Метод Фурье, симметрии и функция Грина задачи Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.546

И. Д. Дорогая, А. А. Зайцев

МЕТОД ФУРЬЕ, СИММЕТРИИ И ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

Дан вывод выражений для функции Грина задачи Дирихле для полосы и прямоугольника тремя способами: методом Фурье и методами, использующими факторизованный вариант принципа симметрии и конформные отображения.

The article offers the deduction of expressions for the Greene function of the Dirichlet problem for a strip and a rectangle by means of three methods: the Fourier method and methods involving the factorized variant of the symmetry principle and conform maps.

Ключевые слова: факторизованный принцип симметрии, метод Фурье, задача Дирихле, функция Грина, мероморфная функция.

Keywords: factorized symmetry principle, the Fourier method, the Greene function, meromorphic function.

Введение

Решение многих физических задач, особенно задач электростатики, гидродинамики, теории фильтрации грунтовых вод, сводится к построению функции Грина задачи Дирихле. В двумерном случае этому способствуют методы теории функции комплексных переменных [1 — 3], а также специальные приемы, использующие соображения симметрии. Многочисленные примеры построения функции Грина задачи Дирихле с помощью теоремы о прямой и окружности приведены в [4]. Однако для решения более сложных задач требуется использовать методы и факты теории групп преобразований в сочетании с теорией конформных отображений. В данной статье мы покажем эффективность этого подхода на примерах классических краевых задач Дирихле для полосы и прямоугольника. Кроме того, будет показана связь предлагаемого подхода с традиционным методом, используемым в математической физике, — методом Фурье.

Факторизованный вариант принципа симметрии

В этой работе плоскость R2 будет отождествляться с комплексной плоскостью С. Известно [1], что функция Грина задачи Дирихле для области D є C допускает представление

g (Z’Z о) = 2ттіП h( Z’Z о)’ (1)

Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2009. Вып. 4. С. 48 — 53.

где к( 2,10) — аналитическая функция в области D, имеет там простой ноль в точке 20, к(х, 20) = 0, к2 (2,20) Ф 0, и на границе этой области удовлетворяет соотношению

Перечисленными условиями функция к( 2,2 0) определена однозначно с точностью до множителя ехр(/'а), где а — произвольное действительное число.

Допустим, что граница области содержит часть l некоторой прямой (I может быть отрезком, лучом и даже всей прямой), I е дБ. Пусть в — отражение от I. Справедлива

Теорема 1. Функция к( 2,20) единственным образом продолжается через

I в симметричную область sD до мероморфной функции, имеющей простой полюс в точке 0, при этом для всех точек г е Б и I и яБ выполнено соотношение

Соотношение (3) равносильно граничному условию (2), но при решении конкретных задач проверить его легче.

Утверждение теоремы аналогично формулировке известного принципа симметрии Римана-Шварца в теории функции комплексной переменной [1—3], поэтому назовем его факторизованным вариантом принципа симметрии.

Кроме принципа симметрии полезна следующая теорема.

Теорема 2. Пусть Н(2) - конформное отображение области D на верхнюю полуплоскость 1тw > 0. Тогда

Пусть область В есть горизонтальная полоса 0 < 1тг < Ь (рис. 1). Обозначим отражения от ее нижней и верхней границ символами 51 и

52. Тогда 51 г = г, ¿2г = г + 2Ьі. Группа Є, порожденная этими отражениями, будет диэдральной и содержит нормальную подгруппу Н индекса 2, которая циклическая и порождена сдвигом Т = 5152, Тг = г + 2Ьі. Ее единственный смежный класс имеет своими представителями отражения 51 и 52 и может быть записан .

(2)

к(г, г 0)Й(5г, г 0) = 1.

(3)

(4)

Функция Грина задачи Дирихле для полосы

Рис. 1. Нули и полюсы функции И(-, -0) в случае полосы

Продолжение функции к(-,-0) в область Б и I и ¿Б назовем продолжением с помощью симметрии 5 . Продолжая к(-, -0) через границы полосы с помощью отражений 51, и других преобразований

группы Є, получим мероморфную функцию с простыми нулями и полюсами. Ее нули получаются действием подгруппы Н на точку - 0, и их координаты имеют вид г0 + 2пЫ, и є 7. Полюсы получаются действием смежного класса Н51 на эту же точку и для их координат будет иметь -0 + 2пЬі, и є 7. Одной из мероморфной функции, обладающей данными нулями и полюсами, будет функция

*(.-, г0) = ехр(п(-- -»уЬ) -1. (5)

ехр(п(- - -0)/Ь) -1

Несложно проверить, что к(г,г^к^г) = 1,к = 1,2, то есть функция к(2,20) подчиняется факторизованному принципу симметрии.

Покажем, что стандартный метод Фурье также приводит к формулам (1) и (5). Согласно этому методу функцию Грина следует искать в виде ряда Фурье

ё(2 20) = £?„(X 20) (6)

где ёп (X, 20) есть решение уравнения

ж2п2 2 . (ту0 V

ёп, XX — ёп = Ь Н—— 1^(Х - Х0)-

Решив его, получим ёп =—— 8т[ ту0 1 ехр(-—\х - х0|). Подставив

тт ^ Ь ) Ь

это выражение в ряд (6) и просуммировав с помощью известного раз-

+ад х

ложения - 1п(1 - х) = 2—, получаем представление (1), в котором для

п=1 П

функции к(г,г0) имеет место формула (5).

К формуле (5) можно прийти также с помощью теоремы 2. Именно функция V = Н(г) = ехр(п / Ь) осуществляет конформное отображение

рассматриваемой полосы на верхнюю полуплоскость 1т V > 0. Подставляя ее в формулу (4), после небольшого упрощения получаем формулу (5).

Функция Грина задачи Дирихле для прямоугольника

Пусть областью О является прямоугольник 0 < х < а, 0 < у < Ь (рис. 2).

І о ■ • 1 • •! о ■ * 1 1 1 ■ 1 • : ; ■

і • о • ° 1

1 о • о • і

• о • ° :

Рис. 2. Нули и полюсы функции к(2, 20) в случае прямоугольника

Группа Є, порожденная отражениями от четырех сторон прямоугольника, содержит нормальную подгруппу Н индекса 2, порожденную симметрией 2 ^ -2 и сдвигами 2 ^ 2 + 2а, 2 ^ 2 + 2Ьі. Отсюда следует, что функция к(2,20) продолжается через стороны прямоугольника посредством группы Є до мероморфной функции, которая имеет простые нули в точках 2 = ±20 + 2(та + пЬі) и простые полюсы в точках

2 = ±20 + 2(та + пЬі). Примером такой функции является

к(2, 2о) =-

» [ 2 - 2 0 V, 2 + 2 0 і-1

^ 2а а) 1 у 2а а )

2 - 2 0

2а

ъ і — а

\ (

2 + 2 0

2а

ъ

I —

а

(7)

/

Несложно проверить, что соотношения к(г,г0)к(8кг,г0) = 1, где sk, к = 1,2,3,4, — отражения от сторон прямоугольника, выполняются. Следовательно, формула (7) совместно с (1) дает функцию Грина в данном случае.

Отметим, что к представлению (7) можно прийти, используя классический метод Фурье. С помощью этого метода для функции Грина сначала получается ряд Фурье

функция g00 (х) будет определена позже. Суммируя ряд по п с помощью формулы

а

Данный ряд выражается через тета-функцию Якоби. После выполнения соответствующей процедуры вновь приходим к формуле (7).

В работе [5] показано, что функция

осуществляет конформное отображение рассматриваемого прямоугольника на верхнюю полуплоскость. Используя теорему 2, получаем новое представление для функции к( 2,20), равносильное представлению (7).

1. Лаврентьев М.А, Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. М., 1973.

п т=, п=, т ь + па

Его можно записать следующим образом:

8 (2, 2 0) = 8 (2 - 2 0) + 8 (2 + 2 0) - 8 (2 - 2 0) - 8 (2 + 2 0) ,

где

т ь + п а

V

)

ооъ(пх) 1 + п ск(а(х - п)) 0 <

п=,п2 + а2 2а2 2а sк(пa)

и полагая 800 (х) = (3х2 - 6ах + 2а2)124аЬ , получаем

, 0 < х < 2п,

Список литературы

2. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М., 1999.

3. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М., 1969.

4. Зайцев А. А., Шпилевой А. Я. Теория стационарных физических полей в кусочно-однородных средах. Калининград, 2001.

5. Волянская И. К., Дорогая И. Д., Зайцев А. А., Шпилевой А. Я. Новое представление для конформного отображения прямоугольника на верхнюю полуплоскость и его применение для решения задач теории фильтрации // Труды международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Орел, 2008. Вып. 6. С. 124 — 128.

Об авторах

А. А. Зайцев — канд. физ.- мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.

И. Д. Дорогая — студ., РГУ им. И. Канта.

Authors

A. Zaytsev — Dr., IKSUR.

I. Dorogaya — student, IKSUR.