CC BY
33
УДК 519.6:517.955.8
К.А. Алымкулов
д-р физ.-мат. наук, профессор, директор Института фундаментальных и прикладных исследований при ОшГУ, Ошский государственный университет,
г. Ош, Киргизия
Д.А. Турсунов
д-р физ.-мат. наук, доцент, профессор, кафедра алгебры и геометрии, Ошский государственный университет,
г. Ош, Киргизия К. Г. Кожобеков канд. физ.-мат. наук, доцент, проректор по учебной работе, Ошский государственный университет,
г. Ош, Киргизия
ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ПОГРАНИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ БИСИНГУЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ
Аннотация. Обобщенным методом пограничных функций строится равномерное асимптотическое разложение решения бисингулярной задачи на бесконечной прямой для параболического уравнения. Построенное асимптотическое разложение обосновано с помощью принципа максимума.
Ключевые слова: асимптотическое разложение, параболическое уравнение, бисингулярная задача, задача на бесконечной прямой, пограничная функция, малый параметр.
K.A. Alymkulov, Osh State University, Osh, Kyrgyzstan
D.A. Tursunov, Osh State University, Osh, Kyrgyzstan
K.G. Kojobekov, Osh State University, Osh, Kyrgyzstan
GENERALIZED METHOD OF BOUNDARY FUNCTION FOR А BISINGULARLY PROBLEM ON INFINITY LINE
Abstract. By the generalized method of boundary function is constructed the uniform asymptotic expansion of the solution of a bisingularly problem on infinity line for the equation of parabolic type. The uniform asymptotic expansion is justified by the maximum principle.
Keywords: asymptotic expansion, equation of parabolic type, bisingular problem, problem on infinity line, boundary function, small parameter.
Введение. Различные задачи для параболических уравнений с малым параметром при старших производных исследовались многими авторами, и библиографию по этому вопросу можно найти в [1-4]. Последнее время стали изучать так называемые бисингулярные задачи, в которых малый параметр находится в уравнении при старших производных, а другая - «вырожденная» задача, сама обладает сингулярностью [4]. В данной работе обобщенным методом пограничных функций [5-9] строится асимптотическое разложение решения одной бисингуляр-ной задачи параболического типа.
Постановка задачи. Исследуем задачу:
Эи( x,t) Э2и( x,t)
, + р(х, t)и(х, t) = f(х^), (х^) е й , (1)
Эt Эх2
и(х,0)=ф(х), -¥<х<+¥, (2) где 0< е - малый параметр, й={(х,0| -¥<х<+¥, 0<Т}, р(х^) = tp(хр(х,0>0 (х,0ей, p,f е С¥(й),
^х,0)^0, фе С¥(Я), и(х,0 - искомая функция.
Задача (1)-(2) является бисингулярной. Первая сингулярность связана с вырожденностью уравнения (е=0): р(х^)и0(х^) = f(х^),
а вторая сингулярность связана с негладкостью функции и0(х,1) при t=0.
Требуется построить полное асимптотическое разложение решения задачи (1)-(2), когда е®0. Решение поставленной задачи состоит из двух частей: построение формального асимптотического разложения решения (ФАРР) и обоснование этого ФАРР.
Построение ФАРР обобщенным методом погранфункций. Решение задачи (1)-(2) ищем в виде
и(х,Г)=У(х,Г)+Щх,т), (3)
где V(х,t) = X£kvk(х, t), Ш(х,т) = X (х,т),е = т2,т = t/|.
к=0 к=-1
Уравнение (1) запишем в виде
е| Эыхо-¿и^ | + Р(хЛи(х,0 = Пх,0-Ь(х^) + Ь(х,|т), (4)
где Л(х^) = Х£кЬк (x,t) - пока неизвестный асимптотический ряд.
к=0
Подставляя соотношение (3) в уравнение (4), получим 'дV(x,t) ¿V (х^)
Ы дх
+ р(х, t)V(х, t) = ^(х, t) - Ь(х, t), (5)
-т^хт)+мтр(х,мт)ш (х,т) = ь(х,|). (6)
Функция Щх,т) должна удовлетворить условию
Щх,0)=ф(х)-Цх,0). (7)
Из равенства(5) получаем
р(х,^0(х,0 = Г(х,t)-^(х,0 , р(х,^к(x,t) = дк(х,0-Ь(x,t), ке М , -1( х, t) дVk-1( х, t)
где д(x,t) = дх2 *
Отсюда следует:
. .. ^(x,t) - Л0(x,t) „ дк (x,t) - Ь (х,^ , п, Vo(x,t) = :. 0 , Vk(x,t) ="кУ ' кЧ у, ке М. р (х^) р( x,t)
Пусть 1!к(х,0 = X(хи 1л0,0(хИ(х,0), Ьк,0(х)=дк(х,0). Тогда vk(x,t) е С¥(О), к = 0,1,...
1=0 '
Остальные функции Ик,Хх) подберем так, чтобы выполнялись условия: wk(х,т) ® 0 при т®+¥.
Теперь перейдем к определению членов асимптотического ряда X lJkwk(х,т). Равенст-
к=-1
во (6) запишем в виде:
т^Г-т+ТХ(I'р1 (х)ш(х,т) = ]Т|2кXл^«ст .
1=0 к=0 1=0 Отсюда имеем:
° д^1(х,т) + ТР0 (х)w-1 (х, т) = ь00 (х), (х, т) е Ц, (8)
дт '
2\ы 2к+1+1
^ = д ^+м(х,т) - X т'+1р] {х^2к+н (х,т) +
к
дх ¡=1 (9)
+ X Ьк-з.,+2з+1(х)т25+'+1,к е М, I = 0,1, (х,т) е Ц,
5=0
где Di={(x,t)| -¥<x<+¥, 0<т<+¥}.
Равенство (7) порождает граничные условия
w0(x,0)=j(x)-v0(x,0), w2k(x,0)=-vk(x,0), w2k-1(x,0)=0, keN. (10)
Справедлива
Лемма 1. Пусть F(x,t) e C¥(D1), z0(x)eC¥(R), a(x)>0. Тогда задача
dz(x,t) + ta(x)z(x, t) = F(x, t), (x, t) e D1, z(x, 0) = z0(x), (11)
dt
имеет единственное решение z(x,t) e C¥(D1).
Доказательство. Интегрируя дифференциальное уравнение первого порядка, учитывая начальное условие, получаем:
z(x, t) = z0(x)e-t2a(x)/2 + {Vй2-t2)a(x)/2F(x,a)da,
и эта функция является единственным решением задачи (11).
Заметим, что если F(x,x)=O(x"), т®+¥, n - const, то z(x,x)=O(x"_1), т®+¥. Из леммы 1 следует существование и единственность решений задач (8), (9), (10). Справедлива
Лемма 2. Пусть 0<a(x)eC¥(R) и функции Fj(x,t)eC¥(D1) разлагаются в асимптотические
ряды
FJ (x,t) = jj Ft++x, У = 0,1, t®+¥ . k=0 t
Тогда в области D1 существуют решения уравнений
dz, (x,t)
1 + ta(x)z,(x,t) = F,(x,t), j = 0,1, t®+¥, (12)
dt 1 1
которые разлагаются в асимптотические ряды:
z j (x, t) = 1 = 0,1,t®+¥ . (13)
t k =0 t
При этом ряды (13) можно многократно почленно дифференцировать, и они являются асимптотическими разложениями решений уравнений (12).
Доказательство. Нетрудно заметить, что дифференцируемость рядов (13) вытекает непосредственно из уравнений (12). ФАРР ищем в виде (13), где zj2k+У (x) - пока неизвестные функции.
Подставляя ряды (13) в уравнение (12) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях т, получаем рекуррентные системы уравнений для zj2k+У(x). Отсюда последовательно
определяются все члены рядов (13). Далее с помощью леммы 1 оцениваются остаточные члены рядов (13). Таким образом, ряды (13) действительно являются асимптотическими разложениями решений уравнений (12). Справедлива
2k
Лемма 3. Пусть hkj(x) = jp,+s(x)w2k-1-ss+1(x), k=0,1,..., jeN. Тогда при т®+¥ справедли-
s=0
вы асимптотические разложения:
W2(k-D+s(x,t) = jj w2(k-s(x), s = 0,1, k = 0,1,... (14)
1=1 т
Доказательство. Применяя лемму 2 для уравнения (8), получаем
-1,2 j-1
- w 12, 1(x)
W-1(x,t) = j j , t ® +¥ , (15)
j=1
где * ч,(х) = _*, .,< х) = ^ _ ^ Х' • к ^ N.
' Ро( х' ' Р0( х'
Теперь в остальных уравнениях (9) мы должны выбрать неизвестные функции (х)
так, чтобы максимальная степень разложения правых частей равенств (9) по т не превышало 1 при т®+¥.
Из (9) при к=0 и 1=0 имеем:
1*о = д * 1(2х'т) _ т2 р1 (х(х, т) + ло 1 (х)т • (16)
дх
~ *_12, _1( х)
Так как *_1(х,т) = ^—'-¡¡-^—, т®+¥ , при Л0'1(х)=р1(х)*-1'1(х)' учитывая лемму 2 для
1=1 т '
¥ *02, (х)
уравнения (16), имеем *0(х,г) = ^—^—, т®+¥ .
1=1 т
Аналогично доказываются и остальные случаи.
Нами определены все члены ФАРР (3). Перейдем теперь к обоснованию этого ФАРР. Обоснование ФАРР (3). Пусть (х,/) = и(х,/) _ ит (х,/),
т 2т
где ит(х,/) = (х,/) + ^ №к*к(х,т). Тогда для остаточной функции Rm(x•t) получим задачу:
к=0 к=_1
(д^ах) + р{х^т(х,/) = 0(ет+1)' (х,/) е й • (17)
Rm(x•0)=0(£m+1)• -¥<х<+¥, е®0. (18)
К задаче (17)-(18) применяем преобразование Rm(x•t'=(1+t'rm(xД тогда относительно гт{х,() получаем задачу:
(дГт(х,/) ^(х,/)^ + гр(х /)+ е ,Гт(х /) = о(ет+1), (х,/)е й ,
д/ дх2 М 1 + /
fm(x•0)=0(em+1)• -¥<х<+¥, е®0.
Из принципа максимума следует справедливость оценки:
fm(x•í)=0(em)• е®0, (х,/) е й . Отсюда следует, что Rm(x•t)=0(em)• е®0, (х,/) е й . Следовательно, справедлива
Теорема. Для решения задачи (1)-(2) при е®0 справедливо асимптотическое разложение (3). Пример. Рассмотрим задачу:
ди( х,/ ) д2и( х,/ )
д/ дх2
+ /и(х,/) = 1 + х + (х,/) Е й , (19)
u(x•0)=x• -¥<х<+¥. (20)
Асимптотическое разложение решения задачи (19)-(20) ищем в виде
* (х т)
и(х,/) = v0(x•t) + £У1(х,/) + —-:— + *0(х,т) + т*1(х,т) + т2*2(х,т) + R(x•t)• (21)
т
где R(x•t) - остаточная функция.
Учитывая равенство (5), получаем:
v0(x•t)=1• vk(x•f)=0• при Л0(х)=1+х, hk(x)=0• кЕЫ. Задачи (8), (9), (10) примут вид:
L = дw-i(x,t) + tw-1(x,t) = 1 + х, (x,t) е D1,w-1(x,0) = 0, (22) дт
d2w,(x,т) _ . . .....
LWo =--^A(x,T)е D,,Wo(x,0) = x-1, (23)
Lwn = д w-i(x,t),(х,т) е D,,wn(x,0) = 0, n = 1,2. (24)
dx
Решения задач (22), (23) и (24) представимы в виде, соответственно:
w-1(x,t) = (1 + x)JVa2-t2)'2da ,
,(х,т) = (x- 1)ет'2 + £e(a2-т2)'2 d2w-1(2x,a) da = (x- 1)e
Эх2
^ (х,т) = Ге<«2-^2>'2 -1(2х,а) ба ° 0, п = 1,2. п ^ Эх2
Отметим, что при т®+¥, хе Я справедливо соотношение
х ч 1 + X 1 + X ^ , К .
w,(х,т) =-+ —— + 0(т ).
т т
Задача для остаточной функции имеет вид:
ЭЯ(х^) Э2Я(х,0^ Л Л , Л „ --I + Я(х,0 = 0, (х,0 е й ,
Эt Эх2 )
Я(х,0)=0, -¥<х<+¥.
Отсюда Я(х,$°0. Следовательно,
1 + х Г tа2 <2,
u(x,t) = 1 + e-2 '2e ft e ea2 '2da + (x - 1)e
т '2
Список литературы:
1. Sushko V.G. Asymptotics of the solution of a parabolic equation with a small parameter on a corner characteristic '' Differential Equations. 2000. 36. P. 773-777.
2. Johan G., Shagi-Di Shih. A parabolic singular perturbation problem with an internal layer '' Asymptotic Analysis. 2004. 38. P. 309-318.
3. Shagi-Di Shih. Internal layers of parabolic singularly perturbed problems '' Z. Angew. Math. Mech. 2007. 87. 11-12. P. 831-844.
4. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений краевых задач. М.: Наука, 1989.
5. Alymkulov K.A. Extension of boundary layer function method for singularly perturbed differential equation of Prandtle-Tichonov and Lighthill types '' Reports of the third congress of the world mathematical society of Turkic countries. Almaty, June July, 2009. P 256-259.
6. Alymkulov K.A. Analog of Method of Boundary Layer Function for the Solution of the Lighthill's Model Equation with the regular Singular Point '' American J.Math. & Statistics. 2013. V. 3, n. 1. P. 53-61.
7. Алымкулов К.А., Асылбеков Т.Д., Долбеева С.Ф. Обобщение метода погранфункций для решения краевой задачи для бисингулярно-возмущенного дифференциального уравнения второго порядка '' Математические заметки. М., 2013. Т. 94, вып. 4. С. 484-487.
8. Алымкулов К.А., Халматов А.А. Метод погранфункций для решения модельного уравнения Лайтхилла с регулярной особой точкой '' Математические заметки. 2012. Т. 92, вып. 6. С.819-824.
9. Tursunov D.A., Erkebaev U.Z. Asymptotic expansions of solutions to Dirichlet problem for elliptic equation with singularities '' Ufa Mathematical Journal. 2016. Vol. 8, No. 1. P. 97-107.
