CC BY
42
*УДК- 517.95
ОБ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ПЕРВОГО РОДА
Я.Т. Мегралиев
В работе исследована одна обратная краевая задача для гиперболического уравнения второго порядка. Сначала исходная задача сводится к эквивалентной задаче, для которой доказывается теорема существования и единственности решения. Далее, пользуясь этими фактами, доказывается существование и единственность классического решения задачи.
Ключевые слова: Обратная краевая задача, гиперболическое уравнение, метод Фурье, классическое решение.
1. Введение
Современные проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования качественно новых задач, ярким примером которых является класс нелокальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Среди нелокальных задач можно выделить класс задач с интегральными условиями. Условия такого вида появляются при математическом моделировании явлений, связанных с физической плазмы [1], распространением тепла [2] процессом влагопереноса в капиллярно-простых средах [3], вопросами демографии и математической биологии.
2. Постановка задачи и её сведение к эквивалентной задаче Рассмотрим для уравнения
и (х,г) ~иххЫ=аг)и(х,0 + /(х,г) (1)
в области ^Т ~ {(х г) ' 0 ~ х ~1 0 ~ г ~ Т} обратную краевую задачу с начальными условиями
и(х,0) = (р(х), иг (х,0) = щ(х) (0 < х < 1),
граничным условием Неймана
их (0, г) = 0 (0 < г < Т)
(2)
(3)
нелокальным интегральным условием
1
| и( х, г)йх = 0
0 (0 < г < т ) (4)
и с дополнительным условием
аи(0, г) + ри(1 г) = Н(г) (0 < г < Т) (5)
где а"> $ -заданные числа (^ +^2 ф 0), / (Х:'г), ^(x),^(x), ^(г) - заданные функции, а и(х,г) и а(г) - искомые функции.
Определение. Классическим решением задачи (1)-(5) назовём пару {и(^ г), а(г)} функций u(x,г) и а(г), обладающих следующими свойствами:
1) функция и(Х:: г) непрерывнав ^Т вместе со всеми своими производными, входящими в уравнение (1);
2) функция а(г) непрерывна на [0,Т];
3) все условия (1)-(5) удовлетворяются в обычном смысле.
Справедлива следующая
Лемма 1. Пусть
1 1
ср(х) е С[0,1], |^(х)йх = 0,^(х) е С[0,1], |^(х)йх = 0,
0 0
1
И(г) е С2[0, Т], Н(г) ф 0, /(х, г) е С(БТ), |/(х, гх = 0 (0 < г < Т),
0
а(р(0) + ^<р(1) = к(0),ащ(0) + ^<^(1) = #(0).
Тогда задача нахождения классического решения задачи (1)-(5) эквивалентна задаче определения функций u(x,г) и а(г), обладающих свойствами 1) и 2) определения решения задачи (1)-(5), из соотношений (1),(2),
их (1, г) = 0(0 < г < Т), (6)
к"(г) - (аихх(0, г) + Рихх(1, г)) = а(г)к(г) + а/(0, г) + 0/(1, г) (0 < г < Т). (7)
d1
dt2
Доказательство. Пусть ^u (х’t^ a(t ^ является классическим решением задачи (^-(Т)1
Интегрируем уравнение (1) от 0 до 1 по x, имеем:
]2 1 11
- ju(x,t)dx - ux(1, t) + ux(0,t) = a(t) ju(x, t)dx + J f (x, t)dx (0 < t < T)
0 00 . (8)
1
J f (x, t)dx = 0
Отсюда, с учётом 0 и (3) легко приходим к выполнению (6).
Далее, так как h(t) е C [0,T], дифференцируем (5) два раза, получаем:
autt (0, t) + f3utt (1, t) = h"(t) (0 < t < T) (9)
Из (1), находим:
aiitt (0, t) + Putt (1, t) - (aulx(1, t) + fax*(1, t)) =
= a (t)(au (0, t) + (3u (1, t)) + af (0, t) + Pf (1, t) (0 < t < T). (10)
Отсюда, с учетом (5) и (9), легко приходим к выполнению (7).
Теперь, предположим, что &(t), a(t)^ является решением задачи (1)-(3),(6),(7). Тогда из (8), с учетом (3)и(6), имеем:
y"(t) - a(t)y(t) = 0 (0 < t < T), (11)
где
1
y(t) = f u( x, t )dx
' (0 ^t -T). (12)
В силу условий леммы 1, очевидно, что
11 11
y(0) = j u(x,0)dx = j cp(x)dx = 0 y'(0) = j ut (x,0)dx = j ц/( x)dx = 0
00,0 0 . (13)
Из (11), с учетом (13) очевидно, что y(t) _ 0 (0 “t “ T) . Отсюда, в силу (12), легко приходим к выполнению (4).
Далее, из (7) и (10), имеем: d2
—^(au(0, t) + [3u(1, t) - h(t)) = a(t)(au(0, t) + [3u(1, t) - h(t)) (0 < t < T) dt . (14)
В силу a«>(0) + ^«>(1) = h(0),“ ^(0) + ^^(1) = h'(0) , находим:
au (0,0) + (3u (1,0) - h (0) = 0 aut (0,0) + f3ut (1,0) - h'(0) = 0 (15)
Из (14) и (15), ясно, что выполняется и условие (5). Лемма доказана.
3.Исследование существования и единственности классического решения обратной краевой
задачи
Первую компоненту u(x, t) решения {u(x, t), a(t)} задачи (1)-(3),(6),(7) будем искать в виде:
k
k=0
(16)
где
1
,(t) = 2ju(x,t)cosAkxdx (k = 0,1,...)
= 2J u(x, t) COS/
0.
Тогда, применяя формальную схему Фурье, из (1) и (2) имеем:
<(t) + ^2Uk(t) = Fk(t;u, a) (0 <t < T;k = 0,1,...) Щ(0) = Pk, u'k(0) = ¥k (k = 0,1,...),
где
1
Fk(t;u, a) = fk(t)+a(t )uk(t), fk(t) = 2 {f (x, t) cos Kxdx
(17)
(18)
u
(pk = 2j^(x)cosAkxdx, y/k = 2jV(x)cos\xdx (k = 0,1,...)
0 0 .
Решая задачу (17), (18), находим:
t
u0(t) = +1^0 + J (t -r)F0(r; u, a) dr
0 ,
1 1 t
uk(t) = (Pkcos V + ^rWksin &kt + т 1 Fk (t;u a) sin^k(t - *)d* (k = 1,2,...)
К К 0
Очевидно, что
t
u'k(t) = -Ak^k sin\t + ^k cosXkt +1Fk(z;u, a)cos Ak(t -z)dz (k = 1,2,...)
, (21)
<(t) = -%Vkcos V -\Wksin V -
t
~K fFk(z;u,a)sinXk(t-z)dz + Fk(t;u,a) (k = 1,2,...).
0 (22)
r-r „ ut (t)(k = 0,1,...) u(x, t)
После подстановки выражении kwv > > / в (16), для определения компоненты v 7 7
решения задачи (1)-(3),(6),(7) получаем:
t
u(x, t)= ^0 +1^0 + j (t _гЖ(г; u, a)dx +
0
да I 1 1 t I
+Ei Vkcos v+v^ksin v+v 1 Fk (t ; ua) sin Ak(t -?)d?\cos v.
k=1 [ Л Л 0 J
Теперь, из (7), с учетом (16), имеем:
a(t) = h(t )\h"(t) - (af (0, t) + ftf (1, t)) + ]T A,2 (a + «-1)k )uk (t )|.
I k-1 J (24)
Для того, чтобы получить уравнение для второй компоненты a(t) классического решения
(23)
{u ( x, t), a(t)}
задачи (1)-(3),(6),(7) подставим выражение (20) в (24):
| ад
a(t) = h~'(t){ h"(t) - (af (0,t) + pf (1, t)) + £ A; (a + (-1)k «(ft cos V +
k
k=1
t
1 Wk slnV+7 {^М^Ч(t“T)d4
^ ^ 0 ^ (25)
Таким образом, решение задачи (1)-(3),(6),(7) свелось к решению системы (23), (25) , „ и(х, г) а(г)
относительно неизвестных функции у 7 7 и у 7 .
Справедлива следующая
Лемма 2. Если {и(x, г^ а(г)} - любое классическое решение задачи(1)-(3),(6),(7) , то функции
1
ик(г) = 2|и(х,г)cosЛkxdx (к = 0,1,...)
0
удовлетворяют системе (19),(20).
Из леммы 2 следует, что имеет место следующее
Следствие. Пусть система (23), (25) имеет единственное решение. Тогда задача (1)-(3),(6),(7) не может иметь более одного решения.
Ба
Обозначим через 2,Т [4] совокупность всех функций вида
и(х,г) = ^ик(г)соъАкх (Як = кп)
к=0
рассматриваемых в ВТ, где каждая из функций ик (г) (к ~ 0,1, . )
непрерывна на [0Т] и
« )|| с[0,т ] П
< +Х>
3(и) = ||и0(г Ц С[0 Т ] + \ ^ \хк г к(г)
[к=1
причём а — 0. Норму в этом множестве определим так:
||и(х, г)||ва = 3(и)
Через Ет обозначим пространство В2Т х С[0,Т] вектор - функций 2(хг) _ {и(х,г^а(г)} с нормой
2 (х, г) _а = и (х, г) + а (г)
С[0,Т ]
Ва Еа
Известно, что 2,Т и Т являются банаховыми пространвами.
Теперь , рассмотрим в пространстве Ет оператор
Ф (и, а) = (Фх(и, а), Ф 2(и, а)}
где
Ф1(и, а) = ~(х, г) = ^ ик (г) со8
х,
к - 0 Ф 2 (u, а) = а(г),
а uo(г),ик (г) (к ~ 1,2,...),~(г) равнысоответственно правым частям (19),(20),(25).
Отсюда имеем:
1
и,
+ Т2||а(г)\\С[0 Т,1 1и0(г)\
С[0,Т]11 04 /ПС[0,Т]
1
\2
0(гIС[0,Т] Ф<)| + ТЫ + ТлТ ||/0(т>Г^
V 0
1 1 !(«.«)|| ст ] 113 * К1)! 15+2(]г(я2К11
к=1 У V к=1 У V к=1
1
+ 24т [ |£(л;|. /к (г)|) 2 dтl + 2Т||а(г )||с[ог] (1^-1 к (г)|| ст,)2 ]2,
(26)
ч0 к=1
(27)
||~(г )|
1
С [0,Т ]
<
1
Л 2
I № КI)2 +|! (42 К I)2 + '/ЛЛ (А2|/к «|)2 dr
ч к =1 У V к=1 У V 0 к=1
1
V
Т11а(г)1с[0,т]I (г)С[0,Т])
чк=1
С[0,Т ]'
Пусть данные задачи(1)-(3),(6),(7)удовлетворяют следующим условиям:
1. ^(х) е Су”,(х) е 12(0,1) и ф'(0) = ф'(1) = 0;
2. у/(х) е Cl[0,1], <(х) е 12(0,1) и ^'(0) = ^'(1) = 0;
3. /(x, гX /х (x, г) е С (От X /хх (x, г) е 12(Вт ) и
/х (0, г) = /х (1, г) = 0 (0 < г < т).
?
4 Н(г) е С2[0,Т], й(г) * 0 (0 < г < Т)
Тогда из (26)-(28) соответственно получаем:
«0^ 1-10,Г] й |И*1 (»,) + Т|Их)||(».,) +
Мод)
ІІІ2(0,1)
+ ТлІТ\/ (х, ґ )|| + Т 2|| а(ґ )|| \\и М )||
* Ік V 5 Л\ь2(пт) II 4 Л\с[о,т]11 04 Л\с\
1
Ё(*кК(0||с[0,т]^2 ^ 21 К(х)1112(0,1) + 21 Их)ІІІ2(0,1) +
чк=1
/ ад
2^(||/хх (х. ґ , + 2Т||а(0||с[0,Л I (' ) 1с [0,Т ])
І2(0,1) Ґ
С [0,Т ]
V к=1
к^ -'ІІС[0,Т]'
3('1 С|0,Т1 й Л_1('ІС|0,Т] 1А'(,)ІС[0,Т] +\Н(0,') + №(1 ')ІС|0,Т 1 +
(30)
л/6
(« + \р I)
+
’( * 4 ,<0,1, + 'Л/. ( х, ' „, + Т (|д ЙіК ( ґ Л с ,0,Т ])2 )
1 'А
2
Далее, из (29) и (30) находим:
ІІ«(х, ґ)|| 3 < А1 (Т) + Т (Т + 2)1 а(ґ)|
II \\Вг) Т 1 III
с[0,Т ]
\и (х, ґ)|
(31)
(32)
где
А1(Т) = 2\(р"(х)||І2(0Д) + 2У(х)||^ (0,) + 2^Т\\/хх (х. ґ^^ ^) +Кх)||^ (0,) +
ІІІ2(0,1)
+ Т И х)| І1(0,І) + (х. > )|
^ ’ '\\Ь2(Вт )
L2( ВТ )
1^2(0,1)
Теперь из (31), имеем:
« (ґ^1 с[0,Т] - В1 (Т) + В2 (Т^1а(ґ^1 с[0 Т11Iй(х, ґ)
с [0,Т ]11
В(Т) = к 1 с[0,Т ] \к’« )|1 С0,Т 1 +1к (0,' ) (1 ґ )|| сщ- ] +
(33) где
+
^(« + ^|)|к'"(х)|і г 1+1к"(х)1і Г ,+^Т\\/хх (x, ґ4
/Г І I ЦІ ІІ^ІПІІ II І^2Г0 1І П П^
^[0,1]
^-2[0,1]
'2( Вт ) -1
л/6
Из неравенств (32) и (33) заключаем:
с[0,Т ]
«(ґЯс[0,т 1+1 l«(x, ґ)ІІ В-з„ ^ А(т) + В(тІа(ґIс[0Т 1|lu(x, ґ)
с[0,Т ]1
А(Т) = А1 (Т) + В1 (Т), В(Т) = Т(Т + 2) + В2 (Т)
Итак, можно доказать следующую теорему. Теорема 1. Пусть выполнены условия 1-4 и
(34)где
Тогда задача(1)-(3),(6),(7) имеет в шаре
В(Т)(А(Т) + 2)2 < 1 К = Кя (143 < А(Т) + 2)
пространства
единственное решение.
Доказательство. В пространстве Т рассмотрим уравнение
(35)
Е3
(36)
где 2 {u, а}, компоненты ®‘(u,а) оператора ®(u, а) определены правыми частями уравнений
(23), (25) соответственно. Рассмотрим оператор
Ф(и, а)
в шаре
К = Кк (||2Е3 < Я = А(Т) + 2)
из
еТ
Аналогично (34) получаем, что для любых 2 21,22 £ справедливы оценки:
2
В
В
В
2Т
INI3 ^ A(T)+b(ta(tіcr0 Tju(x, t)
?
\\Ф1 - 0zWE3 ^ B(T)R\\al(t) - a2(t)\\cr0,Tl +1t) - U2(x, Ot )
c[0,t l - u
Тогда из оценок (37) и (38), с учетом (35), следует, что оператор Ф действует в шаре
является сжимающим. Поэтому в шаре
{u, a}
и
K = KR л
R оператор Ф имеет единственную неподвижную точку
K = KR
, которая является единственным решением уравнения (36), т.е. является единственным в шаре решением системы (23), (25).
Функция
u(X, t)
как элемент пространства Dm
B
2,T
непрерывна и имеет непрерывные
ur (x, t) urr (r, t)
производные r v 7 , rr v 7 ^
Теперь, из (21) и (22) соответственно имеем:
V ^ 2
IK(t)||cr0,Tl )2 12 ^ 2|ИХ)И,(0,1) + 2|k"(x)L, (0,1) + ^II^K (x, t) + fxx (x, t)|
llL2 (DT )
, (39)
£(•
k=1
AK(t)
c[0,t l
< 3| И x)|
L2(0,1)
■ 3lk"( x)l
L2(0,1)
+ 3 VT||c(t )Urr (r, t) + frr (r, t )|| ^ (D) + 3I |a(t К (r, t) + fx (r, t )| Из неравенств (39), (40) следует, что Ut (r, t), u«(r,f) ------------D
C[0,T l
1^2 (0,1)
(40)
непрерывны в т .
Легко проверить, что уравнение (1) и условия (2), (3), (6),(7) удовлетворяются в обычном смысле. Значит, {и(x, является решением задачи(1)-(3),(6),(7) . В силу следствия леммы 2 оно
К = к
единственно в шаре
.Теорема доказана.
С помощью леммы 1, из последней теоремы немедленно вытекает однозначная разрешимость исходной задачи (1)-(5).
Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1 и
1 1 1
| (р(х)ёх = 0, | у/(х)ёх = 0, | /(х, ()йх = 0 (0 < / < Т),
0 0 0 а(р(0) + у3(р(1) = ^(0), «1^(0) + ^1^(1) = ^'(0).
пространства
X /П «ч K = Kr(IЫ1.3 <A(T) + 2)
Тогда задача (1)-(5) имеет в шаре Ry" "et '
единственное
классическое решение.
In this work an inverse problem for the hyperbolic equation of second order with periodical boundary conditions is investigated. For this reason, first of all the initial problem reduces to the equivalent problem, for which the theorem of existence and uniqueness proves. Then using these facts the existence and uniqueness of the classical solution of initial problem is proved.
The key words: Inverse boundary problem, hyperbolic equation, method Fourier, classic solution.
Список литература
1. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Диф. уравнения 1980, т.1б, №11, с.1925-1935.
2. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Диф. уравнения, 1977, т.13, №2, с.294-304.
3. Нахушев А.М. Об одном приближённом методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приближения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Диф. уравнения, 1982, т.18, №1, с.72-81. .
4. Худавердиев К.И., Велиев А.А. Исследование одномерной смешанной задачи для одного класса псевдогиперболических уравнений третьего порядка с нелинейной операторной правой частью. Баку: Чашыоглы, 2010, 168 с.
B
2T
3
k=1
Об авторе
Мегралиев Я.Т. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Бакинского Государственного Университета , [email protected]
