Потенциалы фильтрационных течений в угловой области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.546

И. К. Волянская, А. Я. Шпилевой

ПОТЕНЦИАЛЫ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В УГЛОВОЙ ОБЛАСТИ

Сформулирована и доказана новая теорема, обобщающая теоремы о прямой и окружности. С их помощью получены комплексные потенциалы фильтрационных течений в двухкомпонентной среде, заполняющей угловую область.

The new theorem which generalizing the theorems of a straight line and a circle is formulated and proved.

With their help complex potentials of filtration flows in the two — component media filling angle area are received.

Ключевые слова: потенциал фильтрационного течения, коэффициент проницаемости, симметрия, функция Грина, обобщенная теорема об окружности, круговой сектор.

Key words: potential of a filtration flows, permeability factor, symmetry, Green's function, the generalized theorem of a circle, circular sector.

Введение

Для исследования фильтрационных течений жидкости, подчиняющихся закону Дарси, удобно использовать комплексный потенциал W (z) = ф(x, y) + i^(x, y) [1; 2]. По нему можно определить

поле скоростей и поле давлений [1]. Если границами раздела областей фильтрации являются прямые или окружности, то для определения комплексных потенциалов традиционно используется метод изображения особыгх точек [1 — 4]. Здесь предлагается альтернативная методика.

Перечисленные задачи фактически сводятся к построению функции Грина задач Дирихле и Неймана, а в более общем случае — функции Грина задачи линейного сопряжения. Основой нового способа построения этой функции служат теорема об ее определении с помощью симметрий, которая обобщает теоремы о прямой и окружности, а также новый алгоритм решения линейной задачи сопряжения. Далее теорема и алгоритм используются для решения задач о потенциале фильтрационного течения в круговом секторе и угловой области.

Будем использовать следующее известное свойство функции Грина двухмерной задачи Дирихле в односвязной области D [5; 6]: она имеет представление

g(z, Zo) = — ln\h(z,Zo)\, Z, Zo^D, (1)

2n

где функция w = h(z,z0) аналитическая в области D, имеет там простой ноль в точке z = z0 и является конформным отображением области D на единичный круг |w| < 1, причем точка z0 отображается в центр этого круга, точку w = 0. Таким образом, задача определения функции Грина сводится к нахождению функции h(z,z0), которую назовем представляющей функцией области D. Именно ей будет уделено основное внимание.

Удвоение области посредством симметрии

Пусть граница односвязной области D содержит отрезок некоторой прямой (он может быть лучом или всей прямой) или дугу некоторой окружности (она может быть полной окружностью); обозначим эту часть границы l и будем считать, что область D находится по одну сторону от линии, являющейся продолжением l.

Пусть s — симметрия от l. Тогда множество D0 = int(D и l и sD) (символ intA обозначает внутренность множества A) также является областью. Назовем ее удвоением области D посредством симметрии s. В свою очередь область D назовем делением области D0 посредством s. Например, ромб с острыым углом п/3 является удвоением правильного треугольника посредством отражения от его стороны (рис. 2).

посредством симметрии

Рис. 2. Удвоение правильного треугольника посредством отражения от одной из его сторон; результатом является ромб

Замечание 1. Симметрия в является конформным автоморфизмом второго рода области Оо, причем равенство в2 = 2 выполняется на линии I и только на ней.

Представление функции Грина задачи Дирихле для области О через функцию Грина для области Од

Теорема 1. Пусть область О является делением области Оо посредствам симметрии в. Пусть Н(2,2о) и ко(2,2о) — представляющие функции областей О и Оо, причем в том случае, когда 8 является симметрией от окружности, функция г0) = 20) голоморфна в области О. Тогда

представляющая функция области О выражается через представляющую функцию области Оо по формуле

К( 20)

К2,20) =

ho(sz, го)

, 20 е V.

(2)

Доказательство. Функция ^(ж,20) будет аналитической в области Оо, за исключением

тех точек, где 8? имеет полюс (это возможно, если в — симметрия от окружности и область вО содержит бесконечно удаленную точку), и, следовательно, в области О с Оо, причем в области О она нигде не обращается в 0. Действительно, если 2,2о е О и Но(вх,2о) = 0, то согласно определению представляющей функции это равенство имеет место лишь тогда, когда в2 = 2о, т. е. 2 = в2о£ О.

Таким образом, функция Н(х,2о) является аналитической в области О и имеет там единственный простой ноль в точке 2 = 2о. Кроме того, \ко(2,2о)\ = \Но(в2,2о)\=1 на дополнении границы области О к линии I, поскольку это дополнение и его симметрия являются частями границы области Оо. Наконец, для всех точек 2 на линии I выполняется равенство в2 = 2, поэтому там Но(в2,2о) = Но(2,2о) и, значит, на линии I будем иметь

\К2, ?о)| =

h0(20) К(20)

^^, 20) h0(20)

= 1.

Итак, функция Н(х,20) удовлетворяет всем условиям для представляющей функции. Теорема доказана.

Замечание 2. Теорема 1 неприменима, например, в том случае, когда О является кругом \ 2 \ < г. В этом случае Оо будет расширенной комплексной плоскостью, Оо = С*, в2 = г2/2, Но(2,2о) = 2- 2о, следовательно, формально

h( 2, ?о) =

(2 - ?о)2 ..2 - '

ё (20) = ^]п 1П

(2 - 2о )2

Л -

(3)

Но тогда в области О представляющая функция имеет лишний ноль 2 = 0. Для устранения лишней особенности следует к ложной функции Грина (3) добавить контрчлен - 1п \х/г\/2л, который обращается в 0 на границе круга. Получаем

ё(2о) = —1п

1П

г(2 - 2о)

Г -

0

0

Это и будет истинная функция Грина задачи Дирихле для круга |2| < г. Соответствующие контрчлены можно использовать и в других случаях.

Функция Грина задачи Дирихле для кругового сектора

В случае угловой области с углом раствора ф представляющая функция, как следует из результатов статьи [3], имеет вид

7Р - 7 Р 7Р - 7 Р

И(2,70) =----= --------------0----- , р = п!а. (4)

7Р - 70Р 7Р - ехр(-2лр!)70Р

Здесь 2р обозначает регулярную ветвь степенной функции в плоскости с разрезом вдоль полуоси неотрицательных действительных чисел Яв2 > 0, 1ш2 = 0. Для этой ветви выполняется равенство

хр = ехр(-2л—)7Р . (5)

Используем теорему 1 для определения функции Грина для кругового сектора, замкнутого дугой окружности радиуса г (рис. 3).

Хотя точка 2 = 0 является особой для функции к0(&7,70) , но эта особенность устранимая. Следовательно,

У

/■

/

- ч_ Н0(2, 70) _ 7Р - 70Р (г 2/ 7) Р - 70Р

п(7,70) = , , ч = „ _ „ ' г--- Рис. 3. Круговой сектор

к0(яг,70) 7 -ехр(-2лРг)70 (г /7)Р -ехр(-2лР1)70Р

(учтено равенство (5)). Для упрощения второй дроби умножим ее числитель и знаменатель на 2Р. Тогда согласно определению регулярной ветви многозначной степенной функции 2р будем иметь 2 = р вХр(ш),

0<а<2п ^ (г /г)Р7Р =

= (г2 /р ехр(1а))РрР ехр(гРа) = г2Р / рРрР ехр(-гРа)ехр(гРа) = г2р .

Учитывая этот результат, для представляющей функции получаем следующее выражение:

47,70) =-------( ^ - 70 Р )(г 2Р - ^1---------. (6)

(7Р - ехр(-2лР/')70Р )(г Р - ехр(-2лР1)70Р7Р )

Пусть в есть симметрия от дуги. Тогда удвоением рассматриваемого кругового сектора будет угловая область. Выражение для представляющей функции этой области дается формулой (4). В данном случае в2 = г2/7.

Потенциал фильтрационного течения в двухкомпонентной среде

Здесь сохраняются обозначения, используемые в предыдущих пунктах. Пусть О и 01 = вО будут областями фильтрации с коэффициентами проницаемости к1 и к2 соответственно, а область О0 граничит с водной средой. Пусть в области О в точке 2 = 20 действует источник с дебитом Q.

Пусть W0(2) и W1(2) — комплексные потенциалы фильтрационных течений в областях О и 01. Они должны подчиняться следующим условиям:

1) функция Wo(2) имеет логарифмическую особенность вида Q 1п(2 - 20)/2л, а вне точки 2 = 20 она аналитическая в области О;

2) функция ^1(2) аналитическая в области О1;

3) действительные части обоих потенциалов обращаются в 0 на внешних границах областей О и БГ;

4) на линии I выполняются следующие граничные условия:

Яе Ж0 Яе

к\ к 2

,1т Ж0 = 1тЖх. (7)

Покажем, что этим условиям удовлетворяют следующие потенциалы:

№0 (7) = Яё(7, 70 ) + vQg(57, 70), 7 е Б Щ(7) = wQg( 7, 7 0), 7 е Б!.

Здесь v и w — коэффициенты отражения и прохождения, а ^(2,20) — комплексный потенциал течения, создаваемого точечным источником дебита 1. Его действительная часть совпадает с функцией Грина задачи Дирихле для области О0, а мнимая часть является сопряженной гармонической функцией. Поскольку функция ^(2,20) в области О0 имеет единственную логарифмическую особенность в точке 2 = 20, а в рассматриваемом случае 20 е О, то функции №0(2) и №1(2) удовлетворяют условиям 1 и 2. Условие 3 также удовлетворяется, так как по определению функции Грина действительные части функций g(2,2o) и %($,х,х0) обращаются в 0 на границе области О0, а значит, и на тех частях этой границы, которые служат внешними границами областей О и О1. Осталось выполнить условие 4. Поскольку на линии I в2 = 2 и Reg(2,20) = = Re g(z,z0) , lшg(2,20) = -1шg(z,z0) , то после подстановки выражения (8) в соотношения (7) и необходимых сокращений получаем следующие уравнения для коэффициентов отражения и прохождения:

к2(V +1) = к!ю, 1 - V=w.

Решая их, находим

к1 - к2 2к2 /п\

V = —1--2 , W =----— . (9)

к\ + к2 к\ + к2

Формулы (8) и (9) дают решение поставленной задачи. Отметим, что замечание 2 сохраняет силу и в этом случае.

Заметим еще, что найденное решение можно использовать и в том случае, когда источник расположен в области О1, поскольку области О и О1 симметричны друг другу. Результатом будут следующие формулы:

№0(7) = W1Qg(7, 70 ), 7 е Б,

Щ (7) = Qg( 7, 70 ) + VlQg (57, 70), 7 е Д, (10)

где

к1 - к2 2к1 (лл\

V1 =—1-------, w1 =----—. (11)

к1 + к2 к1 + к2

Используем полученные результаты, когда областями фильтрации являются круговой сектор и ему симметричная относительно дуги внешняя область. Тогда удвоенной областью будет угловая область. Ограничимся случаем расположения источника в круговом секторе. Тогда с помощью формул (1), (4), (8) и результатов предыдущего пункта получаем

Q 7Р -70Р Q г2Р -ехр(-2лР1)70Р7Р

г) = ^- Ы------------------------0-+

2к гр - ехр(-2лрі)г0р 2к

г2р -гпргр

Q гР - г Р

Щ\(. 7) = W —1^—--------------0-—, Р = л/ф\

2л 2Р - еХр(-2лР>)

здесь значения коэффициентов V и w даются выражениями (9). В частном случае, когда I непроницаемая граница, к2 = 0, V = 1, поэтому №1(2) = 0 и

ц? (z) = —]n (7Р -70Р)(г2Р -ехр(-2ЛР!)70Р7Р)

0 2л (7Р - ехр(-2лР1)7аР )(г 2Р - 70Р7Р )

Заключение

Таким образом, в работе с помощью обобщения теорем о прямой и окружности относительно просто получены решения достаточно сложных задач о потенциалах фильтрационных течений в двухкомпонентной среде, заполняющей угловую область. Данная методика может быгть

использована для решения задач электростатики и магнитостатики, а также теории теплопроводности.

Список литературы

1. Голубева О. В. Курс механики сплошных сред. М., 1972.

2. Зайцев А.А, Шпилевой А. Я. Теория стационарных физических полей в кусочно-однородных средах. Калининград, 2001.

3. Волянская И. К., Зайцев А. А., Шпилевой А. Я. Комплексные потенциалы фильтрационных течений в линзах // Труды Международных школ-семинаров «МДОЗМФ». Орел, 2009. Вып. 7. С. 36 — 39.

4. Волянская И. К., Шашков А. С., Шпилевой А. Я. Моделирование фильтрационных течений в области ограниченной сторонами прямоугольника // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. Вып. 4. Калининград, 2009. С. 12 — 17.

5. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М., 1968.

6. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 1973.

Об авторах

А. Я. Шпилевой — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.

И. К. Волянская — асп., РГУ им. И. Канта, volyanskaya86@mail

Authors

A. Shpilevoy — Dr. IKSUR.

I. Volyanskaya — PhD student, IKSUR, volyanskaya86@mail