Формулы явного решения в модельной нелокальной задаче для уравнения простого переноса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2017. Том 24, № 1

УДК 517.95

ФОРМУЛЫ ЯВНОГО РЕШЕНИЯ В МОДЕЛЬНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПРОСТОГО ПЕРЕНОСА И. В. Тихонов, Ву Нгуен Шон Тунг

Аннотация. Изучается специальная нелокальная задача для многомерного уравнения простого переноса. В качестве дополнительного условия взят интеграл, выражающий среднее по времени. Установлена теорема существования и единственности решения. Показано, что решение находится конструктивно, в явном виде, за конечное число итераций. Разработанный аппарат будет востребован в дальнейших исследованиях нелокальных задач для общего многомерного уравнения переноса. Ключевые слова: уравнение переноса, нелокальная задача, разрешающая формула.

Введение

В настоящей заметке подробно разбирается специальная задача для уравнения простого переноса, в которой традиционное начальное условие заменяется нелокальным условием среднего по времени. В компактных обозначениях, привычных для теории переноса, задачу можно записать в виде

ди

— + у\7и -дЬ

и1г(-) :

и = и(х, V, Ь),

(1)

— / и{х, V, I) ей = </?(ж, у).

Здесь

= (х1,х2,хз) е п с мХ, V = (VIе V с м3, 0 < ь < т

с соответствующим выбором области П с МХ, множества V С М3 и с фиксированным конечным значением Т > 0. Как обычно, через Гобозначено множество таких (х^), что х е Г = дП, а вектор V е V, приложенный к точке х, направлен внутрь области П. Функция <^(х, V) считается заданной. Требуется восстановить функцию и = и(х, V, Ь).

Уравнение переноса взято в самом простом, модельном виде: без интеграла столкновений и с нулевым коэффициентом поглощения. Это позволяет явно выписать решение задачи (1), причем во вполне обозримом виде (см. формулы

© 2017 Тихонов И. В., Ву Нгуен Шон Тунг

х

(43), (44) ниже). Найденные соотношения будут полезны при проведении численных расчетов, а также при исследовании аналогичной задачи для полного уравнения переноса, содержащего дополнительные «физические» слагаемые.

Отметим актуальные ссылки по теме исследования. Основные факты математической теории линейного переноса вместе с некоторыми приложениями представлены в монографии [1]. Общее уравнение переноса методом линейных однопараметрических полугрупп изучалось в книгах [2,3] и статьях [4,5]. На важность рассмотрения различных неклассических задач для основных уравнений математической физики, в том числе и для уравнения переноса, указано в обзоре [6]. Впоследствии в [7-10] был исследован целый ряд характерных обратных задач для нестационарного многоскоростного уравнения переноса. Некоторые из упомянутых задач имеют естественную «внутреннюю» связь с простейшей нелокальной задачей (1). В частности, настоящая публикация представляет собой подготовительный этап «по переносу» на более общие нелокальные задачи результатов [10], полученных ранее для обратной задачи с финальным переопределением. С абстрактным подходом к нелокальным задачам для эволюционных уравнений можно познакомиться по работам [11,12].

Основное доказываемое утверждение дано как итог в конце ключевого разд. 4. Аккуратное обоснование нужного результата требует ряда вспомогательных конструкций, которые разберем с должной подробностью. Для ясности изложения приведем все технические детали, в том числе те из них, которые известны специалистам по теории переноса, но могут затруднить читателя «со стороны». Сам метод исследования нелокальной задачи, восходящий к работе [11], достаточно прост. Трудность состоит в том, чтобы выработать точный формализм и приспособить метод к специфическому многомерному контексту, связанному с уравнением переноса.

1. Предварительные сведения и обозначения

Обозначим через М^. координатное пространство точек х = (х^х^хз), а через М3 — пространство скоростей v = (vi, v2, г>з). Выберем в М^ ограниченную выпуклую область О с границей Г = дО. Диаметр d > 0 области О определим стандартным образом:

d = diamО = sup |x — y|.

Пусть V — шаровой слой в М^ вида

V = {v е MV : 0 < ао < |v| < ai < ж} с фиксированными значениями ао, а1 е М, 0 < ао < а1 < ж.

Для учета влияния краевых условий введем краевую функцию то(х, v), заданную на множестве О х V по правилу

т0(х, v) = sup{T е М : х — vt е О}. (2)

Значение то(х, v) выражает время свободного пробега от точки х е О до границы Г со скоростью (—v). Отметим некоторые характерные свойства функции то(х, v).

Лемма 1. Для любых (x, v) £ О х V имеет место оценка

0 < то(x, v) < d/ao, d = diam О, ao = min |v|. (3)

Доказательство. Поскольку О — открытая область, строгая положительность функции To(x,v) очевидна. Время свободного пробега по области О со скоростью (—v), где v £ V, оценивается сверху через отношение диаметра области к минимальному абсолютному значению скорости ao. В итоге приходим к нужной оценке (3). Лемма доказана.

Лемма 2. Для любых (x, v) £ О х V верны соотношения

(а) x — vt0(x, v) £ Г;

(б) x — vt £ О при 0 < t < To(x, v);

(в) ж - vt £ R™ \ О при t > r0(ж, -у).

Доказательство. Зафиксируем пару (x,v) £ О х V и рассмотрим луч

x — vt = (xi — vit, x2 — v21, x3 — vßt), t > 0,

в пространстве M^. Поскольку О — ограниченная выпуклая область в М^, луч, выходя из внутренней точки x £ О, пересечет границу Г лишь в одной точке, отвечающей некоторому значению to > 0 (между прочим, строгое обоснование этого интуитивно ясного факта требует неожиданных усилий; для доказательства можно воспользоваться, например, теоремой 1.2.4 из [13]). По определению (2) число to совпадает со значением то(x, v). При 0 < t < To(x, v) точки луча находятся внутри О, а при t > то (x, v) выходят из области. Все это соответствует соотношениям (а)-(в). Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть (x, v) £ О х V и x + vt £ О при некотором фиксированном значении t £ М. Тогда

t0(x + vt, v) = t0(x, v) + t. (4)

Доказательство. Геометрически лемма вновь «почти очевидна». Формальное обоснование проводится так. Значение то (x + vt, v) определено соотношением

то(x + vt, v) = sup{T £ M : x + vt — vt £ О} = sup{T £ M : x — v(t — t) £ О}. Положим s = т — t с фиксированным t £ M. Тогда т = s + t и T0(x+vt, v) = sup{s +t £ M : x—vs £ О} = sup{s £ M : x—vs £ О}+1 = t0(x, v)+t. Лемма доказана.

Правило (4) позволяет установить более специальные свойства функции To(x,v), нужные для нашего исследования.

Лемма 4. Пусть при выборе (ж, V) € О х V верна оценка

а < то (ж, ь) < в (5)

с некоторыми значениями 0 < а < в < . Тогда

а — Ь < т0 (ж — ьЬ, ь) < в — Ь (6)

при 0 < £ < а.

Доказательство. Поскольку 0 < £ < а < т0(ж, V), то ж — ьЬ € О согласно п. (б) леммы 2. Основываясь на правиле (4), имеем

То (ж, ь) = То(ж — ьЬ + ьЬ, ь) = То(ж — ьЬ, ь) +

Подставляя данное выражение в условие (5), приходим к соотношению (6). Лемма доказана.

Особый интерес для наших целей представляет вариант условия (5), когда верхняя и нижняя границы оценки кратны определенному значению Т > 0. Непосредственное применение леммы 4 дает следующий результат.

Лемма 5. Пусть Т > 0 — фиксированное число, и пусть при выборе (ж, ь) € О х V верна оценка

тТ < то (ж, ь) < (т + 1)Т (7)

с некоторым значением т € N. Тогда

(то — к)Т<Т0(ж — ькТ,ь) < (т + 1 — к)Т (8)

при к = 1,..., т. В частности, заведомо

(т — 1)Т < То(ж — ьТ, ь) < тТ, 0 < То(ж — ьтТ, ь) < Т. (9)

Доказательство. Условие (7) есть частный случай (5) со значениями а = тТ и в = (т + 1)Т. Выбирая Ь = кТ с произвольным к € {1,. .., т} и применяя затем правило (6), приходим к соотношению (8). Непосредственно из (8) следуют оба соотношения (9), отвечающие к = 1 и к = т соответственно. Лемма доказана.

2. Оператор простого переноса

Действуем в предположениях разд. 1. Считаем, что (ж, ь) € О х V. Для выбранной функции д : О х V ^ К формальный оператор

д д д уУ = УУх=У1—+У2Т—+у3— (10)

дж1 дж2 джз

означает производную по направлению

' . (11)

у\7д(х, у) = —д(х + ут, у)

т=0

К оператору (10) присоединим краевое условие

д|г (-) =0. (12)

Напомним, что через Г(-) обозначено множество всех таких (ж, г>), что ж £ Г = дО, а вектор V £ V, приложенный в точке ж, направлен внутрь области О.

По физическим соображениям (см. [1, 2]) в математической теории переноса естественным банаховым пространством является ^(О х V) с нормой

1Ы1 = J |д(ж^)| ¿ж^, д £ ¿1(0 х V),

ПхУ

относительно стандартной меры Лебега ¿ж^ на произведении С = О х V. Если шаровой слой V вырождается в сферу |V| = ао = а1 (при совпадении радиусов ао = а1), то ¿V означает меру Лебега на сфере.

Область определения дифференциального оператора (10) с краевым условием (12) в пространстве Ь1(0 х V) обозначим через Э„у(0 х V). Точное определение дается так. Функция д £ ¿1(0 х V) принадлежит Э„у(0 х V), если для п. в. (ж, V) £ О х V функция Л.(т) = д(ж + vт, V) определена на отрезке

—то(ж^) < т < т0(ж, —V) (13)

и удовлетворяет условиям:

(1) Л.(т) абсолютно непрерывна по т на отрезке (13);

(и) ^(т)|т=-т„(х,«) = д(ж — = 0.

Условие (1) обеспечивает то, что оператор vV, примененный к функции д(ж, V), оказывается определен при п. в. (ж, V) £ О х V, причем vVg £ ¿1(0 х V). Условие (11) есть строгая формализация краевого условия (12).

Помимо самой области Э„у(О х V) будем рассматривать ее итерированные версии, полагая

Э^(Ох V) = Э„у(ОхV), Э2у(ОхV) = {д £ D„v(0хV) : vVg £ D„v(0хV)}, и, вообще, по индукции

Эк+1(О х V) = {д £ х V) : vVg £ х V)}

при любом к £ N.

С помощью функции то(ж^) из формулы (2) можно построить оператор

В : ¿1(О х V) ^ х V),

для которого оператор А = vV служит обратным. Действительно, для любой выбранной функции / £ ¿1(О х V) определим д = В/ по правилу

то(ж,и)

д(ж, V) = У /(ж — ví,v) (14)

о

при п. в. (ж,г>) € О х V. Воспользовавшись леммой 3, запишем д(ж,г>) на характеристике оператора (10) в виде

го(х,у)+г т

д(ж + г>т, г>) = У / (ж + г>(т — £),г>) = J /(ж + «в,«) ¿в,

0 —то(ж,^)

где значения переменной т € К взяты так, чтобы ж + г>т € О. Поскольку предполагается, что / € Ьх(О х V), то д € (О х V) в соответствии с требованиями (1), (И) выше. При этом

у\7д(ж, г>) = —д(х + г>т, г>) от

= / (ж,«) (15)

т=0

для п. в. (ж,г>) € О х V. Итак, оператор А = «V, вычисляемый на (О х V) согласно (11), является обратным к оператору В, определенному в Ьх(О х V) по правилу (14).

Связь функции то(ж,г>) с оператором «V объясняется следующим простым фактом.

Лемма 6. Для функции то (ж, г>) из формулы (2) верно соотношение

^то (ж,«) = 1 (16)

при всех (ж, г>) € О х V.

Доказательство. По определению (11), используя правило (4), получаем

о

г>Уто(ж, г>) = —— 7о(ж + г>т, г>) от

(то(ж, г>) + т) т=0 от

=1

т=0

при всех (ж, г>) € О х V, как и утверждалось в (16). Лемма доказана.

3. Общее решение уравнения простого переноса

Напомним вывод формулы общего решения для уравнения простого переноса

ди ^

— + иV« = 0, и = и(х, V, 1). (17)

Здесь (ж,г>) € О х V, а 4 > 0. К уравнению (17) добавим краевое условие

и|Г (-) =0. (18)

Считаем, что (18) выполнено для функции и = и (ж, г>, 4) при любом 4 > 0.

Характеристика уравнения (17), проходящая через точку (ж, г>, 4), имеет вид

ж(т) = ж + г>т, г>(т) = г>, 4(т) = 4 + т.

Независимая переменная т € К принимает значения из отрезка (13) с дополнительным ограничением т > —4. Запишем уравнение (17) на характеристике в форме

-^-и(х + ут,у,1 + т) = 0. (19)

от

Будем интегрировать соотношение (19) по переменной т с учетом краевого условия (18) и начального условия

и(ж, V, 0) = /(ж, V), (ж, V) £ О х V, (20)

считая, что функция /(ж, V) выражает значение решения и(ж, V, 4) при 4 = 0.

Зафиксируем число 4 > 0 и выберем пару (ж, V) £ Ох V. Вычислим значение то(ж, V) по формуле (2). Если то(ж, V) > то проинтегрируем (19) по т от (—4) до 0. Получим

и(ж, V, 4) — и(ж — ví, V, 0) = 0. Отсюда с учетом (20) заключаем, что

и(ж, v,í) = /(ж — ví, V), то(ж^) >4. (21)

В случае, когда начальное состояние /(ж, V) задано почти всюду в О х V, формула (21) также рассматривается при п. в. (ж, V) £ О х V, отвечающих условию то (ж, V) >

Если же то(ж, V) < то интегрируем (19) по т от (—то(ж^)) до 0. Получим соответственно

и(ж, V, 4) — и(ж — vто(ж, V), V, 4 — то (ж, V)) = 0.

Поскольку ж — vто(ж, V) £ Г, а вектор V в этой точке направлен внутрь области О, с учетом краевого условия (18) заключаем, что

и(ж, V, 4) = 0, то(ж, V) < I. (22)

Соединение (21) и (22) дает формулу

Г /(ж — VI V), то(ж^) >4, , ч

и(ж,М)= 0 о( , ^ / (23)

I 0, то(ж, V) <

верную для всех или для почти всех (ж^) £ О х V при любом фиксированном 4 > 0. Вспоминая лемму 1, замечаем, что

и(ж, V, 4) = 0, (ж, V) £ О х V > ¿/ао, (24)

со значением ¿/ао из формулы (3).

Коротко обсудим гладкость полученного решения. Если / £ ¿1(О х V), то функцию (23) естественно считать формальным решением уравнения простого переноса, поскольку само соотношение (17) в строгом смысле может быть нигде не выполнено. Если же / £ (О х V), то формула (23) определяет сильное решение в том смысле, что

и(-, •,£) £ х V)

при любом 4 > 0 и уравнение (17) выполнено при всех 4 > 0 для п. в. (ж^) £ О х V.

Вообще, при исследовании гладкости выражений, подобных (23), полезно учитывать следующий технический факт.

Лемма 7. Пусть ф € (О х V) при некотором к € N. Тогда, зафиксировав значение п > 0 и определив в О х V функцию

Фп(ж,«) = ( ф(ж — ^ т0(ж'«) >п' (25)

I 0, то (ж, «) < п,

получим, что € (О х V).

Доказательство. При п = 0 утверждение леммы очевидно, ибо фо(ж,«) = ф(ж, г>). При остальных п > 0 проверка соотношения € (О х V) производится непосредственно — путем рассмотрения значений (ж + г>т,г>) на характеристике дифференциального оператора (10). Соответствующие рассуждения элементарны (но громоздки), и мы их опускаем.

Факт, отмеченный в лемме 7, полностью согласуется с общей теорией. Дело в том, что оператор А = «V, заданный на области определения Э„у(О х V), порождает в банаховом пространстве Е = Ьх(О х V) полугруппу и(4) класса Со (см. [3, с. 361-367]). Действие такой полугруппы на элементе / € Ьх(О х V) выражается формулой (23). По известному принципу теории полугрупп (см. [14, с. 94]) область определения любой натуральной степени производящего оператора А инвариантна относительно действия самой полугруппы и(4). Но это и утверждается в лемме 7.

Кстати, специальное свойство (24) означает нильпотентность полугруппы и(4) в том смысле, что

и(4) = 0 > 4о, (26)

со значением ¿о = 0/ао > 0. Именно благодаря нильпотентности (26) исследование поставленной нелокальной задачи можно провести исчерпывающим образом.

4. Разрешающая формула для нелокальной задачи

Приступим к изучению исходной нелокальной задачи (1). По свойству (24) все решения уравнения простого переноса на временных промежутках вида [0,Т] достаточно рассматривать лишь при Т < 0/ао со значением 0/ао из формулы (3). Но с технической точки зрения такое ограничение не требуется. Поэтому не будем его вводить.

Выберем произвольное конечное значение Т > 0 и определим условие т

^ J и(х, у,г)<И = 1р(х, у), (х,у)еПхУ. (27)

о

Здесь ф(ж, г>) — заданная функция. Считаем, что и(ж, г>, 4) является формальным решением уравнения простого переноса (17) с краевым условием (18). Однако начальное условие (20) сейчас неизвестно. Фактически задача сводится к тому, чтобы подобрать состояние /(ж, г>) = и(ж,г>, 0), при котором функция и(ж, г>, 4) из формулы (23) обращает соотношение (27) в верное тождество при всех или почти всех (ж, г>) € О х V.

Выведем функциональное уравнение для неизвестной начальной функции / £ ¿1(0 х V). Используя представление (23), преобразуем интеграл, входящий в нелокальное условие (27). Характер преобразований будет зависеть от взятой пары (ж, г>) £ О х V, точнее, от соотношения между величиной то (ж, г>) и значением Т > 0.

Пусть пара (ж, г>) £ О х V выбрана так, что то(ж, г>) < Т. Согласно (23) имеем

Т то(х,у) то(х,у)

J и(ж, г>,£) = J и(ж, г>,£) ^ = J /(ж — г>£, г>) о о о

Возможно также, что есть пары (ж, V) £ О х V, для которых то(ж, V) > Т. Тогда согласно (23) имеем

J и(ж,г>,£) = У /(ж — г>£,г>)

оо С учетом заданного условия (27) получаем, что

То (ж,«)

^ / /(ж — уЬ,у)сИ, то(х,у)<Т,

Т

о

^ / /(ж — г>) (Й, 1о(ж, г>) > Т.

тр / /(ж + у(т — £), г>) М, то(х,у)+т<Т,

Т

о

Зафиксируем выбор (ж,г>) £ О х V и рассмотрим выражение ^(ж + г>т, V) на характеристике ж + г>т со значениями т £ М, взятыми из отрезка (13). Применяя лемму 3, можем записать

То(ж,«) + Т

Т

^(ж + г>т, г>) = ^ т 0

^ / /(ж + у(т — £), г>) М, 1о(ж, г>) + т > Т.

о

После замены подынтегральной переменной 4 на в = т(при фиксированном т) получим представление

(Т

^ / /(ж + г>) ¿я, то(ж, г>) + т < Т, <^(ж + ит,и)={ -Тто(ж'") (28)

^ / /(ж+ 115,11) ¿в, то(ж, г;) + т > Т.

т-Т

Уточним, что первая формула в (28) используется для тех значений т из отрезка (13), которые попали в промежуток

-то (ж, V) < т < —то(ж, V) + Т,

а вторая формула — для тех значений т, что попали в промежуток

—то (ж, V) + Т < т < то (ж, —V),

причем вторая формула нужна лишь при условии, что

Т<то (ж,«) + то (ж, -«). (29)

Соотношение (29) означает, что выбранное значение Т > 0 является заведомо меньшим, чем время свободного пробега всей области О со скоростью « по прямой, проходящей через точку ж.

Поскольку есть требование / € Ьх(О х V), из формулы (28) следует, что задаваемая функция ф(ж,«) должна попадать в класс (О х V) в согласии с определением из разд. 2 выше. При этом для п. в. (ж,«) € О х V корректно определено значение

„ , , Г т~о(х, у) < Т,

I Т(/(х,У) - /(ж - УТ, У)), Т0(Х,У)>Т,

вычисленное через представление (28) по правилу (11). Отсюда

/( ) | Т(vVф(ж,v)), то(ж,«) < Т, (30)

' [ Т(уVф(ж,у))+ /(ж — «Т,«), то(ж, «) > Т.

Соотношения (30) дают функциональное уравнение, достаточное для нахождения неизвестной функции / € Ьх(О х V).

Возможно, что число Т > 0 выбрано достаточно большим — так, что Т > 0/ао со значением 0/ао из формулы (3). Тогда надо брать лишь первое соотношение (30) (см. лемму 1), и функция /(ж,«) сразу находится в виде

/(ж,«)= Т^ф(ж,и)), (ж,«) € О х V. (31)

Точнее, правило (31) применимо для всех или почти всех (ж,«) € О х V по ситуации.

Если же Т < 0/ао, то приходится привлекать второе соотношение (30), и для нахождения решения нужны более тонкие рассуждения. Выведем универсальную формулу, автоматически учитывающую все возможности с выбором Т > 0.

Для анализа системы (30) удобно разбить множество О = О х V на части

От = {(ж,«) € О х V : тТ < то(ж, «) < (т + 1)Т}, т € N и {0}. (32)

На основании леммы 1 заключаем, что От = 0 при любом т > 0/(аоТ). Тем самым возникает конечное дизъюнктное разложение

N г о

С= и Ж0 =

ТШ 5

т=о

аоТ

— 1. (33)

Здесь [¡] — потолок числа ¡г € К, т. е. наименьшее целое число с условием [¡] > Элементарные рассуждения показывают, что все компоненты От в разложении (33) будут непустыми множествами.

Кроме того, обращаясь к лемме 5, замечаем, что если (ж,«) € От при некотором значении т € N то

(ж — «кТ, «) € От-к, к =1,...,т. (34)

При к =1 действует «элементарный» переход

(ж, V) £ Ст (ж — иТ, V) £ Ст-1, (35)

нужный для учета второго соотношения в системе (30).

Идея дальнейших рассуждений проста. Пользуясь первым соотношением в системе (30), определим функцию /(ж, V) на множестве Со. Затем по индукции применяем второе соотношение из той же системы, принимая во внимание «элементарный» переход (35). Так, если С1 = 0, то с помощью найденных значений /(ж, г>) на множестве Со восстанавливаем значения /(ж, г>) на множестве С1. Далее, последовательно допуская, что От = 0 и уже найдены значения /(ж, V) на множестве От-1, восстанавливаем значения /(ж,г>) на множестве От. Через конечное число Ло шагов удастся определить значения /(ж, г>) всюду в (33), т. е. всюду в исходном множестве О х V.

Подобная схема рассуждений позволяет однозначно восстановить неизвестную функцию /(ж,г>). Результат можно записать в виде

по(ж,«)

/(ж,г>)= Т г>У<^(ж — г>кТ, V) (36)

к=о

со значением

Гто(ж, V) гг.0(ж, V) = —-—

— 1, (ж, V) £ О х V. (37)

Выражение по(ж,г>) из формулы (37) естественно называть считающей функцией. Непосредственно из определения (32) следует, что

(ж, V) £ От по(ж,-у)= т, т £ N и {0}. (38)

Поэтому если (ж,г>) £ От при некотором значении т £ М, то на основании «элементарного» перехода (35) заключаем, что

по(ж, г>) = по(ж — г>Т, V) + 1 (39)

в согласии с тождеством т = (т — 1) + 1. Учитывая перечисленные соотношения, покажем, что ответ (36), взятый со значением (37), дает точное решение системы (30).

Используем дизъюнктное разложение (33). Пусть (ж, г>) £ Со, тогда по(ж, г>) = 0 и по формуле (36) получаем

/(ж,г>)= Т(г>У^(ж, г>)), то(ж, V) < Т,

что полностью соответствует первому соотношению в системе (30).

Допустим теперь, что (ж, г>) £ От с некоторым значением т £ N. Тогда выполняются соотношения (34), т. е. все пары (ж — г>кТ,г>) при к = 1,...,т будут сохраняться в множестве О = О х V. При этом т = по(ж,г>) в силу эквивалентности (38). Следовательно, выражение (36) корректно определено для всех или по крайней мере для почти всех (ж,г>) £ От.

Итак, имеем право рассматривать формулу (36) на множестве то (ж, V) > Т (когда такие пары есть в О х V). По формуле (36), принимая во внимание связь (39), получаем, что

по(ж,и)

/(ж,г>) = Т г>У^(ж — г>кТ, V) к=о

по (х-ут,у) + 1

= Т(г>У^(ж, V)) + Т г>У^(ж — г>кТ, V)

к=1

по (х-ут,у)

= Т(-уУ^(ж, V)) + Т ^ — г(k + 1)Т,^)

к=о

= Т(-уУ^(ж, V)) + /(ж — гТ, V), то(ж, V) > Т,

что полностью соответствует второму соотношению в системе (30).

Таким образом, функция /(ж^) вида (36) является истинным решением функционального уравнения (30), выполненного при п. в. (ж, V) £ О х V. В силу эквивалентности сделанных переходов (что строго отслеживалось на каждом этапе) найденная функция /(ж^) однозначно определяет нужное начальное условие для решения поставленной нелокальной задачи (1). Само решение и(ж, г,í) просто восстанавливается теперь по формуле (23), и других решений быть не может.

Осталось проанализировать гладкость полученного ответа. Используя определение (25) для сдвигов (ж^) функции ^(ж, V), определенной в О х V, нетрудно проверить, что формула (36) эквивалентна записи

по(ж,и)

/(ж, V) = Т ^ гV^kT (ж, V) (40)

к=о

через соответствующие сдвиги (ркт(ж^). Как уже отмечалось, представление (28) со сделанным предположением / £ х V) влечет необходимость требования

£ х V). (41)

Данное требование также достаточно: если (41) выполнено, то на основании леммы 7 все сдвиги (ркт(ж^) сохраняются в классе (О х V) и, следовательно, формула (40), эквивалентная основной формуле (36), дает функцию / £ х V). Итак, при выборе (41) получаем корректное формальное решение (23) исходной нелокальной задачи (1).

Аналогичные рассуждения с учетом выражений (30), (40) и леммы 7 показывают, что требование

^ £ х V) (42)

необходимо и достаточно для того, чтобы разрешающая формула (36) давала более гладкую функцию / £ (О х V). Соответственно при выборе (42) получаем сильное решение (23) исходной нелокальной задачи (1).

В итоге установлен следующий результат.

Теорема. Для любой функции р € (О х V) нелокальная задача (1) имеет и притом единственное формальное решение, выражаемое в виде

По (ж —

«(ж,«,*)= < Т к= —^ + кТ),«), то(ж,«) >«, (43)

0, то (ж, «) <

со значением

по(ж — «)

то (ж — «) Т

1

то (ж,«) — 4 Т

— 1. (44)

Если р € (О х V), то формулы (43), (44) определяют сильное решение нелокальной задачи (1). Если же р € Э«у(О х V), то нелокальная задача (1) не разрешима в виде (23) ни при какой функции / € Ьх(О х V).

Особенно простая запись ответа получается, если число Т > 0 в задаче (1) выбрано достаточно большим — удовлетворяющим условию Т > ¿/ао со значением ¿/ао из формулы (3). В таком случае формулы (43), (44) с учетом леммы 1 дают решение

= гТ(^р(ж — ^ то (ж,«) >*, (45)

I 0, то(ж, «) <

Выражение (45) в точности соответствует начальной функции (31), как раз и возникающей при выборе Т > ¿/ао.

Отметим, что доказанная теорема укладывается в общую схему, разработанную для исследования нелокальных задач в полугрупповом случае (см. [11]). При таком подходе неизвестное начальное условие для решения нелокальной задачи вычисляется посредством некоторого ряда Неймана. В разбираемом примере бесконечный ряд свелся к конечной сумме (36) из-за свойства нильпотентности (26) полугруппы простого переноса и(4).

Установленные формулы (36), (37), а также (43), (44), могут пригодиться при численном моделировании решений нелокальных задач для многомерного уравнения переноса. Между прочим, специфика трехмерного случая фактически нигде не использована, и найденные ответы сохранят свой вид в любых размерностях. Поскольку многомерные задачи обычно трудны для расчетов, для тестирования численных алгоритмов полезно иметь «под рукой» простой пример, выраженный в явном аналитическом виде. Изложим его в следующем, завершающем пункте.

5. Проверочный пример

Рассмотрим специальное решение уравнения простого переноса с начальным условием

и(ж,«, 0) = то(ж,«), (ж,«) € О х V. (46)

Функция то(ж,«) определена по правилу (2) и попадает в класс (О х V). Соответствующее значение уVто(ж,«) = 1 вычислено в лемме 6.

Согласно общему представлению (23) с учетом специального свойства (4) решение уравнения простого переноса с начальным условием (46) выражается в виде

то (ж, у) — Г, то(ж,у) > Г,

и(ж,у,г) = < (47)

М, То(ж,у) < г. '

Вычисление интеграла 1

1 Г

</?(ж, у) = — и(х, v, I) сИ =

т0(х,у)

т

т Т / и(х,у,Ь)М, то(х,у)<Т,

о

т

о / и(х, у, I) (И, то(х,у)>Т,

т

о

для функции (47) приводит к выражению

Г (ж, у), То (ж, у) < Т,

ф,у) = \ т (48)

I т0(ж, У) - 2-, Т0{х,у)>т.

Рассмотрим теперь нелокальную задачу (1) с функцией ^(ж, у) из формулы (48). Проверим, что разрешающая формула (36) дает правильный ответ, совпадающий с начальным условием (46). Для этого надо выразить все слагаемые, составляющие сумму (36) для определяемой функции /(ж, V).

Прямые расчеты по правилу (11) с учетом ключевого свойства (4) показывают, что

Г ^то(х,у), тп(х,у) <Т, /

уЧф,у) = \ т ' " (49)

I 1, то(ж, у) > Т.

Тот же результат получится и при формальном применении в (48) оператора

уУ с отсылкой к соотношению (16). Соответственно при 0 < Г < то(ж, у) имеем

„ , , \ ( ^(то(х,у)-1), то (ж — у£, у) < Т, уУ^(ж — уг,у) = ^ т (5°)

[ 1, то(ж — уг, у) > Т .

где снова использовано то, что то(ж — уГ, у) = то(ж, у) — Г по свойству (4).

Определим функцию /(ж, у) формулой (36). Процесс вычисления конкретных значений для /(ж, у) зависит от выбора пары (ж, у) £ О х V. Так, если то(ж,у) < Т, то по(ж, у) = 0, и формула (36) в сочетании с (49) дает результат

/(ж, у) = Туу) = то(ж, у),

соответствующий требуемому ответу (46).

Допустим, что тТ < то (ж, у) < (то + 1)Т с некоторым то £ N. Учитывая лемму 5 и выражения, указанные в формуле (50), получим

Х~7 / 7 ГТ1 \ Г ^(т0(ж, у) - тоТ), к=тп,

уу^(ж — укТ , у) = < (51)

1, к = 0,. .., т — 1.

Подстановка (51) в формулу (36) с верхним пределом суммирования по(ж,у) т дает результат

т— 1

у У^(ж — укТ, у

к=о

= (то(ж, у) — тТ) + тТ = то(ж, у)

/(ж, у) = ТуУ^(ж — утТ, у) + Т уУ^(ж — укТ, у)

что также совпадает с требуемым ответом (46).

Поскольку множество G = О х V раскладывается в виде (33) на части (32), начальное условие (46) оказывается восстановленным всюду в О х V. Формула (36) действительно обеспечивает нужный эффект.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kaper H. G., Lekkerkerker C. G., Hejtmanek J. Spectral methods in linear transport theory. Basel: Birkhauser, 1982.

2. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. T. 3. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982.

3. Engel K.-J., Nagel R. One-parameter semigroups for linear evolution equations. New York: Springer-Verl., 2000.

4. Jörgens K. An asymptotic expansion in the theory of neutron transport // Commun. Pure Appl. Math. 1958. V. 11, N2. P. 219-242.

5. Greiner G. Spectral properties and asymptotic behavior of the linear transport equation // Math. Z. 1984. V. 185, N2. P. 167-177.

6. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические уравнения и уравнения переноса) // Мат. заметки. 1973. Т. 14, вып. 5. С. 755-767.

7. Прилепко А. И., Иванков А. Л. Обратные задачи определения коэффициента, индикатрисы рассеяния и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, №5. С. 870-885.

8. Орловский Д. Г., Прилепко А. И. О некоторых обратных задачах для линеаризованного уравнения Больцмана // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1987. Т. 27, № 11. С. 1690-1700.

9. Прилепко А. И., Волков Н. П. Обратные задачи определения параметров нестационарного кинетического уравнения переноса по дополнительной информации о следах искомой функции // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, №1. С. 136-146.

10. Тихонов И. В. Корректность обратной задачи с финальным переопределением для нестационарного уравнения переноса // Вестн. МГУ. Сер. 15. Вычисл. математика и кибернетика. 1995. №1. С. 56-64.

11. Тихонов И. В. О разрешимости задачи с нелокальным интегральным условием для дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, №6. С. 841-843.

12. Тихонов И. В. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений // Изв. РАН. Сер. мат. 2003. Т. 67, №2. С. 133-166.

13. Арутюнов А. В. Лекции по выпуклому и многозначному анализу. М.: Физматлит, 2014.

14. Васильев В. В., Крейн С. Г., Пискарев С. И. Полугруппы операторов, косинус оператор-функции и линейные дифференциальные уравнения // Сер. Мат. анализ. M.: ВИНИТИ, 1990. Т. 28. С. 87-202. (Итоги науки и техники).

Статья поступила 18 августа 2016 г. Тихонов Иван Владимирович

Московский гос. университет им. М. В. Ломоносова, Ленинские горы, ГСП-1, Москва 119991 ivt ikhSmail.ru

Ву Нгуен Шон Тунг

Московский педагогический гос. университет, ул. Краснопрудная, 14, Москва 107140 [email protected]

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2017. Том 24, № 1

UDC 517.95

FORMULAS FOR AN EXPLICIT SOLUTION OF THE MODEL NONLOCAL PROBLEM ASSOCIATED WITH THE ORDINARY TRANSPORT EQUATION I. V. Tikhonov and Vu Nguyen Son Tung

Abstract: A specific nonlocal problem for the multidimesional ordinary transport equation is studied. An additional condition for the time averages is given. The theorem of existence and uniqueness of solution is obtained. We show that the solution could be found constructively, explicitly, and in a finite number of iterations. Keywords: transport equation, nonlocal problem, resolving formula.

REFERENCES

1. Kaper H. G., Lekkerkerker C. G., and Hejtmanek J., Spectral Methods in Linear Transport Theory, Birkhauser, Basel (1982).

2. Reed M. and Simon B., Methods of Modern Mathematical Physics. V. 3. Scattering Theory, Mir, Moscow (1982).

3. Engel K.-J. and Nagel R., One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer-Verl., New York (2000).

4. Jorgens K. "An asymptotic expansion in the theory of neutron transport," Commun. Pure Appl. Math., 11, No. 2, 219-242 (1958).

5. Greiner G. "Spectral properties and asymptotic behavior of the linear transport equation," Math. Z., 185, No. 2, 167-177 (1984).

6. Prilepko A. I. "Inverse problems of potential theory (elliptic, parabolic, hyperbolic, and transport equations)," Math. Notes, 14, 990-996 (1974).

7. Prilepko A. I. and Ivankov A. L. "Inverse problems for determining the coefficient, the scattering indicatrix and the right-hand side of a time-dependent multiple-speed transport equation," Differ. Equations, 21, 598-609 (1985).

8. Orlovskij D. G. and Prilepko A. I. "Some inverse problems for the linearized Boltzmann equation," U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 27, No. 6, 58-65 (1987).

9. Prilepko A. I. and Volkov N. P. "Inverse problems of finding parameters of a nonstationary kinetic transfer equation from supplementary information on traces of the unknown function," Differ. Equations, 24, No. 1, 107-115 (1988).

10. Tikhonov I. V. "Well-posedness of an inverse problem with final overdetermination for the nonstationary transport equation," Mosc. Univ. Comput. Math. Cybern., No. 1, 51-57 (1995).

11. Tikhonov I. V. "Solvability of a problem with a nonlocal integral condition for a differential equation in a Banach space," Differ. Equations, 34, No. 6, 841-844 (1998).

12. Tikhonov I. V. "Uniqueness theorems in linear nonlocal problems for abstract differential equations," Izv. Math., 67, No. 2, 333-363 (2003).

13. Arutyunov A. V., Lectures on Convex and Many-Valued Analysis [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2014).

© 2017 I. V. Tikhonov and Vu Nguyen Son Tung

Formulas for an explicit solution of the model nonlocal problem 73

14. Vasil'ev V. V., Krein S. G., and Piskarev S. I. "Semigroups of operators, cosine operator functions, and linear differential equations," J. Sov. Math., 54, No.4, 1042-1129 (1991).

SSubmitted August 18, 2016 Ivan V. Tikhonov

Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Lomonosov Moscow State University, Leninskyie Gory, Moscow 119991, Russia ivt ikhSmail.ru

Vu Nguyen Son Tung

Mathematical Analysis Department,

Moscow State University of Education,

14, Krasnoprudnaya Street, Moscow 107140, Russia

[email protected]