Обобщенные инстантоны Фабини Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

8

УДК 530.145 (075.8)

А. А. Юрова, A. В. Юров ОБОБЩЕННЫЕ ИНСТАНТОНЫ ФАБИНИ

Показано, что нелинейное уравнение Клейна-Гордона с отрицательной константой связи допускает точные несингулярные рациональные солитонные решения. Для евклидовой модели с нарушенной симметрией можно построить инстантоны, но только для случая D< 5.

We show that nonlinear Klein-Gordon equation with negative-coupling admits exact nonsingular rational soliton solution. It is possible to construct the instanton solution for the Euclidean model with broken symmetry. This regular solution be instanton only in D< 5.

Введение

Теорема вириала запрещает существование локализованных многомерных структур, описываемых нелинейным уравнением Клейна-Гордона с положительно определенным потенциальным членом в лагранжиане [1 — 3]. Тем не менее остается возможность построения решений, удовлетворяющих условию | (p(xM) \-^ const, при xM2 ^ да . Другой

вариант обойти теорему вириала — рассмотреть модели с отрицательной константой связи. Такие модели оказываются достаточно интересными в космологии и теории струн [4], поскольку достаточно естественно возникают в моделях расширенной супергравитации, которая, в свою очередь, является низкоэнергетичным пределом гипотетической единой М-теории. Примером решения описанного типа в четырехмерном евклидовом пространстве являются знаменитые интантоны Фабини [5]:

fM- 2

Л r +р

p(r) = ^-^-г, (1)

4 2

где р — произвольная вещественная константа, г = .lí^x¡ , г-евкли-

V г=1

довы индексы, а Л > 0, взятая со знаком минус, константа связи. Отметим, что модель безмассова, а выражение для евклидова действия, вычисленного на решении (1), имеет вид:

^ = 1Т- <2)

Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 8 — 11.

Обобщенные инстантоны Фабини

0=5 обобщенные инстантоны Фабини

Инстантоны (1) удовлетворяют двум граничным условиям

(1) ф(г ^ да) = Po,

(11) (йфф )г=0 = 0

аг

и минимизируют действие в евклидовом пространстве с 0(4) симметрией. Именно по этой причине инстантоны дают главный вклад при описании, скажем, рождения Вселенной в древесном приближении.

Целью данной работы является обобщение решений (1), в том числе для массивных моделей. Общий анзац выбирается в виде:

ф(Х ) = ф0 +--------------------------------г , а г-2 , (3)

а^х х1 + Ьгх +р

причем коэффициенты подразумеваются выбранными так, чтобы решение было регулярным, по повторяющимся индексам имеет место суммирование и I, к =1...0. В случае 0(0) симметрии уравнение принимает вид:

й2ф Б —1 йф йУ(ф)

ТГ+-------Т = —ф- • (4)

аг г аг йф

Поскольку ограничение симметричными решениями резко уменьшает число свободных параметров, мы добавим их, рассматривая модель с нарушенной симметрией:

ли . т, т2ф2 РфЪ ЛфА

Уф) = Уо +аф + —^~ +^3--------4-. (5)

Используя анзац (3), получаем искомое решение

/ \ 4фо(Б — 4) . .

ф(г) = Фо + —^, (6)

!л(г 2 +р2)

2 2Лф02(Б—4)2 фо(Лфо2 + т2) 3Лфф — т2 2

где Р =------—г------, а =--------------, Р=------------, М = 3Лфо + т .

/иА 2 2фо

Можно убедиться, что оба условия (1) и (11) выполняются. Необходимое условие конечности евклидова действия выполняется, если

у фф (3Лфф + 2т2)

0 12 .

При этом лагранжиан имеет следующую асимптотику:

-2 , 2

1( %)! + V*) ^ 4

2 аг г

С другой стороны, для вычисления действия необходимо умножить

0-1

лагранжиан на величину г , поэтому действие оказывается конечным при размерности пространства-времени, не превосходящей 0=5. Варианты с 0<4, по-видимому, не представляют физического интереса в квантовой космологии, случай 0=4, очевидно, требует отдельного рассмотрения, и мы посвятим ему следующий параграф. Поэтому остается случай с 0=5, для которого евклидово действие имеет вид:

9

10

_(5) = 8nL f r4L dr =

E 3 J E 3у/Л(3Л р0 + m2)

Соответственно, квазиклассическая вероятность формирования дочерней Вселенной оценивается выражением PE ~ exp(SE^).

Случай D=4

Обычно преобразование Боголюбова р р + с используют при нали-

чии спонтанно нарушенной симметрии, т.е. в ситуации, когда лагранжиан или гамильтониан допускает некоторую симметрию, но основное состояние не инвариантно относительно соответствующего преобразования симметрии. Однако можно использовать преобразование Боголюбова и в более широком контексте. Рассмотрим для примера решение (6). Так как р р0,

при r ^ f , то естественно попробовать перейти к новой полевой переменной Ф = р - р0, которая стремится к нулю при r ^ f .

Выберем простейший потенциал (У0 = const и Л> 0)

Л Ф4

У (Ф) = 2- + У (7)

и перейдем к переменной р. Получаем

У(р) = р - срор3 + ЩРрР)2-2р03р + V0. (8)

Сравнивая (5) и (8) (с учетом замены Л ^ -Л), получаем выражение для массы:

m = р0М. (9)

Очевидно, что непосредственная подстановка выражения (9) в (6) приводит к сингулярности. Последнего можно избежать, заметив, что при D=4 мы получаем неопределенность, раскрытие которой вполне способно привести к осмысленному ответу. Таким образом, процедура «нарушения симметрии» осуществима лишь при D=4.

Удобно использовать следующую подстановку:

m2 - 3Лср2 = s(D - 4) (10)

и по окончанию вычислений перейти к пределу S ^ 0 . Кроме того,

следует выбрать У0 = Лр0 / 4, чтобы действие оказалось конечным. В

итоге получаем лагранжиан:

32р0)е2(г 2е2 + 2Лс 2)

L =-

r2е2 - 2Лс2

используя который можно вычислить действие

5(4) = — + 5(4>,

Е 3Л

где второе слагаемое обратно пропорционально кубу е и расходится при е —— 0 . Таким образом, вероятность формирования «пузыря» новой фазы имеет вид

Обобщенные инстантоны Фабини

Р = ^'ТГ— ^ = Ы” ЄХр('ТГ) (11)

эЛ эЛ

Заметим, что при вычислении амплитуд методом функционального интеграла появление «странных» мультипликативных констант типа Nш — это общее явление. Следуя общепринятой (хотя и не обоснованной строго математически) технике работы с такими выражениями, можно просто сократить величину Р на N ш . В результате мы получаем выражение

тэ /8п2.

Р = р(1Г >,

которое лишь знаком в экспоненте отличается от выражения, полученного для обычного инстантона [6]. В случае же отрицательной константы связи Г —— —Г таких проблем не возникает, четырехмерное действие имеет обычный вид и приводит к тем же вероятностям, что безмассовая модель с инстантоном Фабини.

11

Список литературы

1. Derrrick G. H. J. Math, Ohys. 5, 1252 (1964).

2. Hobart R. Proc. Phys. Soc. 82, 201 (1963).

3. Раджараман Р. Солмтоны и инстантоны в квантовой теории поля. М., 1985.

4. Felder G., Frolov A., Kofman L. et al. Phys. Rev. 66 (2002) 023507.

5. Fubini S. Nuovo Cimento 34A (1976) 521.

6. Linde A. Nucl. Phys. B372 (1992) 421.

Об авторах

А. А. Юрова — канд. физ.-мат. наук, доц., КГТу.

A. В. Юров — канд. физ.-мат. наук, доц., РГу им. И. Канта.

УДК 532.546

И. К. Волянская, И. Д. Дорогая, А. А. Зайцев, А. Я. Шпилевой

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В ОБЛАСТИ,

ОГРАНИЧЕННОЙ СТОРОНАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Для определения комплексных потенциалов фильтрационных течений в области, ограниченной сторонами треугольника, использован метод отражений особых точек. Решение получено для прямоугольного треугольника в виде бесконечных рядов. Для случая точечного источника ряды выражены через тета-функцию Якоби. Методами теории групп изучено расположение мнимых источников и вычислены их координаты.

For determining of mmplex potentials of filtration flows in the area, restrkted by the sides of a triangle, the method of the refledion of

Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 11-17.