Обоснование модели сыпучих сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 631.243.242

ОБОСНОВАНИЕ МОДЕЛИ СЫПУЧИХ СРЕД © 2013 г. А.Ю. Несмиян

Предложена модель сыпучего тела, позволяющая аналитически описывать взаимное расположение частиц сыпучих материалов исходя из их известных физико-механических свойств.

Ключевые слова: сыпучий материал, шарообразная частица, эллипсоидная частица, объем призмы, угол укладки, распределение сил.

A model of the granular body, allowing describe analytically the mutual disposition of the granular materials particles based on their known physical and mechanical properties is offered.

Key words: granular material, spherical particle, ellipsoidal particle, volume of a prism, installation angle, distribution of forces.

Частицы сыпучих материалов, таких как зерно, удобрения, семена, находясь в различных емкостях, хаотично распределяются по их объему, что затрудняет проведение необходимых теоретических расчетов. В связи с этим при оценке распределения сил между частицами сыпучих сред зачастую используют различные модели, среди которых одной из наиболее простых и достоверных является модель сыпучей среды, предложенная и широко распространенная такими учеными, как Ю.А. Гейм, В.Ф. Семенов, Л.В. Гячев [1], В.А. Богомягких [2, 3] и т. д.

В этой модели предполагается, что материал состоит из одинаковых по разме-

ру, абсолютно твердых шаровых частиц, подчиняющихся закону сухого трения. Причем шаровые частицы расположены в емкости послойно с некоторым среднестатистическим углом укладки в, который определяется углом, образованным вертикальной осью и общей нормалью к шаровым частицам в точке их контакта (рисунок 1). Давление на стенки бункера передается в предложенной модели от частицы к частице по контактным прямым линиям. Таким образом, принятый угол укладки в шаровых частиц является основной характеристикой эквивалентности модели исследуемому материалу [1, 2].

Рисунок 1 - Угол укладки шаровых частиц

У различных авторов нет единого для различных сыпучих сред угол в может мнения о значениях данного показателя. приниматься 35° 157 (как для наиболее веПри проведении теоретических расчетов роятной тетрагонально-сфероидальной

26

укладки) или 22° 12' (как среднее возможное значение для предельных плотных укладок [2]), некоторые авторы путем вычислений получали теоретический угол укладки для семян различных культур 4555° [1], некоторые - 16° [4] и т.д. Однако эти значения определены, в подавляющем большинстве, умозрительно, без учета реальных технологических свойств сыпучих сред.

В связи с этим возникла необходимость выявления простых зависимостей, позволяющих определить угол укладки частиц в для любого реального сыпучего материала исходя из его известных физико-механических свойств.

В литературных источниках [5] отмечается, что для частиц сыпучего тела ха-

Во втором случае объем призмы ограничен вертикальными плоскостями, проходящими через отрезки ОН, Н1, II, Ж, КЬ, горизонтальной плоскостью, проходящей через отрезок МК и плоскостью ОНЦКЬ (рисунок 3). Причем из рисунков видно, что все горизонтальные плоскости проходят через точки контакта рассматриваемого слоя шаровых частиц с выше- или нижележащими шаровыми частицами.

Легко заметить, что в обоих случаях высоту призмы можно определить исходя из выражения

рактерны наиболее плотные укладки, к которым можно отнести пирамидальную и тетраэдральную [1, 2, 5]. Причем плотность укладки частиц в обоих случаях примерно одинакова (пористость 25,95%) [2].

На рисунке 2 схематично показано расположение шарообразных частиц при их пирамидальной укладке, а на рисунке 3 - при тетраэдральной.

Каждую шаровую частицу можно представить вписанной в призму определенного объема [6]. В первом случае (пирамидальная укладка) этот объем ограничен вертикальными плоскостями, проходящими через отрезки АВ, ВБ, БС, СА, а также горизонтальной плоскостью, проходящей через отрезок ББ, и плоскостью АВСБ (рисунок 2).

А-АI

h = do • cos /3 , м, (1)

где do - диаметр шаровых частиц, м.

Основанием призмы в первом случае является квадрат, во втором - шестиугольник. Поскольку нет оснований считать тот или другой вид укладки предпочтительным [6], то общая формула с учетом известных выражений [7] для определения площади основания призмы после преобразований примет вид

2 2

S = 2,3 • do sin 33 , м2. (2)

Рисунок 3 - Тетраэдральная укладка шарообразных частиц

Тогда усредненный объем призмы, в Считая, что размеры частиц намного

которой размещена частица, меньше размера бункера, в котором они

V = 2 3 • d 3 sin2 Р • eosР м3 (3) размещены, определим объем бункера, за-

o ' нятый семенами.

УБ = V • N = 2,3 • N • do 3 sin2 р • cos р , м3,

где N - количество шаровых частиц в бункере, шт. Суммарный объем шаровых частиц в бункере

1

' 3 " (5)

„ М з V = —, м ,

(4) (6)

Ш

Р

V = •ж•d 3 • N, м3.

Ш

6

V = М 3 а

Одновременно с этим V —, м , а

Б г

Тогда

Vш Г

где М - масса частиц сыпучего тела в бункере, кг; у - насыпная плотность материала, кг/м3;

р - средняя плотность частиц сыпучего материала, кг/м3.

1 3

-• ж ■ йа ■ N 6

VE р 2,3 • N • da 3 sin2 р • cos р

(7)

o

Преобразуя выражение (7), получим

Р = 4,39

Г

Полученная модель устанавливает взаимосвязь между тремя факторами -насыпной плотностью материала (у), плотностью частиц (р) и углом их укладки (в), причем для большинства сыпучих материалов значения у и р содержатся в справочной литературе или могут быть легко

in2 Р ■ cos Р . (8)

определены экспериментально по известным методикам [8, 9].

С использованием выражения (8) в редакторе Mathcad был произведен расчет углов укладки частиц некоторых сыпучих материалов (семян), результаты которого приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Данные к расчету угла укладки семян

Культура Плотность, р, кг/м3 Натура, у, кг/м3 р/у Угол укладки, в, град

Тыква 520 340 1,53 44

Хлопчатник 900 580 1,55 45

Кукуруза 1100 800 1,38 40

Клещевина 850 550 1,67 45

Соя 1150 750 1,53 44

Подсолнечник 660 470 1,40 40

Данные таблицы 1 позволяют сделать вывод, что для многих культур значение угла укладки семян близко к 45°, т.е. при теоретических расчетах их укладку можно считать пирамидальной.

Однако следует учитывать, что рассмотренная модель сыпучей среды имеет ряд существенных недостатков. Так, например, она не может быть применена к материалам, форма частиц которых значительно отличается от шарообразной (семена овса, сечка соломы, измельченный силос и т.д.), более того, она не имеет физического смысла при углах укладки меньше тридцати и больше восьмидесяти градусов.

Поэтому более рациональной в использовании будет модель, в которой предполагается, что сыпучая среда состоит из

одинаковых по размеру абсолютно твердых эллипсоидов вращения (рисунок 4 а), ось вращения которых (2а1) (рисунок 4 б) расположена вертикально. Эллипсоиды подчиняются законам сухого трения и расположены в емкости послойно с некоторым среднестатистическим углом укладки в, который определяется углом, образованным вертикальной осью и общей нормалью к эллипсоидам в точке их контакта.

Как и ранее считаем, что каждая частица вписана в призму, которая по высоте ограничена горизонтальными плоскостями, проходящими через отрезки ВС и ББ (рисунок 4 а), а площадь основания ограничена либо квадратом, либо шестиугольником (рисунки 2, 3).

Рисунок 4 - Предлагаемая модель укладки частиц (а) сыпучего материала и основные параметры его частицы (б)

Высоту призмы можно определить,

зная расстояние от точки контакта М частиц до центра масс эллипсоида (рисунок 4 б).

где Г1 и Г2 - расстояние от точки контакта М до полюсов эллипса, вращением которого образован эллипсоид, м. Тогда

где хо - коорДината'точки М ПЙ оси°Х, (10)

Объем эллипсоида

(18)

(19)

- (рисунок 4 б); с - эксцентриситет,

(11)

Выражение (19) связывает такие показатели, как насыпная плотность материа-

(12)

т. е.

С учетом зависимостей (10-12) выражение (9) после упрощений примет вид

(13)

Однако

(рисунок 4), тогда

(14)

Соответственно высота И призмы, в которой размещен эллипсоид,

(15)

где а1 - первая полуось (вертикальная), м; Ь - вторая полуось, м.

Площадь основания призмы определяется так же, как в случае рассмотрения укладки шаровых частиц:

Тогда объем призмы

(16) . (17)

ла (у), плотность частиц материала (р), размерные характеристики частиц и угол их укладки (р).

Рассмотрим частный случай выражения (19), когда а1=Ь1 (шар), при этом

(20)

После преобразований

(21)

Это соответствует полученному ранее выражению (8), подтверждая, что оно лишь является частным случаем выражения (19).

На рисунке 5 представлено графическое отображение зависимости (19) при различных соотношениях а1 к Ь1.

Как видно из рисунка 5, при фиксированном отношении значений полуосей а1 и Ь1, одно и то же соотношение р/у может

иметь место при двух различных значениях угла укладки частиц р. Это связано с тем, что в предельных значениях, при одинаковой пористости материала, рассматриваемые частицы могут располагаться с образованием как горизонтальных (рисунок 6 а) так и вертикальных (рисунок 6 б) рядов, что затрудняет анализ выражения (19).

Кроме того, анализ усложняется в связи с тем, что эллипсоидные частицы могут быть ориентированы в сыпучем материале как вертикально (рисунок 6), так и горизонтально (рисунок 7).

1 \ а / л 3 - г У 4 Л й

/' ( / /ч ■■ \ / ■ \ / ■ Л Л \ / 4

/ 1 ! / / / у г у V/ '">" А V / 4 \ / \ V V \ \ V ч\

' / ¿Г ч

/ / \ || ¡1

О 24 49 40 р, град

1 - вертикальная ориентация частиц ^/¿1=4); 2 - вертикальная ориентация частиц («//¿1=2); 3 - шаровые частицы («//¿1=1); 4 - горизонтальная ориентация частиц (|^/¿1=2); 5 - горизонтальная ориентация частиц (а1/Ъ}=4) Рисунок 5 - Зависимость соотношения насыпной плотности сыпучего материала и плотности эллипсоидных частиц от угла их укладки

а - с образованием горизонтальных рядов; б - с образованием вертикальных рядов Рисунок 6 - Предельные плотные укладки частиц сыпучего материала при их вертикальной ориентации

а - с образованием горизонтальных рядов; б - с образованием вертикальных рядов Рисунок 7 - Предельные плотные укладки частиц сыпучего материала при их горизонтальной ориентации

Поэтому при проведении теоретических расчетов необходимо аналитическим путем задавать предпосылки, позволяющие установить модель сыпучего тела, наиболее адекватную реальному физическому материалу.

Так, например, анализ энергетического баланса сыпучей среды, предложенный профессором А.М. Семенихиным [10], позволяет сделать вывод, что в движущемся вертикально потоке частиц, они будут ориентированы вертикально с образованием вертикальных же рядов (рисунок 6 б). Слой частиц, находящийся в статическом состоянии, со временем примет положение наиболее близкое к укладке, изображенной на рисунке 7 а. То есть при работе с предполагаемым вертикальным расположением частиц предпочтительно выбирать наибольшее значение угла укладки из двух, полученных расчетным путем, а при рассмотрении горизонтально ориентированных частиц - наименьшее.

То же самое относится к рассмотрению материала, образованного шарообразными частицами - в движущемся вертикально материале они будут образовывать вертикальные потоки (ряды), в статическом - горизонтальные.

Однако зависимость (19) справедлива только в том случае, если все частицы сыпучего материала в бункере ориентированы одинаково - либо вертикально, либо горизонтально, чего в реальных условиях не происходит - семена располагаются в занимаемом объеме более или менее хаотично. В связи с этим важнейшим вопросом при определении угла укладки частиц сыпучего материала становится вопрос определения их преобладающей ориентации и ее количественная оценка.

Для оценки усредненных показателей, характеризующих ориентацию частиц различных сыпучих сред, в работе был проведен эксперимент.

1. В металлическое кольцо внутренним диаметром 104 мм и высотой 12 мм поочередно засыпали семена различных культур (подсолнечника «Флагман», клещевины «Донская крупнокистая», кукурузы «Рик 340 МВ»). Вертикальным встряхи-

ванием добивались равномерного сплошного заполнения ими объема кольца. Затем из него аккуратно извлекались все семена, не принадлежащие первому, нижнему слою (т.е. те, которые не касались поверхности опоры кольца, или центры тяжести которых визуально определялись как расположенные на уровне или выше вершин соседних семян). Оставшиеся семена под-считывались, затем, путем деления площади кольца на число семян N (шт.), определялась площадь основания £ (мм2) условной призмы, занимаемой одним семенем в слое. Эксперимент для каждой культуры проводился в трех повторностях.

2. Воспользовавшись зависимостью между площадью правильного многоугольника и радиусом вписанной окружности

8 = п-гЧ§(а/2), (22)

где £ - площадь правильного многоугольника, м2; п - число сторон многоугольника, шт.; г - радиус вписанной в многоугольник

окружности, м; а - значение центрального угла многоугольника, град, определили радиус вписанной в основание призмы окружности (считая, равновероятными квадратное и шестиугольное основания).

г . (23)

3. Считая, что в цилиндре семена располагаются по большей части горизонтально, определили радиус окружности гэ, эквивалентной по площади прямоугольнику со сторонами I (средняя длина семян) и Ь (средняя ширина семян).

4. Определили среднее соотношение кг значений г и гэ (таблица 2).

5. Семена рассматриваемых культур (подсолнечника «Флагман», клещевины «Донская крупнокистая», кукурузы «Рик 340 МВ») засыпали в металлический цилиндр внутренним диаметром 76 мм и высотой 45 мм. Вертикальным встряхиванием добились равномерного сплошного заполнения ими объема кольца, лишние семена удалили. Оставшиеся семена были подсчитаны.

Таблица 2 - Показатели расчета параметров основания условной призмы

Культура Ыэ, шт. 2 5, мм г, мм 1, мм Ъ, мм гэ, мм кг= г/гэ

Подсолнечник 213 40 3,3 11,0 5,5 4,4 0,75

Кукуруза 121 70 4,3 10,2 10,8 5,9 0,73

Клещевина 102 83 4,7 12,9 8,7 6,0 0,78

Среднее значение (кг р) 0,75

6. Путем деления площади основания цилиндра Эц на площадь основания 5 условной призмы, в которую вписано семя, определили число семян в одном слое Ыэц, а затем, делением общего числа семян в цилиндре Ыуц на данный показатель - число слоев семян в цилиндре Ыщ, зная кото-

рое нетрудно найти высоту одного слоя семян к.

7. Воспользовавшись выражением (16) и полученными в эксперименте данными провели предварительный расчет значений углов укладки семян в цилиндре вр (таблица 3).

Таблица 3 - Показатели расчета параметров высоты условной призмы

12| | | | | Культура__5, мм Ыщ, шт. Ыщ, шт. Ыиц, шт. к, мм__вр, град

Подсолнечник__40__1345 113,3__11,9__3,8__47,6

Кукуруза__70__425__648__6,6__6,8__39,1

Клещевина__83__399__54,6__7,3__6,2__44,1

8. Зная экспериментально определенные высоту слоя семян к и радиус окружности г, вписанной в основание условной призмы (считая, что г = Ъ\), нашли значение вертикальной полуоси эллипсоидной частицы а1* с использованием

выражения (15). Полученное значение а1* сравнивалось со значениями половины толщины семян Был определен усредненный переводной коэффициент ка (таблица 4).

Таблица 4 - Данные к определению вертикальной полуоси эллипсоидной частицы

Культура 1, мм а1*, мм ка = 2а\*/г

Подсолнечник 3,4 2,4 1,41

Кукуруза 5,9 4,4 1,49

Клещевина 6,2 4,2 1,35

Среднее значение (ка р) 1,42

9. С использованием полученных значений средних линейных характеристик размеров семян (гэ и ¿), плотности р и объемной массы у семян (таблица 5), а также усредненных переводных коэффициентов

ка р и кг р в редакторе МаШСаё было графически отображено выражение (19) для исследуемых культур и определено значение углов укладки в семян для них (рисунок 8).

Таблица 5 - Результаты определения угла укладки семян

Культура а1 = ка мм Ъ = кг ргэ, мм р, кг/га у, кг/га в, град

Подсолнечник 2,4 3,3 660 470 49,0

Кукуруза 4,2 4,4 1100 800 41,0

Клещевина 4,4 4,5 850 550 46,0

Клеи / По< -/-у- 4ее и на Эсолнечник Подсол чечник

V Кукуруза У,

Клещевш Кукуруза ча 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ш .—

" 20 40 60 80 р, град

Рисунок 8 - Зависимость соотношения объемной массы исследуемых материалов и плотности принятых эллипсоидных частиц от угла их укладки

Сравнивая полученные разными способами значения углов укладки вр и в семян, приведенные в таблицах 3 и 5, можно сделать вывод, что они достаточно близки (разница не превышает 5%) и, соответственно, предложенное выражение (19) достаточно точно описывает состояние сыпучего материала.

Значит, при рассмотрении сыпучих материалов, свободным образом расположенных в емкости с горизонтальным дном, частицы, их составляющие, можно рассматривать как эллипсоиды вращения, расположенные таким образом, что их вертикальная ось примерно в 1,42 раза больше толщины рассматриваемых семян, а горизонтальная - в 1,33 раза меньше радиуса окружности, эквивалентной по площади прямоугольнику, со сторонами равными средней длине и средней ширине семян.

Анализ данных рисунка 8 позволяет заключить, что при описанных условиях семена отдельных культур располагаются в занимаемом объеме таким образом, что параметры описывающих их эллипсоидов близки к параметрам шаровых частиц (клещевина, кукуруза), то есть для описания подобной сыпучей среды достаточно и ранее используемой модели. Однако для частиц, реальная форма которых значи-

тельно отличается от шарообразной (например, семена подсолнечника), более рационально использовать модель сыпучей среды, предложенную в данной статье.

При этом следует учитывать, что приведенные в статье усредненные переводные коэффициенты ка р=1,42 и кг р=0,75 применимы только при рассмотрении сыпучих сред, свободно размещенных в емкости с вертикальными стенками и горизонтальным дном. При размещении материалов в емкостях с наклонными стенками или дном, при прессовании материала (например, при заготовке силоса), при рассмотрении движущегося потока частиц возможно иное значение данных коэффициентов, которые могут быть определены по приведенной в статье методике.

Таким образом, автором предложена модель сыпучей среды, в которой предполагается, что она состоит из одинаковых по размеру абсолютно твердых эллипсоидов вращения, полуоси которых связаны с линейными размерами семян переводными эмпирическими коэффициентами. Эллипсоиды ориентированы вертикально и подчиняются законам сухого трения. Причем эллипсоидные частицы расположены в емкости послойно с некоторым среднестатистическим углом укладки, который опре-

деляется углом, образованным вертикальной осью и общей нормалью к эллипсоидам в точке их контакта.

Данная модель более универсальна, чем применяемая ранее. Она позволяет в теоретических расчетах использовать характеристики реальной сыпучей среды. В статье также предложено выражение, позволяющее установить зависимость между такими характеристиками сыпучего материала, как его насыпная плотность (у), плотность частиц материала (р), размеры частиц и угол их укладки (в).

Литература

1. Гячев, Л.В. Основы теории бункеров / Л.В. Гячев. - Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 1992. - 311 с.

2. Богомягких, В.А. Обоснование параметров и режимов работы сводоразру-шающих устройств бункерных дозирующих систем сельскохозяйственных машин и установок / В. А. Богомягких, В.П. Трем-бич, А.И. Пахайло. - Зерноград: ВНИПТИМЭСХ. - 1997. - 124 с.

3. Богомягких, В.А. Интенсификация разгрузки бункерных устройств в условиях сводообразования зернистых материалов / В. А. Богомягких, А. П. Пепчук. - Зерно-град: ВНИПТИМЭСХ, 1995. - 161 с.

4. Бертов, А.А. Интенсификация технологического процесса высева семян под-

солнечника аппаратом пневматической сеялки: автореферат диссертации кандидата технических наук / А.А. Бертов. - Зерно-град, 1984. - 18 с.

5. Бузенков, Г. А. Машины для посева сельскохозяйственных культур / Г. А. Бу-зенков, С.А. Ма. - Москва: Машиностроение, 1976. - 272 с.

6. Несмиян, А.Ю. Определение угла укладки частиц сыпучих материалов / А.Ю. Несмиян, Д.Е. Шаповалов,

B.И. Хижняк // Механизация и электрификация сельского хозяйства. - 2010. - № 7. -

C. 19-20.

7. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов / И. Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. -Москва: Наука, 1981. - 718 с.

8. Физико-механические свойства растений, почв и удобрений: методы исследования, приборы, характеристики / Б. А. Воронюк, А.И. Пьянков, Л.В. Миль-цева и др. - Москва: Колос, 1970. - 423 с.

9. ГОСТ 12037-81. Зерно. Методы определения натуры. - Москва: Изд-во стандартов, 1968. - 3 с.

10. Сенаж и силос в траншеях: монография / А.М. Семенихин, Е.Б. Сафиулина, Л. А. Гуриненко и др.; под ред. А.М. Семе-нихина. - Зерноград: ФГБОУ ВПО АЧГАА, 2012. - 202 с.

Сведения об авторе

Несмиян Андрей Юрьевич - канд. техн. наук, доцент, заведующий кафедрой механизации растениеводства Азово-Черноморской государственной агроинженерной академии (г. Зерноград). Тел.: 8-904-34-68-354, 8(86359) 43-2-90.

Information about the author Nesmiyan Andrey Yurievich - Candidate of Technical Sciences, associate professor, head of the Plant-growing mechanization department, Azov-Black Sea State Agroengineering Academy (Zernograd). Phone: 8-904-34-68-354, 8(86359) 43-2-90.