CC BY
31
Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 4- С. 412-419.
УДК 517.51
ОБОБЩЁННЫЕ НЕРАВЕНСТВА
КОШИ — БУНЯКОВСКОГО ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
Т. В. Ершова
Южно-Уральский государственный гуманитарно-педагогический университет,
Челябинск, Россия
ale10919@yandex.ru
Указан метод, с помощью которого можно получить последовательность неравенств, обобщающих хорошо известное неравенство Коши — Буняковского для линейных положительных функционалов. Приведены два неравенства этой последовательности, а также доказаны утверждения, являющиеся следствиями первого из них.
Ключевые слова: линейный положительный функционал, неравенство Коши — Буняковского, центральный момент линейного положительного оператора.
Введение
Пусть V — линейная алгебра вещественных функций, заданных на некотором множестве У. Обозначим через Ф линейный положительный функционал, действующий из V в К. Известно [1], что неравенство Коши — Буняковского для линейных положительных функционалов имеет вид
Ф/ ^ Ф/2 ■ Ф^2, (1)
где функции /, (р принадлежат V. В данной статье укажем метод, который позволяет получать неравенства, в некотором смысле обобщающие неравенство (1).
Основным результатом статьи является доказательство следующего неравенства
(Ф/2Ф^2 - Ф2/^)(Ф/2Фд2 - Ф2/д) ^ (Ф/2Ф^д - Ф/^Ф/д)2.
А предложение 2 представляет собой применение этого неравенства к исследованию свойств линейного положительного функционала, удовлетворяющего неравенству (11) из пункта 3.
Статья написана на материале депонированной работы [2].
1. Вычисление определителя
В первом пункте приведём необходимые сведения. Согласно [3] определитель
Бп = ...,<рп) =
Ф^12
1
Фф.
назовём определителем Грама системы функций }П=1, соответствующим функционалу Ф. Отметим, что в этом определении функционал Ф дополнительными свойствами, например линейностью, не обладает.
Предложение 1. Пусть дан определитель
ац «21
«12 а22
а1т а2т
ат1 ат2 . . . атт
порядка т, т ^ 3. Тогда в случае а11 — 0 выполняется равенство
т-2 л 111 лт
«11«22 — «12«21 «11«23 — «13«21 ацаз2 — а12аз1 ацазз — а1заз1
а11ат2 — а12ат1 а11атз — а1зат1
а11а2т — а1та21
а11азт — а1таз1
а11атт а1тат1
(2)
Доказательство. Равенство (2) легко получить, выполнив элементарные преобразования столбцов определителя Лт. □
Сформулируем два следствия предложения 1. В случае симметричности матрицы, определитель которой есть Лз, имеем
а11Лз — (а11а22 — а22)(а11азз — а2з) — (а11а2з — а12а1з)2 Применив формулу (2) при т — 4, получим
(3)
0^11^4 —
ацЙ22 — Й12Й21 ацЙ2з — 01зЙ21 а11аз2 — а12аз1 а11азз — а1заз1
ацй42 — Й12Й41 ацЙ4з — Й1зЙ41
ацй24 — Й14Й21 а11аз4 — а14аз1
ацЙ44 — Й14Й41
Обозначим элементы последнего определителя через а., — 1, 2, 3. В силу (2) получаем
а^а,, Л 4
а11а22 а12а21 а11а2з а1за21 а11аз2 — а12аз1 а11азз — а1заз1
(4)
Предполагая симметричность матрицы, соответствующей определителю Л4, и возвращаясь к переменным а., из (4) выводим равенство
(апа22 — а^а^4 — [(аиа22 — а^Хацазз — а2з) — (аиа2з — а^а^)2] х
х [(аца22 — а!2)(аца44 — а^) — (аца24 — а^а^)2] — — [(а 11 а22 — а22)(а11аз4 — а1за14) — (а11а2з — а12а1з)(а11а24 — а12а14^ .
(5)
2. Доказательство неравенств
Благодаря предложению 1 установим неравенства, которые назовём обобщёнными неравенствами Коши — Буняковского для линейных положительных функционалов.
Из определения положительного функционала следует, что неотрицательной является квадратичная форма
Ф(А1/1 + А2/2 + ... + Ат/т)2 — ^ АЛ-Ф//
¿,.7 = 1
где Аг € К, функции /г € V, г = 1,2,..., т. Квадратичной форме (6) соответствует симметрическая матрица с неотрицательными главными минорами. Таким образом, для главных миноров второго порядка имеем неравенство
Ф/i2 Ф//
ф/ / ф/2
> о,
1, 2,...,m,
которое приводит к неравенству (1).
Замечание 1. Если Ф/2 = 0, то из (1) получаем Ф// = 0 и D
о.
Рассмотрим случай главных миноров третьего порядка. Изменим обозначения функций /г, /, / на /, <£, д. Будем иметь
Da
ф/2 ф/р Ф/д
Фр/ Фр2 Фрд
Фд/ Фдр Фд2
> о.
Полагаем, что в определителе Д3 число Ф/2 = 0. В противном случае вследствие замечания 1 Ф/<£ = Ф/д = 0 и, значит, Д3 = 0.
Вычислим произведение Ф/2 -Д3, которое является неотрицательным. Применяя (3), получаем
Ф/2 ■ Д = (Ф/2Ф^2 - Ф2/^)(Ф/2Фд2 - Ф2/д) - (Ф/2Ф^д - Ф/^Ф/д)2 ^ 0. Таким образом,
(Ф/2Фр2 - Ф2/р)(Ф/2Фд2 - Ф2/д) ^ (Ф/2Фрд - Ф/рФ/д)2.
(7)
Из неравенства (7) следует, что разности Ф/2Ф^2 - Ф2/^ при различных / и ^ имеют один и тот же знак.
Теперь напишем определитель Грама четвёртого порядка для функций /, д и Л,:
Ф/2 ф/р Ф/д Ф/Л
= Ф</ Ф^2 Ф^д Ф^Л 4 = Фд/ Фд^ Фд2 ФдЛ . ФЛ/ ФЛ^ ФЛд ФЛ2
D
Из равенства (5) получаем
[(Ф/2Фр2 - Ф2/р)(Ф/2Фд2 - Ф2/д) - (Ф/2Фрд - Ф/рФ/д)2] х х [(Ф/2Фр2 - Ф2/р)(Ф/2Фй2 - Ф2/й) - (Ф/2Фрй - Ф/рФ/h)2] ^ ^ [(Ф/2Фр2 - Ф2/р)(Ф/2Фдй - Ф/дФ/h) - (Ф/2Фрд - Ф/рФ/д)х
х(Ф/2Фрй - Ф/рФ/й)]2.
(8)
Подобным образом исследуются случаи миноров порядков, больших четырёх. Неравенства (7), (8) и аналогичные им будем называть обобщёнными неравенствами Коши — Буняковского. Ясно, что практический интерес представляют неравенства (1) и (7).
Рассмотрим частные случаи неравенства (7). Случай 1. Пусть д =1. Тогда согласно (7) имеем
(Ф/2Фр2 - Ф2/р)(Ф/2Ф1 - Ф2/) ^ (Ф/2Фр - Ф/рФ/)2.
2
Случай 2. Пусть / — 1. В силу (7) получаем
(Ф1Фр2 — Ф2р)(Ф1Ф#2 — Ф2#) ^ (Ф1Фр# — ФрФ#)2. (9)
При Ф1 — 1 неравенство (9) примет вид
(Фр2 — Ф2р)(Ф#2 — Ф2#) ^ (Фр# — ФрФ#)2. (10)
Полагая в (8) / —1 и Ф1 — 1, получаем неравенство
[(Фр2 — Ф2р)(Ф#2 — Ф2#) — (Фр# — ФрФд)2] х х [(Фр2 — Ф2р)(Фй2 — Ф2й) — (Фрй — ФрФй)2] ^
^ [(Фр2 — Ф2рХФдЛ- — ФдФЛ.) — (Фр# — ФрФ#)(ФрЛ, — ФрФЛ,)]2, которое обобщает (10).
3. Следствия из неравенства
Выведем несколько следствий из неравенства (7). Предложение 2. Пусть для некоторой функции р выполняется условие
Ф1Фр2 — Ф 2р. (11)
Тогда
Ф1Фр# — ФрФ# е V, (12)
Фк-11Фрк — Фкр, к е (13)
|Фр| — Ф|р|. (14)
В равенстве (13) для отрицательных значений к считаем, что р — 0, Фр — 0.
Доказательство. Ясно, что при выполнении условия (11) из (9) следует (12). Докажем равенство (13). Оно очевидно при к — 0. Рассмотрим случай натуральных значений к. Применим индукцию. Предполагая (13) доказанным для к и применяя (12), для случая к + 1 получаем
1Фрк+1 — Фк-11(Ф1Фр ■ рк) — Фк-11ФрФрк — Фр(Фк-11 ■ Фрк) — ФрФкр — Фк+1р.
Теперь предположим, что к отрицательно. Тогда Фр — 0 и, кроме того, Ф1 — 0. В противном случае, имеем Фр — 0, что противоречит условию предложения для отрицательных значений к. Перепишем равенство (13) в виде
Ф-к+11 — Ф-к рФрк, (15)
затем в (15) заменим к на —к, где к считаем натуральным. Будем доказывать равенство
Фк+11 — Фк рФр-к (16)
индукцией по к. Пусть к — 1. Тогда
Ф21 — Ф1Фр ■ р-1 — ФрФр-1.
Считая (16) доказанным для к, рассмотрим случай к + 1.
фй+11 = ф1ф^+11 = фЦф* рфр-к) = фк р(ф1фр-к)
„-к-1
= Фкр(Ф1Фр ■ ^-к-1) = Фкр(ФрФр-к-1) = Фк+1рФр Теперь докажем равенство (14). Имеем
Ф1Фр2 = Ф2р = |Ф2р| = |Фр|2 ^ Ф2|р| = Ф|р|2Ф1 = Фр2Ф1.
Значит, |Фр|2 = Ф2|р| или |Фр| = Ф|р|.
Следствие 1. Если имеет место равенство (11), то
Ф1ФМд = Ф|р|Фд ^д € V,
Фк-11Ф|р|к = Фк|р|, к € Z.
□
(17)
(18)
Доказательство. Применяя (14), запишем равенство (11) в виде
Ф1Ф|р|2 = Ф1Фр2 = Ф2 р = |Фр|2 = Ф2|р|,
откуда согласно (12), (13) следуют равенства (17) и (18). □
Замечание 2. Если Ф1 = 1, то из условия Фр2 = Ф2р будут следовать равенства
Фрд = ФрФд, Ф|р|д = Ф|р|Фд Vg € V, Фрк = Фкр, Ф|р|к = Фк|р|, к € Z. (19)
Приведём второй способ доказательства первого равенства в (19), также использующий метод математической индукции. Для функций 1, р, р2 составим определитель Грама Д(1, р, р2). Таким образом,
Д(1,р,р2) =
С учётом равенств Ф1 = 1 и Фр2 = Ф2р получаем
Ф1 Фр Фр2 Фр Фр2 Фр3 Фр2 Фр3 Фр4
Д(1,р,р2)
1 Фр Ф2р
0 0 Фр3 - Ф3р
0 Фр3 - Ф3р Фр4 - Ф4р
-(Фр3 - Ф3р)2 ^ 0
Следовательно, Фр3 = Ф3р.
Предположим, что Фрк = Фкр. Для функций 1, р, рк составим определитель Д(1, р, рк) и вычислим его.
Д(1,р,рк ) =
Ф1 Фр Фрк Фр Фр2 Фрк+1 Фрк Фрк+1 Фр2к
1 Фр Фкр
0 0 Фрк+1 - Фк+1 р
0 Фрк+1 - Фк+1р Фр2к - Ф2кр
Ф1 Фр Фкр Фр Ф2р Фрк+1 Фкр Фрк+1 Фр2к
= -(Фрк+1 - Фк+1 р)2 ^ 0.
Значит, Фрк+1 — Фк+1р.
В случае отрицательных значений к производим замену к на -к, где к натурально. Определитель Грама составляем для функций р*, 1, р-*. Имеем
Др*, 1,р-к)
Фр2* Фр* Ф1
Фр* Ф1 Фр-*
Ф1
Фр-* Фр-2*
Ф2*р Ф* р 1 Ф* р 1 Фр-* 1 Фр-* Фр
Ф2* р Ф* р 00 0 Фр-* — Ф-*'
1
Фр-* — Ф-* р р Фр-2* — Ф-2*р
— Ф2*р(Фр-* — Ф-*р)2 ^ 0.
\2
Следовательно, Фр * — Ф *р для любого к из N
4. Центральные моменты
Используя обобщённые неравенства Коши — Буняковского (7) и (8), установим неравенства для центральных моментов линейных положительных операторов.
Пусть Ь — линейный положительный оператор, заданный на пространстве ограниченных функций М[0,1]. Как известно, центральным моментом порядка к для оператора Ь называется функция (Ь,х) — Ь((£ — х)*,X, х е [0,1]. Пусть х — фиксированная точка из сегмента [0,1]. Рассмотрим функционал Ф, определяемый равенством
Фр — Ь(р,х), р е М[0,1].
Очевидно, что Ф является линейным положительным функционалом. Следовательно, для него выполняются все вышеприведённые утверждения. Например, в случае р(£) — £ — х предложение 2 переформулируется следующим образом.
Предложение 2'. Пусть 50(Ь,х)52(Ь,х) — 51(Ь,х). Тогда
50(Ь,х)Ь((£ — х)#(;£),х) — 51(Ь,х)Ь(^,х) е М[0,1],
б'От^х)^(Ь,х) — (Ь,х), к е Н, |51(Ь, х)| — 5*(Ь, х), где (Ь,х) — Ь((£ — х)*, х), 5*(Ь,х) — Ь(— х|,х). Далее, из (7) и (8) вытекают неравенства
(52т52г — 5,т+г)(52т5,2* — 5т+*) ^ (^т5^* — 5т+г¿'т+й)2,
(С С ^ С* (с с / с* \2\ (с с* с* с*
^2т^2г — (5т+1 ) — ) ^ (^т5^ — 5т+г) ,
[(^2т — 5т)(521 — ^) — (5т+г — х
х [(^2т — 5т)(52* — 5'/г) — (5>т+* — ^т5*)2] ^
^ [(52т — 5т— 5) — (5т+1 — )2] .
В (21) предполагаем, что 50(Ь, х) — 1. Для удобства записи символы Ь и х опускаем. Частным случаем неравенства (20) при т — 0 и 50(Ь,х) — 1 является неравен-
(20)
(21)
ство
(^ — — 5*2) ^ (5г+* — 55*)2. (22)
При I — 2, к — 1, 51(Ь,х) — 0, 52(Ь,х) — 0 из (22) следует неравенство
5 2
54 — 52 ^ ТТ,
которое уточняет неравенство 54 ^ полученное из (1).
Список литературы
1. Виденский, В. С. Линейные положительные операторы конечного ранга / В. С. Виденский. — Л. : Изд-во Ленингр. гос. пед. ин-та, 1985. — 68 с.
2. Ершова, Т. В. Обобщённые неравенства Коши — Буняковского для линейных положительных функционалов / Т. В. Ершова. — Челябинск : Челяб. гос. пед. ун-т, 2002. — 10 с. — Деп. в ВИНИТИ 22.04.2002, № 734-B2002.
3. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. — М. ; Л. : Гостехиздат, 1949. — 688 с.
Поступила в 'редакцию 08.10.2017 После переработки 03.11.2017
Сведения об авторе
Ершова Тамара Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математики и методики обучения математике, Южно-Уральский государственный гуманитарно-педагогический университет, Челябинск, Россия; e-mail: ale10919@yandex.ru.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 4. P. 412-419.
GENERALIZED CAUCHY — BUNYAKOVSKII INEQUALITIES FOR LINEAR POSITIVE FUNCTIONALS
T.V. Ershova
South Ural State Humanitarian-Pedagogical University, Chelyabinsk, Russia ale10919@yandex.ru
The method is indicated which can be used to obtain a sequence of inequalities that generalize the well-known Cauchy — Bunyakovskii inequality for linear positive functionals. Two inequalities of this sequence are given, and statements that are consequences of the first of them are proved also.
Ключевые слова: linear positive functional, the Cauchy — Bunyakovskii inequality, the central moment of linear positive operator.
References
1. Videnskiy V.S. Lineynye polozhitel'nye operatory konechnogo ranga [Linear positive operators of finite rank]. Leningrad, Publishing Center of Leningrad State Pedagogical University, 1985. 68 p. (In Russ.).
2. Ershova T.V. Obobshchennye neravenstva Koshi — Bunyakovskogo dlya lineynykh polozhitel'nykh funktsionalov [Generalized Cauchy — Bunyakovskii inequalities for linear positive functionals]. Chelyabinsk, Chelyabinsk State Pedagogical University, 2002. 10 p. Deposited in VINITI 22.04.2002, No. 734-B2002. (In Russ.).
3. Natanson I.P. Konstruktivnaya teoriya funktsiy [Constructive theory of functions]. Moscow, Leningrad, Gostekhizdat Publ., 1949. 688 p. (In Russ.).
Accepted article received 08.10.2017 Corrections received 03.11.2017
