Об одной обратной краевой задаче для эллиптического уравнения второго порядка с дополнительными интегральными условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 4, С. 30-43

УДК 517.95

ОБ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Я. Т. Мегралиев

В работе исследована одна обратная краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка с дополнительным интегральным условием первого рода. Сначала исходная задача сводится к эквивалентной задаче, для которой доказывается теорема существования и единственности решения. Далее, пользуясь этими фактами, доказывается существование и единственность классического решения исходной задачи.

Ключевые слова: обратная краевая задача, эллиптическое уравнение, метод Фурье, классическое решение.

Введение

Обратные задачи представляют собой активно развивающийся раздел современной математики. В последнее время обратные задачи возникают в самых различных областях человеческой деятельности, таких, как сейсмология, разведка полезных ископаемых, биология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т. д., что ставит их в ряд актуальных проблем современной математики. Различные обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались во многих работах. Отметим здесь, прежде всего работы А. Н. Тихонова [1], М. М. Лаврентьева [2, 3], В. К. Иванова [4] и их учеников. Более подробно об этом можно прочитать в монографии А. М. Денисова [5].

В работах [6-9] исследовались обратные краевые задачи для эллиптического уравнения второго порядка в прямоугольной области.

Целью данной работы является доказательство существования и единственности решений обратной краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка с интегральным условием переопределения.

Обратные задачи с интегральным условием переопределения для параболических уравнений были исследованы в работах [10-12].

1. Постановка задачи и ее сведение к эквивалентной задаче

Рассмотрим уравнение

па( х,г) + пхх(х,г) = а(г)п(х,г) + / (х,г) (1)

© 2013 Мегралиев Я. Т.

и поставим для него в области Dt = {(x,t) : 0 ^ x ^ 1, 0 ^ t ^ T} обратную краевую задачу с граничными условиями

u(x, 0) = <(x), ut(x,T) = V(x) (0 < x < 1), (2)

u(0,t) = u(1, t), ux(0,t) = 0 (0 < t < T), (3)

и с дополнительным интегральным условием

1

/u(xt) dx =h(t) (0«t « T)- (4)

0

где f (x,t), <(x), ^(x), h(t) — заданные функции, а u(x,t) и a(t) — искомые функции.

Определение. Классическим решением обратной краевой задачи (1)-(4) назовем пару {u(x, t), a(t)} функций u(x,t) и a(t), обладающих следующими свойствами:

1) функция u(x, t) непрерывна в Dt вместе со всеми своими производными, входящими в уравнение (1);

2) функция a(t) непрерывна на [0, T];

3) все условия (1)-(4) удовлетворяются в обычном смысле.

Для исследования задачи (1)-(4) сначала рассмотрим следующую задачу:

y"(t) = a(t)y(t) (0 < t < T), (5)

y(0) = 0, y'(T) = 0, (6)

где a(t) £ C[0,T] — заданная функция, а y = y(t) — искомая функция, причем под решением задачи (5), (6) понимаем функцию y(t), принадлежащую C2 [0, T] и удовлетворяющую условиям (5), (6) в обычном смысле.

Лемма 1 [8]. Пусть функция a(t) £ C[0, T] такая, что

lla(t) llc[0 T] ^ R = const.

Кроме того,

i T2R < 1.

Тогда задача (5), (6) имеет только тривиальное решение.

Наряду с обратной краевой задачей (1)-(4) рассмотрим следующую вспомогательную обратную краевую задачу. Требуется определить пару {u(x, t), a(t)} функций u(x,t) £ C2(Dt) и a(t) £ C[0,T] из соотношений (1)-(з),

1

h"(t) + ux(1,t) = a(t)h(t) + J f(x,t) dx (0 ^ t ^ T). (7)

0

Справедлива следующая

Лемма 2. Пусть функции <(x),V(x) £ C[0,1], h(t) £ C2[0,T], h(t) = 0 (0 ^ t ^ T), 1

f (x, t) £ C(DT), / f (x, t) dx = 0 (0 ^ t ^ T) и выполняются условия согласования 0

1 1

/<Мdx = Вд, dx =(T). (8)

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Каждое классическое решение {и(х, ¿), а(£)} задачи (1)-(4) является и решением задачи (1)-(3), (7).

2. Каждое решение {и(х, ¿), а(£)} задачи (1)-(3), (7) такое, что

\т2 \\а(тс[0>т] <1, (9)

является классическим решением (1) -(4) .

< Пусть {и(х, ¿), а(£)} является классическим решением задачи (1)-(4). Из (4) видно,

что

1 1

/„.^ = т /„,^ * = (0 < 4 < Г). (10)

0 0 Проинтегрировав уравнение (1) по х от 0 до 1 и учитывая условия (3), имеем: 2 1 11 ^ J и(х,Ь)(1х + их(1,г) =а(Ь) J и(х,Ь)(1х +J ¡(х,Ь)(1х (0 ^ Ь ^ Т). (11) 0 0 0

Отсюда с учетом (4) и (10) приходим к выполнению (7).

Теперь предположим, что {„(х, ¿), а(£)} является решением задачи (1)-(3), (7), причем выполнено условие (9). Тогда из (7) и (11) получаем:

dt2

J u(x, t) dx — h(t) j = a(t) ^ J u(x, t) dx — h(t) j (0 ^ t ^ T). (12)

Далее в силу (2) и условий согласования (8) имеем:

1 1

f u(x, t) dx — h(0) = f ^>(x) dx — h(0) = 0,

01 0 i (13)

f ut(x, T) dx — h'(T) = / ф(x) dx — h'(T) = 0. 00

Из (12) и (13) в силу леммы 1 заключаем, что выполняется условие (4). >

2. Сведения из теории спектральных задач и определение некоторых пространств

Известно [13], что последовательности функции

Xo(x) = 1, X2fc_i(x)=cos Afc x, X2k (x) = x sin Afc x (k = 1,2,...), (14)

Y0(x) = 2(1 — x), Y2fc-i(x) =4(1 — x) cos Ak x, Y2k (x)=4sin Akx (k = 1,2,...) (15)

образуют биортогональную систему, и система (14) образует базис Рисса в L2(0,1), где Ak = 2kn (k = 1, 2,...). Тогда произвольная функция g (x) £ L2 (0,1) разлагается в биор-тогональный ряд:

g(x) = go Xo(x) + ^ g2k-iX2k-i(x) + ^ g2k X2k (x), k=1 k=i

где коэффициенты go, g2fc-i, 92k вычисляются по формулам

i i i

go = J 9 (x) Yo (x) dx, g2k-i = J 9 (ж) Y2k-i (x) dx, 92k = J 9 (ж) Y2k (x) dx. o o o

Из (15) имеем:

YO (x) = -2, Y2'k-i (x) = —4Ak (1 — x) sin Akx — 4 cos Akx, Y2k (x) = 4Ak cos Akx,

Yo(2i) (x) = 0, Y2k2i) (x) = (—1)4 A?Yak (x),

YS- (x) = (—1)* Af Y2k-i (x) + 2i (—1)i+i Aki-i Y2k (x) (i ^ 0, k = 1,2,...). (16) Отсюда получаем

Yk(2i+i) (o) = Yk(2i+i) (1), Yk(2i) (1) = 0 (k = 1,2,...). (17)

Теперь предположим, что

9 (x) G C2i-i [0,1] , 9(2i) (x) G L2(0,1),

9{2s) (0) = 9{2s) (1) , g(2s+1)(0)=0 (s = 0,г-1). (18)

Далее с учетом (17) и (18), интегрируя по частям, получаем:

i i

J 9(2i) (x) Yk (x) dx ^ у 9 (x) Yk(2i) (x) dx (k = 1,2,...). (19)

oo

Из (16) имеем:

Y2k-i(x) = tjjf- {Y£%(x) + 2i(-l)гА2-^2к(Ж)}

= + (OI. Л = 1,2,...).

Тогда с учетом (19) и (20) находим:

i i

92k = J g(x)Y2k(x)dx = t-^L J g{x)Y^f> (x) dx

0 k 0

i .i

= У 9{2i) {x)Y2k{x) dx = J g{2i){x)sm\kxdx,

k o k o

(20)

i

g2k-1 = J g(®)Y2fc-l(x) dx 0

.1 .1

= Уг" j S(X)Y2k-l (Ж) dx + 2д2г-К / 5(Ж)Г42г) (Ж) k 0 k 0 .1 .1

= ^ / + ^ J g^(x)Y2k(x)dx

k 0 k 0

1 1

4(_1) * f 8i(_I)*/1

—— J g^Hx) (1 — x) cos AkxdxH—д2»+1 J (x) sin Akx dx

4(_1) * f 8i(_I)*/"

—rji— / i/2^ (x) (1 — x) cos Akxdx--— / 5(-2г_1') (ж) cos Akxdx

•V J Ak* J

4(~1 )* Afe

Отсюда имеем

те те

£(A? g2 k )2 = 8^ k=1 k=1

— x) — 2ig(2i 1) (жм cos Akxdx.

sin Akx dx ^ 8

g(2i) (x)

L2 (0,1)

(22)

(23)

E(Ak*g2k-1)2 =8^

k=1

k=1

— x) — 2ig(2i-

! cos Ak x dx

< 8

g(2i) (x) (1 — x) — 2ig(2i-1) (x)

L2 (0,1)

Далее, пусть

g(x) G C2i[0,1], g(2i+1)(x) G L2(0,1),

g(2s-1) (0) = 0, g(2s) (0) = g(2s) (1) (i ^ 1, s = 0,1,...,i). Тогда из (21) и (22), соответственно, получаем:

1 1

92k = J g{x)Y2k{x)dx = J g{2%+l){x)cos\kxdx,

1

g2k-1 = J g(x)Y2k-1(x) dx 0

1

J g(2i+1) (x) (1 — x) — (2i + 1)g(2i) (x) sin Akxdx.

(—1)

i+1

Aki+1

(24)

1

1

2

2

1

2

2

Отсюда находим

оо оо , N 2 2

Е(А^+1^)2 = 8Е ( 9{2г+1)(х)^С08\кхг1х) д^(х) (25)

к=1 ; Ь2(0Д)

1

ОО ОО / р

^2(Х1г+192к-г)2 = / (д{2г+1){х){1-х)-{2г + 1)д^{х))л/2со^\кхйх

(26)

< 8

5(2^+1) (ж) (1 - ж) - (2г + 1)5(2^ (ж) ^ (о (г ^ 1).

Теперь рассмотрим следующие пространства: 1. Обозначим через В^у совокупность всех функций вида

О

и(ж,*) = Е (ж),

к=0

рассматриваемых в , где каждая из функций (*) (к = 0,1,...) непрерывна на [0, Т] и

/т(и) = ||п0(^||с[0)Т] + (а£ ||и2к_1^)||с[0>Г1 )Т + (£ \\и2ктС{0,т] )2) 2 < °°>

4=1 ' 4=1 '

причем а ^ 0 — фиксированное число.

В этом множестве операции сложения и умножения на числа (действительные) определим обычным образом; под нулевым элементом этого множества будем понимать функцию и (ж, *) = 0 на , а норму в этом множестве определим формулой

1Кж,;011в2ат = ^(и).

По схеме [9] докажем, что все эти пространства банаховы. Действительно, справедливость первых двух аксиом нормы очевидна, а справедливость третьей аксиомы нормы легко устанавливается с помощью сумматорного неравенства Минковского; следовательно, Ва у является линейным нормированным пространством. Докажем его полноту. Пусть

2\ 5 / ~ / Ч 2\ 2

(ж,*) = ^ и* (ж) (п = 1, 2,...)

к=0

— произвольная последовательность фундаментальная в Ва у. Тогда для любого е > 0 существует такой номер пе, что

(ж,*) - (ж,*) Ида

= ||ио,п(*) - и0,шШс[0^т] + (А£ ||и2к-1,п^) - и2к-1,тШс[0^ ^ ^

/ 00 ^ + (Ла Ии2к«(*) - ^т^Н^д^]) < е (V п,т ^ пе).

Чк=1

2

Следовательно, при любом фиксированном к (к = 1, 2,...)

||«0,п(£) - «0,т(£)||С[0;Т] < £

(4)||С[0,Т] < £'

||и2к,п(^) - «2к,т(4)||С[0,Т] < £ (Vп,т ^ пе).

А это означает, что последовательность |н0)„(£)}^ 1 и при любом фиксированном к (к = 1, 2,...) последовательности {и2к_1)га(£)}^ 1, 1 фундаментальны в С [0, Т] и,

следовательно, в силу полноты С[0,Т], сходятся в пространстве С[0,Т]:

П0,п(^) «0,0(4) £ С[0,Т], п ^то, и2к_1,п(*) ^ «2^-1,0(4) £ С[0,Т], п ^то, (28)

С [0 т]

«2к,п(4) «2м(4) £ С[0,Т], п ^то. Далее в силу (27) для любого фиксированного номера N:

/ N

||и0,га(4) — и0,то(4)|С[0;Т] + ( £ (А2 ||и2к-1,п(4) — и2к-1,т(4)||С[0,Т]

^а2

1

N „\2

V а

(29)

и2к,т(4)|с[0,Т] ) ) < £ (V^ т ^ пе)-

Чк=1

Пользуясь соотношениями (28) и переходя к пределу при т ^ то в (29), получаем

1

N Л 2

чк=1

|и0,п(4) - и0,0(4)|с[0,Т] + ( Е (Аа ||и2к-1,п(4) - и2к-1,0(*)|С[0>Т|)

\к=1

/ М 2\ ^ + (Аа ^к.пф - ^мСОУс[0,Т]) ^ £ (Vп ^ п^)-

Отсюда, в силу произвольности N (или, что одно и тоже, переходя к пределу при N то), получаем:

1.

00 о\ 2

|и0,п(4) - и0,0(4)|С[0,Т] + ( Е (Аа ||и2к-1,п(4) - и2к-1,0(4)|С[0>Т])

, ' 7 (31)

( 00 2 \ 2

+ (Аа ^к.пф - и2М(4)||С[0,Т]) ^ £ (Vп ^ пе)'

чк=1

Примем обозначение

те

«0(ж,4) = £ (ж).

к=0

Так как и0(ж,£) = [и0(ж,£) - (ж, 4)] + п„£ (ж, 4) и в силу (31) и0(ж,£) - п„£ (ж, 4) £ £ В2т, а также п„£ (ж, 4) £ В2т, то получаем, что

«0(ж,4) £ В2ат.

—►

Таким образом, в силу (31) для любого е > 0 существует такой номер пе, что

||и„(ж,-£) - ио(ж,-£)||Ба ^ е (Vп ^ пе).

А это означает, что последовательность пга(ж,£) сходится в В^ т к элементу ио(ж,£) £ В^т. Этим полнота и, следовательно, банаховость пространства В^ т доказана.

2. Через обозначим пространство В^ т х С[0, Т] вектор-функций ¿(ж,£) = {и(ж, ¿), а(£)| с нормой

У^е^а = ИМ^в? т + ||а(^)|с[о ,т] • Очевидно, что является банаховым пространством.

3. Исследование существования и единственности классического решения обратной краевой задачи

Так как система (14) образует базис Рисса в Ь2(0,1), то каждое решение задачи (1)-(3), (7) будем искать в виде

те

и(ж,4) = ^ ^ (¿)Х (ж), (34)

к=о

где

1

ик (*) = У и(ж,4)Ук (ж) ^ж (к = 0,1,...), (35)

о

причем Хк(ж) и Ук (ж) определены соотношениями (14) и (15) соответственно.

Применяя метод разделения переменных для определения искомых функций и к (¿) (к = 0,1,...), из (1) и (2) имеем

<(*)= а(4)ио(*) + /о(*), (36)

п'4(¿) - Л|п2к(¿) = а(4)и2к(¿) + /2к(¿) (к = 1,2,...), (37)

и2к-1(*) - Ак И2к-1(*) = а(4)«2к-1(*) + /2к-1(*) - 2 Ак и2к (¿) (к = 1,2,...), (38) ик (0)= <к, ик (Т )= ^ (к = 0,1,...), (39)

где

Ек(¿; и, а) = /к(¿) + а(£) ик(¿), /к(¿) = J /(ж,4)Ук(ж) ^ж,

о

1 1

<к = J <(ж)Ук(ж) ^ж, ^к = J ^(ж)Ук(ж) ^ж (к = 0,1,...). оо Решая задачу (36)-(39), находим:

т

ио(^) = <о + ^о^ + J Со(£,т)Ео (т; и, а) ^т, (40)

т сЛ( Ак (Т - 4)) вЛ( А к 4)

^ = с/г(АкТ) ** + Л^ЩЛ^Т) ^

т

+ 1Ск (4,т) ^к (т; и, а) ^т (к = 1,2,...),

(41)

. . с/г(Ак(Т — ¿)) з/г(Ак£) и2к-1{4 = -^- </?2к-1 +

т

сЛ(Ак Т)

АксЛ(Ак Т)

^2к_1 ^У Ск(4,т)^2к_1(т; и, а) ¿т

сЛ2(Ак Т)

ТвЛ( Ак4) + 4сЛ(АкТ)вЛ(Ак(Т - 4))

1

^2к +

—¿с/г(АкТ)с/г(Ак£) + — с/1(Лк2>/1(Л^) 2 к

1

к

ТвЛ( Ак Т )вЛ( А к 4)

^2к

т

т

-2 А к} Ск (4,т )П Ск (т,е)^2к (£; и, а) # ) ¿т (к = 1,2,...),

(42)

где

С0 (4,т) =

-4,4 £ [0, т], -т,4 £ [т,Т],

1

Ск (4,т) =

2 ХксН{ХкТ) 1

2\кс}г{\кТ)

вЛ(Ак(Т + 4 - т)) - вЛ(Ак(Т - (4 + т))) , 4 £ [0, т], вЛ( Ак (Т - (4 + т))) - вЛ( А к (Т - (4 - т )))! , 4 £ [т,Т].

После подстановки выражений из (40)—(42) в (34), для определения компоненты и(ж,4) решения {и(ж, 4), а(4)} задачи (1)-(4), (7), получаем

т

и(ж,4) = ^0 + ¿^0 + J С0(4,т)*Ъ (т; и, а) ^т

+

к=1

сЛ( А к (Т - 4))

т

+

сЛ(Ак Т)

сЬ(Хк(Т — ¿)) с/г(АкТ)

х2к (ж)

У2к + х1сН{\кТ) ^2к + /

0

т

вЛ(А к4) , [ ^ / / \ 1

Ч>2к-1 + хксН(ХкТ) ^2к~1 + У

сЛ2(Ак Т)

ТвЛ( Ак4) + 4сЛ(АкТ)вЛ(Ак(Т - 4))

^2к + " 1

—¿с/г(АкТ)с/г(Ак£) + —с/1(ЛкГ)в/1(Л^) 2 к

т т

-2А^ Ск(*,т)(/ Ск(т,е)^2к(£; и, а) ^ ¿т

ТвЛ( Ак Т )вЛ( А к 4)

^2к >

к

Х2к-1(ж)

(43)

1

+

1

Теперь из (7), с учетом (34), имеем:

а(£) = Н-1(£)| Н" (¿)/ (ж,4) ^ж + ^ Аки2к (¿) 1. (44)

к=1

Для того чтобы получить уравнение для второй компоненты а(£) решения {и(ж, ¿), а(£)} задачи (1)-(3), (7), подставим выражение (41) в (44):

а(Ь) = Н-1 (¿К Н"(4) - у /(ж, ¿) ^ж + ^ Ак

о к=1

сН(Ак(Т - ¿))

<-Р2к

сН(Ак Т)

т _ . (45)

«Н( Ак ¿)

АксН(Ак Т)

^2к ^У £к(¿,т)^2к(т; и, а) ^т

Таким образом, решение задачи (1)-(3), (7) свелось к решению системы (43), (45) относительно неизвестных функций и(ж,¿) и а(£).

Для изучения вопроса единственности решения задачи (1)-(3), (7) важную роль играет следующая

Лемма 3. Если {и(ж, ¿), а(£)} — любое решение задачи (1)-(3), (7), то функции ик(¿) (к = 0,1,...), определенные соотношением (35), удовлетворяют на [0, Т] счетной системе (40)-(42).

< Пусть {и(ж,4),а(4)} — любое решение (1)-(3), (7). Тогда, умножая обе части уравнения (1) на функцию на Ук(ж) (к = 0,1,...), интегрируя полученное равенство по ж от 0 до 1 и пользуясь соотношениями

1 1

¿2 г

Пй(ж, ¿)Ук(ж) (1х = / н(ж, ¿)Ук(ж) (¿Ж = п'к(^),

1

7-И (

J и(ж, ¿)Уо (ж) ^ж = 0, о

1 1

У и(ж,-£)У2к (ж) ^ж = — У и(ж,£) Ак У2к(ж) ^ж = - А к и2к (¿) (к = 1,2,...), оо

1 1

У и(ж, ¿)У2/к-1 (ж) ^ж = - Ак У и(ж,4)У2к-1(ж) ^ж оо

1

+2 А^ У и(ж, ¿) У2к (ж) ^ж = - А к и2к-1 (¿) + 2 Ак и2к (¿) (к = 0,1,2,...), о

получаем, что удовлетворяются (36)-(38).

Аналогично, из (2) получаем, что выполняется условие (39).

Таким образом, ик(¿) (к = 0,1,...) является решением задачи (36)-(39). Отсюда непосредственно следует, что функции ик(¿) (к = 0,1,...) удовлетворяют системе (40)-(42). >

Замечание. Из леммы 3 следует, что для доказательства единственности решения задачи (1)-(3), (7) достаточно доказать единственность решения системы (43), (45). Теперь рассмотрим в пространстве оператор

Ф(и, а) = |Ф1(и,а), Ф2 (и, а)|,

где Ф1(и,а) = и(ж,¿) = £ик(¿)Х(ж), Ф2(и,а) = а(£), а ио(¿), %12к(¿), и2к-1(4) (к = 1, 2,...) и а(£) равны соответственно правым частям (40)-(42) и (45). Нетрудно видеть, что

......

Учитывая эти соотношения, оцениваем:

||ио(¿)||с[о ,т] < 1<о| + Т|^о|

+2Ту/Г^ |/о(т)|2 ^ +2Т2 ||а(£)Нс[о,т] \\МЩ С [о , т]

(46)

(оо 2 \ 2 / оо 2 \ 2 / оо

]Т(А3к^и2к(¿)!с[о,т]) ^ 2 £ (А||<2к|) + 2 £ (Ак|^2к

к=1 ' / \к=1 ) \к=1 /

т i

(„оо 2 \ 2 / оо

о к=1 к=1

(47)

(оо 2\ 2 / оо 2\ 2

Е^Н^ФНср.п) ) < 2^2 ( Е(Л11^-11) )

1т I

(ОО 2\ 2 _ / „ оо 2 \ 2

1 1.

(ОО 2\ 2 / оо 2\ 2

) +2^2Т (48)

1т I

(оо г\2 / г 00 2 \ 2

1

/ 00 , о\ 2

||„/.\|| / / \3

+ 4^2Т2 |Ж||С[0)Т] Е (а| \\и2к(тс[0гТ]

к=1

МП

С[0,т ]

С[0,т]

1

л" (4) - i /(ж,4) ^ж

+

к=1

к=1 к=1

т

2 \ 2

£(А|1ы)2)2 + (е (аИ^|) к=1 к=1

С[0,т] 1

2\ 2

(49)

1

2\ 2

Предположим, что данные задачи (1)-(3), (7) удовлетворяют следующим условиям:

1. р(ж) £ ^23(0,1), р(1) = р(0), </(0) = (1), V(0) = 0.

2. ф(ж) £ ^22(0,1), ф(0) = ф(1), ф'(0) = 0.

3. /(ж,4), /х(ж,4) £ С(Дг), /ХХ(ж,4) £ Ь2(Дг), /(0,4) = /(1,4), /ж(0,4) = 0 (0 < 4 < Т).

4. Л(4) £ С2[0,Т], Л(4) = 0 (0 < 4 < Т). Тогда из (46)-(49) получаем

|п(ж, 4)||в| _ < А (Т) + В1 (Т) ||а(4)||с[0,т] ||«(ж, 4)||вз,

|а(4)|С[0,т] < А2(Т) + В2(Т) ||а(4)||С[0,т] Иж^Ц

2,Т

(50)

(51)

где

А1(Т) = 2 ||^(Ж)| ¿2(0,1) +2Т\\'Ф(х)\\ь2(0,1) +*Г^\\Пх,тЫвт)

+8(1 + 2Т) !!</'(ж)Ц^од) + 16(1 +Г) ||<(ж)||Ь2(0;1) +8^Т(1 + 2Т) ||/жж(Ж,I)\\ЫВт) +8 (Ж)(1 - Ж) - 3</(Ж)|£2(0,1) +8 ||ф"(Ж)(1 - Ж) - 2ф'(ж)|Ь2(0,1) +8^Т||/жж(ж,4)(1 - ж) - Ух(хМЫвт),

В\ (Т) = 2(1 + 2^2)Т2 + 2(1 + >/2) Г,

А 2 (Т ) = ||Л-1(4)

С[0,т]

1

л''(4) - i /(ж,4) ^ж

С[0,т ]

+

у те

2

к=1

В2 (Т) = ||Л-1(4) Из неравенств (50), (51) заключаем:

С[0,т]

£А-2 Т.

к=1

где

||й(ж,4)Увэт + ||а(4)УС[0,т] < А(Т) + В(Т) ||а(4)||С[0,т] ||и(ж,4)|вэт ,

А(Т) = А (Т) + А 2 (Т), В (Т) = В1 (Т) + В2 (Т).

Теперь мы можем доказать следующую теорему: Теорема 1. Пусть выполнены условия 1-4 и

(А(Т) + 2)2В(Т) < 1.

(52)

2

2

Тогда задача (1)-(3), (7) имеет в шаре К = Кд(||г||Ез ^ Я = А(Т) + 2) пространства

Еу единственное решение.

< В пространстве Еу3 рассмотрим уравнение

г = Фг,

(54)

где г = {и,а}, компоненты Ф»(и,а) (г = 1,2) оператора Ф(и,а) определены правыми частями уравнений (43), (45).

Рассмотрим оператор Ф(и, а) в шаре К = Кд из ЕуТ. Аналогично (52) получаем, что для любых г, € Кд справедливы оценки:

Цф^Уез < А(Т) + В(Т) ||а(£)|с[о,т] Нж,£)||Бз

2 ,Т

||Фг1 - Ф^||ез < В(ТШ ||а1ф - а2(*)|с[о,т] + ||и1 (ж,4) - и2(ж,4)||вз,

2,Т

(55)

(56)

Тогда из оценок (55) и (56) с учетом (52) следует, что оператор Ф действует в шаре К = Кд и является сжимающим. Поэтому в шаре К = Кд оператор Ф имеет единственную неподвижную точку {и, а}, которая является единственным в шаре К = Кд решением уравнения (53), т. е. {и, а} является в шаре К = Кд единственным решением системы (43), (45).

Функция и(ж,£), как элемент пространства , непрерывна и имеет непрерывные производные их(ж,£) и ихх(ж,£) в .

Теперь из (36)—(38), соответственно, имеем

¿2(0,1)

2\ 2

<

К' (*)|| С[0,Т] ^ ||а(^)|с[0,т] ||и0[0,т] +2 ^У/(ж,^)|с[0,т]

- те

Е (Лк ||и2к [0,Т] 1

к=1

Ч&=1

||и2й-1(^)|с[0,Т]

к=1

+4л/б

|ижж (ж, ¿) Ус[0,т]

¿2(0,1)

|а(4)(их(ж, ¿)(1 - ж) + и(ж,4)) + /*(ж,£)(1 - ж) + /(ж,4)||с[0,Т]

¿2(0,1)

Отсюда следует, что и^(ж,£) непрерывна в .

Легко проверить, что уравнение (1) и условия (2), (3), (7) удовлетворяются в обычном смысле. Следовательно, {и(ж,¿),а(£)} является решением задачи (1)-(3), (7), причем в силу леммы 3 оно единственно в шаре К = Кд. >

С помощью леммы 2, из последней теоремы вытекает однозначная разрешимость исходной задачи (1)-(4).

Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1,

1 1

',(ж) * = од, /«ж)* = Л'(Г),

2

Тогда задача (1)-(4) имеет в шаре К = К^ЦгЦ^т, ^ В = А(Т) + 2) пространства единственное классическое решение.

1. Тихонов А. И. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР.—1943.—Т. 39, № 5.—C. 195198.

2. Лаврентьев М. М. Об одной обратной задаче для волнового уравнения // Докл. АН СССР.— 1964.—Т. 157, № 5.—C. 520-521.

3. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. Т. Некорректные задачи математической физики и анализа.—М.: Наука, 1980.—288 с.

4. Иванов В. К., Васин В. В., Танина В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения.— М.: Наука, 1978.—206 с.

5. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач.—М.: МГУ, 1994.—206 с.

6. Соловьев В. В. Обратные задачи определения источника для уравнения Пуассона на плоскости // Журн. вычисл. математики и мат. физики.—2004.—Т. 44, № 5.—C. 862-871.

7. Соловьев В. В. Обратные задачи для эллиптических уравнений на плоскости // Диф. уравнения.— 2006.—Т. 42, № 8.—C. 1106-1114.

8. Мегралиев Я. Т. Обратная краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка с дополнительными интегральным условием // Вестн. Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки.—2012.—Вып. 1.—С. 32-40.

9. Мегралиев Я. Т. О разрешимости одной обратной краевой задаче для эллиптического уравнения второго порядка // Вестн. Тверского гос. ун-та. Сер. Прикл. математика.—2011.—№ 23.—С. 2538.

10. Прилепко А. И., Костин А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Мат. сб.—1992.—Т. 183, № 4.—С. 49-68.

11. Прилепко А. И., Ткаченко Д. С. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Журнал вычислительной математики и мат. физики.—2003.—Т. 43, № 4.—С. 562-570.

12. Камынин В. Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения // Мат. заметки.—2005.—Т. 77, № 4.—С. 522-534.

13. Сабитов К. Б., Мартемьянова Н. В. Нелокальная обратная задача для уравнения эллиптико-ги-перболического типа // Современная математика и ее приложения.—2011.—Т. 68.—C. 40-50.

Статья поступила 15 сентября 2012 г.

МЕГРАЛИЕВ ЯШАР Топуш ОГЛЫ Бакинский государственный университет,

доцент кафедры дифференциальных и интегральных уравнений АЗЕРБАЙДЖАН, АЗ1148, Баку, ул. З. Халилова, 23 E-mail: [email protected]

An inverse boundary value problem for the second order elliptic equation with an additional first kind integral condition is investigated. First the initial problem is reduced to the equivalent problem, for which the existence and uniqueness theorem is proved. Then using these facts the existence and uniqueness of the classical solution of initial problem is proved.

Литература

ON AN INVERSE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE SECOND ORDER ELLIPTIC EQUATION WITH ADDITIONAL INTEGRAL CONDITION

Meqraliyev Y. T.

Key words: inverse boundary problem, elliptic equation, method Fourier, classic solution.