Моделирование фильтрационных течений в области, ограниченной сторонами треугольника Текст научной статьи по специальности «Математика»

Обобщенные инстантоны Фабини

р=єхр(8і— ^=Ы ” ехР('8гг) (11)

3Г 3Г

Заметим, что при вычислении амплитуд методом функционального интеграла появление «странных» мультипликативных констант типа Nш

— это общее явление. Следуя общепринятой (хотя и не обоснованной строго математически) технике работы с такими выражениями, можно просто сократить величину P на N ш . В результате мы получаем выражение

тэ /8п2

р = Р<1Г >,

которое лишь знаком в экспоненте отличается от выражения, полученного для обычного инстантона [6]. В случае же отрицательной константы связи Г —— —Г таких проблем не возникает, четырехмерное действие имеет обычный вид и приводит к тем же вероятностям, что безмассовая модель с инстантоном Фабини.

ll

Список литературы

1. Derrrick G. H. J. Math, Ohys. 5, 1252 (1964).

2. Hobart R. Proc. Phys. Soc. 82, 201 (1963).

3. Раджараман Р. Солмтоны и инстантоны в квантовой теории поля. М., 1985.

4. Felder G., Frolov A., Kofman L. et al. Phys. Rev. 66 (2002) 023507.

5. Fubini S. Nuovo Cimento 34A (1976) 521.

6. Linde A. Nucl. Phys. B372 (1992) 421.

Об авторах

А. А. Юрова — канд. физ.-мат. наук, доц., КГТу.

A. В. Юров — канд. физ.-мат. наук, доц., РГу им. И. Канта.

УДК 532.546

И. К. Волянская, И. Д. Дорогая, А. А. Зайцев, А. Я. Шпилевой

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В ОБЛАСТИ,

ОГРАНИЧЕННОЙ СТОРОНАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Для определения комплексных потенциалов фильтрационных течений в области, ограниченной сторонами треугольника, использован метод отражений особых точек. Решение получено для прямоугольного треугольника в виде бесконечных рядов. Для случая точечного источника ряды выражены через тета-функцию Якоби. Методами теории групп изучено расположение мнимых источников и вычислены их координаты.

For determining of complex potentials of filtration flows in the area, restricted by the sides of a triangle, the method of the reflection of

Вестник РГУ им. И. Канта. 2008. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 11-17.

the special points. The solution is received for a rectangular triangle in the form of infinite series. For the case of the point source series are expressed through the Jacobi theta-function. With the help of methods of the group theory the disposition of the imaginary sources are studied and their coordinates are calculated.

12

1. В условиях закона Дарси используется комплексный потенциал W(z)=q)(xry)+iц)(xry)r с помощью которого можно определить скорость фильтрации и давление [1].

2. Пусть область фильтрации представляет собой внутреннюю область прямоугольного треугольника с углом а=п/6 (рис. 1).

Пусть особые точки аналитической функции ^2) находятся во внутренней области треугольника. Требуется определить комплексный потенциал данного течения в рассматриваемой области (рис. 1).

Для решения задачи воспользуемся теоремой о прямой для случая, рассмотренного на рисунке 2 [2]. Пусть особые точки функции Д2) располагаются в области с коэффициентом проницаемости к1. Тогда согласно теореме о прямой комплексные потенциалы течения имеют вид:

Wl (2) = f (2) - А/((2 - а)е2а + й) г W2 (2) = (1 + 2) f (2) г я = . (1)

к2 + к1

Рис. І. Область фильтрации Рис. 2. Область фильтрации

жидкости разделена прямой

В дальнейшем случае мы будем использовать частные случаи теоремы (1):

а) если область к2 непроницаемая (к2=0, Л= -1), то из теоремы (1) следует:

= / (2) + / ((2 - а)е 2іа + а); (2)

б) если область кі заполнена свободной жидкостью (к2=^, Л=1), получаем

^1(2) = /(2) - /((2 - а)е 2іа + а). (3)

Будем использовать теорему о прямой в виде (2) и (3) в зависимости от граничных условий для случая, рассмотренного на рисунке 1. В работах [3 — 5] путем последовательного применения теоремы о прямой получены комплексные потенциалы фильтрационных течений в областях, ограниченных сторонами прямоугольника, прямоугольного равнобедренного треугольника, равностороннего треугольника.

3. Пусть область фильтрации ограничена сторонами прямоугольного треугольника. На рисунке 1 треугольник ограничен свободной жидкостью. Другие возможные граничные условия указаны на рисунке 3.

Рассмотрим случай граничных условий, указанных на рисунке 1 (остров).

Рис. 3. Область фильтрации с различными граничными условиями

Теорему о прямой (3) будем использовать вдоль прямых, проходящих через стороны треугольника. Ее последовательное применение дает:

W(2) = Wo( 2) + щ0(2), (4)

ад

где Шо( 2) = И / ( 2 + Т) + / (-2Ш + ат + а + Т) + / (-2т + ат + а + Т) -

к, і=-ад

- /(-2 - а + Т) - /(2Ш + ат + а + Т) - /(2т - ат + а + Т)], где т=ехр(2ш/3), а=п/6, Т^ = (тк + т])а.

Картина расположения точек-изображений показана на рисунке 4.

13

• л' ! • л' ! • л' ! ' л* ! •

1»' * • • */ ’«І»' 1 • • • • '»!*' * • • • • ’.І»' » • • • ' Ч'

» * * * ! * * і • * ; • • і * ' ! * * і ** * * ! * * *'і

• • | ' • т > | ' • • * , * • і ' , ' •

Г** * • • • » |ч* » • • • » і • і • « ,<т», , • і • *

• **ч ! X • V* ! Л' • %#ч ! Л' • V, ! Л' •

»•/ *»•!•/ ’,»[•/ Ч-Х*' '»•!•/ *»!'' \*[

і / • ,'7‘» »'Тч • \ і / • • * і * • 7чч • \ і

; •/ '«і-'' \» ; •/ \* • •/ '*• ; •/

Г'ч • » ! » • , »ч • » і * • |• * 2 • • , »ч • » І * • /'і

! ! «''.у;/* ! !

Рис. 4. Положение особых точек

Пусть в области фильтрации находится точечный источник. В этом случае

Д2)= Ь(2 - 2о).

2п

Записывая выражение (4) для функции (5), получаем:

О ад

^0(2) =-----{ ^ 1п(2 - 2о + Т) + 1п(2ш - ат - а + Т + 2о) +

2п к/Рад

+ 1п(2Ш - аШ - а + Т + 20) - 1п(2 + а + Т + 20) -- 1п(2Ш - аШ + а + Т - 20) - 1п(2Ш - ат + а + Т - 20)}.

(5)

14

Комплексный потенциал Ш^) может быть выражен через тета-функцию Якоби или сигма-функцию Вейерштрасса. Получим выражение Ш^) через тета-функцию Якоби. Для построения комплексного потенциала (4) в качестве исходных взяты точки z z. Остальные точки располагаются на прямых, расположенных под углами п/3 и 2п/3 к оси ОХ. Рассмотрим комплексный потенциал (6) для точечного источника и выразим его через тета-функцию Якоби. Преобразуем ряды, входящие в уравнение (6) таким образом, чтобы особые точки этих рядов располагались на вертикальных и горизонтальных прямых. Как видно из рисунка 4, необходимо взять 12 указанных точек. Получим новые 12 рядов, после преобразования этих рядов получаем:

щ(2) = ІП ^ (и1 #0 (и3 #0 (и5 #0 (и7 #0 (и9 #0 (и11 )

#0 (и2 #0 (и4 #0 (и6 #0 (и8 #0 (и10 #0 (и12 )

где #,(„) = Н0П( -,2ш-1е2“")-,2ш-'е-2"), Н0 =П(1 -Ч2т), ц: 2-20 +ь

^0 '

Ш=1 2і^

2 — 21 + Ь 2 — 22 + Ь 2 — 2п 1 + Ь п , т 3 Зад/3"

и2 =-----1---, и3 =----------------------------2-, и =-—-, й = е й, Ь = —а, й =——.

2 2id 2id п Ий 2 2

21 = а — ат + 20 т, 22 = а + ат — 20 т, 23 = а — ат + 20т,

24 = а + ат — 20т, 25 = —а — 20,26 = 20,27 = а — ат + 20 т,

28 = а + ат — 20 т, 29 = а — ат + 20т, 210 = а + ат — 20т, 211 = —а — 20.

Аналогично получается решение для других граничных условий. Полученное решение удобно тем, что тета-функция Якоби представима в виде быстро сходящегося ряда. Это дает возможность использовать полученные комплексные потенциалы для решения практических задач гидродинамики, электричества, магнетизма, теплопроводности.

4. Задачу, рассмотренную в п. 3, можно решить другим способом. Сначала заметим, что в формулировке теоремы о прямой реализована идея о симметрии. Она заслуживает подробного рассмотрения. Начнем с этого.

Последовательными отражениями прямоугольного треугольника из п. 3 в его сторонах получается паркетное покрытие плоскости (рис. 4). На языке теории групп это означает, что треугольник является фундаментальной областью группы О, порожденной отражениями от сторон. Тем же свойством обладают еще два треугольника (и только они): правильный и прямоугольный равнобедренный.

Для решения поставленной задачи нужно изучить строение группы О и найти выражения в комплексных числах для действия ее элементов на точки плоскости. Обозначим отражения от сторон прямоугольного треугольника с острыми углами п/б, п/3 символами 5к, к=1, 2, 3,

512= 2 , 522=вХр(4п/3)( 2 - й)+й, 512= - 2 . (7)

Как для любых симметрий, для них справедливы соотношения

5к2=1, (8)

Ш=1

где I — тождественное преобразование. Каждый элемент из Є выражается в вице произведения порождающих элементов. Множество Н всех четных элементов (число множителей в их представлении четное) является нормальной подгруппой группы Є, которая кроме Н содержит единственный смежный класс — множество всех нечетных элементов. Порождающими элементами Н будут 2 преобразования Я=8і82 Б=818э=8э81, действие которых на точку 2 получается из формул (7) и дается равенствами

Я2=ехр(2пг'/3)(2 - а)+а, Б2=-2. (9)

Преобразование Я есть поворот вокруг вершины а на угол 2п/3, а 5 есть поворот вокруг вершины прямого угла на п. Справедливы соотношения

Я3=1, Б2=1 (10)

(их геометрический смысл очевиден: тройной поворот на 120° и двойной поворот на 180° оставляют все точки на месте, то есть являются тождественными преобразованиями).

Теперь можно установить основное свойство преобразований, являющихся элементами группы Н, и на его основе выписать формулы для действия этих преобразования на точку 2. Сначала заметим, что для каждого элемента группы Н любое его представление в виде произведения порождающих элементов (этой группы) с помощью соотношений (10) можно привести к каноническому (неприводимому) представлению, в котором преобразование 5 перемежается с Я или Я2, например ЯБЯ2БЯБ, либо отсутствует; последнее имеет место только для трех элементов: I, Я, Я2. Каноническое представление единственно. Однако его нужно упорядочить. Для этого воспользуемся теоремой классической геометрии: композиция любого числа поворотов вокруг разных центров (допускается совпадение нескольких или всех центров) будет поворотом вокруг некоторого нового центра на сумму углов отдельных поворотов, если эта сумма не кратна 2п, или переносом, если она кратна 2п; в частности, композиция двух поворотов на противоположные углы вокруг разных центров есть перенос. Из этой теоремы и канонического представления для элементов группы Н следует, что эти элементы являются либо поворотами на углы, кратные п/6, либо переносами. Простейшими переносами, не сводящимися к тождественному преобразованию, будут Т(1,0)=Я2БЯБ, Т(0,1)=ЯБЯ2Б; в обоих произведениях суммарный угол поворота равен 4п =0(шод 2п). Расчеты с помощью формул (9) дают следующие равенства для действия на точку 2 общего элемента Т(п,т) подгруппы Н0, порожденной переносами Т(1,0) и Т(0,1):

Т(п,т)2=2+2 л/3 (ехр(пг'/6)п+ехр(-пг'/6)т)а, п,т є И. (11)

Имеют место следующие перестановочные соотношения:

ЯТ(п,т)=Т(-т,-п - т)Я, Я2Т(п,т)=Т(п+т,п+2т)Я2, БТ(п,т)=Т(-п,-т)Б, ЯБ=Т(0,1)БЯ,

15

16

которые получаются прямым расчетом, использующим формулы (9),

(11). Они позволяют перебрасывать последовательно преобразования Я, Я2, Б слева направо так, чтобы первым множителем был перенос. Результатом этой процедуры в силу соотношений (10) будут шесть вариантов: Т(п,т), Т(п,т)Я, Т(п,т)Я2, Т(п,т)Б, Т(п,т)ЯБ, Т(п,т)Я2Б, п,т е И. Отсюда следует, что Н0 есть нормальная подгруппа группы Н, в которой кроме Н0 имеется еще пять смежных классов Н1, Н2, Н3, Н4, Н5. Для действия элементов группы Н0 на точку 2 имеет место формула

Т(п,т)2=2+2-У3 (ехр(пг/6)п+ехр(-пг/6)т)а, п,т е И. (12)

Для действия элементов смежных классов необходимо в формуле

(12) 2 заменить на Я2, Я22, -2, -Я2, -Я22 соответственно. Нечетные элементы группы О образуют еще шесть смежных классов. Для действия этих элементов нужно в (12) и других формулах заменить 2 на 2 .

Основная задача решается следующим образом. Для комплексного потенциала имеет место представление ^(2)=1пф(2), где функция ф(2) отражениями в сторонах треугольника, то есть действием группы О, аналитически продолжается во всю комплексную плоскость. Ее продолжением будет мероморфная функция с простыми нулями и полюсами, причем нули получаются действием подгруппы Н на точку 20 — координату источника, а полюсы — комплексно сопряжены нулям. Нули образуют шесть решеток, которые созданы действием на 20 подгруппой переносов Н0 и смежных классов Нк, к=1, 2, 3, 4, 5. В силу этого, для ф(2) имеет место представление

ф(2)=Ф(2)/ Ф (2),

Ф(2)=ф0(2 - 20)ф0(Я2 - 20)ф0(Я22 - 20)ф0(-2 - 20)ф0(-Я2 - 20)ф0(-Я22 - 20), где функция ф0(2) инвариантна относительно переноса Т(1,1), то есть периодична с периодом 6а и условно инвариантна относительно переноса Т(1,0), то есть при изменении ее аргумента на 2л/3 ехр(п/6) она умножается на экспоненту. Этим свойством обладает тета-функция 30 (2/6а). Тем самым вновь получается результат п. 3.

Список литературы

1. Голубева О. В. Курс механики сплошных сред. М., 1972.

2. Зайцев А. А., Шпилевой А. Я. Теория стационарных физических полей в кусочно-однородных средах. Калининград: Изд-во КГУ, 2001.

3. Шпилевой А. Я. Моделирование фильтрационных течений жидкости в кусочно-однородных средах методом изображения особых точек // Материалы Всерос. науч.-практ. конф.: «Вклад земляков-орловцев в развитие и становление российской науки, культуры и образования. Орел, 2003. Т. 3. С. 134 — 136.

4. Васильева Е. И., Шпилевой А. Я. Моделирование фильтрационных течений жидкости в области с границей в виде равнобедренного прямоугольного треугольника / / Труды междунар. школ-семинаров «МДОЗМФ». Орел, 2004. Вып. 3. С. 15 — 17.

5. Севастьянова Н. В., Шпилевой А. Я. Моделирование фильтрационных течений жидкости в области с границей раздела в виде равностороннего треугольника // Там же. Орел, 2005. Вып. 4. С. 111—115.

Об авторах

А. А. Зайцев — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.

А. Я. Шпилевой — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта. И. К. Волянская — студ., РГУ им. И. Канта.

И. Д. Дорогая — студ., РГУ им. И. Канта.

УДК 530.1

П. В. Дидковский, А. А. Зайцев

17

ЗАМКНУТЫЕ ЦЕПОЧКИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА (НУШ)

Показано, что система НУШ (1) обладает бесконечным семейством решений, которые представлены через рациональные функции от экспонент.

It is shown that the system NLS has infinite set of solutions which are represented through rational functions from exponentails.

Цель данной статьи — показать, что система нелинейных уравнений Шредингера (НУШ):

обладает семейством решений в виде рациональных функций от экспонент.

Система (1) рассматривалась во многих работах. В [1 — 3] было установлено и изучено с разных точек зрения следующее свойство: система (1) инвариантна относительно преобразований Шлезингера:

Другими словами, если пара (ип,ип) есть решение системы (1), то и пара (Пп+гРп+г), определяемая формулами (2), также будет ее решением. Замена Цп=1п ип позволяет преобразовать соотношения (2) к решетке То-ды Цп,хх=еХр(Цп+1 - Цп) - ехр(^п - Цп - 1).

Тем самым получается соответствие между решениями системы (1) и решетки Тоды.

В [4] установлено, что все решения конечной системы Тоды выражаются через логарифмы от отношения рациональных функций, аргументами которых служат экспоненты. Из всего изложенного можно сделать предположение, что аналогичным свойством обладают некоторые семейства решений системы (1). Покажем, что это действительно так.

Для системы (1) можно указать простейший класс решений. Пусть с=0. Тогда второе уравнение системы вырождается в тривиальное тождество 0=0, а первое сводится к линейному уравнению

iut+2u2v+uxx=0, -ivt+2uv2+vxx=0

(1)

Un ^ Un+1=Un(UnVn+(ln Un)xx) Vn ^ Vn+1=Un 1.

(2)

iut+uxx=0;

(З)

Вестник РГУ им. И. Канта. 2QQS. Вып. 4. Физико-математические науки. С. 17 — 2Q.