CC BY
9
УДК 517.53
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННОГО ОПЕРАТОРА ДАНКЛА
© А. И. Рахимова1*, В. В. Напалков1'2
1Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
2Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН Россия, Республика Башкортостан, 450008 г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.
Тел.: +7 (964) 958 84 97 *ЕтаИ: alsu1405@mail.ru
Данная работа посвящена изучению обобщенного оператора Данкла, действующего в пространстве целых функций. Приведены формулы для нахождения функций, получающихся в результате действия этого оператора на некоторую функцию. Изучается образ обобщенного оператора Данкла произвольного конечного порядка и далее показывается, что образ функции регулярен в круге аналитичности исходной функции. В рассматриваемом случае показано, что оператор отображает пространство целых функций в то же самое пространство. Также в работе доказано, что обобщенный оператор Данкла является частным случаем оператора Гельфонда-Леонтьева и найдена его порождающая функция.
Ключевые слова: обобщенный оператор Данкла, оператор Гельфонда-Леонтьева, целая функция, собственная функция, преобразование Лапласа, преобразование Данкла.
В данной работе изучаются свойства обобщенного оператора Данкла. Он является дифференциально-разностным оператором и имеет приложения в математической физике.
Рассматриваемый оператор был введен в работе Ч. Ф. Данкла «Дифференциально-разностные операторы, связанные с группами отражений» в 1989 г., а также изучался в статье М. Реслера «Операторы Данкла: теория и приложения» в 2002 г. Операторам Данкла и задачам, связанным с ними, посвящены много работ, в том числе следующих авторов: В. В. Напалков [1], В. В. Напалков (мл.) [1], И. И. Карамов [2], К. Р. Зименс [3, 4].
Рассмотрим пространство целых функций Н(С), тогда по определению любая целая функция [(г) Е Н(С) может быть представлена в виде бесконечного ряда [(г) =%к=оак2к. Обозначим через Н*(С) сопряженное пространство к пространству Н(С), а через Рс - пространство целых функций экспоненциального типа.
Для целой функции [(г) Е Н(С) определим обобщенный оператор Данкла:
т-1
й С V , ч
2Ttij(k+1)
р(к) = к + с'^т=о1 е т ■ Функция р(г) = г +
2пЩг+1)
стт^е т имеет следующие свойства: р(0) = 0,р(к) Ф0,кЕП.
Действие обобщенного оператора Данкла к раз на степенную функцию имеет вид: Л(к)гп = р(п) ...р(п - к + 1)гп-к,п ЕК,кЕМ. Отсюда находим результат его действия к раз на целую функцию:
ж
Л(к)[(г) = ^ апр(п) ...р(п - к + 1)гп-к ,кЕШ.
п=к
Преобразование Лапласа функционала Р(г) Е Н*(С) имеет вид: Р(Я) = (Р(г), еЛг). При представлении экспоненты через ряд получается следующее равенство:
F(X) = (F(z), eXz) = b0 + £
b„Xk
к = 1
k\
-, bk
H
= (Р(г),гк),к = (0;ы). Преобразование Данкла функционала Р(г) Е ) определяется
dz
2nij
с > 0, aj = е т ,
j=0
j = (0 ;т-1(.
Оператор Данкла Л0[(г) = — [(%) +-([(г) -[—)) * *
является частным случаем этого оператора при т = 2.
Действие оператора можно записать в виде:
ж
ЛГ(г)=\^Р(к)ак?к,
к=0
где через функцию р( к) обозначаем полученный в результате этого действия коэффициент
по формуле: Р(Х) = (р(г),у(Яг)), здесь собственная функция обобщенного оператора Данкла у (Яг) выражается в виде
Лкгк
у (Яг) = 1 + '£к=1 , , , ,—7,—гттг. Подставив в эту
формулу собственную функцию, получаем данное равенство:
?(Х) = (Р(2),у(Лг)) = Ь0 +
+
bhxk
1
k=1
bk = (F(z),zk),k = (0;со).
p(l)p(2)...p(k-l)p(k)'
Теорема. Обобщенный оператор Данкла п-го порядка Лп, где п - конечное натуральное число, отображает пространство целых функций Н(С) в
Ж
ж
то же самое пространство Н(С). Образ оператора регулярен в круге аналитичности исходной функции.
Доказательство. Рассмотрим некоторую целую функцию [(г) Е Н(С), ее можно представить в виде ряда [(г) = Т,к=оак2к • Для коэффициентов функции
верны условия:
\imy\ak\=0,R =
к^ж
<\Цк\
Образ функции имеет вид:
A(n)f(z) = ^акр(к) ...p(k-n + l)zk-n,n е N.
к=п
Определим его радиус сходимости. Вычислим предел для коэффициентов функ-
ции:
Ьт к = 11т ТкГ = 0.
к^ж к^ж
Предел для коэффициентов, возникающих при действии оператора на функцию, имеет вид:
Ш к-пМр(к — п + 1) ...р(к)\ = Ш(1+-) = 1.
к^ж б^Ж V 5/
Поскольку предел для коэффициентов р(к — п + 1)...р(к) конечный, то следует утверждение, что обобщенный оператор Данкла не меняет область аналитичности функции. Получили, что область регулярности образа функции совпадает с областью аналитичности исходной функции.
Используя два последних предела, находим радиус сходимости полученной функции.
11 т к-^/\а^р(к)~р(к—п+Г^ =
к^ж
= 11т к-\1\ак\ 11т к-\гр{к)~р{к—п+1) = 0.
к^ж к^ж
R =
l
■ = <.
lim \1\акр(к) ...р(к-п + 1)\
к^ж
Итак, доказано, что образ целой функции является целой функцией. Обобщенный оператор Данкла любого конечного порядка отображает пространство целых функций в самого себя, то есть Лп:Н(С) ^Н(С).
Теорема доказана.
Теорема. Обобщенный оператор Данкла является оператором обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева, порожденным функцией
g(z) = dil + ^- "
z
,p(1)p(2)...p(k) '
- k=l /
d = const, d е С,
2п1Цк+1)
где р(к) = к + т , то есть верно ра-
венство Лп[(г) = Бп([,д).
Доказательство. Для произвольной целой функции [(г) Е Н(С) находим результаты действия п раз оператора Данкла на функцию /(г).
Л'
lf(z) = ^ р(к)р(к — 1) ...р(к — n)ckzk-n.
к=п
Оператор Гельфонда-Леонтьева по определе-
нию имеет вид
Dn
Г(г) = ОпЦ,д) = ^
к=п
ак-п к-п Ск-ZK п,
ак
где [(г) = Т,ж=оск2к - функция, на которую оператор действует,
д(?) = Тж=о акгк - порождающая функция. Рассматриваем равенство Лп[(г)=Оп(/,д), тогда из первого равенства получается бесконечное число уравнений
к п = р(к)р(к — 1) ...р(к — п),
ак
п Е И, к = (п; со). Нужно найти из последней системы уравнений коэффициенты порождающей функции д(г) = 2,ж=0 акгк и записать ее в виде ряда.
ак-п
= р(к)р(к - 1) ...р(к -п),к = (п; со).
ак-п , 7-г
=-.к = (п; со).
p(k)p(k-1)...p(k-n), ( ; )
Отсюда получаются следующие равенства:
ак ак
а0 = const е С, ак = ■
-,кеы.
р(1)р(2)...р(к)' Таким образом, получили функцию g(z) =
= а° (1 + ^=lp(1j2)...p(k)).
-р(1)р(2)...р(к)> Положим а0 = d, в общем случае порождающая функция имеет вид
{ ж *к \
к=1
р(1)р(2) ...pik)
Проверим для нее выполнение условий аналитичности на всей плоскости, существования конечного порядка и типа и существования предела по формуле о связи между порядком и типом функции
lim кР ТЫ = iаер)р.
к^ж
Найдем радиус сходимости порождающей функции в общем случае.
lim kJ\ak\ = lim
к^ж к^ж
N
d
p(1)...pik)
1-W\
= lim-rr=T-
= lim - = 0,
к^ю к 1
R =_к_= ю.
lim j\ak\
Таким образом, функция целая, g(z) Е Н(€). Вычислим ее порядок и тип. Порядок функции определяется по формуле: п Inn
р = lim
= lim
п^ю 1п\р(1) ...р(п)\ — ln\d\ _ п Inn
п^ю Inn! — ln\d\ 1
(i lU2n 1 1 М^Л
V 2nlnn 2n Inn nlnnj
= 1.
2nlnn 2n Inn
Тип функции имеет вид:
_nn
а = lim —
п^ю е ^
d
p(1) .p(n)
—пЦЩ
= lim :
еУп!
ж
i
= оо
ж
а
о
ж
п^ю
= Ше-^=1.
п—ю е п
Следовательно, порождающая функция имеет экспоненциальный тип, то есть д (z) Е Рс.
_ 1 _
Проверим выполнение условия lirr; kP kf\ak\ =
= (ae p)p.
_ Lk,- - kjf\d\
lim kP УЮТ = lirr; _ v --=
kjj\p(1) ...p(k)\
_kj\d\ 1
= lirr; k_ = e = (aep)p.
kVE
Таким образом, данное условие выполнено. Порядок и тип функции конечные, тип не равен
_ 1 _ 1
нулю и существует предел lim kpkj\ak\ = (aep)p,
k-ю
причем функция д( ) имеет экспоненциальный тип, g(z) Е Рс, так как p = 1, a = 1.
Следовательно, обобщенный оператор Данкла является оператором Гельфонда-Леонтьева с определенной выше порождающей функцией. Теорема доказана.
Докажем, что из полученного соотношения
_ i _ i
lirr; kP J\ak\ = (aep)p вытекает равенство
k-ю
limk-nl\^\ = 1.
ak
По исходному утверждению получаем два ра-
венства:
hm(k-n)pk nJ\ak-n\ =
k-ю
1 _ i _ 1
= (aep)P, lirn kPkj\ak\ = (aep)P.
k-ж
Находим предел отношений двух функций, он равен отношению пределов функций, поскольку оба предела существуют и конечны.
(k-n)p nj\ak-n\ k-n lirn-1-= lirn
k-ж T — k г,-T k-ж
kpjpOÄ
м
ak-
ak
(aep)p 1
(aep)~c
= 1.
Следовательно, верно утверждение:
lirn
k-ж
N
ak-
ak
= 1.
lim k-nl\ai-n\ = 1
Полученное равенство
к^ж М I ак
важно, поскольку получаем радиус сходимости функции Оп[(г) = Бп(/,д) по следующей формуле:
lim
k-ж
k- n
k
ak- п
ak
= l"11 k jckÄ (irn
k-ж k-ж
r =
ak-
ak
= o,
lim
k-ж
\bk ak-n\
ak
Таким образом, функция Оп[(£) целая, она регулярна в круге аналитичности исходной функции [(г), оператор Гельфонда-Леонтьева отображает пространство целых функций в самого себя. Из этого можно заключить, что обобщенный оператор Данкла отображает целую функцию в целую функцию, то есть Лп: [(г) Е Н(С) ^ Лп[(г) Е Н(С).
ЛИТЕРАТУРА
1. Напалков В. В., Напалков В. В. (мл.) Операторы Данкла как операторы свертки // Доклады Академии наук. 2008. Т. 423. №3. С. 300-302.
2. Карамов И. И., Напалков В. В. Обобщенный оператор Данкла // Уфимский математический журнал. 2014. Т. 6. №1. С. 59-68.
3. Забирова К. Р., Напалков В. В. Операторы свертки Данкла и многоточечная задача Валле-Пуссена // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2013. №1 (30). С. 70-81.
4. Зименс К. Р., Напалков В. В. Задача Валле Пуссена в ядре оператора свертки на полуплоскости // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2015. Т. 19. №2. С. 283-292.
п
1
п
1
= оо
1
п
1
Поступила в редакцию 06.06.2017 г.
SOME PROPERTIES OF THE GENERALIZED DUNKL OPERATOR © A. I. Rakhimova1*, V. V. Napalkov1'2
1Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
2Institute of Mathematics with Computing Center of RAS 112 Chernyshevsky Street, 450008 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
Phone: +7 (964) 958 84 97.
*Email: alsu1405@mail.ru
The article devoted to studying the generalized Dunkl operator acting in space of the whole functions. It is a differential-difference operator applying for solution of the problems of mathematical physics. It is possible to consider the Dunkl operator as its special case. Formulas for calculating the functions produced by application of this operator to some functions are given. The image of the generalized Dunkl operator of any final order is studied. In the first theorem, it is shown that the image of the generalized Dunkl operator from the set function is regular in a circle of analyticity of initial function. In particular, it means that the operator displays space of the entire functions in the same space. This statement follows from equality of a limit of a root from the coefficients arising at action of the operator to unit therefore the radius of convergence of area at action of the operator does not change. In addition, the second theorem stating that the generalized Dunkl operator is a special case of the Gel'fond-Leont'ev operator of the generalized differentiation is proved. Its generating function is found and all necessary conditions are checked.
Keywords: generalized Dunkl operator, Gel'fond-Leont'ev operator, entire function, eigenfunction, Laplace transform, Dunkl transform.
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.
REFERENCES
1. Napalkov V. V., Napalkov V. V. (ml.) Operatory Dankla kak operatory svertki. Doklady Akademii nauk. 2008. Vol. 423. No. 3. Pp. 300302.
2. Karamov I. I., Napalkov V. V. Ufimskii matematicheskii zhurnal. 2014. Vol. 6. No. 1. Pp. 59-68.
3. Zabirova K. R., Napalkov V. V. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriya Fiziko-matematicheskie nauki. 2013. No. 1 (30). Pp. 70-81.
4. Zimens K. R., Napalkov V. V. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriya Fiziko-matematicheskie nauki. 2015. Vol. 19. No. 2. Pp. 283-292.
Received 06.06.2017.
