Некоторые экстремально-оценочные задачи для норм в матрично-векторных представлениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.643

В. В. Осипов

НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНО-ОЦЕНОЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НОРМ В МАТРИЧНО-ВЕКТОРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ

Рассматриваются экстремально-оценочные задачи для норм в матрично-векторных представлениях. Такие задачи позволяют определить вектор с заданной нормой, доставляющий максимум квадрату эвклидовой нормы другого вектора. Решения таких задач для модуля скалярного произведения обычно получают на основе неравенства Коши-Буняковского. В данной работе используется неравенство Гёльдера. Показано, что все 1р-нормы произвольного n-вектора при всех p > 1 ограничены сверху его 11-нормой.

Ключевые слова: норма Гёльдера, эвклидова норма, спектральная норма, амплитудная норма, положительная определённость, квадратичная форма, матрично-векторные представления, оценки для норм, экстремальные задачи.

V. V Osipov

Some Extremal-Evaluative Tasks for the Norms in Matrix-Vector Representation

Extremal-evaluative tasks for the norms in matrix-vector representations are observed. With a help of such tasks the vector with a given norm, delivering maximum to squared of Euclidean norm of another vector can be determined. Solutions of such tasks for the module of dot product are usually got on the base of inequality of Cauchy-Bunyakovsky. In this paper Holder inequality is used. It is showed, that all lp-norms of arbitrary n-vector at all p > 1 are bounded above by it’s l1-norm.

Key words: Holder norm, Euclidean norm, spectral norm, amplitude norm, positive norm, quadratic form, matrix-vector representations, estimations for norms, extremal problems.

Предположим некоторый n-мерный вектор причем коэффициентами разложения оказываются

у = Colon[yv --у к, • у „ ] (1) координаты vk (k = Ш) и-вектор V (2).

связан с n-вектором ' '

V = Colon[v1 , • • vk, ••vn] (2) Введем эвклидовы нормы векторов "У (1) и V (2)

линейным преобразованием 2 _ _ _ 2

V = H ■ V, (3) ||?|2 = (?,?) = (HV,HV) = ( H+HV,V)=Щ[ , (7)

осуществляемым квадратной и невыраженной матрицей

H = : ■ ■: hk: hn J (n X n); DetH Ф 0, (4) и_||2 t_^ - l~-

столбцы которой, следовательно, образуют линейнонезависимую систему векторов, т. е. базис l в пространстве r и поставим следующую задачу:

П _ '

Вектор ^ (3) из R может быть представлен в виде определить П-вектор V (2Х имеющий заданную эвклидову

разложения по этому базису норму

hk = Colon[hlk ■ \ ■ -hnk] (k = 1, n), (5) fn 2\2 2

т. е. в виде Из = V ||2 = 1ІЛ2 I = N (V ML = N (V )>™

П

у = H • V = Z • fik (6) доставляющий максимум квадрату эвклидовой нормы

k=1 вектора V (1).

__________________________________ В математической постановке имеем экстремальную

я I "■

Iу ІІ2=(VV)=Vv2; IV I 2 = IVI I. = Jl v; (22

k=1 V k=l

ОСИПОВ Владимир Владимирович - к. ф-м. н., доцент задачу: найти максимум положительной квадратичной формы кафедры высшей математики-3 ФГАОУ ВПО «Сибирский

федеральный университет» (СФУ). | | у| = ( Н +НУ,У ) >0 (10)

при условии

|v||2 =(V,v) = N2 (V ) = Const ^ N2 (V)- I V

1 1 2

= 0. ( l l )

max

: max

X

2 II T M 112

2

: max (H+HV0,V0)

і

V,

і

IV I I

2 max 1 1 M 1 1 2

і Xma, • N2 (V ) . (I 6)

H*HVM =Xmax ■ VM ^ H*VM =

=^ V ^ =( h * )-1 • x • vM .

Эта классическая задача на условный экстремум для функции векторного аргумента, которая эффективно решается методом Лагранжа. Возможное решение находится среди стационарных точек функции Лагранжа, которая в нашем случае имеет вид

Ь(V) = (Н+НУ,V) + X[N (V) - (V,V)]. ( 1 2)

Ее стационарные точки в Я т. е. векторы У0, определятся как решения при некоторых X следующего векторноматричного уравнения:

= 0 ^ 2Н+НУ0 -2ХУ° = 0 ^ И+НУ0 = XV0. ( 1 3)

йУ

Его решения оказываются собственными векторами У° ( у = 1, п ) положительно определенной симметричной

матрицы Н+Н ( П X П ) при соответствующих положительных собственных значениях X ^ ] = 1, П ), т. е. имеем

п определяющих уравнений

н * н ■ V” = ху0 ( і = и,) . (14)

Векторам У? ( ] = 1,п) соответствуют п стационарных значений квадратичной формы (10):

(Н'НУ°у°) = х, (уу°) = х, 1^112(і = й), (1 5)

среди которых находится и искомое максимальное значение, т. е. максимальное значение эвклидовой нормы п- вектора "У (1), которое будет равно

||2 II— ||2

(1 7)

Таким образом, для эвклидовой нормы всякого и-вектора ^ (1), определяемого линейным

преобразованием (3), будет иметь оценку

і //X

I IV

max M

і л/xrnar • n 2 (v ). a«)

Заметим, что и-вектор У ^ , как всякий собственный

вектор матрицы Н+Н ( П X П ), находится из уравнения (13) с точностью до произвольного множителя, который может быть определен по заданной норме N2 (V ) вектора

V , т. е. из равенства ||у0 || = N2 (У ) •

Положительно определенная и симметричная матрица н+н имеет во множестве своих положительных собственных значений Х1 ( 1 = !’ п) и наименьшее значение X „„>0. поэтому из представления (15), которое запишем в виде

(Н+НУ‘,У‘)

((V) ■=^ ^

будет следовать двустороннее неравенство:

(H+HV ,V)

1 < v_______ / < 1

min _ ^ v V) _ тах *

Отметим также, что представление

||2 (и+иу,у)

(19)

(20)

М 2=ma

max—, ч

v

\\HV\

(21)

:maxJ

У

■■К

\\У\

--■К

определяет спектральную норму матрицы Н ( П X П ) следовательно, оценка (18) может быть записана в виде

I |H I I 2 ■ N2 (У )■

(22)

Символом обозначен п-вектор (1), имеющий

максимально возможную эвклидову норму (7), определяемый п-вектором Уд0 - собственным вектором матрицы

н+н, соответствующим ее максимальному собственному значению ^шах. Явная связь этих векторов имеет представле-

Эвклидова норма (/2-норма) и-вектора (1)

1

Л 2

/ /1 і к k=1 у

(23)

является частным случаем гельдеровской векторной нормы (I -нормы), определяемой формулой

2

2

ния

1

=(£ к. Г Т; р * 1 <24)

V к=1 У

Кроме частного случая <23) <р = 2) широко используются и случаи р = 1 и р = да, те /7-норма (первая норма)

II,=Ek* I (р=О

к=1

и /^-норма (амплитудная норма)

I 1 Щ L=max I V * 1 (p=™ ) •

Последняя возникает в силу оценки

j=i

= np I ІrnI

f і p

\

n I

■*1

и объявляется Іда-норма вектора

< П

а при p = 2 между / -нормой (23) и /^-нормой (26):

< П 2 •

(28)

(29)

I I ^ I L = [ Z k * I J ^ I I ^ 11 !,

а при p = да оценку для /да-нормы

= max |V 11 < I $ I |i,

(25)

(26)

W k| =

(27)

причем окажется

I L * I W I I 2 * I

(31)

(32)

(33)

Предельное значение для гёльдеровской нормы

И L (p ^ і) в полученном неравенств е при

В частности, при р = 1 неравенство <27) устанавливает сравнительную связь между нормами | | ^ 1(25) и | | у| <26):

Доказательство данного утверждения представлено в [1]. Пусть в R снова задано линейное преобразование

V= H -V, (34)

связывающее n-векторы V (2) и У (1).

Матрицу H ( П X П ) с помощью n-вектор-строк

g = [hn. hi2. ■ \ . ■ -hin ] (i = 1n) (35)

и n-вектор-столбцов

hk = Colon [hik, h2k, ■ -hik, ■-hnk ] ( к = 1, П ) (3 6)

представим следующим образом

H =

Неравенство в (27) означает, что всякая норма Гёльдера вектора из Кп ограничена сверху значением, явно определяемом /^-нормой этого вектора и его размерностью. Для гёльдеровских норм и-векторов существуют сравнительные оценки и независящие от размерности и.

Утверждение 1. Все /р-нормы произвольного и-вектора "У при всехр > 1 ограничены сверху его ^-нормой:

(п Л р п

X?^ I ' ^ І І? 11 !=X?к |; р -1(3 0)

к=\ ) к=1

В частности, при р = 2 получаем оценку для эвклидовой нормы

Ьц : h 2

(37)

Отметим, что n-вектор-стол бцЫ

gi = Colon [hiV hi2 , ■ -hik, ■ -hin ] ( i = 1, П ) (3 8)

окажутс я таковы ми для транспонированной матрицы H+:

H + =[«i: g2 gi '■ " = gn ](n x n) • (39)

Заметим также, что предположение о невырожденности матрицы H ( П Xll ) [п матрицы H + ] означает линейную

n

1

независимость векторных систем (36) и (38), которые, следовательно, будут образовывать базисы в Яп. В силу матричного представления (37) п-вектор ^ (34) запишется в виде

любой /р-нормы вектора ^

¥ =

" ¥і" " ^" "(^)"

¥і = = (і ^)

_¥„ _ _ я? _ (п 'V )_

||у||р < Пр 11^1^ <ПР IV || • Н +1 (р > 1). (45) В частности, получим для /1-нормы

< ПУ | |

а для эвклидовой нормы окажется

1

(40) | | ¥| |2 - п 2 | V | | ■ 11 Н+| | •

пі

(46)

(47)

Его координаты представляются в виде скалярных произведений п-вектор-столбцов (38) и п-вектора V (2):

¥; = ( іі ’У)( І = 1 п ) • (41)

Заметим, что полученные предельные значения для

1

2

этих норм отличаются лишь множителем П , но характер взаимоотношения самих норм | |^| ^ и | |^” 11 2 остается неопределенным.

Для /7-нормы I Ж | ! = | \НУ | [ при неврожденной матрице н ( П X П ) (37) может быть получено и иное предельное

значение, выражаемое только через /7-нормы, что следует из цепочки преобразований

Максимальная координата по модулю из этого множества даст /^-норму и-вектора ^ . Найдем ее оценку

V шах к\\ =

к і<><л її ‘іїї

(42)

=Е| уь | • | \^м |1=Е

к=1 к=1

Теперь имеем столбцевую /1-норму матрицы Н (37)

vk\ • ||Н|^ = ||н|^ • VI1 ^ |\Щ^ < І|# [ • ||у11.

(48)

< тах X\К | • |у*|< тах\ук \ ■ тах Е % \ < И І'тах II& 11

г ТТ к г ТТ.............1<г<п 11

к =1 к=1

| |Я | | = тах 11 к, | |

11 111 1<к <п" \ 1

| | км | (49)

Выражение тах | |£; | ^ имеет смысл максимума /.-нормы

Подобные задачи могут быть поставлены, в частности, и для /^-нормы и-вектора ¥=н ■ V , а именно: во множестве

и-вектор-столбца транспонированной матрицы Н + (39) и и-векторов V с некоторой заданной / -нормой (р > 1) найти

—0 р

называется поэтому максимальной столбцевой /.-нормой такой вектор Vр , который доставлял бы максимальное матрицы [2, 3, 4]:

= тах | | gj| | | = тах

1 \<ї<п 1 \<ї<и

к=1

Таким образом, будем иметь следующую оценку для Л нормы вектора У (40):

м |

Н н

44)

Умножая обе стороны этого неравенства на положительную

значение /^-норме | | ^| | вектора ^ .

Задавая различные /р-нормы вектора V , будем иметь зличные ограничивающие условия в возникающих задачах на условный экстремум (максимум).

Рассмотрим три задачи такого рода при значениях р = ж, 2 и 1, т. е. при задании норм | | V | | , | | | и | | | .

Итоговые результаты представим в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Если матрица Н (37) в представлении у = н V н евырождена, то в Я существуют векторы V

с заданными норма

| V

доставляющие

величину П (р > і), согласно (27), получим оценку и для максимумы /да-норме | | У"!|^ вектора V . Эти векторы и

1

п

соответствующие им

max І \Щ I м (p=

максимальные

определятся формулами:

1)

(50)

111cixc І|у||^ = 111£ixc I HV I = I \V II • I gM ¡J = I |V I I • I I 1 , (51 )

2)

V

gM

V

max I I vIL=max V. gM I=тг=^г ■ 11 gm I I2=I VI I , • I I gM I I , . (53)

V,gM

3)

V

p = i Vi0 = p-y • gM ;

\\gM Ii

llvll

(54)

max IЩI^ ^ • I\gM 112 < I \VI[ • 11gM IL. (55)

1 II gM 111

Доказательство представлено в [1].

Представление для I -норм ы І І V І I запишем в виде

( §ы) ( gM ’ apVl) ap ' ( gM ’ V1)

, (5 6)

((M ) ap '(<?M,Vl)

k=1

<

*», № r Hu

,k =1

lk I

I I gM I Г ' a p I I I p ’ (5 7)

имеющее место при выполнен ии условия

1 1

Коши-Буняковского.

Векто ры gм И V, согласно (38) и (2), определятся в виде

gM Colon [ hM j, ■ ■ hMk, ■ ■ hMn ], a)

Vi = Colon[vu, ■■ Vjk, ■■vln ],

6)

(59)

где gм есть и-вектор-столбец транспонированной матрицы Н (39), имеющий максимальную I -норму (43):

(52)

M I Ii = МАХ II &I і = mAX

111 1<г<п " 111 г =M

0)

k =1

Поставим следующую задачу: определить и-вектор

V = а, 'їш (а,>0) ( р > 1) с заданной /р-нормой

. = • Vm II „ = «, -I Ж I ' I = ЦК I Р І \ (б і )

который делал бы положительный функционал (56), т. е. модуль скалярного произведения в (57), максимально возможным, превращая тем самым неравенство Гёльдера в равенство.

Это произойдет, если соответствующие члены гельде-ровских сумм в (57) будут просто совпадать, т. е. при условиях

и-векторы V и Уг (V = ар •У1 ), как масштабный множитель, будет определяться заданием нормы (в частности, длины) вектора V■

Решения некоторых экстремально-оценочных задач для

( gM,V ) были получены

модуля скалярного произведения на основе неравенства Коши-Буняковского. Однако для этого представления, т. е. функционала (56), как уже отмечалось, существует еще одно неравенство, более сильное и общее, чем неравенство Коши-Буняковского - его частного варианта. Это неравенство Гёльдера [2, 3]:

1%Г = \кмкГ (=ъи);-+-=1 •

' Р Г

и, следовательно, при равенстве

±К\Р=МЫ ; 1+1=1-

к=1 к=1 р Ч

При этом окажется, в силу условий (58) и (63)

шр|(мV)| = Г±\нМк\*|* • Г±ММкГ>|Р = £\нМк\* =

(62)

(63)

XI к

=1 \g* II=ХкГ =

а функционал (57) получает максимальное значение, равное

=а р • maxI ( gM ) I=а ^ I IgM I I q=а ^ 1^ I I p Л65)

тах

V

— + - = 1 (1 < Р <^)(оо> д > 1) . (58)

р д

При р = q = 2 это неравенство становится неравенством

причем скалярный положительный коэффициент ар

определяется заданием /р-нормы 1У И (б1).

Будет справедливой следующая теорема.

2

2

Теорема 2. Если матрица H ( n X n) (37) в представлении ^ = H -У ( 3 4) невырождена, то в R определится вектор

(66)

Уур) = а • УУ

УИ ар У1И

с заданной I -нормой У (61) при всех заданных р и д, р 11 11р удовлетворяющих условию (58), и вида

Уир = а „ • Colon

\hM1 Iр • SignhM1,••(hMk\ p • SignhMk,•• hMn\p • SignhUi

доставляющий максимально возможное функционалу (57), которое будет равно

(11

™ax \ ML=ap \\ sm і=а

Vv p

k 1M

=\n, ■ IIsm

т. к. коэффициент а получает представление

V

а =-------------------\\—

а p 1 1 - 1 \q-i

¡8m

(68)

(69)

П = Diag [а\, щ , • юп ] (n x n),

(70)

_ I hMk

\ Kk \=1 Kk 1 p => = Vfi (^=lj n )■ (72)

\hMk\

И для компонент v1k = &khMk ( k = 1, n) искомого вектора (71) будем иметь:

V1k ®k ' hMk

_|h

где

h

'Mk _

\hMk I есть функция знака

\h \ ' hMk \hMk \ p Sign hMk ’ (k 1n )> )73)

|hMk|

+1 hm > 0; ( = —)

= Si§nhMk =

L Mk"

1 hMk <0-

Таким образом, искомый вектор VM = ttр • V^M в

Доказательство. Вектор У1М из Яп, способный доставить максимум своему скалярному произведению с некоторым вектором Є Кп, по крайней мере, должен иметь все

свои координаты, совпадающие по знаку с координатами и-вектора т. е. находиться с ним в одном октанте

пространства Я хотя может и не совпадать с ним по норме (длине). Это означает, что такой вектор Є К.п должен быть связан с вектором gм Є Кп линейным преобразованием, осуществляемым положительной диагональной матрицей

выделяемой симв ол ике V^ а • Vim’' полу чит

представление (67), а максимум функционала ||^| | (57),

согласно (65), представление (68).

Определим коэффициент ар, задав /р-норму | | ^| [, вектору

? р

VM (67). Имеем:

V у p

VM

= а„

= а„

I

І Iі

\hMk\p Si8nhM

=а p ■ [Ё h

В к

II— 11“ II— lq-1

= а p '|| gM ||^ =а p '|| gM ||q >

т. е. иметь представление

vim ^' gM Colon [ tt\hM j, ■ -&khMk, ■ -&nhMn ] = Colon[vn, ■ ■vlk, ■-vln ].

(71)

p

p

p

(93)

Элементы (к = 1, п) матрицы О (70) могут быть найдены из условий (62), выполнение которых означает переход неравенства Гёльдера в (57) в равенство, приобретение функционалом (57) своего максимального зн ачения.

Именно такой подход был реализован при решении задачи оптимального управлен ия одномерным линейным динамическим объектом на основе метода точечных представлений (точечных моделей) [1, 5, 6, 7, 8].

Из условий (62) следуют равенства

Следовательно, для всех p и q, удовлетворяющих условию (58), получим (69). В результате, для ill ax| |^||м получим представление (68).

Теорема доказана.

Л и т е р а т у р а

1. Осипов В. В. Моделирование динамических процессов методом точечных представлений - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2012.

2. Маркус М. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. - М.: Либроком, 2009.

p

3. Хорн Р. Матричный анализ. - М.: Мир, 1989.

4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - 5-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

5. Осипов В. В. Решение экстремальных задач терминального управления методом точечных представлений. // Системы методы технологии. - 2009. - № 3. - С. 52-58.

6. Осипов В. В. Точечное моделирование и преобразования Лапласа и Фурье. - Красноярск: Сибирский

федеральный университет, 2011.

7. Осипов В. М. Положительная определённость и

положительность функций. Элементы теории и некоторые приложения - Красноярск: Сибирский федеральный

университет, 2008.

8. Осипов В. В. Точечные модели многомерных линейных динамических систем. // Вестник Кемер. гос. ун-та. - 2011. - № 3. - С. 85-92.

УДК: 530.145 (571.56)

Б. В. Яковлев

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВЫХ ЯВЛЕНИЙ НА ОСНОВЕ КОНЦЕПЦИИ ВОЗМОЖНЫХ ВСЕЛЕННЫХ

На основе концепции возможных вселенных даны интерпретации основных законов, принципов и понятий современной физики, это: второй закон термодинамики, стрелы времени, информационная энтропия, редукция волнового пакета, принцип наименьшего действия, дискретность функции действия, принцип неопределенности Гейзенберга, волновая природа движения частиц. Предлагаемая концепция позволяет по-новому взглянуть на проблемы измерения квантовых систем, квантовой нелокальности, явления декогеренции, феномена сознания и современной эпистемологии.

Ключевые слова: Вселенная, бесконечность, пространство, время, состояние, информация, энтропия, квант, принцип, корреляция.

B. V Yakovlev

The Interpretation of Quantum Phenomena on the Base of the Concept of Possible Universes

On the base of the concept of possible universes the interpretations of general laws, principles and concepts of the modern physics are given. They are: the second thermodynamics law, the time arrows, the information entropy, the reduction of wave packet, the principle of least action, discretization of action function, Heisenberg indeterminacy principle, the wave nature of particle motion. With a help of the suggested concept one can see at the issue of quantum systems dimension, quantum nonlocality, decoherence phenomenon, phenomenon consciousness and modernepistemology in a new light.

Key words: the Universe, infinity, space, time, condition, information, entropy, quantum, principle, correlation.

ЯКОВЛЕВ Борис Васильевич - д. ф.-м. н., профессор кафедры теоретической физики Физико-технического института Северо-Восточного федерального университета им. М.К. Аммосова.

E-mail: [email protected]