Собственные функции операторов уничтожения, ассоциированных с коммутационными соотношениями Вигнера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53+517.98

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ УНИЧТОЖЕНИЯ, АССОЦИИРОВАННЫХ С КОММУТАЦИОННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ ВИГНЕРА

В.Э. КИМ

Аннотация. В работе рассматриваются линейные непрерывные операторы, действующие на пространстве всех целых функций с топологией равномерной сходимости и удовлетворяющие коммутационным соотношениям Вигнера. Эти операторы тесно связаны с обобщенными сверточными операторами Данкла. Изучается задача описания собственных функций этих операторов. Показано, что при определенных условиях, собственные функции исследуемого оператора могут быть описаны с помощью обобщенных сдвигов Данкла целых функций, принадлежащих ядру оператора. Также обсуждаются вопросы полноты систем собственных функций.

Ключевые слова: коммутационные соотношения, оператор Данкла, собственные функции, целые функции.

1. Введение

Как обычно, будем обозначать операторы рождения и уничтожения через а+ и а соответственно. Через I обозначим единичный оператор. Для операторов А, В будем рассматривать коммутатор [А, В] = АВ — ВА и антикоммутатор [А, В]+ = АВ + ВА.

В 1950 году Вигнер [1] показал, что из уравнений движения квантовой механики могут вытекать не только классические коммутационные соотношения Гейзенберга [а,а+] = I, но также и соотношения более общего характера, а именно:

[а, а+] = I + 2аЯ, (1)

где а > 0 - некоторая конетанта, К - некоторый абстрактный оператор, удовлетворяющий условиям: [К,а]+ = 0 [Я,а+]+ = 0 = 1 В~1 = Д. Обозначим через Н(С) простран-

ство всех целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах. Известно (см., например, [2]), что коммутационные соотношения (1) могут быть реализованы на пространстве Н(С) следующим образом:

а+1 (г) = г/(г), а/(г) = Л„/(г) = / ,(г) + ^(г) ^( г)^ / Є Н(С). (2)

Отметим, что оператор Ла известен как оператор Данкла. Подробные сведения об операторах Данкла можно найти, например, в обзоре [3].

V.E. Kim, Eigenfunctions of annihilation operators associated with Wigner’s commutation

RELATIONS.

© Ким В.Э. 2012 .

Работа поддержана РФФИ (гранты 11-01-00572, 11-01-97019).

Поступила Ц июля 2011 г.

(О

Пусть <^(z) = bnzn — произвольная целая функция экспоненциального типа,

п=0

ф const, В работе [4] изучались обощенные операторы свертки следующего вида,:

0

Ма,Ш.г) = £^ШМ, f € Н(C). (3)

n=0

Сверточные операторы Данкла (3) включают в себя обычные операторы свертки па Н(С), соответствующие случаю а = 0, Отметим, что [Ма^, Ла] = 0, Следовательно, коммута-

Н(С)

операторами:

а+/(г) = Лaf (г), а/(г) = Ма^, f Е Н(С),

где

Ма,^1(?) = Ма,(р!(г) - (г). (4)

Н(С)

Для Л € С обозначим через оператор сдвнга на Н(С) /(г) = /(г + А), Отметим, что

а=0

свойствами: (А) если / Е Кег М0,^, / = 0, то функция S\f является собственной функцией оператора М0,^, отвечающей собственному значенню А, т.е. выполняется М0>1р8\/ = \S\f\ УА Е С; (В): если $ Е Кег М0^, / = 0 т0 система сдвигов {¿а/, А Е Л} полна в Н(С), где Л С С - любое множество, содержащее предельную точку,

В связи с этим, вызывает интерес следующий вопрос: сохраняются ли эти свойства в случае а > 0? В работе доказывается, что при некоторых дополнительных ограничениях, аналог свойства (А) а>0

могут быть описаны как обобщенные сдвиги Данкла целых функций из ядра оператора

(4)-‘

2. Системы обобщенных сдвигов

ГО

Известно (см,, например, [4]), что имеется единственная целая функция Еа(г) = ^ сп,а¿п

п=0

удовлетворяющая условиям;

ЛаЕа = Ea, Еа(0) = 1. (5)

Условимся обозначать через Z+ множество всех целых положительных чисел, а через Z>0 — множество всех целых неотрицательных чисел. Из (2) видно, что Ла[гга] = ■ф(п)гп-1, где 'ф(п) = п + а(1 — (-1)™) У г Е С, п Е Ъ>0. Отметим, что выполняются (см,, например,

[5]) следующие соотношения:

ф(0) = 0; 'ф(п) = Сп 1,а, п Е Z+■ (6)

Сп,а

го

Таким образом, оператор (2) действует на целую функцию /(г) = ^ апгп следующим

п=0

образом:

ГО

Ло[/]М = Е ап ^ ¿'-1 ■ (7)

л &п,а

п= 1 ’

Из (7) видно, что оператор (2) является частным случаем оператора обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева [6].

Из (5) и (6) вытекает, что коэффициенты ряда Тейлора функции Еа (г) имеют следующий вид;

1

Ф(1Ж2) ••• Ф(п)'

С помощью оператора (2) введем па Н(С) оператор обобщенного сдвига

ГО

ЗаАП(г) = ^сп,Лпа[/](г)\п, г,ЛЄ С. (8)

п=0

Н(С) Н(С)

тим, что Б0,х[^(г) = /(г + Л),

Докажем следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть задано произвольное а > 0. Пусть целая функция / такова, что для, нее выполняется, следующее равенство:

К[* /(¿0] = Ф(пЖ~ 1и(г)] + zA2[f(z)], Уп Є Z>0. (9)

Тогда, выполняется:

Ма^аЛ! - БаЛМа^ = ЛБа,х ¡, У Л Є С. (10)

Доказательство. Отметим, что оператор (3) удовлетворяет (см,, например, [4]) следующим коммутационным соотношениям:

[М^^лНО, УЛ Є С. (11)

Л Є С

ГО

&,л№)1 = £ с„,Жп)Л:~'[Ж^Л“ + ; 2>,„Л;[/]МЛ”

п=0 п=0

ГО

= Л £ с„_ ,,„АГ ‘[/](-)Л^1 + [/](-) = (Л + г)ЗаМ(г).

(12)

Таким образом,

= ва,хМа^ — (х + Л)Ба,х/,

Ма^а,х/ = Ма^а,х/ - гва,х/.

Из (11) и (12) получаем (10), □

Отметим, что при а = 0 равенство (9) выполняется для любой целой функции f. Таким образом, из теоремы 1 вытекает, в частности, свойство (А) для оператора М0,^. При а > 0 равенство (12) не будет, вообще говоря, выполняться для произвольной целой функции, В следующей теореме устанавливается класс целых функций, для которых (9) выполняется при любом а > 0,

Теорема 2. Пусть f € Н(С) является, четной функцией. Тогда, соотношение (9) вы,-

а > 0

Справедливость теоремы 2 вытекает из следующей леммы.

Лемма 1. Пусть f € Н(С). Тогда, при любом а > 0 и для, всех п € ^>0 выполняется, соотношение

Кх [*/(г))=^(п)Л2 1[/(^)] + гЛ«[/(г)] - а(1 - (-1)™)Ла 1[/(^) - /(-г)].

Прежде чем привести доказательство леммы 1, докажем следующую вспомогательную лемму.

Лемма 2. При любых п,к € Z>0 и а > 0 выполняется:

ф(п + к) = ф(п) + ф(к) - а(1 - (-1)га)(1 - (-1)*+™-1). (13)

а > 0 п

ное число, к — нечетное; тогда п + к — нечетное, ф(п) = п, ф(к) = к + 2а,

ф(п + к) = п + к + 2а = ф(п) + ф(к); 2) п — нечетное, к — четное; тогда п + к — нечетное, ф(п) = п + 2а, ф(к) = к, ф(п + к) = п + к + 2а = ф(п) + ф(к); 3) п — четное, к — четное; тогда п + к — четное, ф(п) = п, ф(к) = к, ф(п + к) = п + к = ф(п) + ф(к); 4) п — нечетное, к — нечетное; тогда п + к — четное, ф(п) = п + 2а, ф(к) = к + 2а, ф(п + к) = п + к = ф(п) + ф(к) - 4а, Таким образом, если хотя бы одно из чисел п и к является четным, то ф(п + к) = ф(п) + ф(к), в противном случае ф(п + к) = ф(п) + ф(к) - 4а. Исходя из этого, получаем следующую формулу:

ф(п + к) = ф(п) + ф(к) - а(1 - (-1)га)(1 - (-1)*). (14)

Покажем, что (14) эквивалетно (13), Действительно,

(1 - (-1Л(1 - (-1)*) = (1 - (-1Л(1 - (-1)* ■ (-1)2") =

= (1 - (-1)га)(1 - (-1)к+га ■ (-1)п) =

= 1 - (-1)к+га ■ (-1)" - (-1)" + (-1)к+п ■ (-1)2га =

= 1 - (-1)" + (-1)к+га(1 - (-1)") =

= (1 - (-1)га)(1 + (-1)к+га) = (1 - (-1)га)(1 - (-1)к+га-1).

□

Приведем теперь доказательство леммы 1,

ОО ОО

Доказательство. Пусть /(г) = ^ акгк. Тогда г/(г) = ^ ак-1 гк. Из (6) и (7) получаем:

к=0 к=1

О

Л2['/(г>) = Еак-. =

, &к,а

к=п ’

О

= ^ ак-1гк-пф(к - п + 1)ф(к - п + 2) ■ ■ ■ ф(к) =

к=п

О

= ^ ак+га-1 гкф(к + 1)ф(к + 2) ■ ■ ■ ф(к + п). к=0

Из последнего равенства и (13) получаем:

Л2[г/(')) = Е1 + ф(п)Е2 - а(1 - (-1)га)Ез, (15)

О

где Е1 = £ ак+га-1 ^кф(к)ф(к + 1) ■■■ ф(к + п - 1),

к=1

О

Е2 = ^ ак+га-1-гкф(к + 1)ф(к + 2) ■ ■ ■ ф(к + п - 1), к=0

О

Е3 = ^ ] ак+га-1 %к(1 - (-1)к+га 1)ф( к + 1)ф( к + 2) ■ ■ ■ ф(к + п - 1). к=0

Отметим, что суммирование в Е1 начинается с к = 1 в силу того, что ф(0) = 0. Имеем:

ГО

Е1 = ^акгк-п+1ф(к -п + 1)ф(к -п + 2) ■ ■ ■ ф(к) = гЛ™[/(г)\;

к=п

ГО

Е2 = ^ акгк-п+1ф(к -п + 2)ф(к -п + 3) ••• ф(к) = Л™-1[/(г)]; (16)

к=п-1

ГО

Еэ = ^ ак(1 - (-1)к)гк п+1ф(к -п + 2) •••ф(к) = л™ 1[/(г) - /(-г)].

к=п-1

Из (15) и (16) вытекает утверждение леммы, □

Сформулируем теперь основной результат статьи.

Теорема 3. Пусть заданы произвольные а > 0, Л € С \ {0}. Пусть функция / € Н(С) удовлетворяет следующим условиям: 1) f € кег Ма,^ для, некоторой <р, 2) f — четная, функция, 3) 8а>\! ф 0. Тогда функция 8а>\£ является, собственной функцией оператора, Ма>(р, отвечающей собственному значению Л.

/ выполняется соотношение (10), Из (10), учитывая, что / € кег Ма>1р, получаем:

Ма^а^ = ЛБа^. ’ □

а > 0 Л € С \ {0}

€ Н(С) ( Л) = 0

ция 8а,х/ является, собственной функцией оператора, Ма>1р, отвечающей собственному Л

( Л) = 0

( Л) = 0

ция / удовлетворяет уравнению Sa,\f ф 0, Тогда согласно [7, гл. III, §3] функцию / можно представить в виде:

тк-1

/(*) = Ит ^ ^ Ркз^Е^^кz), (17)

п—— <ГО *

|<Чп .7=0

где {^к} — нули функции Еа(Лг), тк — кратность корня ^к, {дп} — возрастающая после-

к

следует, что ¿'(Л) = 0, что противоречит исходному предположению, □

Приведем несколько примеров функций, удовлетворяющих условиям теоремы 3, Пример 1. Пусть у(г) = г, В этом случае Ма^ = Ла - г1. Тогда функция /(г) = ег /2

Л € С

Пример 2. Пусть у(г) = гэ. В этом случае Ма^ = Л^ - г1. Найдем четное целое решение / уравнения Л^[/](,г) - г/(г) = 0. Так как / — четная функция, то последнее уравнение можно заменить следующим дифференциальным уравнением:

Г(*) + 2а^ - {--/(*) = 0.

Тогда в качестве искомого решения можно взять, например, обобщенную гипергеометри-ческую функцию /(г) = 0^2({}, {2, 4 + ^}, 64)■ Эта функция удовлетворяет условиям 1) и

Л € С ( Л) = 0

3. Замечание о полноте собственных функций

Как уже отмечалось во введении, в случае а = 0 оператор Ma,v обладает свойством полноты собственных функций (свойство (В)), Это свойство было доказано автором в работе [8]. Согласно признаку Годфруа-Шапиро [9, с, 6], из этого свойства вытекает гиперцикличность оператора M0yip. Напомним, что линейный непрерывный оператор Ф на топологическом векторном пространстве X называется гиперциклическим, если существует такой элемент х £ X, что его орб ита {Фпх, п = 0,1, 2,...} плотна в X. Подробное изложение теории гиперциклических операторов можно найти, например, в монографии [9].

Отметим, что аналог свойства (В) имеет место для случая p(z) = zw при а > 0, Действительно, для этого случая свойство (В) означает полноту в Н(C) системы обобщенных сдвигов {S\,aez2/2, А £ Л}, где Л С C — любое множество, содержащее предельную точку. Последнее, как нетрудно видеть, эквивалетно полноте в Н(C) системы {Л™(еz /2), п = 0,1, •••}. Заметим, что Л™(е* /2) = ez /2Pn,a(z), где Рпа — многочлен степени п. Система многочленов Рп,а-, очевидно, полна в Н(C), Следовательно, полна и система {Л;(е ’?/2), п = 0,1, ■ ■ ■ }, Таким образом, согласно признаку Годфруа-Шапиро, оператор Мо^ является гиперциклическим оператором на пространстве Н(C) для случая <p(z) = z, В связи с вышеизложенным, сформулируем следующую открытую проблему: изучить вопрос о полноте собственных функций оператора Ma,v для других функций <р.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Е.Р. Wigner Do the equations of motion determine the quantum mechanical commutation relations? // Phvs. Rev. V. 77. 1950. R 711-712.

2. S.B. Sontz How the ß-deformed Segal-Bargmann space gets two measures // Banach Center Publications. V. 89. 2010. P. 265-274.

3. M. Rosier Dunkl operators: theory and applications // Lect. Notes Math. V. 1817. 2003. P. 93-135.

4. J.J. Betancor, M. Sifi, K. Trimeche Hypercyclic and chaotic convolution operators associated with the Dunkl operators on C // Acta Math. Hungar. V. 106. 2005. P. 101-116.

5. Ким В.Э. Гиперцикличность и хаотичность операторов обобщенной свертки, порождаемых операторами Гельфонда-Леонтьева, // Матем. заметки. Т. 85, N8 6. 2009. С. 849-856.

6. Гельфонд А.О., Леонтьев А.Ф. Об одном, обобщении ряда, Фурье // Матем. сб. Т. 63, N8 3. 1951.

С. 477-500.

7. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент, М.: Наука. 1981. 320 с.

8. V.E. Kim Commutation relations and hypercyclic operators, arXiv:1102.5011.

9. F. Bavart, E. Matheron Dynamics of linear operators, Cambridge University Press. 2009. 337 p.

Виталий Эдуардович Ким,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул.Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: kim@matem. anrb. ru