CC BY
105
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 163-172
ФизикА
УДК 539.375.5: 69.058.8
Математическое моделирование взрывостойкости и гарантированного разрушения балочных конструкций взрывной нагрузкой
Г. Т. Володин
Аннотация. В работе дано приближенное решение актуальной задачи о деформировании балочных конструкций взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ (ВВ). Найдены условия взрывостойкости и гарантированного разрушения таких конструкций. Использован энергетический метод Т.М. Саламахина, согласно которому кинетическая энергия, полученная балкой от импульсной нагрузки, полностью расходуется на работу деформирования балки. Применен прямой вариационный метод Ритца-Тимошенко. В отличие от классического метода Бубнова-Галеркина форма упругой линии представлена линейной комбинацией относительных коэффициентов аппроксимации с соответствующими координатными функциями. Использованы обобщенные критерии взрывостойкости и разрушения, учитывающие динамику воздействия на материал конструкции и расположения преграды(элемента конструкции) по отношению к действующему на нее потоку. Полученные результаты вычислений согласуются с известными экспериментальными данными.
Ключевые слова: взрывостойкость, гарантированное разрушение, балочные конструкции.
Введение
Нахождение условий взрывостойкости и гарантированного разрушения элементов конструкций является актуальной проблемой при проектировании несущих элементов конструкций взрывоопасных производств, определении технических условий при проектировании складов боеприпасов, утилизации крупногабаритных элементов конструкций, при проектировании взрывозащитных инженерных сооружений и др.
При этом задача может быть сформулирована двояко:
1. При фиксированной массе заряда конденсированного ВВ, его заданной формы с заданными физическими характеристиками требуется найти такое расположение заряда по отношению к элементу конструкции, чтобы взрыв этого заряда гарантировано либо не разрушал элемент конструкции (задача взрывостойкости), либо гарантированно его разрушал (задача разрушения).
2. При фиксированном расположении заряда по отношению к элементу конструкции требуется подобрать такие механические, геометрические и энергетические характеристики заряда, взрыв которого либо не разрушал элемент конструкции, сохранив его несущую способность (задача взрывостойкости), либо гарантированно разрушал элемент конструкции (задача разрушения).
Под разрушением элемента конструкции будем понимать потерю его несущей способности в связи с появлением трещин, сколов, разделений на фрагменты.
Постановка задачи Физическая модель(основные допущения)
1. Предполагаем, что рассматривается взрыв сосредоточенного заряда конденсированного ВВ радиуса го с известными физическими характеристиками.
2. Рассматривается ближняя область взрыва, вследствие чего давлением окружающей среды можно пренебречь по сравнению с давлением в ударной волне и продуктах взрыва.
3. Взрыв происходит в воздухе на некотором расстоянии a от центральной оси балки.
4. Балка имеет длину l, постоянную площадь поперечного сечения S, первоначальную прямолинейную форму, центральная ось балки совпадает с осью абсцисс прямоугольной декартовой системы координат.
Б. Рассматривается свободное опирание балки на идеальные (недеформируемые) опоры.
6. Предполагается. что в процессе деформирования материал балки ведет себя упруго вплоть до разрушения, деформации считаются малыми.
7. Работа действующей взрывной нагрузки полностью расходуется на работу упругого деформирования балки вплоть до ее разрушения. При этом разрушение балки наступает в первом амплитудном колебании (дальнейшие колебания завершают процесс разрушения).
Математическая модель
Используем прямоугольную декартову систему координат, ось Ox совместим с центральной осью балки, ось Oy — перпендикулярно плоскости
действующих внешних сил, ось Oz направим вертикально вниз, начало координат поместим на левом конце балки.
Рассмотрим частный случай поперечного сечения балки — прямоугольник высотой Н и шириной Ь.
Согласно исследованиям Т.М. Саламахина [1] в процессе взаимодействия продуктов взрыва с преградой на последнюю действует давление
P = Рт(1 - - У-\ (1)
Т
где
Pm = Po( r0 у-1 cos2 а, (2)
t — время, отсчитываемое от момента столкновения первой частицы потока с преградой в точке х, т — время действия взрывной нагрузки, v — порядок одномерности потока, а — угол падения потока в точку преграды с координатой х.
Продолжительность действия давления P на преграду т определяется формулой [1]
,11ч
Т = (U0 + ^0 )го (3)
где U0, ш0 — соответственно скорость продуктов взрыва, скорость
перемещения поверхности разлета.
Как отмечено в работе [1], в реальном процессе возмущения в глубь продуктов взрыва перемещаются со скоростью звука в продуктах взрыва ао, а граница этого возмущения представляет собой фронт волны разрежения. Вычисления значений т для различных ВВ показывают [1], что величины Т даже для зарядов в несколько десятков килограмм не превышают 2х10-4 с. Такое кратковременное действие взрывной нагрузки не может быть в полной мере охарактеризовано максимальным значением давления продуктов взрыва. Наряду с этой величиной в общем случае в рассмотрение необходимо вводить продолжительность действия нагрузки т и закон изменения давления с течением времени [1]. Кроме того, за время действия взрывной нагрузки перемещения деформируемой преграды бесконечно малы и ее деформирование происходит уже после окончания действия нагрузки, тем самым объясняется энергетический метод Т.М. Саламахина, основанный на переходе кинетической энергии, полученной элементом конструкции при действии на него взрывной нагрузки в потенциальную энергию деформирования этого элемента. Разумеется, при этом существуют некоторые тепловые потери, которыми за весьма малое время деформирования можно пренебречь.
Введем в рассмотрение интегральную характеристику — удельный импульс
і = ( Р(і)йі. (4)
Jo
С учетом соотношений (1)—(4), получим для V = 3:
Ртт ио + Шо 3 а2
і = V = 3 РоГо [(ж* - х)2 + а2]2. (5)
Учитывая соотношение для массы С сферического заряда радиуса г0
С = 3 крог;3,
и вводя обозначение
Шо + и0
А0 =
получим формулу для удельного импульса
А0Са [(ж* — х)2 + а2]
і „л2 I а2]2 • (6)
Выразим теперь скорость и выделенного элемента балки длиной йх через импульс, полученный от действующей взрывной нагрузки.
Применим теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме [5]
й(тУ) = Рйі. (7)
Проинтегрировав уравнение (7) в интервале (0,т), получим
ту — тУ0 = [ Р(і)йі. (8)
о
В рассматриваемом случае элемента балки
Уо = 0, V = ир = РЬ(йх), (9)
где Ь — диаметр поперечного сечения балки, 5 = площадь сечения. Уравнение (8) примет вид
ГТ ГТ
и (врйх) = / РЬ(йх)йі = Ь(йх) Рйі = Ь(йх)і.
.¡а Уо
Следовательно,
и = Тр' (10)
где р — плотность материала балки.
Найдем теперь кинетическую энергию, полученную балкой от действия на нее импульсной взрывной нагрузки.
Элементарная кинетическая энергия, полученная элементом балки длиной ёх может быть вычислена в виде:
йЭ ти2 в(йх)рЬ2і2 Ь2і2йх
= ~ = 252 р2 = ~2Б^.
Подставляя сюда выражение для импульса і из (6), получим
= Ь2АрС2 а4 й 2Бр[(х* — х)2 + а2 ]4 '
а кинетическая энергия, полученная всей балкой за время т действия взрывной нагрузки, определится в виде
Э Ь2А^С2а4 Г1 йх _ Ь2АоС2а4 ( )
= 2р5 ]о ~\х—х)2Та2]4 = 2р5 ' ( )
где
т Ґ йх (12)
= .Іо ¡х-х^ТО]4• ( )
Для балки прямоугольного поперечного сечения ЬхН, где Н — высота, Ь — ширина сечения имеет место формула
Э = I• (13)
2рН
Найдем теперь потенциальную энергию деформирования балки. Элементарная упругая энергия при изгибе[6]
йи = 1 М— йх
= 2 Е] '
где Е — модуль упругости материала балки.
Учитывая соотношение для изгибающего момента
М = Е]
д2 г дх2
[і+( дх )2]3 ’
дх
получим
1 Е]( Х) йи = -■
2[1+( дх )2]3'
Для малых прогибов, когда (Ц)2 ^ 1, имеем
2
йи = — (Й) йх.
2 \дх2
Поэтому для случая малых прогибов
и = т- I (£)^ <14>
Приравнивая кинетическую энергию (12) работе деформирования (13), получим
I'1 ( )2(1х = ЪА0С2а4 [1 Г1Х (15)
,}0 Кдх2’ рНЕЗ ,}0 [(х* - х)2 + а2]4 • 1 }
Для балки прямоугольного поперечного сечения ЪхН имеем
ън3 ЪН2
3 = п • = - • (16)
где 3 — момент инерции, Ш* — момент сопротивления сечения при изгибе. С учетом формул (15), соотношение (14) примет вид:
Ю(Х)Чх ^I (17)
Из отношения (16) видно, что масса заряда фиксированного
ВВ, необходимая для гарантированного разрушения, определяется
формой упрогой линии г = г(х), полученной балкой в момент
максимальных смещений при воздействии на нее взрывной нагрузки,
а также расположением заряда относительно балки и физическими и геометрическими характеристиками балки в целом.
Согласно методу аппроксимации Бубнова-Галеркина систему
координатных функций запишем в виде:
ГС ^
! \ V"1 Сп ■ ППх ПоЛ
г(х) = го £ СГ+й+ТГСп 81,1 (18)
п=1
где го — максимальный прогиб, С1 — неизвестные вариационные
коэффициенты, I — длина балки.
Для случая п = 2 получим
, . ( С1 пх С2 2пх\ . .
г(х) = Ч СТТС281,1 Т + СТТС2 81,1 т)- (19)
Учитывая формулу (13) для упругой потенциальной энергии для балки прямоугольного поперечного сечения ЪхН, получим
Е3г2п4 С2 + 16С2 (С1 + С2)2 ‘
и = —п■ (20)
Согласно принципу Остроградского-Гамильтона наиболее близкой к действительной будет та форма упругой линии, для которой упругая энергия
деформирования будет иметь минимальное значение, что приводит к системе уравнений
С =0 С - <2,
Находя частные производные и решая систему уравнений (20), получим
1) а2 = 0; 2) С = 16C2. (22)
Для случая 1) согласно (18) имеем первое приближение
пх
z = z0 sin (23)
Для случая 2) имеем второе приближение
/16 пх 1 2пх\ .
Z = П l7Sin Т + l7Si^-T,j- (24)
Применим силовой критерий разрушения (по первой теории прочности), который обобщим на случай динамических воздействий. Согласно этому критерию [3]
\ M\max ^ W* Ко*^з5*з, (25)
где \M\max — максимальное значение абсолютной величины изгибающего момента, W* — момент сопротивления поперечного сечения балки, Ко* — коэффициент однородности на гарантированное разрушение, ц$ — коэффициент динамичности, 5*з — динамический предел прочности материала балки.
Учитывая формулу изгибающего момента для малых прогибов
V = EJ X,
ox2 7
найдем точки (сечения) балки, в которых \M\ = \M\max.
Для этого решим уравнение
д
-\Щ = 0 (26)
откуда следует уравнение
,2
2m +2m - 1 = 0, (27)
где m = cos , при этом
Обозначим
л/3 - 1 , Л
m = тг = —2— • (28)
пхо ,onA
а = —— = arccos т, (29)
тогда
al
| M|max = | M(Хо) | ,Х0 = — . (30)
п
Располагая значением | M|max, из (24) найдем
> 17Ко*^з^*з12 (31)
Z° ^ 2n2Eh(4sin a + sin 2a) ’
Полученное значение максимального прогиба Zo означает, что для гарантированного разрушения балки при динамическом воздействии на нее необходимо достичь максимального прогиба, равного этой величине (при этом указанный прогиб будет наблюдаться в сечении x = Хо балки).
Чтобы найти теперь величину заряда фксированного ВВ для получения этого прогиба Zo, воспользуемся уравнением (16) и полученным выражением (27) для zo. После элементарных преобразований, получим соотношение
с ^ ж^оЬ2 /2рЕ
с > арУ 517’ (32)
где с = а •
Вычисления проведены по найденным формулам для зарядов тротила с характеристикам: Ао = 400 м/с (что соответствует значениям: плотности р0 = 1560 кг/м3, скорости детонации Б0 = 6980 м/с, К2 = 3,298 — значение показателя политропы на фронте ударной волны), стальных и деревянных балок прямоугольного поперечного сечения с характеристикам, приведенными в таблице.
Результаты расчетов для деревянных и металлических балок
Материал Р a l E (Па) ¡л,3 б * 3 (Па) x*/l h ^0 Ro С
балки (кг/м3) (м) (м) x 1010 x 107 (м) (м) (м) (кг)
Сосна 600 .123 .62 1.25 1.25 5 .5 .05 .0144 .0187 .0431
.37 1.23 1.25 1.25 5 .5 .1 .0284 .0459 .6339
.63 1.85 1.25 1.25 5 .5 .15 .0428 .0735 2.594
.45 2.48 1.25 1.25 5 .5 .2 .0577 .0717 2.411
Береза 800 .075 .62 1.25 2.25 5.5 .5 .05 .0159 .0158 .02604
.15 1.23 1.25 2.25 5.5 .5 .1 .0562 .03852 .3735
.25 1.85 1.25 2.25 5.5 .5 .15 .0848 .06093 1.478
.3 2.48 1.25 2.25 5.5 .5 .2 .1143 .07715 3.00023
Ель 500 .128 .62 1.25 1.25 5 .5 .05 .01443 .01855 .04174
.23 1.23 1.25 1.25 5 .5 .1 .02840 .03512 .28319
.48 1.85 1.25 1.25 5 .5 .15 .04284 .06219 1.5716
.8 2.48 1.25 1.25 5 .5 .2 .05774 .09284 5.228
Сталь А 7800 .3 3 21 1.33 75 .5 .07 .19946 .098097 6.1686
.3 2 21 1.33 75 .5 .07 .08865 .09169 5.0367
.3 1 21 1.33 75 .5 .07 .02216 .08173 3.567
Сталь Б 7800 .3 1 21 1.24 101 .5 .07 .02783 .08817 4.4785
.3 2 21 1.24 101 .5 .07 .1113 .09891 6.3283
.3 3 21 1.24 101 .5 .07 .2504 .10583 7.7449
Сталь В 7800 .3 1 21 1.14 110.5 .5 .07 .027987 .08834 4.504
.3 2 21 1.14 110.5 .5 .07 .11195 .099105 6.3607
Значения Ко* = 1,92 и Ко* = 1,67 относятся соответственно к деревянным и металлическим балкам.
Приведенные в таблице расчетные значения согласуются с экспериментальными данными, приведенными в работе [3] для деревянных балок.
Характеристики стали А, стали Б, стали В взяты для расчетов из работы
[4].
Для получения характеристик взрывостойкости элементов соответсвую-щих (в частности, балочных конструкций) достаточно применяемый здесь силовой критерий разрушения (24) записать в виде [3]
|M|
max < W*Ko/J.35*3,
где знак неравенства изменен на противоположный по сравнению с (24) и коэффициент однородности на гарантированное разрушение заменен коэффициентом однородности материала.
Список литературы
1. Саламахин Т.М. Физические основы механического действия взрыва и методы определения взрывных нагрузок. М.: ВИА, 1974. 255 с.
2. Саламахин Т.М. Разрушение взрывом элементов конструкций. М.: ВИА, 1961. 275 с.
3. Володин Г.Т. Действие взрыва зарядов конденсированных ВВ в газовой и жидкой средах. Ч. II. Взрывостойкость и гарантированное разрушение элементов конструкций. Тула: Левша. 2005. 160 с.
4. Влияние высокоскоростного деформирования и температуры на характеристики прочности и пластичности хромоникельмолибденовой стали / А.П. Ващенко [и др.] // Проблемы прочности. 1991. №9. C.17-19.
5. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 2. Динамика систем материальных точек. М.: Наука, 1966. 322 с.
6. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976. 608 с.
Володин Геннадий Тимофеевич (g.volodin@yandex.ru), д.т.н., профессор, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.
Mathematical modelling of explosion-proofing and assured destruction of beam constructions by explosive load
G. T. Volodin
Abstract. In the labor is given the approached decision of the actual problems on deformation of joist constructions by the explosion of not contact charges of the condensed blasting compounds (BC). The Conditions of the explosion resistance and the guaranteed destruction of such constructions are found. T.M.
Salamahina’s power method according to which the kinetic energy received by a beam from pulse loading, completely is spent for work of deformation of a beam is used. The direct variation method of Ritz-Timoshenko is applied. As distinct from a classical method of Bubnova-Galyorkina the formula of an elastic line is presented by a linear combination of relative factors of approximation with corresponding coordinate functions. The generalized criteria the explosion resistance and the destructions considering dynamics of influence on a material of a design and an arrangement of a barrier (a design element) in relation to a stream operating on it are used. The received results of calculations are coordinating with known experimental data.
Keywords: blast-enduring, guarantee disruction, beam construction.
Volodin Gennady (g.volodin@yandex.ru), doctor of technical sciences, professor, department of mathematical analysis, Tula State University.
Поступила 27.12.2011
