CC BY
42
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 17 Выпуск 2
УДК 517.9
О РЕШЕНИИ БИЛИНЕЙНОГО МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ1
С, М, Чуйко (г, Славянск, Украина)
Аннотация
Матричные уравнения Ляпунова, а также их обобщения — матричные уравнения Сильвестра широко используются в теории устойчивости движения, теории управления, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати и Бернулли, при решении уравнений в частных производных, а также в задачах восстановления изображений. Если структура общего решения однородной части уравнения Ляпунова хорошо изучены, то решение неоднородного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова достаточно громоздко. Наиболее распространенным требованием при решении матричных уравнений Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, является условие единственности решения.
Ранее, в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи с использованием теории обобщенных обратных операторов, установлен критерий разрешимости матричных уравнений АХ—ХВ = В и X—АХВ = В типа Ляпунова и исследована структура семейства их решений. В статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи использовано псевдообращение линейного матричного оператора С, соответствующего однородной части уравнений АХ — ХВ = В и X — АХ В = В типа Ляпунова.
Используя технику псевдообратных (по Муру-Пенроузу) матриц и проекторов, в статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения семейства линейно независимых решений неоднородного билинейного матричного уравнения и, в частности, уравнения Сильвестра, в общем случае, когда линейный матричный оператор С, соответствующий однородной части билинейного матричного уравнения не имеет обратного. Найдено выражение для семейства линейно независимых решений неоднородного билинейного матричного уравнения и, в частности, уравнения Сильвестра с использованием проекторов и псевдообратных (по Муру-Пенроузу) матриц. Этот результат является обобщением соответствующих результатов, полученных в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи, на случай билинейного матричного уравнения.
Предложенные условия разрешимости, а также схема построения частного решения неоднородного билинейного матричного уравнения подробно проиллюстрированы на примерах.
Ключевые слова: матричное уравнение Сильвестра, матричное уравнение Ляпунова, псевдообратные матрицы.
Библиография: 17 названий.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований. Номер государственной регистрации 010911000381.
ON THE SOLUTION OF THE BIILINEAR MATRIX EQUATION
S, M, Chuiko (Slov'yansk, Ukrain) Abstract
Lyapunov matrix equations and their generalizations — linear matrix Sylvester equation widely used in the theory of stability of motion, control theory, as well as the solution of differential Riccati and Bernoulli equations, partial differential equations and signal processing. If the structure of the general solution of the homogeneous part of the Lyapunov equation is well studied, the solution of the inhomogeneous equation Sylvester and, in particular, the Lyapunov equation is quite cumbersome. By using the theory of generalized inverse operators, A. A. Boichuk and S. A. Krivosheya establish a criterion of the solvability of the Lyapunov-type matrix equations AX — XB = D and X — AX B = D and investigate the structure of the set of their solutions. The article A.A. Boichuk and S.A. Krivosheya based on pseudo-inverse linear matrix operator L, corresponding to the homogeneous part of the Lyapunov type equation.
Using the technique of Moore-Penrose pseudo inverse matrices, we suggest an algorithm for finding a family of linearly independent solutions of the bilinear matrix equation and, in
L,
corresponding to the homogeneous part of the bilinear matrix equation, has no inverse. We find an expression for family of linearly independent solutions of the bilinear matrix equation and, in particular, the Sylvester matrix equation in terms of projectors and Moore-Penrose pseudo inverse matrices. This result is a generalization of the result article A. A. Boichuk and S. A. Krivosheya to the case of bilinear matrix equation.
The suggested the solvability conditions and formula for constructing a particular solution of the inhomogeneous bilinear matrix equation is illustrated by an examples.
Keywords: matrix Sylvester equation, matrix Lyapunov equation, pseudo inverse matrices.
Bibliography: 17 titles.
MSC: 15A24, 34B15, 34C25
1. Введение
Матричные уравнения Ляпунова, а также их обобщения — матричные уравнения Сильвестра [1, 2, 3, 4, 5] широко используются в теории устойчивости движения [3, с. 245], а также при решении дифференциальных уравнений Риккати и Бернулли. В статьях [6, 7] предложены условия разрешимости, а также схема построения решения матричных уравнений Ляпунова и Сильвестра; кроме того, в статье [8] исследовано обобщенное уравнение Сильвестра, содержащее неизвестные матрицы различных размерностей. В данной статье предложены условия разрешимости, а также схема построения решения общего билинейного матричного уравнения, содержащего неизвестные матрицы различных размерностей.
2. Условия разрешимости
Линейный по X £ Raxe и Y £ М7ХЙ матричный функционал
L(X, Y) : Raxe х М7ХЙ ^ МЛх^
будем называть билинейным, если для любых действительных чисел Z, С £ R1 и любых матриц X, Xi, X2 £ Raxe, а также Y,Y1,Y2 £ М7ХЙ имеют место равенства
L(ZX 1 + CX2, Y) = Z L(Xi, Y) + CL(X2, Y), L(X, ZYi + £Y>) = ZL(X, Yi) + £L(X, Y2).
Исследуем задачу о построении решений Х £ Махв и У £ М7хй билинейного матричного уравнения
С(Х,У)= А . (1)
Здесь С(Х, У) — билинейный ограниченный матричный функционал, А £ МЛх^ — заданная матрица. Обозначим
аф
j £ Raxe
Y-S
£
yxS
3=1 < > 3=1
естественные [11] базисы пространств Махв и М7ХЙ. Общее решение уравнения (1) ищем в виде сумм
«•в
Х = вз Хз, У = Ез Уз, х3, Уз £ М1.
3=1 3=1
Последнее выражение приводит уравнение (1) к виду
«•в 7^
С(вг, 0)хг + ^ С(0; Ез)уз = А. г=1 з=1
Определим оператор М[А] : Мтхп ^ Мт^га, как оператор, который ставит в соответствие матрице А £ Мтхп вектор-столбец В := М[А] £ Мт^га, составленный из п столбцов матрицы А, а также обратный оператор [8]
М
-i
В
: Rm-n _у Rmxn
который ставит в соответствие вектору B £ Rm-n матрицу A £ Rmxn. Обозначим матрицы с ла-в ( л Y-S
Qe := |MC(Qi, 0) j £ rAm^, qs _ |ML(0, Ej) j £ rVx7s
Q := Qe; Qs £ R^x(a-e+Y-S), с := col (x,y) £ Ra-e+Y-S. Таким образом, уравнение (1) равносильно следующему
Q с = M[A]. (2)
Здесь Q+ — псевдообратная по Муру-Пенроузу матрица [1],
PQ : R(a-e+7-S)x(a-e+7-S) ^ n(Q), Pq* : RA^xA^ ^ N(Q*)
— ортопроекторы, соответственно, матриц Q и Q*. Обозначим также матрицу Pqt , составленную из г линейно независимых столбцов матрицы-ортопроектора Pq. Условия существования и вид решения билинейного матричного уравнения (1) определяет следующая теорема.
Теорема 1. Билинейное матричное уравнение (1) разрешимо тогда и только тогда, когда выполнено условие
Pq* M[A] = 0. (3)
г
h'u'u
X(cr) = ф(сг) + Л(А), Ф(сг) := M
i
1аф O
PQr Cr }, Cr £ Rr
3
У(сг) = Ф(сг) + П(А), Ф(сг) := М
-1
О и..
Рат сг
где
Л(А) := М
-1
1аФ О
2+М[А] к П(А) := М
-1
О
2+М[А] .
Доказательство. Действительно, выше показана равносильность билинейного матричного уравнения (1) и традиционного линейного алгебраического уравнения (2), как известно [6, 7], разрешимого тогда и только тогда, когда выполнено условие (3). При условии (3) и только при нем уравнение (2) разрешимо
с = 2+М[А] + Р< Сг, Сг е Мг,
при этом уравнение (1) имеет г-параметрическое семейство решений
«•в
х = £ @з 3=1
У = £ ъ Уз,
3=1
где
/«•в о
2+М[А] + Р<сг , у =
О
2+М[А] + Р< ст
Применяя к векторам х е М^в и у е Мтб обратный оператор М-1, получаем г-параметриче-ское семейство решений X(сг), У(сг) билинейного матричного уравнения (1).
При условии Р< = 0 будем говорить, что для билинейного матричного уравнения (1) имеет место критический случай, при этом уравнение (1) разрешимо лишь для тех неоднородностей А, для которых выполнено условие (3). При условии Р< = 0 будем говорить, что для билинейного матричного уравнения (1) имеет место некритический случай, при этом уравнение (1) разрешимо для любой неоднородности А.
Следствие 1. Билинейное матричное уравнение (1) в некритическом случае (Р< = 0) разрешимо для любой неоднородности А е МЛх^. В этом случае уравнение (1) имеет г-параметрическое семейство решений
X (сг) = Ф(сг) + Л(А), У (сг) = Ф(сг) + П(А), сг е Мг.
Доказательство. Действительно, выше показана равносильность билинейного матричного уравнения (1) и традиционного линейного алгебраического уравнения (2), как известно [6, 7], разрешимого тогда и только тогда, когда выполнено условие (3). При условии Р< = 0 требование (3) выполнено, следовательно уравнение (2) разрешимо
с = 2+М[А] + Р< сг, сг е Мг, г
X(сг) = Ф(сг) + Л(А), Ф(сг) := М
1
/«•в о
Р< сг ^ сг е Мг,
У (сг) = ф(сг) + П(А), Ф(сг) := М
-1
О Ъ..
где
Л(А) := М
1
/«•в о
2+М[А] \, П(А) := М
1
2+М[А] ¡>.
О
х
3. Псевдорешения билинейного матричного уравнения
Предположим далее, что условие (3) не выполнено: PQ*М[А] = 0, при этом система (2) неразрешима, однако она всегда имеет псевдорешение [12], минимизирующее невязку в решении системы (2), при этом среди всех векторов с € , для которых невязка достигает своего наименьшего значения, вектор с+ € ИМеет наименьшую длину.
Лемма 1. Билинейное матричное уравнение (1) при условии PQ* М[А] = 0 не разрешимо, однако имеет псевдорешение, наилучшее (в смысле наименьших квадратов)
X + :=Л(А), У + = П(А),
минимизирующее невязку
а с -м[А]
—> Ш1П
в решении системы (2). При этом норм,а, невязки А равна, норме выражения, входящего в левую часть выражения (2)
А
а с+ -м[А]
PQ* М[А]
Доказательство. Действительно, выше показана равносильность билинейного матричного уравнения (1) и линейного алгебраического уравнения (2). Как известно при условии PQ*М[В] = 0 линейное алгебраическое уравнение (2) не разрешимо, однако имеет псевдорешение [12] с+ := 2+М[А], наилучшее (в смысле наименьших квадратов), минимизирующее невязку в решении системы (2). Билинейное матричное уравнение (1) при этом имеет псевдорешение, наилучшее (в смысле наименьших квадратов)
X + :=Л(А), У + = П(А).
Пример 1. Билинейное матричное уравнение
15 124 6 -124 £(Х,У) = А := | 21 -160 21 97 6 133 15 638
разрешимо при
здесь
С(Х,0):= [ [ Ф(г,в) X Ф(г,в) ¿г ¿в, £(0,У):= V V Si У Щ;
3 2
i=13=1
г 0
ф(г, в) := 121 г в 0в
010 000 100
Щ = ( 0 10 0 Щ: V 0 0 0 0
вв 0 0 \
Ф(г,в) := 1 0в г 0 ) ,
00 г г )
1 0 0 \ ( 0 0 1
0 0 0 1 , Sз := | 0 0 0
000 \ 1 0 1
0001 0000
(4)
Поскольку
я =
/300000000000\ 340000000000 040000000000 303000111000 343400000000 040400201000 004040000000 004343000000
000303 000040 000043 000003
000000 1110 0 0 000000 201000
и PQ* = 0, постольку для билинейного матричного уравнения (4) имеет место критический случай, при этом выполнено условие (3), следовательно, поставленная задача разрешима. Искомое г := 4 — параметрическое семейство решений билинейного матричного уравнения (4) определяют г = 4 линейно независимых столбцов матрицы-ортопроектора PQ :
Раг
( 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
—2 0 0 0
0 6 0 0
0 0 6 0
\ 0 0 0 6
Таким образом, решение билинейного матричного уравнения (4) представимо в виде (здесь С1, С2, Сз, С4 € М1 — произвольные константы)
X (Сг) = Ф(Сг) + Л(А), Ф(Сг) =
000 000
5 239 457
Л(А)=( 3 7-- -~14
2
496
7
531 7
Г (Сг )=Ф(СГ )+П(А), Ф(сг ) =
С1 С2 С1 С3
—2с1 с4
1
8573 0
П(А) = ^ I —8389 0 42 1 92 0
Пример 2. Билинейное матричное уравнение
1001
£(Х,Г) = А, А := I 0 0 0 0 I (5)
0110
не разрешимо; здесь £(Х, Г) — функционал, определенный в примере 1.
202
С. М. ЧУ И КО
Поскольку PQ* = 0, постольку для матричного уравнения (5) имеет место критический случай, при этом условие (3) не выполнено: PQ*М[А] = 0; здесь
PQ*М[А] = ( 129 -25 103 -13 -91 13 103 -25 129 13 -91 -13 )*, 257
следовательно, матричное уравнение (5) не разрешимо. Искомое псевдорешение уравнения (5)
X + = ( 512 -792 483 ^ у + = ( 83 0 I 3084 V -309 792 -280 У , 771 I 83 0
наилучшее (в смысле наименьших квадратов), определяет матрица
2+М[А] = ( 512 -309 -792 792 483 -280 332 332 332 0 0 0 )*. 3084
В случае некорректно поставленной задачи [12, 13] билинейное матричное уравнение (1) может быть регуляризовано аналогично [14, 15].
Пример 3. Билинейное матричное уравнение
11
С^, У) = А := ( 2 7
68
(6)
разрешимо при
П1 3 2 ф(г,в) X Ф(г,в) йг йв, с(0,у) := v v Si у щ;
„• 1 „• 1
здесь
г0
ф(г,в) := 31 г 8 0в
Ф(г,в) := 4
в0 гв 0г
i=l3=1
, Щ1 := ( 1 1 ) , Щ2 : =
00 01
Sl :=
010 000 100
S2 : =
1 0 0 000 000
Sз :=
001 000 101
Поскольку PQ* = 0, постольку для билинейного матричного уравнения (6) имеет место некритический случай, следовательно, поставленная задача разрешима. Обозначим проекто-
ры Р1, Р2, Р3 : М2х3 ^ М2 и Р1, Р2 : М3х2 ^
, Р : =
, Р : =
, Р : =
Искомое г := 6 — параметрическое семейство решений билинейного матричного уравнения (6) представимо в виде
X(Сг) = Ф(Сг) +Л(А), Ф(сг) = ( Ф(сг)Р1 Ф(сг)Р2 Ф(Сг)Р ) ,
У (сг) = Ф(сг) + П(А), Ф(сг) = ( Ф(сг )Р Ф(сг )Р ) ,
где
кроме того
Ф(Сг )Pl =
Л(А) =
1
190 618 864
-137 387 822 74 134 441 -66 871 292 103 493 487 99 476 308 234 994 809
П(А)
1
190 618 864
-6 3770 948 -62 603 495 -125 206 990
125 065 746 36 235 764 72 471 528
-35322376а - 19563182b + 4(-9781591c + 6431169d + 1330298(e + 2/)) 64838468а + 31384575b + 62769150c - 18775234d - 10046020e - 20092040/
$(<V )P2 =
48607452а + 26892217b + 53784434c + 9328946d - 19441244e - 38882488/ -4(12440516а + 6036103b + 12072206c + 4659990d - 4198564e - 8397128/)
Ф(Сг )P3 =
-4(4315780а + 10193407b + 20386814c - 15232906d + 453372e + 906744/) 1661436а + 21796313b + 43592626c - 41047694d + 8205668e + 16411336/
4(78510956а - 10694417b - 2(10694417c + 2700625d + 1671442e + 3342884/)) Ф(^)Pi = | -42777668а + 349581017b - 2(31656711c + 2112871d + 4465358(e + 2/))
-2(42777668а + 31656711b - 127305442c + 4225742d + 8930716e + 17861432/)
-2(10802500а + 2112871b + 4225742c - 122755314d + 36000044e + 72000088/) Ф(^)P = | -4(3342884а + 2232679b + 4465358c + 18000022d - 82937620e + 24743624/) -8(3342884а + 2232679b + 4465358c + 18000022d + 12371812e - 22911092/)
Здесь а, b, c, d, e, / £ R1 — произвольные константы.
4. Заключение
Найденные условия разрешимости и предложенная формула решения билинейного матричного уравнения могут быть использованы при решении традиционных матричных уравнений Сильвестра [7], матричных уравнений Ляпунова [6], а также матричных дифференциально-алгебраических краевых задач [16, 17].
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.
2. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 367 с.
3. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.
4. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 534 с.
5. Boichuk, A. A., Krivosheva, S. A. Criterion of the solvability of matrix equations of the Lvapunov type // Ukrainian Mathematical Journal. 1998. Vol. 50, № 8. pp. 1162—1169.
6. Чуйко С. М. О решении матричных уравнений Ляпунова // Вестник Харковского национального университета iM. В. Н. Каразина. Серия: Математика, прикладная математика и механика. 2014. № 1120. С. 85^94.
7. Чуйко С .М. О решении матричного уравнения Сильвестра // Вестник Одесского национального университета. Серия: математика и механика. 2014. Т. 19, Вып. 1 (21). С. 49—57.
8. Чуйко С. М. О решении обобщенного матричного уравнения Сильвестра // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, вып. 1. С. 52—66.
9. Захар-Иткин М. X. Матричное дифференциальное уравнение Риккати и полугруппа дробно-линейных преобразований // Успехи мат. наук. 1973. Т. XXVIII, № 3. С. 83—120.
10. Деревенский В. П. Матричные уравнения Бернулли. I // Известия вузов. Серия: Математика. 2008. № 2. С. 14—23.
11. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 318 с.
12. Чуйко С. М. Обобщенный оператор Грина линейной краевой задачи для матричного дифференциального уравнения // Известия вузов. Серия: Математика. 2016. №8. С. 74—83.
13. Тихонов А. И., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.
14. Чуйко С. \!.. Чуйко. Е. В. Регуляризация периодической краевой задачи при помощи импульсного воздействия // Буковинский математический журнал. 2013. Т. 1, № 3-4. С. 158— 161.
15. Chuiko S.M. On the regularization of a linear Fredholm boundary-value problem by a degenerate pulsed action // Journal of Mathematical Sciences. 2014. Vol. 197, № 1, C. 138—150.
16. Chuiko S. M. A generalized matrix differential-algebraic equation // Journal of Mathematical Sciences (N.Y.). 2015. Vol 210, №1. pp. 0 21.
17. Chuiko S.M. The Green's operator of a generalized matrix linear differential-algebraic boundary value problem // Siberian Mathematical Journal. 2015. Vol. 56, №4. pp. 752^760.
REFERENCES
1. Gantmacher, F. R., 1959, "Theory of matrices AMS, Chelsea publishing.
2. Bellman, R. E., 1960, "Introduction to matrix analysis McGraw-Hill, New York.
3. Lancaster, P., 1972, "Theory of matrices Academic Press, New York-London.
4. Daletskii, Yu. L., Krein, M. G. 1970, "Stability of Solutions of Differential Equations in a Banach Space"(in Russian), Nauka, Moscow.
5. Boichuk, A. A., Krivosheva, S. A., 1998, "Criterion of the solvability of matrix equations of the Lvapunov type" , Ukrainian Mathematical Journal, vol. 50, no. 8, pp. 1162—1169.
6. Chuiko, S. M.. 2014, "On the solution of the matrix Lvapunov equation" , Visn. Kharkovskogo Univ. Ser. Mat. Mech., no. 1120, pp. 85-94.
7. Chuiko, S. M.. 2014, "On the solution of the matrix Sylvester equation" , Visn. Odesskogo Univ. Ser. Mat. Mech., vol. 19, no. 1(21), pp.49-57.
8. Chuiko, S. М.. 2014, "On the solution of the generalized matrix Sylvester equation" , Chebvshevskiv Sb., vol. 16, no. 1, pp. 52-66.
9. Zakhar-Itkin, M. X., 1973, "Matrix differential Riccati equation and a semigroup of linear-fractional transformation" , Uspekhi Mat. Nauk, vol. 28, no. 3, pp. 83^120.
10. Derevenskiv, V. P., 2008, "Matrix Bernoulli equation. I" , Izvestia Vuzov. Mathematica, no. 2, pp.14-23.
11. Voevodin, V. V., Kuznetsov, Yu. A., 1984, "Matritsv i vvchisleniva (in Russian). (Matrices and Calculations)", Nauka, Moscow.
12. Chuiko, S. M.. "Generalized Green Operator of Noetherian boundary-value problem for matrix differential equation"Russian Mathematics, vol. 60, no 8, pp. 64-73.
13. Tikhonov, A. N., Arsenin, V. Ya. 1986, "Methods for Solving Ill-Posed Problems" , Nauka, Moscow.
14. Chuiko, S. M.. Chuiko, E. V., 2013, "On the regularization of a periodical boundary-value problem by a degenerate pulsed action" , Bukovinskiv Mathematicheskiv Zhurnal, vol. 1, no. 3-4, pp.158-161.
15. Chuiko, S.M., 2014, "On the regularization of a linear Fredholm boundary-value problem by a degenerate pulsed action", Journal of Mathematical Sciences, vol. 197, no. 1, pp. 138-150.
16. Chuiko S. M.. 2015, "A generalized matrix differential-algebraic equation "Journal of Mathematical Sciences (N.Y.), vol. 210, nol, pp. 9-21.
17. Chuiko S. M.. 2015, "The Green's operator of a generalized matrix linear differential-algebraic boundary value problem "Siberian Mathematical Journal, vol. 56, №4. pp. 752-760.
Донбасский государственный педагогический университет.
Получено 02.03.2015 г.
Принято в печать 10.06.2016 г.
