CC BY
32
УДК 517.928
К.А. Алымкулов
д-р физ.-мат. наук, профессор, Ошский государственный университет,
г. Ош, Киргизия А.А. Халматов
канд. физ.-мат. наук, Кыргызско-Узбекский университет,
г. Ош, Киргизия
К.Ж. Белеков
канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, Институт теоретической и прикладной математики Национальной академии наук Кыргызской Республики,
г. Бишкек, Киргизия
ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ПОГРАНФУНКЦИЙ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАЙТХИЛЛА ПЕРВОГО ПОРЯДКА, В СЛУЧАЕ, КОГДА РЕШЕНИЕ СООТВЕТСТВУЮЩЕГО НЕВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ИМЕЕТ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ РОСТ В РЕГУЛЯРНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКЕ
Аннотация. Здесь обобщенным методом погранфункций построены асимптотические разложения решения сингулярно возмущенного уравнения Лайтхилла, когда соответствующее невозмущенное уравнение имеет логарифмический рост в регулярной особой точке.
Ключевые слова: асимптотический ряд Пуанкаре, сингулярное возмущенное уравнение, регулярная особая точка, метод погранфункций, метод структурного сращивания, метод индукции.
K.A. Alymkulov, Osh State University, Osh, Kyrgyzstan
A.A. Khalmatov, Kyrgyz-Uzbek University, Osh, Kyrgyzstan
K.J. Belekov, Institute of Theoretical and Applied Mathematics National Academy of Sciences of the Kyrgyz Republic, Bishkek, Kyrgyzstan
THE GENERALIZED METHOD OF BOUNDARY LAYER FUNCTIONS FOR A SINGULARLY PERTURBED
LIGHTHILL'S EQUATION OF THE FIRST ORDER, WHEN THE CORRESPONDING UNPERTURBED
EQUATION HAS A LOGARITHMIC INCREASE IN REGULAR SINGULAR POINT
Abstract. Here by the generalized method of boundary layer function were built the asymptotical expansions of the solution of a singularly perturbed Lighthill's equation, when the corresponding unperturbed equation has a logarithmic increase in regular singular point.
Keywords: asymptotic series of Poincare, regular singular point, singularly perturbed equation, method of boundary layer functions, method of structural matching, method of induction.
1. Введение.
Рассмотрим задачу
где 0 <е- малый параметр, 0 < х < 1 - независимая переменная, а - известная постоянная, О(х),г(х) е С®[0,1], и(х)- искомая функция.
Задача (1) впервые поставлена в [1] Лайтхиллом, где он предложил новый метод для построения асимптотики решения этой задачи, в последствии названный методом Лайтхилла. Данный метод предлагает построить параметрическое представление решение этой задачи. Этот метод исследован многими авторами, такими как Вазов В., Б1Ьиуа У., Такахаси К.Ж., Comstok С, Притуло М.Ф., Алымкулов К. и др. Обзор работ можно найти в [2-4]. Явное решение этой задачи построены методом структурного сращивания в [5] и обобщенным методом погранфункций в [6-8], в случае 0 < О(0).
Здесь обобщенным методом погранфункций строится явная асимптотика решения за-
(1)
дачи (1) в случае О(х) = хд(х), д(0) ф 0 .
Пусть выполнено следующее условие ^ О (х), г (х)е С(¥ [0,1], г0 = г (0) ф 0. Главная
асимптотика решения невозмущенной задачи (1)
/
^0 (х) := «0 (х) + д(х)«0 (х) = хлг(х), и(1) = а, (2)
запишется в виде
«0 (х)=- Г0 1п х, х ® 0, и0 (х) - Г0хЛ (3)
2. Классический метод малого параметра. Построение внешнего решения Определение 1. Решение задачи (1), зависящее от переменных х, называется внешним решением, а переменная х внешней переменной.
Выясним структуру внешнего решения задачи (1) при х ® 0. Его ищем в виде
и ( х )= «0 ( х ) + еи1 ( х ) + еЧ ( х) + ... + еЧ ( х )+ ... (4)
Уравнение для определения и1(х) можно записать в виде
£и1 (х) = и0 (х) и'0 (х) х_1 - г02х-2 1п х, х ® 0.
Отсюда,получим
и1 (х) - г02х_11пх, х ® 0, и\(х) —г02х~21пх, х ® 0. Уравнение для определения и2(х) можно записать в виде
1и2 (х) = -х~1 (и0 (х) и (х) + и'0 (х) и1 (х)) - г03х~3 1п2 х - г03х-3 1п х - г03х-3 1п2 х, х ® 0. Отсюда, получим
1
и2 (х) - — г03х~2 1п2 х, х ® 0, и2 (х) - -г03х-3 1п2 х, х ® 0. Аналогично, методом математической индукции получим
(-1)"
ип (х) - г0"+1х " 1п" х, х ® 0,
и'п+1 (х) - (-1) ' г0"+1х-"-1 1п" х, х ® 0. Таким образом, главная асимптотика внешнего решения имеет вид
/ \ , -1 2 х-' .-,3 ( £1П х-1
и (х) - -г,1п х 1 + г02 х +(-1) г0 I г0—^—
(5п) (5п+1)
£1п х 1Л"
+... + (-1) г0 I г0 -I + ..., х ® 0.
1 х ^ . (6) Из этого выражения видно, что внешнее решение является асимптотическим рядом на отрезке (х0,1] , где х0 = х0 (е) решение уравнения
ае 1пх01 = х0, а = -г0, г0 <0. (7)
Асимптотику решения алгебраического уравнения (7) можно записать в виде
1
х0 - ае 1п—, (е® 0). (8)
ае
Таким образом, нами формально была доказана следующая
Теорема 1. Пусть выполнено условие: д(х), г(х)е С(¥)[0,1], г0 = г(0) ф 0. Тогда решение задачи (1) представимо в виде асимптотического ряда (4), на отрезке (х0,1]. Полное доказательство можно привести методом мажорант.
2
+
3. Обобщенный метод погранфункций.
Чтобы получить равномерную асимптотику задачи (1) на всем отрезке [0,1] применим идею метода погранфункций [14] и решение ищем в виде
u (х) = х01р_1 ^) + р, ^) + Uo (х) + (р ^) + ^ (х)) Х0 + (р ^) + U2 (х)) х, +
+... + (р (t) + ^ (х))хП +..., (9)
1 1 1
х0 = !п — ае, х0 ~ ае!п —-, 0 < е < х0 < ¡т, —^ = Ш, х = щЛ, а = -г0 > 0, (10)
где
ае
!п
ае
uj (х) е Сн [0,1].
Начальные условия для р ^)(к = -1,0,1,2,...) и us (х) берем в виде
Р-1 (т-1 ) = -х0^-1а, р (т- ) = 0, Uo (1) = Ь - г,, Us+1 (1) = 0, ^ = 0,1,2,...) (11)
Подставляя (9) в (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях т , имеем
^+р-1 (^)р-1 (t)+Xotq(т?)р-1 (t) = гл, р-1 (Ш) = ах,т -, (12.-1)
Мр ^) := ^ + Р-1 (t))р ^) + р-1 (t)р (t) + Ш(т)р (t) = Го, р (Ш) = 0, (12.0)
^о (х) := х^о (х) + хq(х)ц, (х) = (г (х)- г,)х,, Uo (1) = Ь, (13.0)
Мр ^) :=-р (tР0 ^)-XoUo (оК (0), р (Ш ) = о, (12.1)
(х) =-^0 (х)^ (х) + XoUo (0)Щ (0), U1 (0) = о, (13.1)
Мр (t) :=- x Р (0р (t), р (Ш ) = 0, (12 т)
I+j=т+1 I, j >0
^т (х) :=-х, x Ч, (х) ^ (х) + х, x ul (0) u; (0), Um (0) = о, (13 т)
I+j=т+1 I + j=т+1
I, >0 l,j >0
Сначала докажем существования решения задачи (12.-1). Решение этой задачи представляется в виде
ds
р.
(t ) = х,а— + х,а| 1X (t) X-1 ^)
:= Т (р-1), (14)
s + р-1 (s)
где XИр..) = ехр1 Г dД, а = -г0 >0.
I ' г + Р-1 М I
Пусть ||Х(t)|| = supr ]IX(0) . Если \qШ)| < /,тогда ||Х(t)||,1IX"1 и)||< /1, (11 = ехр^т1/]).
" " |о,ш1' ' ' ' ............II V
Рассмотрим множество функций Б удовлетворяющих оценке
2
ШГо /1 < р-1 (t) <ШЫ /1 + х,/о Го /12!п—. ................Ш
(15)
Очевидно, что оператор Т отображает 5 в себя. Докажем, что Т является сжимающимся в нем. Действительно, имеем
гx(t,Р))X-1 (р x(t,p-1))X-1 (р?)"
■[р-1) ] - Т [р-1) ]
< хо го
i,
s + р-1) (s)
s + р-1)(s)
ds
0
X (t,p-?) х-1 (tp«)
s + p-1)(s) s + p-^(s) I s + p-?(s)
F[p-1] - F[p-1]■
ds
(2.1.18.)
< Xo kcl /12
j,
f 1 (1) s -p(2)'-^ ^
P
■1)(s)-p-i (s)
ds
j
f L(1)
(s + p-?(s ))(s + p-1)(s )) Чтобы оценить вторую сумму мы рассмотрим функционал
F (p-1 ) = expfj ;toPt dr\ .
p-ï (s )-p-1 (s ) s + p-1)(s )
ds
■t + p_1 (r)
Производная Фреше этого функционала есть
f p )=- х (t ) j '-Xotqi^L dt.
(r + p-1 (r))
Оценивая ее в множестве S имеем
F'(P-1 )|< X j sT-^J-T
(r+P-1 (r)
(
dr < I
r + P-1 (r)
= I
<
Ixn
s s + p-1 (s) s + |r0| I1m
< 1.
Поэтому. применяя теорему о среднем при малом е для функционала Р, получим последнюю оценку
7 Г
[P-? ] - Т [p-1) ]
к2 j "
< p-1)-p-1^ x
ds
(s + p-1)( s ))(s + p-1)( s ))
ij,
ds
s + p-2)(s )
^ Il (1) (2)11 < X p-1 - p-1
(16)
Поэтому в силу (16) уравнение (14) имеет единственное решение в множестве 5 и имеет место оценка (15).
Чтобы решить задачи (12.к), (13.к) нужны следующие леммы. Лемма 1.
Фундаментальное решение однородного уравнения ( ф( х-1) = 1):
Мр0 (/) = 0,
имеет вид
h(t ) = F(t ),
где
t + p-1 (t )
F(t ) = exp U xol-XpiM ds Ь
(17)
(18)
Ji s + p-1 (s )
причем ||F(t)|| < I.
Доказательство. Имеем
h(t ) = exp i+J^ ( Xos ) + p-1(s )
ds[ = exP i+f
1 + p\(s )
-dsf exp J-^
1 - Xosq ( Xos )
Ji s + p-1 (s) J [ }t s + p-1 (s) J [ }t s + p-1 (s) Ограниченность нормы F(t ) следует из того, что
ds
j,
ds
o, j,
o Xoslq (Xos)| ds
' s + p-1 (s) ' Ji s + p-1 (s)
< XoI j,
sds
1 s + a x„
< I.
1
1
m
j
= Xo 'o
m
m
1
X
o
2
m
x
X
X
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Задача
K X(x) := xX(x) + xq(x)X = f (x)-f (0), X(1) = 0. (19)
где f (x) e C(¥) [0,1] имеет единственное решение из класса C(¥) [0,1].
Доказательство очевидно. (19) имеет решение £( x ) = fxP (x) P'(s )(f (s)-f (0)) s _1ds.
Лемма 3. Неоднородная задача
MZ(t) = g (t), z(x01 ) = 0, (20)
где g(t) - ограниченная непрерывная функция на отрезке [0,x01 ] , имеет единственное ограниченное решение.
Доказательство. Решение задачи (20) в силу леммы 1 представляется в виде
z(t) =-^ f\Ф(tW(s)g(s)ds =--fx-1 expif'1-q(x>T)x0 dtlg(s)ds.
t + p-1 (t) J'-1 1 ' к ' t + p-1 (t) Jt s т + р-1 (t) \ K'
Отсюда, оценивая это выражение, имеем:
Z(t )|<—< i. t+p-1 (t)
Из лемм 1 и 3 получим, что все функции pk (t), (k = 0,1,...) имеют единственные ограниченные решения. А из леммы 2 следует, что все функции имеют единственные ограниченные решения из C(¥ [0,1].
Далее применяя лемму 3, получим следующую теорему.
Теорема 2. Пусть выполнено условие У r0 < 0 . Тогда решение задачи (1) представимо в виде асимптотического ряда (9), т.е.
u (x) = ¡лР-1 (t) + p (t) + u (x) + (p (t) + ц (x ))m + (p (t)+"2 (x ))m2 + +...+(pn (t) + un (x ))mn + Rn+1 (x,m)mn+1, где \Rn (x,m)|< l,"x e [0,1].
Список литературы:
1. Lighthill M.J. A technique for rendering approximate solution to physical problems uniformly valid // Phil. Magazine. 1949. No. 40. P. 1179-1201.
2. Comstok C. The Poincare-Lighthill perturbation technique and its generalizations // SIAM-Review. 1972. V.14, No 3. P. 433-443.
3. Алымкулов К. Метод униформизации и обоснование метода Лайтхилла // Изв. АН Киргиз. ССР. 1981. № 1. С. 35-38.
4. Алымкулов К. Возмущенные дифференциальные уравнения с особыми точками и некоторые проблемы бифуркационных задач. Бишкек: Илим, 1992. 138 с.
5. Алымкулов К., Жээнтаева Ж.К. Метод структурного сращивания решения модельного уравнения Лайтхилла с регулярной особой точкой // Мат. заметки. М., 2006. Т. 79, вып.5. С. 643-652.
6. Alymkulov К., Khalmatov A.A. A boundary function method for solving the model Lighthill equation with a regular singular point // Math. Notes. 2012. Vol. 92, No. 6. P. 117-121.
7. Alymkulov K., Matanova K.B., Khalmatov A.A. About new statement and about new method of Cauchy problem for singular perturbed differential equation of the type of Lighthill // International Journal of Scientific and Innovative Mathematical Research (IJSIMR). 2015. V. 3, Issue X. P. 54-64.
