CC BY
26
Математика
УДК 517.97
Обобщённое решение прямой задачи для нестационарного модифицированного уравнения
переноса
Исмаил Ахмед Абдел Басет
Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198
В работе доказана однозначная разрешимость обобщённого решения начально-краевой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса, которое отличается от обычного уравнения переноса заменой в интегральном слагаемом функции, являющейся решением, некоторой постоянной функцией из того же класса, что и решение.
Ключевые слова: модифицированное уравнение переноса, метод последовательных приближений.
Рассмотрим обобщённое решение нестационарного модифицированного уравнения переноса
м<(ж, V, + (V, V) и(ж, V, + Е(ж, V, ¿) и(ж, V, ¿) =
= J J(ж, V) а(ж,и',£)ёи' + ^(ж,и,£), где (ж,и,£) е Б, (1)
V
(в обычном уравнении переноса в интегральном слагаемом стоит и(ж, V7, ¿) вместо а(ж, V7, ¿); такая модификация более удобна для некоторых нелинейных обратных задач по сравнению с обычным уравнением переноса, которое описывает процесс переноса нейтронов в веществе и некоторые другие физические явления).
Функции Е, J и а характеризуют свойства среды, а ^ — источник излучения. Прямая задача для модифицированного уравнения переноса состоит в определении функции и, удовлетворяющей уравнению (1), а также граничному и начальному условию
и(ж, и,г) = (ж,М) е 7- х [0, Т], (2)
м(ж,и, 0) = <£, (ж, и) е С х V. (3)
Прямые задачи для обычного уравнения переноса в различных видах и геометриях исследовались многими авторами. Из большого числа работ отметим [1—7]. Для доказательства теоремы существования и единственности решения задачи (1)—(3) введём следующие функциональные пространства и обозначения:
1) пусть область О С К" строго выпукла, а ограниченное замкнутое множество V содержится в шаровом слое {у е К" : 0 < ио ^ |V| ^ VI < то};
2) Ь^ )) —пространство классов существенно ограниченных функций на Б со значениями в ), 1 < р < то, где Б = О х V х (0, Т);
Статья поступила в редакцию 28 февраля 2008 г.
Работа выполнена по направлению «Функциональные методы в дифференциальных уравнениях и междисциплинарных исследованиях» Инновационной образовательной программы РУДН.
3) ИР(Б) = {и е ЬР(Б) : иг, (у, У)п е ЬР(Б), и|г_ е ЪР(Т-)}, где Г- = 7- х [0, Т] и = {(х,у) е дО х V : (у,пх) < 0}, а пх —внешняя нормаль к границе дО области О в точке х. Это пространство является банаховым относительно нормы
1и||Яр(0) =
л+11 и ||р,0 + ||(у, ^)и\\Рр,В +|и|Г ||Р
р,Г-
1/Р
1 <р < <х>; (4)
4) Wp>(D) = |б(х,у,Ь) е Ьр(Б) : ^ е Ьр(Б)^ с нормой
||Б ^(0) =
||Б ||
ЬР(Б)
+
дБ
дЬ
р
ЬР(В)\
1/р
1 <р< ж, [1, с. 126];
(5)
5) Нр(О х V) = {р е Ьр(О х V) : (у, Ч)(р е Ьр(О х V),р|1_ е Ьр(-у—)} с нормой
М ^И^ v)рlLp(GxУ )+|М7_ III
(Т-)
1/р
Ох^у — наименьшая константа вложения X в У, т.е. ||-||у^ Ох^у|Н|х, С(Х, У) — множество линейных непрерывных операторов из X в У. Здесь и в дальнейшем V = V х.
Заметим, что область О может быть представлена в следующем виде: О = пц х (С-,С+), то есть каждый х е О при фиксированном у можно записать следующим образом : х = у + у£ — характеристическая прямая вдоль вектора у, где у принадлежит пц ортогональной проекции области О на гиперплоскость, перпендикулярную вектору у и не пересекающую О; причем £ — одномерный параметр из [£_,£+] такой, что элемент у£ принадлежит ортогональному дополнению пространства, содержащего пц, где = (—(у,у), (+ = (+(у,у) | 0 < £—(у,у) < С+(у,у) при всех (у, у) е пц х V и £—(у,у) = (+(у,у) при (у, у) е дпц х V, т.е. у + у(± е дО± = {х е дО : ±(у,пх) > 0}. Тогда с учё-
- д -
том новых обозначений получим равенство (у, V) и(у + у£,у,Ь) = —= и (у + у£,у,Ь).
д£
В этом пункте исследуем обобщённые решения прямой задачи в классе Н2(Р), взяв вместо уравнения (1) более общее уравнение
иг(х, у, Ь) + (у, V) и(х, у, Ь) =
= (Ри)(х,у,Ь) + ! J(х,у',Ь,у) а(х,у',Ь) ¿у' + Б(х,у,Ь), (6)
У
где (х,у,Ь) е D и оператор Р удовлетворяет следующим условям:
1) Р : X ^ У, где X, У — вещественные банаховы пространства;
2) Р — липшиц-непрерывный равномерно относительно Ь е (0, Т) оператор, т. е. существует такая постоянная Липшица р, не зависящая от Ь, что для любых и1, и2 е X выполняется условие ||(Р и1 — Р и2)(-, ■, Ь) ||< р !(и1,и2)(^, ■, Ь)||.
Теорема 1. Пусть X = Н2(Р),У = W^(D);; е У; р е Н2(О х V); ц е
W^{Y—) и выполнено условие согласования
р(х, у) = ц(х, у, 0)
(7)
при почти всех (х, у) е Тогда существует единственное обобщённое решение и е Н2(Р) задачи (6), (2), (3), удовлетворяющее оценке устойчивости
||и||яа< О +ш(У)и.ЦаЦжг + ||р||ь2 +
где ш(У) — мера множества V.
р
Доказательство. Покажем сначала эквивалентность задачи (6), (2), (3) некоторому интегральному уравнению. Пусть u С H*2(D) есть обобщённое решение задачи (6), (2), (3). Перепишем уравнение (6) в виде
f d d \
Ы + д£) u(y + ' v, t) = (Pu)(y + v£ , v, t) +
+ / J(y + v£, v, t,v0 a(y + v£, v',t) dv' + F(y + v£, v,t). (8)
V
Поскольку t — £ = const является характеристикой данного уравнения, то оно на этой характеристике примет вид
d u(y+vö, v, в — -+1) = (Pu + f )(y+v0, v, ö — -+t) + dp
+ J J(y + vö, v, в — - + t,v') a(y + ve,v',e — £ + t)dv'. (9)
V
Проинтегрируем это равенство по в от £ — t до £ , а затем от £_ до £ , c учётом условий (2), (3), в которых следы u|t=o и u|£=z_ понимаются как поточечные
пределы абсолютно непрерывной по t и по e функции u. Получим интегральное уравнение
£
^(y + v(e — t),v)+ / (Pu + F)(y + vö,v,e — e + t)dö+ £_t
£
+ / I J(y + vö, v, в — e + t, v') a(y + vö, v', в — e + t) dv' dö, £_tV
. Z_ +1 < £ < Z+, о < t < t, u(y+ve , v, t) = { £
^(y + vZ_,v,t — £ + Z_)+ / (Pu + F)(y + vö,v,ö — £ + t)dö+
Z-
£
+ / / J(У + vö, v, в — £ + t, v') a(y + vö, v', в — £ + t) dv' dö,
Z- v_ Z_ < - < a,
где a = min {£_ +1, Z+}, или в более компактной форме
£
«fe + „i.,,t) = ,y,«, 0 + /(Л, + F )(y + *«.в — £-+о d«+
n
£
+ / / J(y + vö, v, в — - + t, v') a(y + vö, v', в — £ + t) dv'dö. (10)
n V
После замены т = в — £ + t под знаком интеграла получим
t
«о,+*,t) = y,о + +F ><y+Кт—t+а,«,т)dT+
ß
t
+/ j j+v(T — t+e-),«, ^ a(y+v(T—t+{>, dv'dT, (11)
ßV
где ф(£, у, у, Ь) = р(у + у(£ — Ь),у), п = £ — Ь; в = 0 при 0 < Ь < - — С—, С— < £ < С+ и ф(£,у,у,Ь) = р(у + у(—,у,Ь — £ + С—); п = С—; в = ь — £ + С— при £- — С— < ь < Т, С— < £- < С+.
Обратно, пусть и е Н2(Р) есть решение интегрального уравнения (10). Тогда, вычислив обобщённые производные по Ь и по вектору у от обеих частей равенства (10) и сложив их, получим уравнение (6). Начальное условие (2) и краевое условие (3) получаются предельным переходом в левой и правой частях равенства (10) при Ь ^ 0 и £ ^ £— соответственно.
Итак, любое обобщённое решение и е Н2 (Р) задачи (6), (2), (3) является решением уравнения (10) или (11) и наоборот, т.е. задача (6), (2), (3) эквивалентна интегральному уравнению (10).
Дальнейшие исследования переносим на уравнение (10), переписав его в операторной форме и = и0 + Аи, где
£
ио(у + у£, у, Ь) = ф(£, у, у,Ь) + ! Б (у + ув,у,в — £ + Ь) ёв+
п
£
+ У J J(y + ув,у,в — £ + Ь, у') а(у + ув,в — £ + Ь,у')ёу' ёв, (12) п у
£
(Аи)(£,у,у,Ь) = ! (Ри)(у + ув, у, в — £ + Ь)ёв. (13)
п
Из явного вида оператора А и условия (7) следует, что оператор А непрерывно отображает пространство Н2(Р) в себя и ио е Н2(Р). Действительно, для любой функции В(х,у,Ь) из пространства основных функций V (см. [8]) имеет место цепочка равенств
/дВ - -(Аи) двв ^+у£,у, Ь) ^ ёу ёЬ=
о
С+ £—С- £
дВ -7
— (у + у£,у,Ь) (Ри) (у + ув,у,в — £ + Ь) ёв ёЬ + Уп. С- " о £— г
ёу ёу =
т £
дВ
' ' ",у,ь\ I (Ри)
/дВ -Г -
— (у + у£,у,Ь) (Ри) (у + ув,у,в — £ + Ь) ёвёЬ
£—С- <-
С+ £
= 111 {в (У+у-,у,£—с—).1 (Ри) (у+ув,у,в — с—)ёв —
У п.
£—С- £
У В (у + у£,у,Ь) (Ри) (у + у(£ — Ь), у, 0)^ —(Ри) (у + ув,у,в — £ + Ь) ёв ёЬ+ 0 £—г
£
+ В (у + у£,у,Т) !(Ри) (у + ув, у, в — £ + Т) ёв —
С-
£
- В (у + V-, V, £ - С-)/ (Ри) (у + «0, V, 0 - С-) ё0 -СТ £
J В (у + — (Ри) (у + - £ + ¿) ё0ё- ёуёи =
£-С- С-
= - ! Ш (у + <, V, ¿) В(у + V-, V, ¿) ё£ ёу ёи (14) в
где
£ д
Ш(у + < = (Ри) (у + и(- - ¿),и, 0)+ / ¿^(Ри) (у + ^0,^,0 - £ + *) ё0
£ -
при £ - < Т.
Итак, мы показали, что существует обобщённая производная
д
т <Аи> = Ш
Аналогично показывается существование обобщённой производной (V, V)(Au), где
(V, V)(Au) = (Ри)(у + < , V, ¿) - (Ри)(у + и(£ - ¿), V, 0) -
? д - -- т^(Ри)(у + ^0,^,0 - £ + ¿)ё0 при 0 < ¿<£ - С-, (15)
(V, V)(Au) = (Ри)(у + V- , V, ¿) -
/ д - -- тг(Ри)(у + ^0,^,0 - £ + ¿)ё0 при £ - С-< < Т. (16) ./ от
£-
На основании условия согласования показываем, что существует обобщённая проезд
изводная -¡г—, где от
= -(«, У)у>(у + - ?),«) + Р(У + «(ё- ?),«, 0) +
i
+ / дР(у + V0,«,0-+ /+ «(ё-*),«,«',о)а(у + «(ё-?)У,0)а«' +
i— v
i
/"Яг
J(у + «0,«,0 - £ + г)а((у + «0,0 - £ + ?),«') dv/ d0 при 0 < - С-, (17)
+ ' 'I
дЦ- = (у + уС-,у,г - вС-)+ I ^ (У + - г)Ав +
I—
3(у + ув,у,в - £ + г)а((у + ув,в - £ + г), у') Ау' Ав при £ - С- < < Т. (18)
+ '
Далее
(у, У)и0 = (у, Ч)р(у + у(£ - г),у) + Б (у, у£, у, г) - Б (у + (< - г), у, 0) -i
- J дБ (у + ув,у,в - £,+ г)Ав + ! 3(у + у£,у,у', г)а(у + у£, у', г) Ау' -- ^ 3(у + у(£ - г), у, у', 0)а(у + у(£ - г), у', 0) Ау' -
д_ дг
3 (у + ув, у, в - £ + г)а(у + ув, в - £ + г,у') Ау' Ав при 0 < г<£ - С-, (19)
др
(у, У)щ = - дг (у + у(-,у,г - £ + С-) + Б (у + у£,у,г) -
У (у + ув,у,в - £,+ г)Ав + ! 3(у + у£, у, у', г)а(у + у£, у', г) Ау' -
д_ дг
3(у + ув, у, в - £ + г)а(у + ув, в - £ + г, у') Ау' Ав при £ - С- <г < Т. (20)
Кроме того, ио|г_ = Му + уС—,у,Ь). Классы, которым принадлежат функции Б, J,a,р, позволяют заключить, что ио е Н2(Р).
Покажем теперь, что (Аи) е Н2(Р). Как показано в [9], используя теорему Фубини, получаем
т С+
||Аи||2,о=
(Ри)(у + ув, у, в — £ + Ь) ёв
0 У п. п
т С+ г
ё£ ёу ёу ёЬ =
ё£ ёу ёу ёЬ <
<
(Ри)(у + у(т — Ь + -), у, т) ёт
0 У п. в
т т С+
тЦЦ ! 1(Ри)(у + у(т — Ь + -),у,т )\2 ё£ёу ёу ёт ёЬ <
0 0 У п.
< Т2 !\(Ри)(у + у£,у,т )\2 ё£- ёу ёу ёт = Т2||Ри||2,о <ж; (21)
(22)
о
д 2
дЬ* ' 2,о
^(Аи) _ < 2 ||Ри||2,о+4Т2 ^(Ри)
д
<ж;
2
2
2 Я 2
(V, V)(Au) < б||Ри||2,в+6Т2 ттг(Ри) <то;
2 ,В д ъ 2 ,В
(23)
11(Аи)|г-||2,Г- =0, т.к. (Аи)(у + <-,М) = 0. Следовательно, ||Аи|2 в<то, т.е. Аи е Н2(Б).
Докажем теперь существование, единственность и устойчивость решения уравнения (10) методом последовательных приближений.
С этой целью в качестве приближенных решений возьмём функции
и«(у + <, V, Ъ) = ио(у + <, V, Ъ) + (Аи«-^-, у, V, Ъ).
При этом по аналогии с работой [1] и [5] легко получить следующую оценку
||иоУя2< (5Т + 4) (||р^(в^М^^|^2(в).|а|^2(в) + |Мк+ .
Теперь оценим разность ип - ип-1:
2
|и" - ип-1|| я2 ^
а
2"
(2п)!!
|ио|Н2, п = 1, 2,..., где а = 4р(Т + 1) [10, с. 21].
Используя это неравенство, получаем
||и"+к - и"||Я2 ^ ||ип+к - и"+к-1 Ця2 +-----+ ||и"+1 - ипУя2 ^
<
1
а
2п + 4
1
а
2п + 4
1
а2"+2 2
(2п + 2)!! ||ио|н2
для любого к>0 [10, с. 22]. (24)
Следовательно, ||ип+& - ип||я2^ 0 при п, к ^ то, т.е. последовательность {ип} фундаментальна в пространстве Н2(Б). Поскольку это пространство полно, то существует такой элемент и е Н2(Б), что ||и - ип||я2^ 0 при п ^ 0. Из неравенства
||и - ио - Аи|я2^ ||и - и„|я2 + ||ип - ио - Аип-1|я2 +
+ ||Аи„-1 - Аи|я2^ ||и - ип|я2 +р^ 11Т2 + 8 ||и - ип-11|я2 [10, с. 22] (25)
следует, что и является решением уравнения (10). Далее в силу оценки
2
К - ио||я2 ^ (2к)И
а
к=1
|иоНя2 [10, с. 22]
(26)
^ а
и абсолютной сходимости ряда
2к
получаем оценку устойчивости
к=1 (2к)!!
||и|я2< С1||ио||я2< С (||рУж* Уж*.||а||ж| + Н+ |М|ж|) ,
где постоянная С зависит только от Т и р.
Из (26) вытекает единственность решения интегрального уравнения (10). Итак, существует единственное устойчивое решение и е Н2(Б) уравнения (10), а, значит, и обобщённое решение задачи (6), (2), (3). Теорема доказана. □
Замечание. Оценки, полученные в ходе доказательства теоремы 1, не являются точными. Тот вид, в котором они выписаны, упрощает некоторые выкладки, но никак не влияет на общность результатов. Уточнить эти оценки можно с помощью интегрального неравенства Минковского.
Литература
1. Прилепко А. И., Волков Н. П. Обратные задачи определения параметров нестационарного уравнения переноса по переопределениям интегрального типа // Диф. уравнения. — Т. 23, № 1. — 1987. — С. 124-136.
2. Прилепко А. И., Иванков А. Л. Обратные задачи определения коэффициента и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса по переопределению в точке // Диф. уравнения. — Т. 21, № 1. — 1985. — С. 109119.
3. Кузнецов Ю. А., Морозов С. Ф. // Диф. уравнения. — Т. 8, № 9. — 1972. — С. 1639-1648.
4. Масленников М. В. // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — Т. 97. — 1968. — С. 1-134.
5. Гермогенова Т. А. Обобщенные решения краевых задач для уравнения переноса. — (Препринт / ИПМ АН СССР). — 1967.
6. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. — М.: Мир, 1972. — 384 с.
7. Шихов С. Б. Вопросы математической теории реактров. Линейный анализ. — М.: Атомиздат, 1973. — 376 с.
8. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. — 256 с.
9. Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1988.
10. Волков Н. П. Обратные задачи для нестационарного кинетического уравнения переноса с разрывными переменными: Дис. канд физ.-мат. наук / МГУ. — М., 1986.
11. Kaper H. G., Lekkerkerker G. G., Heitmanek J. Spectral in Linear Transport Theory. — Basel, 1982.
12. Greiner G. Spectral Properties and Asymptotic Behavior of the Linear Transport Equation // Math. Z. — Vol. 185, No 2. — 1984. — Pp. 167-177.
13. Iorgens K. // Comm. Pure Appl. Math. — Vol. 11. — 1958. — Pp. 219-242.
14. Douglis A. Numerical Solutions of Partial Diff. eq. // Proc. of Sumposium.-Maryland / Ed. by ed. I. H. Bramble. — London: 1966. — Pp. 197-256.
15. Волков Н. П. Анализ математических моделей физических процессов. — М.: Энергоатомиздат, 1988. — 11-19 с.
16. Волков Н. П. Теоретико-функциональные методы в задачах математической физики. — М.: Энергоатомиздат, 1986. — 22-26 с.
17. Тихонов И. В. Корректность обратной задачи с финальным переопределением для нестационарного уравнения переноса // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 15, Вычисл. Матем. и Киберн. — № 1. — 1995. — С. 56.
18. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973.
UDC 517.97
Generalized Solution of Direct Problem for Modified Time-Dependent Transport Equation
Ismail Ahmed Abdel Baset
Department of Differential Equations and Mathematical Physics Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, Russia, 117198
Solvability of the generalized solution for the time-dependent modified transport equation with initial and boundary conditions problem is proved. Modified transport equation differs from the common equation by replacement integrated composed function, being the solution, by a constant function, from the same class of the solution. That modification is more convenient for some nonlinear inverse problems in comparison with the common transport equation.
