CC BY
10
УДК 539.3
ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЙ ВОЗДЕЙСТВИЙ ВЗРЫВА НА БАЛОЧНЫЕ КОНСТРУКЦИИ В ВОДЕ
Г.Т. Володин, Д.С. Кочергин
Рассмотрен синтез энергетического метода и метода с использованием уравнения движения балки под действием взрыва. Результаты такого подхода позволяют с большей достоверностью найти условия гарантированного разрушения балки взрывной нагрузкой. Получено решение задачи о деформировании балки в упругом нелинейном режиме с конечными прогибами под действием взрыва заряда конденсированного ВВ в воде. Найдена оптимальная форма упругой линии при деформировании балки в любой момент времени, что позволяет наиболее полно формулировать динамический критерий разрушения и находить соответствующие условия разрушения конструкций.
Ключевые слова: синтез, энергетический метод, уравнение движения, гарантированное разрушение, балка.
Запишем уравнение движения элемента балки под действием импульсной взрывной нагрузки, используя принцип Даламбера
dq\ + dqз = dq2, (1)
где
Э0 . Э 2М
аал = —— dx =--—
* Эх Эх2
ах
(2)
величина внутренних сил в сечении х балки; Q = Q(х, г) - перерезывающая сила; г -время; dq2 = /(г^г - внешняя сила, действующая на элемент балки; р - давле-
( г Лп
ние на балку в момент приложения к ней нагрузки; /(г) = 11 + — I ; — - время действия
Э 2 г
нагрузки на преграду, п=3-5 (в зависимости от вида ВВ [4]); dqз = (т1 + т*)—— ах- ве-
Эг2
личина сил инерции; т1- погонная масса балки; т* - погонная присоединенная масса (для балки в воде).
После подстановки величин dql, dq2, dqз получим уравнение движения
Эх2
ЕЗ
Э2г Эх 2
1 +
Эг Эх
Э 2 г
\ + т + т*)— = Ькр (х)/(г).
Эг2
(3)
Уравнение (16) определяет процесс упругих нелинейных колебаний с конечными прогибами.
Так как деформирование и разрушение балки происходит уже после воздействия импульсной взрывной нагрузки, то для анализа и синтеза представляет интерес уравнение свободных колебаний
2
Э
з
2
2
-\2 Э г
- + -
э2
дг2 (т + т*) Эх2
ЕЗ
2
Э г Эх 2
1 +
'Э^ Эх.
: 0.
(4)
Зададим форму упругой линии в виде косинусоиды, где максимальный прогиб представляет собой неизвестную функцию времени
Рх
г = гоО )с08у • (5)
Функция (5), согласно методу аппроксимации Бубнова-Галёркина удовлетворяет граничным условиям закрепления балки.
Подставляя функцию (18) в уравнение (17) и полагая х=0, для функции ¿о(0 получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
а2
а г0 2
—+ а^о + а1а 2 ^ = 0, Ж 2
где
а1 =
ЕЗ
( Р4 ^
т1 + т*
14
, а 2 =-
3Р
12
(6)
(7)
Начальные условия, согласно рассматриваемой схемы деформирования, для уравнения (6) запишем в виде
г(0) = 0;
Ж
1 ■ Ь
+ (8)
(=0 т1 + т*
где Ь - ширина сечения балки; т1 и т* - соответственно погонная масса балки и погонная присоединенная масса [1, 5]; Е - модуль упругости материала балки; З - момент инерции сечения балки; I - длина балки; I - удельный импульс, созданный взрывом сосредоточенного заряда ВВ на расстоянии а над центром балки и вычисляемый по формуле
• ЛС 4 1 = —^соб а,
а
где А) - характеристика ВВ; С - масса заряда; а - угол падения [2].
В качестве альтернативной формы упругой линии можно принять неполный полином четвертой степени [2]
При этом
г = г0(*)
Эх
1 - 24 (х ]2+т (х Т
(9)
г0
I
(- 48 х 64 х3 ^
5 7 5 13
V 1
Э 2 ( Э ^ _ ^0
Эх
2
7
2
48 192 х_
Т + "Г" 72
2 >
1
3
2
2
Сравним эти две формы упругой линии. Результаты такого сравнения представлены в таблице.
Сравнение двух форм упругой линии балки
Величина х
7
Величина относительного прогиба
Косинусоида рх
г =
Неполный полином 4-й степени
24 ( х У 16 ( х У -о(0 1 - у 71 +161 у 1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
1
0,951056 0,809017 0,587785 0,309017 0
1
0,952321 0,813122 0,593923 0,313921 0
х
7
Первая производная
Эх/ I
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0
0,970803 1,846583 2,541601 2,987831 3,141593
0
0,947211 1,817632 2,534413 3,020812 3,200101
х
7
Вторая производная
(2 г г0 Эх2/ I2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
9,869611 9,386552 7,984671 5,801231 3,049871 0
9,631107 9,216203 8,064001 6,144131 3,456002 0
г
Исходя из таблицы можно сделать следующие выводы:
1) В середине пролёта, а также на концах балки значения прогибов и первых двух производных, полученные по обеим формулам практически одинаковы.
2) В других точках балки значения прогибов по второй формуле несколько больше их значений, полученных по первой формуле, однако, это различие не превышает 1,57%.
3) Значения первой производной, полученные по второй формуле для хх
— е (0;0,3), несколько меньше, а для — е (0,4;0,5) несколько больше их значений, полученных по первой формуле. Максимальное различие составляет 1,83%.
4. Значения второй производной, полученные по второй формуле для хх
— е (0;0,1), несколько меньше, а для —е (0,2;0,5) несколько больше соответствующих
значений, полученных по первой формуле. Максимальное различие составляет 11,7%.
Заключение. Сравнение двух форм упругой линии в любой момент деформирования показывает, что работа деформирования в случае упругой линии вида (5) меньше работы деформирования по упругой линии вида (9). Тогда, согласно принципу наименьшего действия Остроградского-Гамильтона [6], из всех возможных форм упру-
гой линии следует выбрать ту, при которой работа деформирования минимальна, так как только такая форма будет наиболее близка к истинной форме упругой линии. Следовательно, альтернативная форма (9) должна быть отброшена.
Таким образом, получено решение задачи о деформировании балки в упругом нелинейном режиме с конечными прогибами под действием взрыва заряда конденсированного ВВ в воде. Найдена оптимальная форма упругой линии при деформировании балки в любой момент времени, что позволяет с большей достоверностью формулировать динамический критерий разрушения и находить соответствующие условия разрушения конструкций.
Список литературы
1. Саламахин Т.М. Разрушение взрывом элементов конструкций. М.: ВИА, 1961. 275 с.
2. Володин Г.Т. Действие взрыва зарядов конденсированных ВВ в газовой и жидких средах. Часть 2. Взрывостойкость и гарантированное разрушение элементов конструкций: Монография. Тула: «Левша», 2005. 160 с.
3. Галёркин Б.Г. Собрание сочинений Т.1. М.: Изд-во АНСССР, 1952. 391 с.
4. Саламахин Т.М. Физические основы механического действия взрыва и методы определения взрывных нагрузок. М.: ВИА, 1974. 255 с.
5. Кочин Н.Е., Кибель И. А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть 1. 6-е изд., перераб и дополн. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. 583 с.
Володин Геннадий Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор, g. volodin@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Кочергин Денис Сергеевич, аспирант, sir.cod4@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
GENERALIZED METHOD FOR INVESTIGA TING THE EFFECTS OF AN EXPLOSION ON
BEAM STRUCTURES IN WATER
G.T. Volodin, D.S. Kochergin
The synthesis of the energy method and the method using the equation of beam motion under the action of an explosion is considered. The results of this approach allow us to find with greater confidence the conditions for guaranteed destruction of the beam by an explosive load. the solution of the problem of beam deformation in an elastic nonlinear mode with finite deflections under the action of an explosion of a condensed explosive charge in water is obtained. The optimal shape of the elastic line is found when the beam is deformed at any time, which makes it possible to formulate the dynamic failure criterion with greater confidence andfind the appropriate conditions for structural failure.
Key words: synthesis, energy method, equation of motion, guaranteedfailure, beam.
Volodin Gennady Timofeyevich, doctor of technical sciences, professor, g. volodin@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Kochergin Denis Sergeyevich, postgraduate, sir. cod4@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University
