Асимптотика решения бисингулярной задачи Коула со слабой особенностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517.928

К.А. Алымкулов

д-р физ.-мат. наук, профессор, директор Института фундаментальных и прикладных исследований при ОшГУ, Ошский государственный университет,

г. Ош, Киргизия

Б.А. Азимов

директор учебного центра «Адис», Ошский государственный университет,

г. Ош, Киргизия

Д.А. Турсунов

д-р физ.-мат. наук, доцент, профессор, кафедра алгебры и геометрии, Ошский государственный университет,

г. Ош, Киргизия

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ БИСИНГУЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ КОУЛА СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ

Аннотация. Обобщенным методом погранфункций построена равномерная асимптотика решения краевой задачи для модельного уравнения Коула. С помощью принципа максимума получена оценка для остаточного члена.

Ключевые слова: бисингулярно возмущенная задача, слабая особая точка, асимптотика, обобщенный метод погранфункций, принцип максимума.

K.A. Alymkulov, Osh State University, Osh, Kyrgyzstan

B.A. Azimov, Osh State University,Osh, Kyrgyzstan

D.A. Tursunov, Osh State University, Osh, Kyrgyzstan

ASYMPTOTIC OF SOLUTION OF THE BISINGULARLY PROBLEM OF COLE WITH A WEAK

SINGULARITY

Abstract. By the generalized method of boundary functions is constructed the uniform asymptotic solution of the boundary value problem for the model equation of Cole. By using the maximum principle was obtain at the estimates of the remainder term.

Keywords: bisingular perturbation problem, weak singularity point, asymptotic, generalized method boundary functions, the maximum principle.

1. Постановка задачи. Рассматривается краевая задача:

ey"(х) + 4xy'(x) - y(x) = 0,0 < x < 1, (1)

y(0)=a, y(1)=b, (2)

где 0<e - малый параметр, a, b - const, у(х) - искомая функция.

Задача (1)-(2) является бисингулярной, так как малый параметр присутствует при старшей производной и для соответствующего невозмущенного уравнения (e=0)

Vxy0 (х) - y0(х) = 0 ,

точка х=0 является слабой особой точкой.

В работах [1, c. 37], [2, c. 41] и [3, c. 65] асимптотическое разложение решения задачи (1)-(2), при y(0)=0 строится методом сращивания C. Каплуна (S. Kaplun) [4] с точностью до О(е), но без обоснования остаточного члена. В работе [5] методом структурного сращивания построена асимптотика решения более общей задачи, однако в ней оценка остаточного члена менее точная.

Здесь равномерная асимптотика решения задачи (1)-(2) до порядка е строится обобщенным методом погранфункций (ОМП) [6-8], а также дана оценка остаточного члена принципом максимума.

2. Асимптотическое разложение решения обобщенным методом погранфункций

Решение задачи (1)-(2) ищется в виде

У(х) = Уо (х) + р (?) + ¡тл (?) + (?) + тЧ (?) + Ях, е), (3)

где ?=х/(2, е=(3, Я(х,е) - остаточная функция, щ? - функции типа погранфункции, которые убывают «степенным» образом при ¡й .

Граничные условия для «неизвестных» функций берем в виде

Уо (1) = Ь, р (¡й) = Я(1, е) = 0, Ро (0) = а - Уо (0), р (0) = р (0) = р (0) = Я(0, е) = 0. Подставляя соотношение (3) в уравнение (1), получаем:

л

-(<(?) + Лр (?)) + (<(?) + >£<(?) - Р(?)) + ^УО(х) - У0(х) +

+й (< (?) + 4~Р2 (?) - р (?)) + м2 (РОС) + %/Р3 (?) - р С)) - ¡¡Рз (?) + (4)

+еу0( х) + еЯ"(х,е) + 4хЯ'(х,е) - Я( х,е) -еК( х) + ¡М К(? ¡¡2) = 0. Здесь по идее метода ОМП мы ввели пока неизвестную функцию К(х), которая конкретизируется ниже.

Из равенства (4) для функций рк(?), у0(х) и Я(х,£) получим задачи:

К °<(?) + ^р(?) = 0, 0<?< ¡й , р,(0) = а - У0(0), р(р) = 0, ¡й = 1/(, (5) ^УО (х) - У0 (х) = 0, 0 < х < 1, У0 (1) = Ь , (6)

Р (?) = р(?) + К = , 0< ?< (, р (0) = 0, р (() = 0, (7)

Р2 (?) = р (?), 0<?< й , р2 (0) = 0, р2 (¡й) = 0, (8)

2К

р(?) = р(?)-, 0<?< й , р(0) = 0, р(¡й) = 0 , (9)

еЯ"(х,е) + 4хЯ'(х,е) -Я(х,е) = (3р(?) + е(К(х) -У0"(х)), Я(0,£)=0, Я(1,£)=0. (10) Решение задачи (6) имеет вид:

/ ч и 2(-Тх 1) и 2 (л п Г (2^х)2 (2Тх)3 (2^)4 (2у[х)" л У0(х) = Ьв2Ых-1) = Ье~2 1 + 2Ях + к ' +ч ' +к ' +...+ ч ' +... 0 2! 3! 4! п!

V

Неизвестную функцию К(х) выберем так, чтобы

У00(х) - К(х) е С[0,1].

Если К( х) = -Ье

11 ( Л ,,2Л

, то это условие выполняется и ( К(?( ) = -Ье

й

ч*/7 ГхУ 1------------------- -----V2#" V?

Решение задачи (5) имеет вид:

р (?) = (а - Ье-2 ) А ^ в 3 Св, А = I ^ е 3 с/в Заметим, что я0(?) экспоненциально убывает при ?® ¡й .

Теперь обратимся к решению задачи (7)-(10). Очевидно, что уравнение Lz(?) = 0 имеет два

_ р ¡й -—sг'2 -2в~ -

линейно независимых решения: У (?) = 1 - X (?), X (?) = А ] е 3 Св, А^ е 3 Св = 1. Поэтому общее решение уравнения Lz(?) = 0 имеет вид: z(?) = с1У(?) + с2Х(?), где с1,с2 - произвольные постоянные.

2

Отсюда вытекают следующие леммы.

Лемма 1. Краевая задача Lz(t) = 0 , z(0) = z(J^) = 0 имеет только нулевое решение. Лемма 2. Задача

Lz(t) = f^), 0<< т , z(0) = 0, z{^X) = 0, (11)

имеет единственное решение, и оно представимо в виде

2 3/

г т1 — s%

z(t) = |о G(t, s)e3 УЧ (s^, (12)

где f(t) е С[0,р\, а G(f,s) функция Грина задачи (11):

Г-У(t)X(s), 0 < t < s,

G(t,s) = ■

[-Y(s)X(t), s < t <Д

Нетрудно проверить, что функция (12) удовлетворяет уравнению (11). А из леммы 2 следуют асимптотические оценки для решений задач (7), (8), (9):

p(t) = О^Jj, p(t) = О[^),Рз(0 = О(1), t ® +¥.

Таким образом, мы доказали ограниченность функций pk(f) на отрезке (0, р. ].

Теперь перейдем к оценке остаточного члена R(x,e) из (10). Применяя принцип максимума [9, c. 116] для (10), получаем:

R(x,e)| < ecmaxp3(t) + h(x) - y'0(x)\, 0< с - const.

0<t < fi

Отсюда следует, что R(x,£) =О(е), e®0, xe[0,1].

Оценку для R(x,e) можно получить, также переходя из (12) в интегральное уравнение Фредгольма, используя функции Грина, но это будет более трудоемкая работа.

Доказана Теорема.

Для решения задачи (1), (2) справедливо асимптотическое разложение y(х) = y0 (х) + p (t) + mp(t) + m2p*2(t) + m3Рз(t) + O(e), e®0.

Заключение. Отсюда видно, что метод ОМП является менее трудоемким и дает возможность точно оценить остаток асимптотического ряда.

Список литературы:

1. Коул Дж. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1972.

2. Kevorkian J., Cole J.D. Perturbation methods in Applied mathematics. Springer, 1980.

3. Kevorkian J., Cole J.D. Multiscale and singular perturbation methods. Springer, 1996.

4. Kaplun S. Fluid mechanics and singular perturbations. New York: Academic Press, 1967.

5. Зулпукаров А.З. Метод структурного сращивания для решения краевых задач сингулярно возмущенных уравнений второго порядка. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Ош, 2009.

6. Алымкулов К.А., Асылбеков Т.Д., Долбеева С.Ф. Обобщение метода погранфункций для решения краевой задачи для бисингулярно-возмущенного дифференциального уравнения второго порядка // Математические заметки. М., 2013. Т. 94, вып. 4. С. 484-487.

7. Alymkulov K.A. Analog of Method of Boundary Layer Function for the Solution of the Lighthill's Model Equation with the regular Singular Point // American J.Math. & Statistics. 2013. Vol. 3. No 1. P.53-61.

8. Alymkulov КА, Khalmatov A.A. A boundary function method for solving the model Lighthill equation with a regular singular point // Math. Notes. 2012. Vol. 92, No 6. P. 117-121.

9. Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 248 с.