isolated time series. To study the multivariate time series, I applied econometric techniques of cointegration and vector autoregressive modeling. The information base of the research includes the monthly data on the gold prices per gram and on a number of macroeconomic indicators, like the Dow Jones index, monetary gold reserves of Russia, the dollar exchange rate, the refinance rate of the Federal Reserve, inflation in the United States.
Results I have developed a trend-seasonal autocorrelation model to predict the dynamics of the gold price in view of the 2008 crisis, and vector autoregressive model with the error correction mechanism for a multivariate time series.
Conclusions and Relevance Under the model, the short-term forecast of gold price has an average relative error of 3.8%. The econometric modeling shows that the gold price is significantly determined by the Dow Jones Index, monetary gold reserves of Russia, the US inflation rate and the refinance rate of the Federal Reserve System, as well as by long-term market mechanisms of price adjustment. For the studied time period, the estimated risk of investing in gold is 11.98% at the level of reliability of 0.99.
Keywords: gold, forecasting, vector autoregression, investment risk
References
1. Aleksandrovskaya Yu.P. Ispol'zovanie fraktal'-nykh metodov dlya analiza finansovykh ryadov [The use of fractal methods to analyze financial series]. VestnikKazanskogo tekhnologicheskogo universiteta = Bulletin of KSTU, 2014, vol. 17, no. 18, pp. 257-261.
2. Verbik M. Putevoditel' po sovremennoi ekonometrike [A guide to modern econometrics]. Moscow, Nauchnaya kniga Publ., 2008, 616 p.
3. Volkov R.G. Zoloto v zolotovalyutnykh rez-ervakh Rossii: skol'ko ego nuzhno? [The gold in the Russian gold and foreign currency reserves: how much do we need it?]. Ekonomicheskii analiz: teoriya iprak-tika = Economic Analysis: Theory and Practice, 2013, no. 28, pp. 15-20.
4. Gaukhman O.L. Tsentral'nye banki na mirovom rynke zolota [Central banks in the global gold market]. Bankovskoe delo = Banking, 2009, no. 3, pp. 60-64.
5. Golikova L.A., Kozina V.V. Vozmozhnosti ispol'zovaniya statisticheskikh metodov dlya analiza i prognozirovaniya mirovoi tseny zolota [Usability of statistical methods to analyze and forecast world price for gold]. Severo-Vostochnyi nauchnyi zhurnal = NorthEast Scientific Journal, 2012, no. 2, pp. 22-24.
6. Gusev K.N. Zoloto vozvrashchaet utrachennye pozitsii [Gold recovers ground]. Bankovskoe delo = Banking, 2007, no. 6, pp. 44-46.
7. Zuev K.N. Otsenka vliyaniya sprosa ipredloz-heniya na tsenu zolota [Assessing the impact of supply and demand on gold price]. Available at: http://vest-nik.kuzstu.ru/index.php?page=articles&id=2728. (In Russ.)
8. Linkova M.A. Prognozirovanie dinamiki in-deksa tseny dragmetallov naprimere zolota. V kn.: XXI vek: itogi proshlogo i problemy nastoyashchego plyus [Predicting the dynamics of precious metals price index on the case for gold. In: 21st Century: Results of Past and Problems of Present Plus], 2012, no. 4, pp. 197-204.
9. Mironov D.I. Faktory, vliyayushchie na tsenu zolota [Factors influencing the gold price]. Biznes v zakone = Business in Law, 2011, no. 2, pp. 248-251.
10. Petrosov A.A., Potemkina A.A. Dolgosrochnoe prognozirovanie tseny zolota [Long-term forecasting of gold prices]. Gornyi zhurnal = Mining Journal, 2013, no. 12, pp. 25-28.
11. Rudnitskii A.G., Rudnitskaya A.A. Deter-minirovannyi khaos i nelineinyi prognoz dinamiki tsen zolota na rynkakh Pol'shi, Rossii i Ukrainy [Deterministic chaos and nonlinear prediction of gold prices in the markets of Poland, Russia and Ukraine]. Ekonomika i predprinimatel 'stvo = Economy andEntrepreneurship, 2012, no. 1, pp. 17-25.
12. Fantazzini D. Ekonometricheskii analiz fin-ansovykh dannykh v zadachakh upravleniya riskom [Econometric analysis of financial data in risk management]. Prikladnaya ekonometrika = Applied Econometrics, 2008, no. 2, pp. 91-137.
13. Fedorova E.A., Cherepennikova Yu.G. Analiz zavisimosti tseny na zoloto i indeksa RTS dlya rossiisko-go rynka s vyyavleniem krizisnykh periodov [Analysis of dependence of gold price and the RTS index for the Russian market and crisis periods identification]. Ekonom-icheskii analiz: teoriya i praktika = Economic Analysis: Theory and Practice, 2012, no. 44, pp. 63-68.
14. Shchegoleva N.G., Khabarov V.I. Transformat-siya rynka zolota i ego perspektivy [The transformation ofthe gold market and its perspectives]. Finansy i kredit = Finance and Credit, 2012, no. 25, pp. 31-39.
15. Engle R.F., Granger C.W.J. Co-integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing. Econometrica, 1987, vol. 55, no. 2, pp. 251-276.
16. Green W.H. Econometric Analysis. Prentice Hall International, Inc., 2003, 193 p.
17. Hamilton J. Time Series Analysis. Princeton Univ. Pr., 1994, 816 p.
18. Johansen S. Estimation and Hypothesis Testing of Cointegration Vectors in Gaussian Vector Autoregressive Models. Econometrica, 1991, no. 59, pp.1551-1580.
19. Jorion P. Financial Risk Manager Handbook. Wiley, 2007, 752 p.
20. Lutkepohl H. New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Berlin, Springer-Verlag, 2005, 764 p.
Sergei V. ARZHENOVSKII
Rostov State Economic University (RINH), Rostov-on-Don, Russian Federation sarzhenov@gmail.com
