Обобщенный оператор Грина линейной нетеровой краевой задачи для матричного разностного уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.9

MSC2010: 15A24, 34В15, 34C25

ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ГРИНА ЛИНЕЙНОЙ НЕТЕРОВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТРИЧНОГО РАЗНОСТНОГО

УРАВНЕНИЯ © С. М. Чуйко

Донбасский государственный педагогический университет ул. Лозановича, д. 14, кв. 31, г. СлАвянск, Донецкая обл., Украина, 84 112

e-mail: [email protected]

Generalized Green operator Noetherian linear boundary value problem for the matrix difference equation.

Chuiko S. M.

Abstract. Lyapunov matrix equations and their generalizations — linear matrix Sylvester equation widely used in the theory of stability of motion, control theory, as well as the solution of differential Riccati and Bernoulli equations, partial differential equations and signal processing. If the structure of the general solution of the homogeneous part of the Lyapunov equation is well studied, the solution of the inhomogeneous equation Sylvester and, in particular, the Lyapunov equation is quite cumbersome.

By using the theory of generalized inverse operators, A.A.Boichuk and S.A. Krivosheya establish a criterion of the solvability of the Lyapunov-type matrix equations AX — XB = D and X—AXB = D and investigate the structure of the set of their solutions. The article A.A. Boichuk and S.A. Krivosheya based on pseudo-inverse linear matrix operator L, corresponding to the homogeneous part of the Lyapunov type equation. The article suggests the solvability conditions, as well as a scheme for constructing a particular solution of the inhomogeneous generalized equation Sylvester based on pseudo-inverse linear matrix operator corresponding to the homogeneous part of the linear matrix generalized Sylvester equation.

Using the technique of Moore-Penrose pseudo inverse matrices, we suggest an algorithm for finding a family of linearly independent solutions of the inhomogeneous generalized equation Sylvester and, in particular, the Lyapunov equation in general case when the linear matrix operator L, corresponding to the homogeneous part of the linear generalized matrix Sylvester equation, has no inverse. We find an expression for family of linearly independent solutions of the inhomogeneous generalized equation Sylvester and, in particular, the Lyapunov equation in terms of projectors and Moore-Penrose pseudo inverse matrices. This result is a generalization of the result article A.A. Boichuk and S.A. Krivosheya to the case of linear generalized matrix Sylvester equation.

Found solvability conditions and construction of the generalized Green operator for Noetherian linear boundary value problem for the matrix difference equations. We show that the

principal results in the theory of linear periodic oscillations remain valid for linear Noetherian boundary value problem for matrix difference equation. Efficiency of the proposed solvability conditions and the scheme for constructing solutions of linear Noetherian boundary value problem for matrix difference equation is illustrated by an example of a multipoint problem for difference equation.

Key words: Generalized Green operator, boundary value problem, matrix difference equation, pseudo inverse matrices.

Введение

Найдены условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора Грина линейной нетеровой краевой задачи для линейного матричного разностного уравнения. Предложен оператор, который приводит линейное матричное алгебраическое уравнение к традиционной линейной алгебраической системе с прямоугольной матрицей.

1. Постановка задачи

Исследуем задачу о нахождении решений

Z(k) = ^z(i'j)(k)^ , k e [0, N] С N, i =1, 2, ... , a, j = 1, 2, ... , в

линейной нетеровой (a = в = A = краевой задачи

Z(k + 1) = AZ(k) + Z(k)B + F(k), LZ(■) = A. (1)

Компоненты Z(i>j)(k), F(i>j)(k) : [0, N] ^ R1 матриц Z(k) e Raxe и F(k) e Raxe предполагаем ограниченными на отрезке [0,N] функциями. Здесь A e Raxa, B e Rexe и A e RAx^ — постоянные матрицы; LZ(■) — линейный ограниченный матричный функционал:

LZ(■) : |z(k) : [0, N] ^ Raxe J ^ RAx^.

Конструктивные условия разрешимости и структура решения общей нетеровой краевой задачи были получены в монографии [29]. Условия разрешимости, а также конструкция оператора Грина нетеровой краевой задачи (1) для традиционного (в = ^ =1) разностного уравнения были получены в статье [2], как обобщение классических результатов для систем разностных уравнений [3, 4]. В свою очередь, условия разрешимости и структура периодического решения систем матричного дифференциального уравнения были получены в статье [27] с использованием обобщенного

обращения матриц и операторов, описанного в статье [28]. Общее решение полуоднородной задачи Коши

Z(k + 1) = AZ(k) + Z(k)B + F(k), Z(0) = 0

представимо в виде

Z(k) = W(k, 0) + K

F (s)

(k),

где

W(к, 0) := ^ Скк-3Ак-30В3

з=о

общее решение однородной части матричного разностного уравнения (1) и

K

ад

k-i

(k) := £ W

3=о

j, F(k — 1 — j)

— обобщенный оператор Грина задачи Коши (2).

Теорема 1. Общее решение линейной полуоднородной задачи Коши (2)

Z(k) = W(k, 0) + K

F (s)

(k), 0 e raxe

определяет обобщенный оператор Грина задачи Коши (2).

Доказательство. Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить общее решение в матричное разностное уравнение (1). □

Подставляя общее решение задачи Коши (2) в краевое условие (1), приходим к линейному алгебраическому уравнению

L W (■, 0) = A — L K

F(s)

(3)

относительно матрицы

рах

0 е Еахв. Обозначим е Еахв, 3 = 1, 2, ... а • в — базис пространства М«хв и о,, з = 1, 2, ... а • в — константы, определяющие разложение матрицы

«•в

0 = ^ , о,- е М1, з = 1, 2, ... а • в

3 = 1

по векторам е Махв базиса пространства Махв, при этом

«•в

LW (■, 0) = ^2 l W j=i

C3 .

Итак, приходим к линейному алгебраическому уравнению

аф

^ & W 3 = 1

7(3)

с,- = А - & К

относительно а ■ в констант с3- € К1, 3 = 1, 2, ... а ■ в. Определим оператор [17, 16]

М[В] : Ктхп ^ Ктп

как оператор, который ставит в соответствие матрице В € Ктхп вектор-столбец М[В] € Кт^п, составленный из п столбцов матрицы В, а также обратный оператор

М-1( М[В] 1 : ^ Ктхп,

который ставит в соответствие вектор-столбцу М[В] € Кт^п матрицу В € Ктхп. Заметим, что оператор М[А], как и обратный оператор М-1[В], могут быть представлены в явном виде. Определим матрицы

Т1 := ( 1 ) € К1х1, Х2 := (10 0 1)* € К4х1, Т3 := ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 )* € К9х1,

Х4 := (1000010000100001 )* € К16х1, ... . Вектор Тт состоит из т — 1 цепочки вида

(10 0 ... 0 )* € К(т-1)х1

и заканчивается единицей:

Тт := ^ 1 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 ... 1 0 0 ... 0 1 ^ € К

В новых обозначениях оператор М[А] представим в явном виде:

М[А] = (/п 0 ^ ■ Тп € Определим также матрицы

т2 X 1

- - - т

т Еп := Ет 0 /п € Кпхт-п, Е1т := ] 3 € К1хт

- 3 - 3 - 3 { ) ¿=1

здесь 5гз — символ Кронеккера:

6ц := ^ 1 3 =г! , г = 1, 2, ... т.

0, 3 = г

Таким образом, обратный оператор М 1[В] представим в явном виде:

п

М -1[В] = ^

k=i

En ■ B ■

k

В новых приходим к линейному алгебраическому уравнению

Qc = M

A

-.m{l k

F(s)

(■)

относительно вектора c E ; здесь

Q :=

.

Q(i)

.

где

q g ra^x«-e, q(3) := lw

Q(2)

:(3)

... .

q(ae)

E RAxM, j = 1, 2, ... a ■ e.

Как известно [29, 17, 16], последнее уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда

Pq* M A - LK

F(s)

(■)

0.

(4)

Здесь Рщ* — ортопроектор: ^ М(Щ*); матрица Рщ* составлена из ё линейно независимых строк ортопроектора Рщ*.

k

2. Условия РАЗРЕШИМОСТИ

При условии (4) и только при нем общее решение уравнения (3)

c = Q+M A - LK

(■П + PQrCr, Cr E Rr

F(s)

определяет общее решение нетеровой краевой задачи (1)

Z(k, 0r) = W(k, 0r) + G

F(s);A

(k), 0r := M

i

здесь

0 = . -i Q+. A LK

F(s)

(■) +m

i

PQr cr

PQr cr

Рщ — ортопроектор: ^ М(Щ); матрица Рщ е М°"вхг составлена из г линейно

независимых столбцов ортопроектора Рщ,

G

F(s);A

(k) := W k, . -i Q+.

A LK

F(s)

(■)

+ K

F(s)

(k)

— обобщенный оператор Грина линейной нетеровой краевой задачи (1), — псевдообратная по Муру - Пенроузу матрица [9]. Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2. При условии (4) и только при нем общее решение линейной нетеровой краевой задачи (1)

X(к, 0Г) = W(к, 0Г) + С

Р(я);А

(к), 0Г := М

1

Р^г Сг

сг е К

определяет обобщенный оператор Грина линейной нетеровой краевой задачи (1).

При условии Р^* = 0 будем говорить, что для краевой задачи (1) имеет место критический случай, при этом задача (1) разрешима лишь для тех неоднородностей Р(к) и А, для которых выполнено условие (4). При условии Р^* = 0 будем говорить, что для краевой задачи (1) имеет место некритический случай, при этом задача (1) разрешима для любых неоднородностей Р(к) и А.

Утверждение доказанной теоремы 2 является обобщением соответствующих утверждений [2] на случай матричной краевой задачи (1).

Пример 1. Условия теоремы 2 выполнены для матричной трехточечной разностной краевой задачи

где А

11 01

X (к + 1) = АХ (к) + X (к)В + Р (к), (■) = А, / 0 0 1 \

в

V

100 0 0 1

Р (к)

/

к 0 1 1 0 к

А

а также

N1 :=

/ 0 0 1 0 0 \ 00000 1 0 0 0 1

N2 :=

( 0 0 1 0 0 \ 1 0 0 0 1 0 0 10 0

(5)

00100

3

&X(■) := ^ МгХМ1 := ( 0 1 ) , М2 := ( 1 1 ) , М3 := ( 1 0 )

¿=1

N

3 :=

/ 1 0 0 0 1 \ 00000 0 0 10 0

Общее решение однородной части матричного разностного уравнения (5) определяют матрицы

С11 С12 С13 С21 с22 с23

С11 + С12 + С21 С12 + С22 Оц + 2С13 + С23 С21 + С22 С22 С21 + 2С23

W(0, 0) := 0 :=

W(2, 0) :=

W(1, 0) :=

С11 + 2(ci2 + С21 + С22) С12 + 2С22 ЗС11 + C12 + 4ci3 + 2C21 + 4C23

С21 + 2c

22

ЗС21 + C22 + 4c

23

c22

W(3, 0) :=

C11 + 3(c12 + C21 + 2C22) C12 + ЗС22 7cn + 4c12 + 8C13 + 9C21 + ЗС22 + 12C23 C21 + ЗС22 C22 7C21 + 4c22 + 8C23

W(4, 0) :=

C11 + 4(c12 + C21 + ЗС22) C12 + 4c22 15C11 + 11C12 + 4(4c13 + 7c21 + 4c22 + 8C23) C21 + 4c22 C22 15C21 + 11C22 + 16C23

Обозначим

:(1) =

100 000

(2) =

000 100

:(6)

000 0 0 1

естественный базис [9] пространства М2х3 и ^, ] = 1, 2, ... 6 — константы, опреде-

:(i)

ляющие разложение матрицы 0 по векторам Поскольку

/ 1 0 0 0 -1 \ 0 10 0 0

1

Р®*

e R базиса пространства R

23

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 V -1 0 0 0 1 /

постольку для краевой задачи (5) имеет место критический случай. Общее решение

= 0,

W(k, 0r), 0r := M

1

PQr Cr

, cr e R4

однородной части задачи (5) определяет матрица

В

1 4 5 15

0 0 0 0

19 37 14 21

0 0 0 0

1 4 5 15

и ее ортопроектор

/ 741 273

Р

В

819 892

34 744 204 973

28 595 819 892

0 0 20 0 0

8 715

819 892

1 \

0

40

0 1

34 744 139 590

204 973 204 973

20 873 22 992

22 500 204 973

37 740

204 973 204 973 204 973 204 973

28 595

20873 741 069

219 837

3 960

7 00 119

819 892

74 371

204 973

45 227

V -

819 892 204 973 819 892 819 892 204 973 819 892

8715 22 992 219 837 92 089 16 260 77 007

819 892 204 973 819 892 819 892 204 973 819 892

22 500 37 740 3 960 16 260 178 173 50 640

204 973 204 973 204 973 204 973 204 973 204 973

173 119 74 371 45 227 77 007 50 640 434 085

819 892

204 973

819 892

819 892

204 973

819 892

матрица

Р

V

741273 34744 28595 8715

819892 204973 819892 819892

34744 139590 20873 22992

204973 204973 204973 204973

28595 20873 741069 219837

819892 204973 819892 819892

8715 22992 219837 92089

819892 204973 819892 819892

22500 37740 3960 16260

204973 204973 204973 204973

173119 74371 45227 77007

819892 204973 819892 819892

/

составлена из г = 4 линейно независимых столбцов ортопроектора Рв. Частное решение полуоднородной задачи Коши X(0) = в для системы (5) представляет обобщенный оператор Грина задачи Коши

К

ад

(0) = 0, К

ад

(1)

0 0 1 100

К

ад

К

ад

(3) = ( 6 0 11 I , К 1 ; 1 3 0 8

ад

(4) =

(2) =

12 0 37 4 0 22

203 2 0 2

Условие (4) в случае неоднородной задачи (5) выполнено, поэтому общее решение

Z(k, 0r) = W(k, 0r) + G

F(s);A

(k)], Cr e R4

неоднородной задачи (5) определяет определяет обобщенный оператор Грина

G

F(s);A

(k) := W< k, M-4 Q+M

A-L K

F(s)

+ K

F(s)

(k)

краевой задачи (5); здесь

G

F(s);A

(0) = -

1

204 97З

29 982 49 551 24 780 71 607 122 6З4 56 001

G

G

G

G

F(s); A F(s);A F(s); A F(s); A

(1) = (2) =

(3) =

(4) =

1 / -151 140 -172 185 69 4З0 204 97З у 10 7З2 -122 6З4 18З 609

1 / -107 620 -294 819 9 084 204 97З \ 9З 071 -122 6З4 -15151З

1 ( 100 578 -417 45З -З5 992

204 97З \ 175 410 -122 6З4 199 991

1

47З 454 540 087 4ЗЗ 558

204 97З \ 257 749 -122 6З4 1 190 З11

В некритическом случае, при условии Р®* = 0, задача (1) разрешима для любых неоднородностей Р(к) и А.

Следствие 1. В некритическом случае, при условии Р®* = 0, общее решение ли-неинои нетеровои краевой задачи (1)

Z(k, 0r) = W(k, 0r) + G

F(s);A

(k), 0r := M

1

PQr Cr

, cr e Rr

определяет обобщенный оператор Грина краевой задачи (1).

Пример 2. Условия следствия выполнены для периодической краевой задачи Z(к + 1) = (к) + Z(к)В + Р(к), ^(■) = Z(0) - Z(4) = 0,

где

6)

a.в:= .FW:= 11 м^с,,

4

Общее решение однородной части матричного разностного уравнения (6) определяют матрицы

W(0, 0) := 0

С11 С12 С21 С22

W(1, 0) :=

2С11 + С12 + С21 2С12 + С22 2С21 + С22 2С22

W(2, 0)

4(С11 + С12 + С21) + 2С22 4(С12 + С22) 4(С21 + С22) 4С22

Обозначим

W(3, 0)

W(4, 0) :=

:(1)

= / 4(2С11 + 3(С12 + С21 + С22)) 8С12 + 12С22

8С22

8С21 + 12с

22

16(С11 + 2(С12 + С21) + ЗС22) 16(С12 + 2С22) 16(с21 + 2С22) 16С22

10 00

(2)

00 10

22

:(4)

00 00

— естественный базис [9] пространства М и с,, ] = 1, 2, ... 4 — константы, определяющие разложение матрицы 0 по векторам Е^ € М2х2 базиса пространства М2х2. Поскольку

( -15 -32 -32 -48 \ 0 -15 0 -32 0 0 -15 -32 \ 0 0 0 -15 ) постольку Р®* = 0, следовательно для краевой задачи (6) имеет место некритический случай. Частное решение полуоднородной задачи Коши Z(0) = 0 для системы (6) представляет обобщенный оператор Грина задачи Коши

К

ад

(0) = 0, К

ад

(1)

01 10

К

ад

(3)

14 8 84

К

ад

К

(4)

ад

(2) =

47 21 21 11

33 31

Единственное (Р® = 0) решение неоднородной задачи (6) определяет определяет обобщенный оператор Грина

С

Р(в);А

(к) := К

Р (в)

(к) - w{ к, ®-1м

& К

Р (в)

краевой задачи (6); здесь

G

G

F(s);A

F(s);A

G

(0)

(2)

5023 ' 3375 37 225

10477 3375 163 225

F(s);A

37 225 11 15

163 225 _ 29 15

(4) = G

G

G

F(s);A

F(s);A

F(s);A

(0)

(1)

(3)

5023 ' 3375 37 225

8936 ' 3375 134 225

9314 "3375 116

225

37 225 11

134 225 22 15

116 225

28 15

15

Утверждение доказанных теорем и следствия 1 является обобщением соответствующих утверждений [2] на случай матричной краевой задачи (1).

Пример 3. Условия следствия выполнены для неоднородной периодической задачи для уравнения Трибоначчи [10]

у(к + 3) = у(к + 2) + у(к + 1) + у(к) + /(к), у(0) - у(4) = 0 Уравнение (7) приводится к виду (1) посредством матриц

/ 0 1 0 \ / 0 \ ( у(к) \

(7)

A :=

V

0 0 1 111

F(k) :=

У

0

Z(k) :=

y(k + 1)

V y(k + 2) )

V /(к) У

Общее решение однородной части матричного разностного уравнения (7) определяют матрицы

(с, \

W(1, в) :=

W(0, 0) := 0 : (

С2

V С3 /

(

С2 С3

\

W(2, 0)

C3 \

C1 + C2 + C3

V C1 + 2c2 + 2c3 у

W(3, 0)

\ C1 + C2 + C3

( C1 + C2 + C3 \ C1 + 2C2 + 2c3

У 2c1 + 3c2 + 4c3 у

W(4, 0) :=

Обозначим

:(1) =

1

0 0

(2)

( C1 + 2c2 + 2c3 \

2c1 + 3c2 + 4c3 V 4c1 + 6c2 + 7c3 у

( 0 \

1 0

(3) =

0

0 1

— естественный базис [9] пространства М3х1 и с^-, ] = 1, 2, 3 — константы, определяющие разложение матрицы 0 по векторам базиса пространства М3х1. Поскольку

/0 —2 —2 \

Q

V

-2 -2 -4 -4 -6 -6

/

постольку Р®* = 0, следовательно для краевой задачи (7) имеет место некритический случай. Частное решение полуоднородной задачи Коши Z(0) = 0 для системы (7) представляет обобщенный оператор Грина задачи Коши

( 1 \

K

ад

(0) = 0, K

ад

(1)

0

V1/

K

ад

(3)

( а\

5

V7/

K

ад

K

(4)

ад

(2)

1

2

3

6 10 16

Единственное (Р® = 0) решение неоднородной задачи (7) определяет определяет обобщенный оператор Грина

G

F(s);A

G

(0) = G

F(s);A

F(s);A

(4)=2

1 -1 -5

,G

(2) = - 2

3

1

5

,G

F(s);A

F(s);A

(3) = 2

(i) = 2

1 -1 -7

1

-5 -3

Заключение

В работе найдены условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора Грина линейной нетеровой краевой задачи для линейного матричного разностного уравнения, обобщающие соответствующие результаты А.А. Бойчука [2] на случай матричной краевой задачи (1). Предложен оператор M [17, 16], который приводит линейное матричное алгебраическое уравнение к традиционной линейной алгебраической системе с прямоугольной матрицей. Предложена формула построения частного решения уравнения, обобщающее известные матричные уравнения Ляпунова и Сильвестра, которые широко используются в теории устойчивости движения, а также при решении дифференциальных уравнений Риккати [27].

Список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Boichuk, A.A., Samoilenko, A.M. (2004) Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. Utrecht; Boston. VSP.

2. Бойчук, А.А. Краевые задачи для систем разностных уравнений // Укр. мат. журн. — № 6, 1997. — Т. 49. — C. 832 — 835.

BOICHUK, A. (1997) Boundary-value problems for systems of difference equations. Ukrainian Math. Zhurn. 49 (№6). p. 930-934.

3. Мартынюк, Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений / Д.И. Мартынюк. — Киев: Наук. думка, 1972. — 246 с.

MARTYNYUK, D.I. (1972) Lectures on the qualitative theory of difference equations. Kiev. Naukova Dumka.

4. Шарковский, А.Н., Майстренко, Ю.Л., Романенко, Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения / А.Н. Шарковский, Ю.Л. Майстренко, Е.Ю. Романенко. — Киев: Наук. думка, 1986. — 280 c.

SHARKOVSKII, A.N., MAISTRENKO, Yu.L., ROMANENKO, E.Yu. (1986) Difference Equations and Their Applications. Kiev. Naukova Dumka.

5. BOICHUK, A., KRIVOSHEYA, S. (2001) A Critical Periodic boundary value problem for a matrix Riccati equations. Differential Equations. №4 (37). p. 464-471.

6. BOICHUK, A., KRIVOSHEYA, S. (1998) Criterion of the solvability of matrix equations of the Lyapunov type. Ukrainian Mathematical Journal. №8 (50). p. 1162-1169.

7. Чуйко, С.М. О решении матричного уравнения Сильвестра // Вестник Одесского национального университета. Сер. математика и механика / С.М.Чуйко. — 2014, Т. 19, Вып. 1 (21). — C. 49 — 57.

CHUIKO, S. (2014) On the solution of the matrix Sylvester equation. Visn. Odesskogo Univ. Ser. Mat. Mech.. №1 (21) (19). p. 49-57.

8. Чуйко, С.М. О решении матричных уравнений Ляпунова // Веснтик Харьковского национального университета имени В.Н. Каразина. Серия: Математика, прикладная математика и механика / С.М. Чуйко. — 2014, №1120. — C. 85 - 94.

CHUIKO, S. (2014) On the solution of the matrix Lyapunov equation. Visn. Kharkovskogo Univ. Ser. Mat. Mech.. №1120. p. 85-94.

9. Воеводин, В.В., Кузнецов, Ю.А. Матрицы и вычисления / В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. — M: Наука, 1984. — 318 c.

VOEVODIN, V.V., KUZNETSOV, Yu.A. (1984) Matritsy i vychisleniya (Matrices and Calculations). Moscow. Nauka.

10. IRMAK, N., MURAT, A. (2013) Tribonacci numbers with indices in arithmetic progression and their sums. Miskolc Mathematical Notes. 14 (№1). p. 125-133.

Статья поступила в редакцию 25.05.2015