Научная статья на тему 'Собственные функции операторов уничтожения, ассоциированных с коммутационными соотношениями Вигнера'

Собственные функции операторов уничтожения, ассоциированных с коммутационными соотношениями Вигнера Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
200
40
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КОММУТАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ / ОПЕРАТОР ДАНКЛА / СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ / ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ / COMMUATION RELATIONS / DUNKL OPERATOR / EIGENFUNCTIONS / ENTIRE FUNCTIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ким Виталий Эдуардович

В работе рассматриваются линейные непрерывные операторы, действующие на пространстве всех целых функций с топологией равномерной сходимости и удовлетворяющие коммутационным соотношениям Вигнера. Эти операторы тесно связаны с обобщенными сверточными операторами Данкла. Изучается задача описания собственных функций этих операторов. Показано, что при определенных условиях, собственные функции исследуемого оператора могут быть описаны с помощью обобщенных сдвигов Данкла целых функций, принадлежащих ядру оператора. Также обсуждаются вопросы полноты систем собственных функций

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Eigenfunctions of annihilation operators associated with Wigner's commutation relations

We consider linear continuous operators acting on the space of all entire functions with the uniform convergence topology and satisfying Wigner's commutation relations. These operators are closely connected with the Dunkl generalized convolution operators. We study the problem of description of eigenfunctions of these operators. It is shown that under some conditions the eigenfunctions of the operator under study can be described by Dunkl generalized translates of entire functions belonging to it's kernel. We also discuss the problem of completeness of the systems of eigenfunctions

Текст научной работы на тему «Собственные функции операторов уничтожения, ассоциированных с коммутационными соотношениями Вигнера»

УДК 517.53+517.98

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ УНИЧТОЖЕНИЯ, АССОЦИИРОВАННЫХ С КОММУТАЦИОННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ ВИГНЕРА

В.Э. КИМ

Аннотация. В работе рассматриваются линейные непрерывные операторы, действующие на пространстве всех целых функций с топологией равномерной сходимости и удовлетворяющие коммутационным соотношениям Вигнера. Эти операторы тесно связаны с обобщенными сверточными операторами Данкла. Изучается задача описания собственных функций этих операторов. Показано, что при определенных условиях, собственные функции исследуемого оператора могут быть описаны с помощью обобщенных сдвигов Данкла целых функций, принадлежащих ядру оператора. Также обсуждаются вопросы полноты систем собственных функций.

Ключевые слова: коммутационные соотношения, оператор Данкла, собственные функции, целые функции.

1. Введение

Как обычно, будем обозначать операторы рождения и уничтожения через а+ и а соответственно. Через I обозначим единичный оператор. Для операторов А, В будем рассматривать коммутатор [А, В] = АВ — ВА и антикоммутатор [А, В]+ = АВ + ВА.

В 1950 году Вигнер [1] показал, что из уравнений движения квантовой механики могут вытекать не только классические коммутационные соотношения Гейзенберга [а,а+] = I, но также и соотношения более общего характера, а именно:

[а, а+] = I + 2аЯ, (1)

где а > 0 - некоторая конетанта, К - некоторый абстрактный оператор, удовлетворяющий условиям: [К,а]+ = 0 [Я,а+]+ = 0 = 1 В~1 = Д. Обозначим через Н(С) простран-

ство всех целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах. Известно (см., например, [2]), что коммутационные соотношения (1) могут быть реализованы на пространстве Н(С) следующим образом:

а+1 (г) = г/(г), а/(г) = Л„/(г) = / ,(г) + ^(г) ^( г)^ / Є Н(С). (2)

Отметим, что оператор Ла известен как оператор Данкла. Подробные сведения об операторах Данкла можно найти, например, в обзоре [3].

V.E. Kim, Eigenfunctions of annihilation operators associated with Wigner’s commutation

RELATIONS.

© Ким В.Э. 2012 .

Работа поддержана РФФИ (гранты 11-01-00572, 11-01-97019).

Поступила Ц июля 2011 г.

Пусть <^(z) = bnzn — произвольная целая функция экспоненциального типа,

п=0

ф const, В работе [4] изучались обощенные операторы свертки следующего вида,:

0

Ма,Ш.г) = £^ШМ, f € Н(C). (3)

n=0

Сверточные операторы Данкла (3) включают в себя обычные операторы свертки па Н(С), соответствующие случаю а = 0, Отметим, что [Ма^, Ла] = 0, Следовательно, коммута-

Н(С)

операторами:

а+/(г) = Лaf (г), а/(г) = Ма^, f Е Н(С),

где

Ма,^1(?) = Ма,(р!(г) - (г). (4)

Н(С)

Для Л € С обозначим через оператор сдвнга на Н(С) /(г) = /(г + А), Отметим, что

а=0

свойствами: (А) если / Е Кег М0,^, / = 0, то функция S\f является собственной функцией оператора М0,^, отвечающей собственному значенню А, т.е. выполняется М0>1р8\/ = \S\f\ УА Е С; (В): если $ Е Кег М0^, / = 0 т0 система сдвигов {¿а/, А Е Л} полна в Н(С), где Л С С - любое множество, содержащее предельную точку,

В связи с этим, вызывает интерес следующий вопрос: сохраняются ли эти свойства в случае а > 0? В работе доказывается, что при некоторых дополнительных ограничениях, аналог свойства (А) а>0

могут быть описаны как обобщенные сдвиги Данкла целых функций из ядра оператора

(4)-‘

2. Системы обобщенных сдвигов

ГО

Известно (см,, например, [4]), что имеется единственная целая функция Еа(г) = ^ сп,а¿п

п=0

удовлетворяющая условиям;

ЛаЕа = Ea, Еа(0) = 1. (5)

Условимся обозначать через Z+ множество всех целых положительных чисел, а через Z>0 — множество всех целых неотрицательных чисел. Из (2) видно, что Ла[гга] = ■ф(п)гп-1, где 'ф(п) = п + а(1 — (-1)™) У г Е С, п Е Ъ>0. Отметим, что выполняются (см,, например,

[5]) следующие соотношения:

ф(0) = 0; 'ф(п) = Сп 1,а, п Е Z+■ (6)

Сп,а

го

Таким образом, оператор (2) действует на целую функцию /(г) = ^ апгп следующим

п=0

образом:

ГО

Ло[/]М = Е ап ^ ¿'-1 ■ (7)

л &п,а

п= 1 ’

Из (7) видно, что оператор (2) является частным случаем оператора обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева [6].

Из (5) и (6) вытекает, что коэффициенты ряда Тейлора функции Еа (г) имеют следующий вид;

1

Ф(1Ж2) ••• Ф(п)'

С помощью оператора (2) введем па Н(С) оператор обобщенного сдвига

ГО

ЗаАП(г) = ^сп,Лпа[/](г)\п, г,ЛЄ С. (8)

п=0

Н(С) Н(С)

тим, что Б0,х[^(г) = /(г + Л),

Докажем следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть задано произвольное а > 0. Пусть целая функция / такова, что для, нее выполняется, следующее равенство:

К[* /(¿0] = Ф(пЖ~ 1и(г)] + zA2[f(z)], Уп Є Z>0. (9)

Тогда, выполняется:

Ма^аЛ! - БаЛМа^ = ЛБа,х ¡, У Л Є С. (10)

Доказательство. Отметим, что оператор (3) удовлетворяет (см,, например, [4]) следующим коммутационным соотношениям:

[М^^лНО, УЛ Є С. (11)

Л Є С

ГО

&,л№)1 = £ с„,Жп)Л:~'[Ж^Л“ + ; 2>,„Л;[/]МЛ”

п=0 п=0

ГО

= Л £ с„_ ,,„АГ ‘[/](-)Л^1 + [/](-) = (Л + г)ЗаМ(г).

(12)

Таким образом,

= ва,хМа^ — (х + Л)Ба,х/,

Ма^а,х/ = Ма^а,х/ - гва,х/.

Из (11) и (12) получаем (10), □

Отметим, что при а = 0 равенство (9) выполняется для любой целой функции f. Таким образом, из теоремы 1 вытекает, в частности, свойство (А) для оператора М0,^. При а > 0 равенство (12) не будет, вообще говоря, выполняться для произвольной целой функции, В следующей теореме устанавливается класс целых функций, для которых (9) выполняется при любом а > 0,

Теорема 2. Пусть f € Н(С) является, четной функцией. Тогда, соотношение (9) вы,-

а > 0

Справедливость теоремы 2 вытекает из следующей леммы.

Лемма 1. Пусть f € Н(С). Тогда, при любом а > 0 и для, всех п € ^>0 выполняется, соотношение

Кх [*/(г))=^(п)Л2 1[/(^)] + гЛ«[/(г)] - а(1 - (-1)™)Ла 1[/(^) - /(-г)].

Прежде чем привести доказательство леммы 1, докажем следующую вспомогательную лемму.

Лемма 2. При любых п,к € Z>0 и а > 0 выполняется:

ф(п + к) = ф(п) + ф(к) - а(1 - (-1)га)(1 - (-1)*+™-1). (13)

а > 0 п

ное число, к — нечетное; тогда п + к — нечетное, ф(п) = п, ф(к) = к + 2а,

ф(п + к) = п + к + 2а = ф(п) + ф(к); 2) п — нечетное, к — четное; тогда п + к — нечетное, ф(п) = п + 2а, ф(к) = к, ф(п + к) = п + к + 2а = ф(п) + ф(к); 3) п — четное, к — четное; тогда п + к — четное, ф(п) = п, ф(к) = к, ф(п + к) = п + к = ф(п) + ф(к); 4) п — нечетное, к — нечетное; тогда п + к — четное, ф(п) = п + 2а, ф(к) = к + 2а, ф(п + к) = п + к = ф(п) + ф(к) - 4а, Таким образом, если хотя бы одно из чисел п и к является четным, то ф(п + к) = ф(п) + ф(к), в противном случае ф(п + к) = ф(п) + ф(к) - 4а. Исходя из этого, получаем следующую формулу:

ф(п + к) = ф(п) + ф(к) - а(1 - (-1)га)(1 - (-1)*). (14)

Покажем, что (14) эквивалетно (13), Действительно,

(1 - (-1Л(1 - (-1)*) = (1 - (-1Л(1 - (-1)* ■ (-1)2") =

= (1 - (-1)га)(1 - (-1)к+га ■ (-1)п) =

= 1 - (-1)к+га ■ (-1)" - (-1)" + (-1)к+п ■ (-1)2га =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

= 1 - (-1)" + (-1)к+га(1 - (-1)") =

= (1 - (-1)га)(1 + (-1)к+га) = (1 - (-1)га)(1 - (-1)к+га-1).

Приведем теперь доказательство леммы 1,

ОО ОО

Доказательство. Пусть /(г) = ^ акгк. Тогда г/(г) = ^ ак-1 гк. Из (6) и (7) получаем:

к=0 к=1

О

Л2['/(г>) = Еак-. =

, &к,а

к=п ’

О

= ^ ак-1гк-пф(к - п + 1)ф(к - п + 2) ■ ■ ■ ф(к) =

к=п

О

= ^ ак+га-1 гкф(к + 1)ф(к + 2) ■ ■ ■ ф(к + п). к=0

Из последнего равенства и (13) получаем:

Л2[г/(')) = Е1 + ф(п)Е2 - а(1 - (-1)га)Ез, (15)

О

где Е1 = £ ак+га-1 ^кф(к)ф(к + 1) ■■■ ф(к + п - 1),

к=1

О

Е2 = ^ ак+га-1-гкф(к + 1)ф(к + 2) ■ ■ ■ ф(к + п - 1), к=0

О

Е3 = ^ ] ак+га-1 %к(1 - (-1)к+га 1)ф( к + 1)ф( к + 2) ■ ■ ■ ф(к + п - 1). к=0

Отметим, что суммирование в Е1 начинается с к = 1 в силу того, что ф(0) = 0. Имеем:

ГО

Е1 = ^акгк-п+1ф(к -п + 1)ф(к -п + 2) ■ ■ ■ ф(к) = гЛ™[/(г)\;

к=п

ГО

Е2 = ^ акгк-п+1ф(к -п + 2)ф(к -п + 3) ••• ф(к) = Л™-1[/(г)]; (16)

к=п-1

ГО

Еэ = ^ ак(1 - (-1)к)гк п+1ф(к -п + 2) •••ф(к) = л™ 1[/(г) - /(-г)].

к=п-1

Из (15) и (16) вытекает утверждение леммы, □

Сформулируем теперь основной результат статьи.

Теорема 3. Пусть заданы произвольные а > 0, Л € С \ {0}. Пусть функция / € Н(С) удовлетворяет следующим условиям: 1) f € кег Ма,^ для, некоторой <р, 2) f — четная, функция, 3) 8а>\! ф 0. Тогда функция 8а>\£ является, собственной функцией оператора, Ма>(р, отвечающей собственному значению Л.

/ выполняется соотношение (10), Из (10), учитывая, что / € кег Ма>1р, получаем:

Ма^а^ = ЛБа^. ’ □

а > 0 Л € С \ {0}

€ Н(С) ( Л) = 0

ция 8а,х/ является, собственной функцией оператора, Ма>1р, отвечающей собственному Л

( Л) = 0

( Л) = 0

ция / удовлетворяет уравнению Sa,\f ф 0, Тогда согласно [7, гл. III, §3] функцию / можно представить в виде:

тк-1

/(*) = Ит ^ ^ Ркз^Е^^кz), (17)

п—— <ГО *

|<Чп .7=0

где {^к} — нули функции Еа(Лг), тк — кратность корня ^к, {дп} — возрастающая после-

к

следует, что ¿'(Л) = 0, что противоречит исходному предположению, □

Приведем несколько примеров функций, удовлетворяющих условиям теоремы 3, Пример 1. Пусть у(г) = г, В этом случае Ма^ = Ла - г1. Тогда функция /(г) = ег /2

Л € С

Пример 2. Пусть у(г) = гэ. В этом случае Ма^ = Л^ - г1. Найдем четное целое решение / уравнения Л^[/](,г) - г/(г) = 0. Так как / — четная функция, то последнее уравнение можно заменить следующим дифференциальным уравнением:

Г(*) + 2а^ - {--/(*) = 0.

Тогда в качестве искомого решения можно взять, например, обобщенную гипергеометри-ческую функцию /(г) = 0^2({}, {2, 4 + ^}, 64)■ Эта функция удовлетворяет условиям 1) и

Л € С ( Л) = 0

3. Замечание о полноте собственных функций

Как уже отмечалось во введении, в случае а = 0 оператор Ma,v обладает свойством полноты собственных функций (свойство (В)), Это свойство было доказано автором в работе [8]. Согласно признаку Годфруа-Шапиро [9, с, 6], из этого свойства вытекает гиперцикличность оператора M0yip. Напомним, что линейный непрерывный оператор Ф на топологическом векторном пространстве X называется гиперциклическим, если существует такой элемент х £ X, что его орб ита {Фпх, п = 0,1, 2,...} плотна в X. Подробное изложение теории гиперциклических операторов можно найти, например, в монографии [9].

Отметим, что аналог свойства (В) имеет место для случая p(z) = zw при а > 0, Действительно, для этого случая свойство (В) означает полноту в Н(C) системы обобщенных сдвигов {S\,aez2/2, А £ Л}, где Л С C — любое множество, содержащее предельную точку. Последнее, как нетрудно видеть, эквивалетно полноте в Н(C) системы {Л™(еz /2), п = 0,1, •••}. Заметим, что Л™(е* /2) = ez /2Pn,a(z), где Рпа — многочлен степени п. Система многочленов Рп,а-, очевидно, полна в Н(C), Следовательно, полна и система {Л;(е ’?/2), п = 0,1, ■ ■ ■ }, Таким образом, согласно признаку Годфруа-Шапиро, оператор Мо^ является гиперциклическим оператором на пространстве Н(C) для случая <p(z) = z, В связи с вышеизложенным, сформулируем следующую открытую проблему: изучить вопрос о полноте собственных функций оператора Ma,v для других функций <р.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Е.Р. Wigner Do the equations of motion determine the quantum mechanical commutation relations? // Phvs. Rev. V. 77. 1950. R 711-712.

2. S.B. Sontz How the ß-deformed Segal-Bargmann space gets two measures // Banach Center Publications. V. 89. 2010. P. 265-274.

3. M. Rosier Dunkl operators: theory and applications // Lect. Notes Math. V. 1817. 2003. P. 93-135.

4. J.J. Betancor, M. Sifi, K. Trimeche Hypercyclic and chaotic convolution operators associated with the Dunkl operators on C // Acta Math. Hungar. V. 106. 2005. P. 101-116.

5. Ким В.Э. Гиперцикличность и хаотичность операторов обобщенной свертки, порождаемых операторами Гельфонда-Леонтьева, // Матем. заметки. Т. 85, N8 6. 2009. С. 849-856.

6. Гельфонд А.О., Леонтьев А.Ф. Об одном, обобщении ряда, Фурье // Матем. сб. Т. 63, N8 3. 1951.

С. 477-500.

7. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент, М.: Наука. 1981. 320 с.

8. V.E. Kim Commutation relations and hypercyclic operators, arXiv:1102.5011.

9. F. Bavart, E. Matheron Dynamics of linear operators, Cambridge University Press. 2009. 337 p.

Виталий Эдуардович Ким,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул.Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: kim@matem. anrb. ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.