Обобщенный оператор Данкла Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 1 (2014). С. 59-68.

УДК 917.53, 917.98 ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ДАНКЛА

И.И. КАРАМОВ, В.В. НАПАЛКОВ

Аннотация. В статье введен обобщённый оператор Данкла, действующий в пространстве целых функций на C, изучены задачи гармонического анализа, связанные с этим оператором, и показана его взаимосвязь с оператором обобщённого дифференцирования Гельфонда-Леонтьева.

Ключевые слова: Оператор Данкла, собственная функция, оператор свертки Данк-ла, преобразование Данкла, характеристическая функция, гиперциклический оператор.

Mathematics Subject Classification: 47B38

1. Введение

Пусть H(C) - пространство целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах, H*(C) - сильное сопряженное пространство к H(C), Рс - пространство целых функций экспоненциального типа. Известно, что пространство H*(C) изоморфно пространству Н0({то|) - пространству аналитических функций в окрестности бесконечно удаленной точки, обращающихся в точке ж в нуль (см., например, [1]). Более того, если F Е H*(C) и gp Е H0({to}) - соответствующая функция (согласно указанному изоморфизму), то

(F /) = 2“ / / (z)gp(z) dz, (1Л)

C

где / Е H(C), C - замкнутый спрямляемый контур, охватывающий все особенности функции gp и лежащий в области аналитичности этой функции.

Рассмотрим обобщённый оператор Данкла Л на H(C)

, m— 1

Л/(z) = dzf (z) + z ^ aj/ (ajZ), Z Е C, (L2)

j=о

где aj = e“mr, j = 0,m — 1, / Е H(C), m - фиксированное натуральное число, причем m ^ 2. Не ограничивая общности, в дальнейшем будем считать, что с =1.

Этот оператор обобщает ранее изученный в работе [2] оператор Данкла

d с

D/(z) = dzf(z) + z(/(z) — /(—z)), z Е C'

Операторы Данкла (см. [3]) - это дифференциально-разностные операторы, связанные с конечными группами отражений в некотором евклидовом пространстве. Эти операторы играют важную роль в различных задачах математики и физики (см., например, [4]). Изучим задачи гармонического анализа, связанные с оператором (1.2) (операторы сдвига Данкла, свертка Данкла, преобразование Данкла и т. д.).

I.I. Karamoy, V.V. Napalkov, Generalized Dunkl operator.

© Карамов И.И., Напалков В.В. 2014.

Работа поддержана РФФИ (грант 11-01-97019).

Поступила 26 декабря 2013 г.

Рассмотрим функцию д Є Но ({то}):

т— 1 2пі.7

1 X---------Л Є т

д(*) = 72 + ^

г2 г - 2п^'

.7=0 т

Согласно вышеуказанному изоморфизму, этой функции соответствует функционал Р € Н*(С). Возьмём преобразование Лапласа данного функционала: -Р(^) = (Р, ). При-

меняя (1.1), преобразование Р можно записать в виде:

1 Г 1 Г ( 1 т-1 ^пи \

Г<") = « /е'“ ^) * = 2л /«'“ (? + § ^ =

т— 1

^ ^ є^(м+1). (1.3)

і=о

Здесь контур С охватывает начало координат и точки ^т^, І = 0, т — 1. Введём теперь функцию

г к

у(г) = 1 + У^ ^---------------^. (1.4)

{=1 -Г(1)-Г(2) ...^)

Во втором разделе изучаются свойства собственной функции у л оператора Л, соответствующей собственному значению Л и удовлетворяющей условию ул(0) = 1, и будет показано, что функция у\ определяется соотношением ул(г) = у(Лг), где функция у имеет вид (1.4). Далее по (1.2) строится оператор сдвига Данкла тад (раздел 3):

СЮ к

__ у и

(тадf)(г) = f (г) + —------------— Лкf (г), г, € С. (1.5)

к=1 -Г(1)_р(2) ...ад

Тогда оператор свертки Данкла функционала Т € Н*(С) и функции f € Н(С) определяется следующим образом:

МТ [Жг)= Т * f (г) = (Т™ , (Гад f )(г)) ^ € С. (1.6)

В завершение вводится преобразование Данкла функционала Т € Н*(С):

®(Т)(Л) = Т(Л) = (Т,у(Лг)), Л € С, (1.7)

которое устанавливает топологический изоморфизм пространств Н*(С) и Рс, а также рассматриваются уравнения обобщенной свертки (однородное и неоднородное).

2. Собственная функция оператора Л

Предложение 1. а) Собственная функция ул оператора Л, соответствующая собственному значению Л и удовлетворяющая условию ул(0) = 1, единственна и определяется по формуле (1.4).

б) Функция у(г) является целой функцией экспоненциального типа, причем ее тип о = 1. Доказательство. а) Действительно, пусть у имеет вид (1.4), тогда

Л(у(Лг)) = Л (1 + § Г Г^ Г Г Гк'Л(гк) Г . (2.1)

V к=1 ^(1)^(2) ....Г(к)/ к=1 _/^(1)_Г(2)... .Г(*)

Учитывая, что

т— 1 т— 1

Л(гк) = гк + - V а («кгк) = кгк—1 + - V -к+^к -

а^- г =

7=0

7=0

т1

к + 5] ак+Ч гк—1 = адгк—1, к Є Н, Р(0) = 0, (2.2)

7=о

получим

Л(у(А;)) = £

к ~к—1

Ак 2'

-І?(к) = А 1 + £

кк

Ак 2

АУ(Аг).

к=1 Р(1)Р(2)... ОД V к=1 ^(1)^(2)... Р(к)

Докажем теперь единственность собственной функции. Пусть й € Н(С) такова, что

СО к=0

СО 1 СО

Л(^(А2)) = А^(Аг). Если ^(г) = ^^0 Ьк2к, где Ь0 = 1, то

ЛДОг)) = ^ Ьк Ак Л(гк) = ]>] Ьк АкР(к)гк—1 = - ^] Ьк І^(к)(Аг)к.

к=0

к=1

к=0

С другой стороны,

ЛДОг)) = А £ Ьк(Аг)к.

(2.3)

(2.4)

к=0

Так как Ь0 = 1, из (2.3) и (2.4) следует, что

Ь,

к=

-, к = 1, 2,

адад ...ад

Следовательно, й(Лг) = у(Лг). б) Напомним, что функция f € Н(С) - целая функция экспоненциального типа, если

3 С, а > 0: ^(г)| ^ Се“|г|, г € С.

Из (1.4) следует

Ок

|у(г)| ^ 1 + § ^ ^----. (2.5)

|1л к=1 |-Г(1)-Г(2)...ад| ' ;

Оценим выражение |—,(1)—'(2)... Р(к)|. Имеем

|-Г(1)-Г(2) ...ад| = |£(1)||£(2)|... |%)| =

т1

1+

4 пі]

Є

7=0

т1

т— 1

«п+£

7=0

І 4пі]

І є

2+

7=0

т— 1 2+ £

6пі]

Є т

т1

к+

2(^:+1)пі]

Є т

7=0

т1

6пі]

Є т

І=0

= (1 + т)(2 + т)... (к + т) Поскольку -’(к) принимает следующие значения:

. .. к +

7=0 ' (к + т)!

2(^+1)пі]

Є т

т!

ад =

то, очевидно,

к + т, если к = /т — 1, / € N к, если к = /т — 1, / € N

|І^(1)І^(2)... І^(к)| ^ к!.

(2.6)

1

Таким образом,

к! ^ |Р(1)Р(2) ...Р(к)| ^ (к + т)!. (2.7)

т!

Из (2.6) получаем

СЮ

|у(г)1 < 1 + ^ -

к!

^ Ы к

2)і ^ 1 + £ ТГ = ЄИ. (2.8)

к=1

те ■

т! .к

Рассмотрим функцию ^(г) = 1 + N Л —------------— гк. Вычислим её порядок. Напомним, что

^ (к + т)!

те

к

порядок произвольной целой функции f (г) ' акгк можно вычислить по формуле

(см. [5])

к=0

-— к 1п к

Р/ = ,1]^ГШ

к^те 1п —

1 «к 1

Следовательно,

^— к 1п к ^— к 1п к

р^ = 11т — = 11т ——------- --- ----г =

к^о 1п (к+т)- к^о 1п(к + т)! — 1п т!

т!

-— к 1п к -— к 1п к

= 11т -—— = 11т ---------- --------------= 1.

к^°> 1п к! к^° 1пу2пк + к(1п к — 1)

1 т!

Поскольку —--------—-------—---- ^ —-----------------—, то порядки соответствующих функций удовле-

|_Г(1)_Г(2) ..._Г(к)| (к + т)!

творяют неравенству ру ^ р^. Используя оценку (2.8), заключаем, 1 ^ ру ^ 1. Последнее

означает, что порядок функции у также равен 1.

Вычислим тип у. Так как ру = 1, то для вычисления типа можно использовать формулу (см. [5])

1

к

11т ку |ак | = (о/ер/) pf , (2.9)

к^о

где ак - коэффициенты функции f € Н (С), 0 <р/ < то и о/ - порядок и тип f соответственно.

В нашем случае

ак = —-----—-——, к =1, 2,..., а0 = 1.

Р(1)Р(2) ...Р(к)

Тогда, используя оценку (2.6) и формулу Стирлинга к! л/2пк(-)к, выводим

_______ .------------------ ------------- , 1 _____________________________________________________ 1

1]т к ру у |ак | = 1іт к л—---------------------------------—---------------—---------= 1іт к-

к^те к^те у |і7’(1)і7'(2) ... Р(к)| к^те ^к! іїт к—= є їїт —^ = є.

к^те к(2пк) 2к к^те (2пк)

2к

Применяя (2.9), находим, что оуе = е. Следовательно, оу = 1.

Таким образом, у € Рс.

Предложение 2. Имеет место следующая формула произведения

у(Лг) ■ у(Лш) = тад(у(Л.))(г), г,ш € С. (2.10)

1

Доказательство. Используя (1.4), получим

( ° Лк ?<|к \ О щк

у(Лг) ■ у(Лп) = 11 + ^^ —----— I ■ у(Лг) = у(Лг) + V"1 —------------—Лку(Лг).

V к=1 -Г(1)-Г(2) ...ВДУ у( ) у( ) к=1 —^(1)-Г(2) ...Р(к) у( )

Так как Лку(Лг) = Лку(Лг), то

Ок _ 7/ /

у(Лг) ■ у(Лп) = у(Лг) + —--—-----——Лку(Лг) =

к=1 —?(1)—?(2) ...Р(к)

Ок

= у(Лг ) + ^ —-----------— Лку(Лг ) = тад (у(Л.))(г).

к=1 ^(1)-Г(2)... -Г(к)

3. Оператор сдвига Данкла. Свертка Данкла Рассмотрим вначале свойства оператора (1.2).

Предложение 3. Оператор Л осуществляет непрерывное отображение из Н(С) в Н (С).

Доказательство. Пусть / Є Н(С). Не теряя общности, можно положить / (0) = 1. Запишем (1.2) в следующем виде:

т— 1 т— 1

Л/(г) = /'(г) + - £ а7(/(а7г) — 1) + - £ а7 =

7=0 7=0

1 1 1

т—1 (/ ( ) _ 1) т—1 г

=/'(г) + £ а —7— =/'(г) + £ а2 //(а72і)^ (3.1)

7=0 г 7=0 0

Тогда для любого Я > 0, используя интегральную формулу Коши, получаем

т— 1

1|Л/«я < ||/'Ия + £ |а,|2||/'||я = (т. + 1)||/'||я « (т. + 1)

R

j=0

где II/1|я = max |/(z)|. Таким образом, Л: H(C) ^ H(C) - непрерывный оператор.

|z|^R

Теорема 1. Если / є H(C),f (0) = 1, то / представляется в следующем виде:

/(z)=1 + Е F (Лf)(0)F zk, є C.

F(1)F(2)... F(k)

Доказательство. Пусть

те

/(z) = anzn, a0 = 1, z є C. (З.2)

"=0

Тогда в силу непрерывности оператора Л для любого k є N

те

(Л‘ / )(z) = Е «пЛ‘ (z"),

"=1

л* (z") = F(n)F(n - 1) ...F(n - k + 1)z"—k, k = 1“П, n =1, 2,....

В частности, Лк(гк) = —,(к)—'(к — 1)... Р(1) и Лк(гп) = 0 при п < к или п > к. Следова-

тельно,

(Лк f )(0) = ак %)Р(к — 1) ...Р(1).

Отсюда

«к = Г ,к = 1,2,...

_Г(к)_Г(к — 1) ...-Г(1)

Подставляя последнее в (3.2), получаем утверждение теоремы.

Предложение 4. Ряд (1.5) сходится в Н(С) и тад: Н(С) ^ Н(С) является непрерывным оператором.

Доказательство. Пусть f € Н(С). Из (3.1) получаем

1 1 1111

т- 1 т- 1 т- 1

)(г) = №) + § О?! / (1 + ал^"(ал^ а22 / / ^"(аЛ0/2г*1 *2) ,

71 =0 0 /1=0 /2=0 0 0

1 1

т- 1

(л3f )(г) = f"/(г) + § а21 / (1 + ал * + а21*2)/г "/(ал ^ й*+

/1=0 0

11 11

т- 1 т- 1

+ £ Еал «22 / / *1(1 + а/ *1 + а/а/2^^^(а/ а/2г*1*2) й*1й*2+

Л=0 /2 =0 0 0

1 1 1

т- 1 т- 1 т- 1

+ ^Х! ^а41 а32 а2з / / / *?*2f ///(а/1 а/2 а/3 г*1*2*з) й*1^*2 й*з.

__П л'_П л'__п и и и

а/1 а/2 а /1=0 /2=0 /з=0 0 0 0

По индукции выводим

п т—1 т—1

(л"f)(г) = (п) м + § §... § «к+Ч... “2,-

к=1 /1=0 =0

1 1

(п)

... Рк,п(*1,..., *к )f (п)(ал ... а/, г*1... *к) й*1... й*к

00

где Рк,п - многочлен по *1,... , *к, 1 ^ к ^ п, удовлетворяющий неравенству

п

|Рк,п(*1, . . . ,*к)| ^ ( к ) , *1, . . . ,*к € [0, 1].

Тогда, учитывая, что |а/11 = |а/21 = ... = |а/к | = 1, к = 1,... , п, п =1, 2,..., получим

п / \ т—1 т—1

||Л’7Ия < и/(п)Ия + § к § ... § |ал |к+‘К|к ... Кг2/(п)Ия =

к=1 ' /1=0 /к =0

т— 1 т— 1

1 + § ... §<2" — Ч ) и/(П)Ия = <! + <2" — 1>т")И/(п)Ия

/1=0 /к=0

По интегральной формуле Коши для любого Я > 0

и/(п) Ия « Яп И/||2я.

Тогда

n!

ЦЛ'7Ия в (1 + (2n - 1)mn)—И/«2Я

(З.З)

Используя (3.3), находим, что для любого R > О и |z| в R

^”(Лп/)(z)

lim

n

F(1)F(2) ...F(n)

n в lim Ш”ИЛ” / || R

n^-те n!

в

2m|w|

R

Отсюда следует, что для любого г,и> Е С ряд (1.5) сходится и, к тому же, сходится равномерно на каждом компакте С х С. Таким образом, тадf Е Н(С). Покажем теперь, что ||т-шf ||я ^ М(Л, эд)|^ |2д+4т|ад|. Из этой оценки будет следовать непрерывность оператора тад. Действительно, применяя (3.3), получим

|Tw/ «Я в ||Tw/ «R+2m|w| —

/(z) + Е

wk

= F(1)F(2) ...F(fc)

Лк / (z)

в

R+2m|w|

в

1 + Е

|w|

k=1

(R + 2m|wfyk(1 + (2" - 1)m"W И/«2(R+2m|w|) в M(R,w)||/«2R+4m|w|.

Полученный ряд сходится, так как

-— /(1 + (2k - 1)mk)|w|^ fc lim

к^те \ (R + 2m|w|)k

Следовательно, tw - непрерывный оператор.

2m|w|

R + 2m|w|

< 1.

Следующее утверждение характеризует взаимосвязь обобщенного оператора Данкла и оператора Гельфонда-Леонтьева.

Теорема 2. Оператор (1.2) представляет собой частный случай оператора обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева.

Доказательство. Возьмем функцию f Є Н(С):

те

/« = £

z) = у anZ

n=0

Оператор обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева (см. [б]) действует на функцию / следующим образом:

'k[f 4z) = V an zn-k,

bn

n= k

Dk [/](z) = Е'

где bn - коэффициенты некоторой целой функции F(z) порядка p (0 < p < то) и типа a (0 < a < то), причем bn = 0, n ^ 0 и существует

lim np у |bn| = (aep) p.

(3.4)

Рассмотрим функцию

y(z) = Е 6”z” =1 + Е

n=0

=1 F(1)F(2)... F(n)

b0 = 1.

1

n

z

Очевидно, bn = 0, n ^ 0. Так как функция у экспоненциального типа, то, учитывая, что а = 1, используя оценку (2.7) и формулу Стирлинга, получим

1 , 1

lim nу |-n| = lim n—. = = lim n- .—

у' |І?(І)І?(2) ...i?(n)i

= lim n-----------— = e lim ----------— = e.

n(2nn) 2П (2nn) 2П

Следовательно, условие (3.4) выполняется. Подействуем теперь на f Є H(C) оператором Л:

те

Лf (z) = £ a,^(z“).

n=1

vn— 1

Из (2.2) следует, что Л^п) = F(n)zn 1. Следовательно

те те ,

Лf (z) = £ an-F(n)zn-1 = £ а™-П-1 zn-1

-n

n=1 n=1

тете

-n 2

Л2f (z) = ^2 anF(n^(zn 1) = anF(n)F(n - 1)zn 2 = ^ -

n=1 n=2 n=2

По индукции по числу к находим, что если выполняется равенство

те те ,

Лк-1/(г) = У а„Р(пШп - 1)... Р(гс - к + 2Ьга-к+1 = V а„/

-п

«,=&-1 «,=&-1

Тогда

те

Лк/(г) = Л(Лк-1/(г)) = ^ а„Р(п)-Р(п - 1)... Р(гс - к + 2)Л(гга-к+1)

n=k—1

те те

n—к ___ \ л -n—к _n—к

= ^'

n= k n= k

anF(n)F(n — І)... F(n — k + 2)F(n — k + 1)zn к = an V ” z

-

n=

Таким образом, получили требуемое представление.

Приведем далее некоторые свойства оператора свертки Данкла (1.6). Пусть X - топологическое векторное пространство, Ь - линейный непрерывный оператор в X.

Определение 1. Линейный непрерывный оператор Ь: X ^ X называется гиперцик-лическим, если существует такой элемент х Є X (называемый гиперциклическим вектором оператора Ь), что его орбита {Ьпх, п = 0,1, 2,... } плотна в X.

Каждый гиперциклический оператор Ь является топологически транзитивным в смысле динамических систем, т. е. для любой пары открытых и непустых подмножеств и и V в X найдется п Є N такое, что Ьп(и) П V = 0.

Определение 2. Точка х Є X называется периодической для Ь, если Ьпх = х для некоторого п Є N.

Определение 3. Оператор Ь: X ^ X называется хаотическим, если он является топологически транзитивным и имеет плотное множество периодических точек.

Предложение 5. Пусть Т Є Н*(С).

1) Оператор (1.6) действует непрерывно из Н(С) в Н(С).

2) Оператор свертки Данкла является гиперциклическим и хаотическим на Н(С).

Доказательство.

1) Рассмотрим последовательность (/п)пем Є Н(С):

/п ^ /, Му[/„] ^ # при п ^ то, /,# Є Н(С).

Для любого Ш Є С из Предложения 4 следует

Тш/п ^ / при п ^ то в Н(С).

Тогда

Мт[/п](г) ^ Мт[/](г) при п ^ то для любого г Є С.

Применяя теорему о замкнутом графике, получаем, что Му: Н(С) ^ Н(С) является непрерывным оператором.

2) Так как обобщенный оператор Данкла является частным случаем оператора обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева, то справедлива Теорема 1 (из работы [7]), из которой следует гиперцикличность и хаотичность оператора свертки Данкла (1.6).

4. Следствия из теоремы 2 Из теоремы 2 вытекает ряд важных следствий.

4.1. Преобразование Данкла. Обозначим через Ра(С) пространство целых функций экспоненциального типа:

|/(г)| ^ Се“|г|, г Є С, С, а > 0,

где постоянная С зависит от /.

Введем на этом пространстве норму ра:

Ра(/) = ™р I/(;)|е-“М.

гЄС

Как известно, Ра(С) - банахово пространство. Тогда

РС = У ^«(С).

а>0

Рс наделяется топологией индуктивного предела.

Определим преобразование Данкла функционала Т Є Н*(С) по формуле

те

Ф(Т )(г) = (Тш ,у(шг)) = ао + п----— гп,

()() ( У( )) ^(1)Р(2)... Р(п)

где ап = (Тш,шп), п > 0, г Є С.

Применяя результат из работы [8], получим

Следствие 1. Преобразование Данкла ® устанавливает топологический изоморфизм между пространствами Н*(С) и Р(С).

4.2. Уравнение свертки, порожденное обобщенным оператором Данкла. Рассмотрим оператор свертки Данкла Мт[/](г) = (Тш, (тш/)(г)), г,ш Є С. С учетом (1.5) перепишем его в следующем виде

те те

Мт [/1<2) = ао/(г) + к Я1)Р(2Т...%)Л/(г) = £ ^И' (4'1)

где

Со = ао, с* = ^ в*-^—, а* = (Тш ,ш *), к = 1, 2,....

Р(1)Р(2) ...Р(к)

4.2.1. Однородное уравнение свертки. Однородное уравнение свертки - это уравнение вида Мт[/](г) = 0. Из (4.1) получаем

те

Мт [/](* ) = £ Ск Л‘ / (;)=0. (4.2)

к=0

Характеристическая функция уравнения (4.2):

Т(А) (Т,у(^)} «о + £ ]?(1)]?{2) Л £ СкА ■

Учитывая Теорему 2 и результат из работы [9], получим, что уравнение (4.2) имеет решения вида гту(т)(Агаг), т = 0,1, ■ ■ ■ ,рп — 1, п =1, 2, ■ ■., где Аі, А2, ■ ■ ■ - нули характеристической функции Т(А) кратности р1,р2, ■ ■ ■ соответственно.

Решения вида гту(т){Агаг), т = 0,1, ■ ■ ■ ,рп — 1, п =1, 2, ■ ■ ■ назовем элементарными решениями уравнения (4.2). Обозначим множество таких решений через Е. Пусть Ш -множество всех целых решений уравнения (4.2). Тогда из [9; Теорема 3.3.5] вытекает

Следствие 2. Замыкание линейной оболочки множества Е в Н(С) совпадает с Ш. Рассмотрим в Н(С) неоднородное уравнение свертки

Мт[/](^ = д(^ £(^) є Н(С). (4.3)

Следствие 3. ([9]) Уравнение (4.3) разрешимо в Н(С) для любой функции д є Н(С).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.

2. J.J. Betancor, M. Sifi, K. Trimeche Hypercyclic and chaotic convolution operators associated with the Dunkl operators on C // Acta Math. Hungar. 106:1-2 (2005). P. 101-116.

3. C.F. Dunkl Differential-difference operators associated with reflections groups // Trans. Amer. Math. Soc. 311:1 (1989). С. 167-183.

4. M. Rosier Dunkl operators: theory and applications // Orthogonal Polynomials and Special Functions (Leuven, 2002) Lecture Notes in Math. 1817. Springer-Verlag. Berlin. 2003. P. 93-135.

5. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука. 1983. 77 с.

6. Гельфонд А.О., Леонтьев А.Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Матем. сб. 29:3. 1951. C. 477-500.

7. Ким В.Э. Гиперцикличность и хаотичность операторов обобщенной свертки, порождаемых операторами Гельфонда-Леонтьева // Матем. заметки. 85:6. 2009. С. 849-856.

8. Панюшкин С.В. Обобщенное преобразование Фурье и его применения // Матем. заметки. 79:4. 2006. С. 581—5596.

9. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука. 1981. 299 с.

Ильмир Иршатович Карамов,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. Карла Маркса, 12,

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: ilmir.karamov@gmail.com

Валентин Васильевич Напалков,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: napalkov@matem.anrb.ru