Обоснование алгоритма интегрирования напряжений вдоль граничных линий скольжения в осесимметричных задачах теории пластичности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374.

Г.В. Панфилов, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82,

Мрап.2000 @уа^ех.т (Россия, Тула, ТулГУ),

С.В. Недошивин, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-37-60, Archon80@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ),

П.В. Судаков, асп., (4872) 35-14-82, sudakov- тр f@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ИНТЕГРИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ВДОЛЬ ГРАНИЧНЫХ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Приведен разработанный алгоритм интегрирования нормальных и касательных напряжений вдоль граничных линий скольжения при определении проекций сил в требуемом направлении с использованием текущей радиальной координаты, в качестве которой используются соответствующие проекции самих граничных линий скольжения.

Ключевые слова: поле линий скольжения, осесимметричная задача, аналитический метод, силовой анализ.

Известно, что при сдвиговом механизме осесимметричная пластическая деформация возможна только при сдвигах на двух ортогональных плоскостях скольжения, касательных к направлениям максимальных касательных напряжений и направленных по биссектрисам углов между направлениями главных напряжений. Это состояние называют условием полной пластичности, в соответствии с которым при пластической деформации окружное напряжение ад равно одному из главных напряжений в меридиональной плоскости и два главных напряжения равны между собой. В такой постановке осесимметричная задача идеальной пластичности является статически определимой и гиперболической [1, 2].

Совместное решение дифференциальных уравнений равновесия и условия полной пластичности позволяет использовать хорошо развитый метод линий скольжения для решения осесимметричных технологических задач теории пластичности. Достаточно широкий круг аналогичных задач изучен численным методом линий скольжения в работах А.Ю. Ишлинско-го, Д.Д. Ивлева [3], Б.А. Друянова и Р.И. Непершина [4]. Однако очевидно, что наличие результирующих аналитических зависимостей, позволяющих определять геометрические и силовые параметры исследуемых процессов, обеспечивает возможность глубокого анализа закономерностей формирования пластических областей, их достоверного аналитического описания соответствующими полями линий скольжения, оптимизации численных значений указанных параметров. В работе [5] установлены интегральные зависимости, позволяющие рассчитывать средние напряжения вдоль граничных линий скольжения с учетом зависимости их значений от радиаль-

160

ной координаты в осесимметричных задачах обработки металлов давлением.

Во многих технологических задачах определение потребной для реализации исследуемых операций технологической силы осуществляется путем аналитического интегрирования средних нормальных и касательных напряжений вдоль граничных линий скольжения. Как отмечалось ранее, в осесимметричных процессах теории пластичности среднее напряжение является функцией радиальной координаты. Последнее обусловливает необходимость разработки алгоритма интегрирования нормальных и касательных напряжений вдоль граничных линий скольжения для определения проекций сил в требуемом направлении с использованием текущей радиальной координаты.

Особенности разработанного алгоритма аналитического интегрирования рассмотрено на фрагменте анализа операции пробивки отверстий в листовых заготовках пуансоном с коническим торцом (рис. 1).

Рис. 1. Вариант конструкции поля линий скольжения при пробивке отверстий в листовых заготовках пуансоном с коническим торцом

Интегрирование указанных напряжений вдоль любой граничной линии скольжения предлагается осуществлять по круговому обводу и текущей радиальной координате, в качестве которой используется текущая радиальная проекция этой же граничной линии скольжения.

В общем случае осевой симметрии вдоль, например, граничной а -линии скольжения в дифференциальной форме в размерных величинах можно записать выражение для приращения силы от нормальных и каса-

тельных напряжений на элементарной площадке (приращении длины а -линии скольжения), имеющей свои угловые и радиальную координаты

dPос (5,п*) = а (5,п*) • 2п • R1 (5*,п*) • dSа ± к • 2п • R1 (5*,п*) ■ dSа =

= 2п • а(^,п*) • ^*(5,п*) • R1 (5*,п*) •d5± 2п-к • ^х(5,п*) • R1 (5*,п*) •d5 (1) Здесь 5 - текущий угловой параметр элементарной площадки вдоль указанной граничной а - линии скольжения; 5* - переменная (угловой параметр), относящаяся только к радиальной координате; п* - фиксированное значение (константа) второй угловой координаты граничной а - линии

скольжения, полученное из предыдущих решений; а(^, п*) - текущее значение среднего нормального напряжения вдоль исследуемой граничной а -линии скольжения; ^(5*,п*) - текущая радиальная координата этой элементарной площадки; 2тс-Rl(5*,п*) - элементарная кольцевая (окружная) площадка; dSа - приращение длины граничной а - линии скольжения; Яа(^, п*) - выражение радиуса кривизны рассматриваемой длины граничной а - линии скольжения.

Расчет текущей радиальной координаты элементарной площадки при интегрировании вдоль а - линии скольжения рассмотрим конкретно для граничной линии скольжения ВС (рис. 1, 2).

Для а - линий скольжения, начинающихся на конической поверхности пуансона, общее значение радиальной координаты, отсчитываемой от оси симметрии пуансона и всего процесса в целом (рис. 2), складывается из двух составляющих:

Л1 (5*, п* = 0 ) = Д,Я +дяь (2)

где в данном случае ЯН = ЯВ = (dp - диаметр пуансона) - начальная

радиальная координата, от которой начинается интегрирование. Приращение радиальной координаты Д^ рассчитывается как соответствующая проекция длины отрезка а - линии скольжения от начальной границы интегрирования (точка В при 5* = 0) до текущей (5* = 5). Дифференциал этого приращения

dДЯ±(^*,п*) = cos -4 + ю-^* • dSвc = Ra(^*,П*)'cos -4 + ю-^* • d^*,

у

*

где п - константа и ю - предельная величина увеличивающегося от нуля при интегрировании вдоль линии скольжения углового параметра (верхний предел интегрирования). В других конструкциях полей линий скольжения

второй сомножитель правой части последнего выражения может быть представлен иной тригонометрической функцией согласно геометрической схеме исследуемого процесса.

Рис. 2. Схема для расчета проекций сил вдоль граничной линии скольжения ВС

В интегральном виде вдоль отрезка а - линии скольжения

4

ДЙ1 (г,п*Ы Ra («*.п*) • cosI -4 + ш - г I • d5* . (3)

0 ^4 '

При расчетах осесимметричной силы всегда следует использовать зависимость (3), поскольку она входит составляющей в подынтегральную функцию при интегрировании напряжений вдоль линий скольжения.

С учетом (2) и (3) зависимость (1) для приращения силы можно представить в виде

4

dPoc (4 П*) = 2 п-°(4, П*)-Ra(4, П*)- rH + J Ra(4*> П*)-cos (j + ю—4*)-d4

4

- d 4±

± 2п -k- Ra

(4П*)- R\ +JRa(4*.П*)

П I - cos

п Jt*

—+ ю — 4 - d 4

V4 )

d 4.

(4)

В интегральном представлении величина силы от нормальных и касательных напряжений, действующих на определенном участке длины граничной а - линии скольжения, записывается в виде

4

Рос (4> П*) = 2n-ja(4, П*)-Ra(4, П*)- R\ +J Ra(4*> П*)-cos (j +ю—4*)-d4

± 2 п - k - J Ra

-J Ra(4, n*)- R\ +JRa(4*. n*)

0 0

(

n - cos

п

- d4 ±

—+ ю — 4 - d 4

v 4 )

- d4.

(5)

0

Здесь ю - также верхний предел интегрирования вдоль рассматриваемой граничной линии скольжения.

Поскольку верхний предел внутренних интегралов выражения (5) принимает текущие значения, соответствующие значениям переменной интегрирования внешнего интеграла, то данный интеграл становится функцией этого предела [6]. Поскольку переменная интеграции и верхний предел внутреннего интеграла играют разную роль в процессе интегрирования, то они обозначены разными символами (£,* и 4). На основании изложенного выражение (5) позволяет представлять внутренний интеграл (радиальную координату) отдельно в виде части подынтегральной функции внешнего интеграла.

В частном случае, для схемы процесса, представленного на рисунке

2, с учетом того, что радиус кривизны граничной линии скольжения ВС

(без учета знака) определяется выражением RBc (£, ю) = >/2 • R0 • exp 4 , сохраняя принятую систему обозначения переменных, для составляющей радиальной координаты можно записать

AR1 (4*, n*) = j RBC (Г , Л*)’cos 4 + ю-Г ■d 4* =

= л/2R0 - j exp ^* - cos —ъш-^* - d = R0 - [sin ш- exp £- sin (ш-^)]

0 v4 J

При подстановке полученной составляющей радиальной координаты в (5) с учетом того, что текущее среднее нормальное напряжение определяется

зависимостью а(^,п*) = —0,5 — 4, и последующем определении вертикальной проекции силы (осевой составляющей), можно записать

P,

BC

2k ■ R

UJ

2п ■ J (-0,5 - 4) ■ V2exp4 ■

0

0

ю

d —

sin ш

- exp4 ■ sin(ю - 4)+------—

(

cos

л

п ■ í'/2 exp 4

d —

sin ш

- exp 4 ■ sin (ю -4) +---------—

2

(

-sin

л

(6)

где - относительный геометрический размер (диаметр пуансона),

позволивший вынести Ro за знак интеграла и записать выражение (6) как

безразмерную относительную величину.

При символическом вычислении интегралов выражения (6), являющихся обобщенными для решении осесимметричных задач теории пластичности, в которых линии скольжения представляют собой логарифмические спирали (радиусы кривизны которых, используемые при расчетах, есть экспоненты), с помощью интегрального преобразования Лапласа-

0

Карсона [7] получены значения ряда типовых интегралов, в частности, таких как:

a i

1. J exp2^- sin cos d4 = — [exp 2 a (sin 2 a - cos 2 a) +l].

a 1

2- JS- exP(-2S)- cos2 S- dS = 76 0 76

exp (-2a ) - [( 2a +1) - sin2a - 2a - cos2a J -— 2 - (2a +1) - exp(—2a) + 2

( 3 - 4a)-cosa

f п ^ 1 exp 2a - +

cos a + S 14 J - sin S - d S = ,--< 16 -V 2 + (8a - 3 )-sin a >

+ sin a - 3cos a

и многих других.

Таким образом, разработанный алгоритм аналитического интегрирования средних нормальных и касательных напряжений вдоль граничных линий скольжения в осесимметричных задачах теории пластичности позволяет проводить силовой анализ многих технологических операций обработки металлов давлением и определять необходимые проекции сил в требуемых направлениях.

Список литературы

1. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии // Сб. переводов «Механика». М.: ИИЛ. 1957. С. 102-122.

2. Панов А.А., Панфилов Г.В., Шуляков А.В. Оценка интенсивности изменения напряжений в меридианальной плоскости осесимметричных задач теории пластичности // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ. Вып. 2. 2010. С. 34-43.

3. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. 704 с.

4. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990. 272 с.

5. Панфилов Г.В., Недошивин С.В., Хвостов Е.Ю. Особенности многооперационной холодной штамповки остроконечных стержневых соединительных элементов // Кузнечно-штамповочное производство. М.: Машиностроение. № 12. 2011. С. 20-25.

6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.

7. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному

0

a

0

исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 232 с.

G. V. Panfilov, S. V. Nedoshivin, P. V. Sudakov

BASIS FOR INTEGRATION ALGORITHM ALONG THE BOUNDARY STRESSES SLIP LINES IN PLASTICITY THEORY’S AXISYMMETRIC PROBLEMS

There is developed algorithm integrating the normal and tangential stresses along the boundary slip lines in determining the power projection in required direction by using current radial coordinate, which is used as the corresponding projections of the boundary slip lines themselves.

Key words: slip line field, axisymmetric problem, the analytical method, the power

analysis.

Получено 20.01.12

УДК 621.833

Я. А. Соболев д-р техн. наук, проф., (495) 223-05-23, доб. 1393, yulianf@mail.ru (Россия, Москва, МГТУ «МАМИ»),

Ю.К. Филиппов, д-р техн. наук, проф., (495) 223-05-23, доб. 1393, yulianf@mail.ru (Россия, Москва, МГТУ «МАМИ»),

А.В. Рагулин, канд. техн. наук (495) 993-44-14, odinokiy-cherniy-kot@yandex.ru (Россия, Москва, МГТУ «МАМИ»),

А.В. Молодов, аспирант, (495) 223-05-23, доб. 1340, odinokiy-cherniy-kot@yandex.ru (Россия, Москва, МГТУ «МАМИ»)

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ СМАЗКИ ПРИ ХОЛОДНОМ ОБРАТНОМ ВЫДАВЛИВАНИИ

Исследованыразличные смазывающие материалы при холодном обратном выдавливании. Приводятся исходные данные и полученные результаты в ходе эксперимента.

Ключевые слова: обработа металлов давлением, холодная штамповка, выдавливание.

В связи с повышением требований к качеству продукции, совершенствованием технологий производства, изменением сырьевой базы, учетом экологических факторов и по другим причинам идет непрерывный процесс замены одних смазок другими, более эффективными и менее дефинитными. В настоящее время в качестве технологических смазок используют сотни различных веществ. Трудность выбора оптимального состава смазки для каждого конкретного процесса обработки заключается в